Contourlet变换

Contourlet 变换
针对小波变换的缺点，2002年M.N.Do 和M.Vetterli 提出了一种“真正的”二维图像的表示方法—Contourlet 变换。

Contourlet 变换将尺度分析和方向分析分开进行。

首先，采用拉普拉斯金字塔变换(Laplacian Pyramid ，LP ) 对图像进行多尺度分解，以捕获奇异点；然后，对每一级金字塔分解的带通分量用方向滤波器组（Directional Filter Bank ，DFB ）进行多方向分解，将同方向的奇异“点”合成“线”，这样LP 分解得到的带通图像传递到DFB 后能获得不同方向的子带图像，经过迭代Contourlet 变换可将图像分解为多个尺度多个方向上的子带图像。

因此有必要介绍Contourlet 变换多方向分解的实现过程。

Do 和Vetterli 提出了一种DFB 算法。

该DFB 算法采用扇型QFB ，无需对原始信号进行调制，并且采用简单的树型结构就可以得到完美的频率划分。

其思想是将扇型QFB 与可以实现“旋转”的图像重采样相结合，获得楔型频率划分。

由于重构可以看成是分解的对偶过程，因此这里着重介绍分解的实现过程。

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图2.2 DFB 的前两层分解结构
图2.2所示给出了DFB 的前两层分解结构，在每一层中都使用了扇型QFB ，其中，黑色区域表示扇型滤波器组的理想频率支撑区域。

在第一层和第二层分别选用0Q 和1Q 作为采样矩阵，所以两层的总采样矩阵可以表示为0122Q Q I ，即在每一维完成二取一的下采样操作，就可以得到一个四个方向的频率子带，如图2.3所示：
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ω图2.3 DFB四个方向频率子带
在Contourlet变换中所使用的方向滤波器组是通过对双通道五点梅花形滤波器组进行修剪操作，从结构上形成一种L级的二叉树，在每个尺度上具有2L个楔形的高频子带。

我们可以将一个L级方向滤波器组的二叉树结构看作一个具有2L个并行通道的滤波器组，每个通道由等效分析滤波器i E、等效合成滤波器i D和组合采样矩阵i S组成，如图2.4所示：
ˆx
图2.4 等效分析滤波器
因为Contourlet变换基的支撑区间是随尺度变化的“长条形”结构，基函数的形状可以拉伸，并且拉伸的方向是可以改变的，这样使其拥有良好的各向异性，可以捕捉图像中的光滑线段，故对于图像边缘的方向和纹理信息的表达具有一定的优势。

Contourlet变换将多尺度分解和方向分解分开进行，因此在不同尺度上可以实现不同数目的方向分解，从而它能更灵活的实现多尺度和多方向分解。

从分析可知，Contourlet变换具有更好的多分辨率、局部性、方向性和各向异性的优点，能更加有效地捕获图像的边缘信息。