复数的概念及复数的几何意义ppt课件

详细描述
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。

b
OZ : a bi
a
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
我们知道在实数内：a 表示点 A 到原点的距离，同理，我们来思考一下：
z 表示什么？
y
Z : a bi
b
a
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
任务四：类比实数，猜想 z 表示的涵义
z 也表示的是点 Z 到原点的距离，也就是有向线段（向量） OZ 的长度（我们也称作向量的模）
复数集 C 中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系
复数 z a bi(a,b R)
一一对应
有序实数对 ( a, b) 一一对应点 Z (a, b)
复平面中的点 Z (a, b) 是复数 z 的
几何表示
除原点外，
虚轴上的点
都表示纯虚
数.
虚轴
y
b
O
复平面
Z : a bi
实轴
x
实轴上的点都表示实数.
复数 z a bi(a,b R)
一一对应
点 Z (a, b) 一一对应 向量 OZ
向量 OZ 是复数 z 的另一种
y
b
OZ : a bi
几何表示
a
之后我们也将利用复数与向量之间一一对应
的关系，从几何的角度阐述复数的加法与乘
法。至此，复数理论才比较完整和系统地建
立起来了。
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
z a bi(a,b R) 的模，记作 z 或者 a bi ，且 z
a2＋b2
4.共轭复数
两个复数的实部 相同
，虚部互为
互为相反数
叫做互为共轭复数.复数 z 的共轭复数记做

7.1.2 复数的几何意义
课前回顾
两个复数相等的条件
+ i= + i
⟺
= ， =
复数的分类
实数(b 0)
复数

z= + i 虚数(b 0)纯虚数(a 0，b 0)


非纯虚数(a 0，b 0)

教学目标
1、理解复数的几何意义；
2、掌握复平面的实轴、虚轴的概念;
3、理解复数的模，共轭复数的概念，并会用与求解相关问题.
自学指导
阅读教科书第70-71页内容，完成《优化设计》自主预习部分.
思考:
实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示. 复
数有什么几何意义呢？
一一对应
z＝a＋bi(a,b∈R)
有序实数对(a,b)
z＝a＋bi(a,b∈R)
一一对应
一一对应
有序实数对(a,b)
平面直角坐标系中的点
平面直角坐标系中的点
用复平面内的点表示复数
如图, 点Z的横坐标是a, 纵坐标是b, 复数z＝a＋bi可用点Z(a,b)表示.
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴
叫做实轴，y轴叫做虚轴.
y
b
O
Z:a+bi
a
x
例如：
0在复平面内表示的原点(0, 0) ，
一一对应
平面向量 OZ
y
b
Z:a+bi
图中向量OZ 的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，
记作|Z|或|a+bi|. 即
| Z || a bi | a b (a,b R).
2
2
O

02
复数的应用
Chapter
电路分析中的应用
电路分析中，复数是一种常用的数学工具，用于描述交 流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
通过使用复数表示，可以简化计算过程，方便分析和设 计电路。
复数在交流电路分析中的应用包括计算交流阻抗、交流 功率和交流电流等。
信号处理中的应用
在信号处理中，复数常用于表示和处 理信号，如频谱分析和滤波器设计等 。
复数在信号处理中的应用还包括数字 滤波器设计和数字信号处理算法的实 现等。
通过将信号表示为复数形式，可以方 便地进行信号的频域分析和处理，如 傅里叶变换和离散余弦变换等。
控制系统中的应用
在控制系统中，复数常用于描 述系统的传递函数和稳定性等 特性。
通过使用复数表示，可以方便 地分析系统的频率响应和稳定 性，以及设计控制系统的参数 。
实例
$2(cos frac{pi}{3} + i sin frac{pi}{3}) + 1(cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) = sqrt{3}(cos frac{7pi}{12} + i sin frac{7pi}{12})$。
指数形式的计算
定义
复数指数形式是 $re^{itheta}$，其中 $r$ 是模长，$theta$ 是辐角 。
复数课件ppt免费
目录
• 复数的基本概念 • 复数的应用 • 复数的计算方法 • 复数的历史发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
Chapter
复数的定义
总结词
复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i 是虚数单位。

复数的几何意义课件(公 开课)
复数是数学中非常重要的概念之一。本课件将介绍复数的几何意义，复数的 运算规则以及在平面直角坐标系中的表示等内容。
什么是复数？
复数是由实数和虚数构成的数。其形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
实数
实数是指可以表示物数是指不能表示物理量的数，其定义为i，其中 i^2=-1。
复数的加法、减法、乘法规则
复数的加法和减法遵循实部相加、虚部相加的规则。复数的乘法遵循分配律和虚数单位i的平方等于-1。
1
加法
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
2
减法
(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
3
乘法
(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
1
正弦函数
sin(θ) = 虚部 / 模
余弦函数
2
cos(θ) = 实部 / 模
3
正切函数
tan(θ) = 虚部 / 实部
复数的指数形式表示
复数可以用指数形式来表示，其中e为常数，i为虚数单位，θ为幅角。
1 公式
a+bi = |a+bi| * e^(iθ)
复数的模和共轭
复数的模表示复数到原点的距离，共轭表示虚部符号取相反数。
模
模表示复数的绝对值，记作|a+bi| = √(a^2+b^2)。
共轭
共轭是将复数的虚部取相反数，记作a-bi。
复数在平面直角坐标系中的表 示
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示。实部表示点的横坐标，虚部表示 点的纵坐标。

大一轮复习讲义 数学（BSD）
第五章 平面向量、复数 第四节 复 数
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.2. 了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用 点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表 示.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加，相减的几 何意义．
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内容
意义
复数 a＋bi(a，b∈R) 复数的
分类
复数相 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b， 等 c，d∈R)
备注
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内容
意义
若两个复数的实部_相__等_，而虚部互
共轭复 为相__反__数__，则称这两个复数互为共
数 轭复数．复数 z 的共轭复数用 z 表
示．
备注
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2．复数代数运算中常用的三个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；11＋ －ii ＝i；11－ ＋ii ＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi).
－ (3)z·z
＝|z|2＝|－z
|2，|z1·z2|＝|z1||z2|，zz12
＝||zz12||
任意两个复数 a＋bi 和 c＋di(a，b，c，d∈R)，(a＋bi)(c＋di)＝ _______(a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i_________．
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5．复数的除法 对任意的复数 z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数 z2＝c＋di(c，d∈R)，则zz12 ＝ac＋＋dbii ＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii）） ＝acc2＋＋db2d ＋bcc2＋－da2d i.

复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
【变式探究】
2．(1)若 a 为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则 a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
(2)复数 z＝3－14－i1i＋4 i2(其中 i 是虚数单位)，则 z·－z 的值为
___________.
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
解：(1)由已知得 4a＋(a2－4)i＝－4i，
(3)复数相等的充要条件：
a＋bi＝c＋di⇔__a_＝__c_且___b_＝__d___(a，b，c，d∈R)．
特别地，a＋bi＝0⇔__a_＝__b_＝___0_ (a，b∈R)．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
2．复数的几何意义
(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x 轴叫
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
点评：(1)本题全面考查了复数的概念，主要考查了复 数的实部、虚部，复数的模、共轭复数等概念，考查了复 数乘、除等基本运算．
(2)处理复数的基本概念问题，常常要结合复数的运算 把复数化为 a＋bi 的形式，然后从定义出发，把复数问题 转化为实数问题来处理．
复习目标
课前预习
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
解：(1)表示－z 的点与表示 z 的点关于实轴对称， 所以表示－z 的点为 B. (2)根据题意，画出示意图：
①因为 AD ＝ BC ＝ AC － AB ，所以 AD 对应的复数为 (－2＋6i)－[(3＋2i)－(1－2i)]＝－4＋2i. ②因为 OD － OA ＝ AD ，所以 OD ＝ OA ＋ AD ， 所以 D 对应的复数为(1－2i)＋(－4＋2i)＝－3.

为了解方程的需要，我们又引入了一个新数i，从而将实数系扩充到复数系，而这个新的数i满足
一定的特征：
1. 对 虚数单位i 的规定 ① i 2=-1； ②可以与实数一起进行四则运算.
思考 如何从几何的角度理解复数呢？
2. 复数z=a+bi(其中a、b R)中a叫z 的 实部 、 b叫z的 虚部 .
z为实数
平面向量 OZ
注意：复平面内任意一点 Z(a,b)可以与以原点为起点，点 Z(a,b) 为终点的向量 OZ 对应；
2.复数的模通过向量的模来定义；
z OZ a2 b2
人教版高中数学选修1-2
第3章 数系的扩充与复数的引入
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 1-2
2 1 cos 1
0 2 2cos 4 | z |(0,2)
探究2 求复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，只需代入定义式|z|＝即可，注意复数的模往往和其他章 节的内容相联系.
新知探究
题型三 轨迹问题 例3 设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？ (1)1<|z|<2； (2)|z－i|＝1.
(4,5)位于第四象限 (0,2)位于虚轴上 (2,0)位于实轴上
z i 3 3 i (3,1)
新知探究
题型一 复平面
例 当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点①位于第四象
限；②位于x轴的负半轴上.
①
解：mm22
8m 3m
15 28
0 0
z OZ a2 b2

02
计算方法：利用三角函数的加Байду номын сангаас公式 和减法公式可以计算出复数的乘积和 商。
03
应用：复数的乘除运算是复数运算的 基本法则之一，它们在解决实际问题 中具有广泛的应用。
03
复数的应用
在电路分析中的应用
总结词
利用复数表示交流电的各种参数，如电压、电流、阻抗等，简化计算过程。
详细描述
在电路分析中，许多参数如电压、电流、阻抗等都是时间的函数，具有频率和相 位。利用复数表示这些参数，可以将实数和虚数部分合并，方便进行计算和比较 。通过复数运算，可以快速得到电路的响应，简化计算过程。
在信号处理中的应用
总结词
利用复数进行信号的频谱分析和滤波器设计。
详细描述
在信号处理中，频谱分析和滤波器设计是常见的任务。复数可以用于表示信号的频谱，使得频谱分析变得简单直 观。同时，利用复数进行滤波器设计，可以方便地实现低通、高通、带通等不同类型的滤波器。通过复数运算， 可以快速得到滤波器的响应，提高信号处理的效率。
利用复数的模和辐角，可以将任意复 数转换为三角形式。
复数的模与辐角
定义
复数的模定义为 $sqrt{a^2 + b^2}$， 辐角定义为 $arctan(frac{b}{a})$， 当$a > 0$时，辐角在 第一象限；当$a < 0$ 时，辐角在第三象限。
计算方法
利用勾股定理和反正切 函数可以计算出任意复 数的模和辐角。
控制工程
在控制工程中，系统的传递函数和 稳定性分析通常需要用到复数，以 描述系统的动态特性。
05
复数与实数的关系
复数与实数的转化关系
实数轴上每一个点都 可以对应一个复数， 反之亦然。

模，记做 z 或 a bi
z=a+bi
Z(a,b)
如何求复数
的模？？
a
y b
ox
uuur z OZ a2 b2
复数的模的几何意义：
复数z=a+bi在复平面所对应的点Z（a，b）到原点 的距离
例4、已知复数z 1=3+2i，z2=-2+4i，比较这两
个复数模的大小
解：Q z1 13, z2 2 5 z1 z2
解：m2 m m 020来自,得m m
2或m 0
1
m 1,
一种重要的数学思想：数形结合思想
二、复数的向量表示
z=a+bi Z(a,b)
a
y b
ox
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
uuur 一一对应
平面向量 OZ
三、复数的摸
uuur
向量 OZ 的模叫做复数z=a+bi的
练习：已知复数 z k 3i, (k R) 的模为
5，求k的值
解：z k 2 9 5, k 2 16 k 4
实数 (数)
一一对应
数轴上的点 (形)
实数的几何模型:
01
x
注:规定了正方向，原点，单位长度的直线叫做数轴.
由复数相等的内涵可知,任何一个复数 z a bi(a,bR) ，都可以与一个有序数对 (a,b) 唯一确定。 因为有序数对(a,b) 与平面直角坐标系中的点一一对应，所以 复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应的关系.
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）

∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
m2－m－6＝0 (3)当m＋3≠0 m2－2m－15≠0
m＝3或m＝－2 时，即m≠－3 m≠5且m≠－3
∴当 m＝3 或 m＝－2 时，z 是纯虚数．
例2
已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平
面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的 取值范围。 3 m 2 m 2 m 6 0 得 解：由 2 m 2 或 m 1 m m 2 0
B
nZ
*
i
i
4n

4n2
i i 4 n 3 i -1 i bqr6401@
1
4 n 1
新授课 例4 已知 (2 x 1) i y (3 y )i ，其中 x, y R ， 求 x与 y . 解：由复数相等的定义，得方程组
2 x 1 y 1 ( 3 y )
(
)
C [ 解析 ] 复数可分为实数和虚数两大部分， 虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数 集没有公共元素，C是假命题．故选C.
bqr6401@
(2) 已知a、b∈R，则a ＝b 是(a －b) ＋(a ＋b)i为纯
虚数的
( A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件
（1）它的平方等于－1，即
i
2
1
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则 运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
即：将实数a和数i相加记为: a+i； 把实数b与数i相乘记作: bi； 将它们的和记作: a+bi (a,b∈R),
bqr6401@
一.复数的有关概念

02
复数在平面坐标系中表示
复平面与坐标系建立
复平面的定义
复平面是一个二维平面，其中横 轴表示实部，纵轴表示虚部。
坐标系的建立
在复平面上，以原点为起点，水平 向右为实轴正方向，垂直向上为虚 轴正方向，建立平面直角坐标系。
坐标表示
复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应 的点的坐标为 $(a, b)$。
乘除运算对应几何变换
乘法运算
两复数相乘，其几何意义是对应的两个向量先旋转后伸缩。具体地，设 $z_1 = r_1(cos theta_1 + i sin theta_1)$，$z_2 = r_2(cos theta_2 + i sin theta_2)$，则 $z_1 times z_2 = r_1r_2(cos(theta_1 + theta_2) + i sin(theta_1 + theta_2))$，即模长相乘，辐角相加。
常见函数图像绘制技巧分享
坐标轴选择
在绘制复数函数图像时，可以选择实部-虚部坐标系或模辐角坐标系。不同的坐标系选择会对图像呈现产生不同的 影响。
色彩运用
通过合理运用色彩，可以更加清晰地展示函数的特征和性 质。例如，可以使用不同颜色表示函数的实部和虚部，或 者使用渐变色表示函数的模长变化。
关键点标注
在图像上标注关键点，如零点、极值点、对称中心等，有 助于更好地理解函数的性质和行为。
应用举例：电路分析中相位差计算
交流电路中的电压和电流通常表示为复数形式，其中实部表示幅度，虚部表示相位。通过复数的乘除运算可以方便地计算电 压和电流之间的相位差。
例如，在RLC串联电路中，已知电源电压 $U = 220angle 0^circ V$，电阻 $R = 10Omega$，电感 $L = 0.4H$，电容 $C = 5mu F$。求电流 $I$ 和电阻两端电压 $U_R$ 的相位差。通过复数运算可得 $I = frac{U}{Z}$，其中阻抗 $Z = R + jomega L - jfrac{1}{omega C}$。进一步计算可得相位差 $Delta phi = phi_I - phi_{U_R}$。

C．－3i
D．3
解析：由复数的几何意义可知
―→ OZ
对应的复数为
－3i.故选C.
答案：C
3．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1
B．a≠2或a≠－1
C．a＝2或a＝0
D．a＝0
解析：由题意知a2－2a＝0，解得a＝0或2.故选C.
答案：C
4．若复数a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，则
∴x22x－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11， 或xy＝＝－－11.， (2)设方程的实数根为x＝m， 则3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，
∴3m2－a2m－1＝0， 10－m－2m2＝0，
解得a＝11或a＝－751.
复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等， 虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题， 为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思 想的体现． (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能 比较大小的．
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：易知①正确，②③错误，故选A.
答案：A
()
2．在2＋
7
，
2 7
i,8＋5i，(1－
3 )i,0.68这几个数中，纯虚数的
个数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由纯虚数的定义可知27i, (1－ 3)i是纯虚数．故选C.
答案：C
[思考发现]
1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为

故选D.
法二：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|z||z－2|＝ 2×|－1＋i|＝ 2× 2＝2.故选D.
必备知识 关键能力 限时规范训练 20
解思
解决复数概念问题的方法及注意事项
反
后 (1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化 为代数形式z＝a＋bi(a，
b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b；
C项，αβ＝|－i|＝1，故C正确； D项，α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故D正确．故选BCD.
必备知识 关键能力 限时规范训练 26
三、应用探究点——复数的几何意义(思维拓展)
[典例剖析]
[例2] (1)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z＝( B )
可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故选C.
必备知识 关键能力 限时规范训练 24
方法规律
复数代数形式运算问题的解题策略
在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与 复数的加减法
实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一 复数的乘法 类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可 复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 复数的除法 i的幂写成最简形式
∴|z1－z2|＝2 3. 法二：设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，又z1
＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝ 3 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi，∴a＋c＝ 3 ，b＋d＝1，则(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2 ＋d2＋2ac＋2bd＝4，

2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得.
3.一个向量不管怎么平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复
数可能改变.
3.已知复数 2 + − 2 + ( 2 − 3 + 2)( ∈ )是4 − 20的共轭复数，求的值.
2

解：由题意得，4 − 20的共轭复数为，则 2 + − 2 = 4，
或不等式(组)求解.
2.(1)向量1 对应的复数是5 − 4，向量2 对应的复数是−5 + 4，则1 + 2 对
应的复数是（ ）.
A.−10 + 8
B.10 − 8
C.0
D.10 + 8
答案：C.
(1)由复数的几何意义，得1 = (5, −4)，2 = (−5,4)，
数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系
复数 = +
(, ).
这是复数的一种几何意义.
一一对应
复平面内的点
思考2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，
l
而有序实数对与复数是一一对应的.你能用平面向量来表示复数吗？
如图，设复平面内的点表示复数，连接，显然向量由点唯一确定；反过来，点
即|| = | + | = 2 + 2 ，其中， ∈ .
如果 = 0，那么 = + 是一个实数，它的模就等于||(的绝对值).
例2 设复数z1＝4＋3i，z2＝4－3i.
(1) 在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量；
(2) 求复数z1，z2的模，并比较它们的模大小.
答案：D.
(2)由复数的几何意义，得 = (2, −3)， = (−3,2)，

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复数z＝a＋bi
一一对应
平面向量O→Z
这是复数的另一种几何意义． 为方便起见，我们常把复数 z＝a＋bi 说成点 Z 或说成向量O→Z，并且规定，相等的向 量表示 同一个 复数．
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1.理解复数的几何意义． 试卷下载：/shiti/
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三角函数的对称性
02
sinθ 是奇函数，cosθ 是偶函数
复数指数函数的周期性及对称性
03
e^(iθ) 的周期为 2π，且具有旋转对称性
16
应用举例
利用欧拉公式求解三角函数值
通过计算 e^(iθ) 的实部和虚部，可以得到 sinθ 和 cosθ 的值
利用复数表示法分析电路中的正弦交流信号
在电路分析中，正弦交流信号可以用复数表示，从而简化计算和分析过程
例1
求复数 $z = 2 + 3i$ 在 复平面上绕原点逆时针 旋转 $90^{circ}$ 后的 结果
2024/3/23
例2
求复数 $z = 1 + i$ 在 复平面上沿向量 $(2, 1)$ 平移后的结果
例3
求以 $(1, 2)$ 为圆心、 半径为 $sqrt{5}$ 的圆 在复平面上的方程，并 判断点 $(3, 4)$ 是否在 该圆上
VS
性质
共轭复数与原复数的和与差分别为实数的 两倍和虚数的两倍，即 $z + z^* = 2a$ ，$z - z^* = 2bi$。
2024/3/23
6
运算规则
01 加法
$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
02 减法
$(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$
复数的运算
复数是形如 $a + bi$（其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是 虚数单位，满足 $i^2 = -
1$）的数。
复平面是一个二维平面，其 中横轴表示实部，纵轴表示 虚部。每个复数在复平面上