从一道高考试题谈函数的凹凸性

凹凸区间和拐点是数学分析中的重要概念，用于描述函数在某区间内的变化趋势。

它们在解决实际问题中，如最优化、工程设计等，具有重要应用。

以下是一个关于凹凸区间和拐点的例题，并用1500字进行了回答。

问题函数：f(x) = x^3 - 9x + 12首先，我们画出函数f(x)的图像，以便直观地观察其性质。

在大多数数学软件中，都能轻松地画出函数图像。

这里我们只需知道，f(x)有一个零点，即x = 2，并且在区间(-∞, 2)和(2, +∞)上，函数单调递增。

在x = 2处，函数有一个极小值-1。

那么现在我们来讨论f(x)的凹凸性和拐点。

首先看凹凸性，在区间(-∞, 2)，f‘(x) = 3x^2 - 9 > 0，说明f(x)在该区间是单调递增的，即凹的。

而在区间(2, +∞)，f‘(x) = 3x^2 - 9 > 0，同样说明f(x)在该区间也是单调递增的，即凸的。

因此，f(x)在区间(-∞, 2)和(2, +∞)都是凹的。

所以，整个定义域(-∞, +∞)内，f(x)的凹区间为(-∞, 2)和(2, +∞)。

接下来我们讨论拐点。

根据一元函数的凹凸性定义，拐点需要满足两个条件：在拐点两侧，曲线的切线斜率相反；在拐点的两侧，曲线的图形变动方向发生改变。

我们先求出f(x)在x = 2处的左、右两边的导数值：f'(x=2左边) = -3；f'(x=2右边) = 3。

因为拐点的两侧切线斜率相反，所以我们可以断定在x = 2处有拐点。

那么拐点的方向呢？我们继续求出f(x)在x = 2处的二阶导数：f''(x=2) = 6 > 0。

根据二阶导数大于零时，函数在该点邻域内是凹的，可知在x = 2处，曲线向上弯。

因此拐点的变动方向为向上。

综上，我们可以得出结论：函数f(x)有一个拐点：(2, f(2)) = (2, 5)。

这个例题主要考察了凹凸区间和拐点的概念以及如何通过导数和二阶导数来判断这些性质。

§ 5 函数的凸性与拐点一．凸性的定义及判定：1．凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义1 设函数在区间I上连续. 若对I 和恒有则称曲线在区间I的凸函数, 反之, 如果总有则称曲线在区间I的凹函数.若在上式中, 当时, 有严格不等号成立, 则称曲线在区间上是严格凸(或严格凹)的.凸性的几何意义: 倘有切线，考虑与切线的位置关系;与弦的位置关系;曲线的弯曲方向.引理为区间I上的凸函数的充要条件是:对I上任意三点: , 总有证明: 必要性充分性定理6.13 设函数在区间I上可导, 则下面条件等价:(i)为I上凸函数(ii)为I上的增函数(iii)对I上的任意两点有证明2．利用二阶导数判断曲线的凸向:定理 6.14 设函数在区间内存在二阶导数, 则在内⑴在内严格上凸;⑵在内严格下凸.证法一 ( 用Taylor公式 ) 对设, 把在点展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有.其中和在与之间. 注意到, 就有,于是, 若有上式中,即严格上凸.若有上式中,即严格下凸.证法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若则有↗↗.不妨设, 并设, 分别在区间和上应用Lagrange中值定理, 有.有又由，<,，即，严格下凸.可类证的情况.3．凸区间的分离: 的正、负值区间分别对应函数的下凸和上凸区间.二. 曲线的拐点: 拐点的定义.例1 确定函数的上凸、下凸区间和拐点. [4]P154 E20解的定义域为. 令,解得.在区间内的符号依次为，. 拐点为:倘若注意到本题中的是奇函数, 可使解答更为简捷.Jensen不等式及其应用:Jensen不等式: 设函数为区间上的凸函数, 则对任意,, 有Jensen不等式:且等号当且仅当时成立.证明令, 把表为点处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿前述定理的证明，注意即得所证.例1证明: 对有不等式.例2证明均值不等式: 对, 有均值不等式.证先证不等式.取. 在内严格上凸, 由Jensen不等式, 有.由↗↗.对用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.例3证明: 对, 有不等式. ( 平方根平均值 )例4设，证明.解取, 应用Jensen不等式.Jensen不等式在初等数学中的应用举例: 参阅荆昌汉文: “凸(凹)函数定理在不等式证明中的应用”,《数学通讯》1980.4. P39.例6 在⊿中, 求证.解考虑函数在区间内凹, 由Jensen不等式, 有..例7 已知. 求证.解考虑函数, 在内严格上凸. 由Jensen不等式, 有..例8 已知求证. ( 留为作业 )解函数在内严格下凸. 由Jensen不等式, 有.。

函数的凸凹性及其应用定义:函数的凸凹性定义：如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ,2x 都有[])()(21)2(2121x f x f x x f +≤+成立，则称)(x f 是下凸（凸）函数(如图1所示)，当且仅当21x x =时等号成立．如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ,2x 都有[])()(21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，则称)(x f 是上凸（凹）函数(如图2所示)，当且仅当21x x =时等号成立．定理1 （Jensen 不等式）若函数()f x 在区间I 是上凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≥+++ ;若函数()f x 在区间I 是下凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ ,其中n i q I x i i ,,2,1,0, =>∈；121=+++n q q q ．定理2 若)(x f 是下凸函数，则其对应定义域中的任意n 个点n x x x ,,21恒有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++ ;类似地，对于上凸函数有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ ,当且仅当n x x x === 21时等号成立．定理3：设函数)(x f 在开区间I 上存在二阶导数：(1)若对任意I x ∈，有0)(>''x f ，则)(x f 在I 上为下凸函数; (2)若对任意I x ∈，有0)(<''x f ，则)(x f 在I 上为上凸函数．下面对于一些常用的的函数的凹凸性作一个探讨．（1）对数函数:)10(log ≠>=a a x y a 且若10<<a ，则为下凸函数；若1>a ，则为上凸函数． （2）指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且为下凸函数． （3）三角函数sin (0,)(,23cos (,)(,2222tan (,0)(022y x x x y x x x y x x x πππππππππ=∈∈=∈-∈=∈-∈，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;，）是下凸函数. （4）二次函数:)0(2≠++=a c bx ax y若0>a ，则为下凸函数；若0<a ，则为上凸函数．（5）反比例函数:)0(≠=k xky当0>k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为上凸函数；若),0(+∞∈x ，则为下凸函数． 当0<k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为下凸函数；若),0(+∞∈x ，则为上凸函数．（6）双勾函数:)0,0(>>+=b a xbax y当)0,(-∞∈x 时，为上凸函数；当),0(+∞∈x 时，为下凸函数．T1 设()y f x =是(),a b 上的严格凸函数，则对于(),a b 内的任意n 个点12,,,n x x x ，都有()()()()12121n n x x x f f x f x f x n n+++⎛⎫≤+++ ⎪⎝⎭，当且仅当12n x x x ===时等号成立。

高考数学复习导数与函数的凹凸性导数与函数的凹凸性随着高考的临近，数学复习成为了每一位考生必须要面对的重要任务。

而导数与函数的凹凸性正是数学中一个重要的概念，它在高考数学文科试卷中占有很大的比重。

因此，了解和掌握导数与函数的凹凸性的概念和性质对于考生们来说是至关重要的。

本文将介绍导数的概念、凹凸性的定义与判定以及应用实例，帮助考生更好地理解和应用这一知识点。

一、导数的概念导数是微积分中的重要概念，用来描述函数变化的快慢程度。

在数学中，导数描述了一个函数在某一点上的斜率或者切线的斜率，可以理解为函数在该点上的瞬时变化率。

具体定义如下：设函数y=f(x)，若极限lim [f(x+h)-f(x)]/hh→0存在，且与x的选取无关，那么称这个极限为函数f(x)在x处的导数，记作f'(x)或dy/dx。

在导数的定义中，h是一个变量，表示x的增量。

导数的定义是通过求极限来得到的，因此导数是一个极限概念。

它不仅能够解释函数在某一点上的瞬时变化率，还可以用来研究函数的凹凸性。

二、凹凸性的定义与判定凹凸性是函数的一个重要性质，它描述了函数曲线的形状。

在数学中，我们可以通过导数的符号变化来判定函数的凹凸性。

具体定义如下：（1）凹函数：若函数的导数单调递增，则称该函数为凹函数。

即对于函数f(x)，如果f'(x)在[a,b]上单调递增，则称f(x)在[a,b]上是凹函数。

（2）凸函数：若函数的导数单调递减，则称该函数为凸函数。

即对于函数f(x)，如果f'(x)在[a,b]上单调递减，则称f(x)在[a,b]上是凸函数。

根据凹凸函数的定义，我们可以通过计算函数的导数来判断函数的凹凸性。

如果导数单调递增，则函数为凹函数；如果导数单调递减，则函数为凸函数；如果导数在某一区间内既递增又递减，则函数在该区间上既是凹函数又是凸函数。

三、凹凸性的应用实例除了基本的凹凸性的定义与判定外，导数与函数的凹凸性在问题求解过程中还有很多实际应用。

函数凹凸性视角下的双变量压轴题的探究
函数凹凸性是函数的一种特殊特征,近年来,以函数凹凸性为背景的题目屡见不鲜,这些试题情景新颖,能考查学生的创新能力和潜在的数学素质,常作为压轴题出现.虽然在高中课本中没有这方面的内容,但高中教师若能多了解一些函数凹凸性的相关理论知识,可以“登高望远”,便于找到问题的本质内涵,确定解题方向,寻找简捷的解题途径.
本文从函数凹凸性的视角,对一些双变量的函数压轴题进行探究,揭示试题的命题背景与内涵.
以函数凹凸性为命题背景的试题还有很多,通过以上几道例题,不难体会函数凹凸性等相关知识的丰富性,这也表明:高等数学的相关理论是命制一些具有创新力与区分度的高考试题的重要来源.虽然函数凹凸性不属于高中数学的内容,但是掌握相关知识,能帮助教师与学生找开思维视角,养成对试题背后的内在关系分析与思考习惯.
近年来,高考的命题者通过挖掘高等数学中的一些素材来命制高考试题,此类试题也逐渐引起老师们的关注.但这并不意味着要将过多的高等数学知识下放到中学里来,加重中学的负担.应该是教师能站在高观点的角度看待问题,将研究的问题引向深入,探索隐藏在题目背后的奥秘,挖掘题目的真正内涵,能够找到解决这个问题与解决其它问题在思维上的共性.这样我们才能领会到试题命制的深刻背景,才能引领学生跳出题海,真正做到触类旁通,举一反三,更好地指导中学的数学教学.。

高考数学冲刺曲线的凹凸性考点精讲在高考数学中，曲线的凹凸性是一个重要的考点，它不仅是函数性质的重要组成部分，也是解决许多数学问题的关键工具。

对于即将参加高考的同学们来说，深入理解和掌握这一考点至关重要。

一、曲线凹凸性的定义曲线的凹凸性是描述曲线弯曲方向的一种性质。

直观地说，如果一条曲线在某一段上看起来像是向上凸起的，那么就称这段曲线是凸的；如果看起来像是向下凹陷的，那么就称这段曲线是凹的。

从数学定义上讲，设函数 f(x) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 x₁，x₂，恒有 f(x₁＋ x₂)／2 ＞ f(x₁) ＋ f(x₂)／2，则称 f(x) 在区间 I 上的图形是凸的；如果恒有 f(x₁＋ x₂)／2 ＜ f(x₁) ＋ f(x₂)／2，则称 f(x) 在区间 I 上的图形是凹的。

二、曲线凹凸性的判断方法1、二阶导数法这是判断曲线凹凸性最常用的方法。

设函数 f(x) 在区间 I 上具有二阶导数 f'＇（x)。

如果在区间 I 上 f'＇（x) ＞ 0，则 f(x) 的图形在区间 I 上是凹的；如果 f'＇（x) ＜ 0，则 f(x) 的图形在区间 I 上是凸的。

例如，对于函数 f(x) ＝ x²，其一阶导数 f'（x) ＝ 2x，二阶导数 f'＇（x) ＝ 2 ＞ 0，所以函数 f(x) ＝ x²的图像在其定义域内是凹的。

2、切线法在曲线的某一点处，如果曲线位于切线的上方，则曲线在该点附近是凸的；如果曲线位于切线的下方，则曲线在该点附近是凹的。

三、曲线凹凸性的性质1、若曲线是凹的，则曲线的切线位于曲线的下方；若曲线是凸的，则曲线的切线位于曲线的上方。

2、若函数在某区间上是凹的（凸的），则函数在该区间上单调递增（递减）。

四、曲线凹凸性的应用1、证明不等式利用曲线的凹凸性可以证明一些不等式。

例如，要证明对于任意的x₁，x₂∈ 0, ＋∞），有 x₁＋ x₂ ≥ 2√（x₁x₂) 。

函数凹凸性及其在高中数学中的应用探讨摘要在高中数学课本中，凹凸函数这一概念虽未曾出现，但观察近儿年全国各地高考试题及一些有难度的高中题，涉及凹凸函数知识的题目已频繁出现.事实上，让高中生掌握一些凹凸函数的简单应用，能起到承上启下，启辿学生思维，增强学生数形结合能力的作用.例如有些对数函数，指数函数以及一些三角不等式的计算或证明，往往看起来很复杂，甚至无从下手，但如果利用凹凸函数的性质给予计算或证明，则会起到简捷明了、事半功倍的效果.本文通过对函数凹凸性定义和相关性质定理的介绍，探讨运用这些定理去证明一些较复杂的不等式，求取值范围，求最值以及解数形结合类的题目，以使学生对相关知识有一个更全面、更系统、更深刻的了解，进一步提高运用这些性质定理去解决相关题目的数学能力和应用能力.这体现了函数的凹凸性在高中数学解题中的巧妙作用.关键词：上凸函数；下凸函数；单调性；不等式Exploring the Concavity and Convexity of Function and its Application ofMathematics in Senior Middle SchoolAbstract: Although the concept of the concavity and convexity of function has not been introduced in the high school textbook of mathematics,many difficult questions involved in the concavity and convexity of function had appeared frequently in the College Entrance Examination.In fact.to some high school students, mastering a simple application of the concavity and convexity of function can play a connecting,enhanceing the capacity of figures and graphics.For example,the calculation and proof of some logarithmic function, exponential function,as well as the triangle function often looks very complicated,even impossible to start,but the problem can be solved simply, clearly and effectively using the concavity and convexity of function.In this paper.the basic definitions ,the character and theorem of the concavity and convexity of function are introduced.The application in proving some complex inequalities, solving the rang of the figure and figures-graphics are discussed. So that the student can have a more comprehensive,more systematic and deeper understanding and further enhance the ability of using these theorems to solve some related problems.This reflect the clever role of the Concavity and Convexity of Functionof ma由ematics in high school.Keywords: convex function; concave function; monotonicity; inequality1引言 (1)2文献综述 (1)2.1国内外研究现状 (1)2.2国内外研究现状评价 (2)2. 3 提出问题 (2)3凹凸函数基础知识 (2)3.1凹凸函数的定义 (3)3.2凹凸函数的相关定理 (3)3. 高中数学中常见函数的凹凸性函数凹凸性在高中数学解题中的应用4. 1 函数凹凸性在证明不等式中的应用4. 利用函数凹凸性求取值范围4.3函数凹凸性在数形结合中的应用 (11)4. 4 利用函数凹凸性求最值 (12)5 结论 (13)5.1主要发现 (13)5. 2 启示 (13)5. 3局限性 (13)5. 4努力方向 (13)参考文献 (15)1 引言函数的叫凸性主要用于高等数学中，例如凸函数在泛函分析、最优化理论、数理经济学以及数学规划和控制论等领域有着广泛的应用，而高中课本中没有相关的概念.虽然函数的凹凸性在高中教材中没有给出系统定义、性质，但它的身影在高考中频频出现, 充分说明了高考命题源于课本，乂高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能.在求解高中涉及函数的凹凸性的相关问题时，许多学生常常感到束手无策，部分学生由于计算量大和繁锁，产生厌学数学的情绪.为了解除这种困惑，培养与提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握函数凹凸性及其在高中数学中的应用是很必要的.因此本毕业论文从凹凸函数的基础知识和函数凹凸性在高中数学解题中的应用两个大方面，对函数凹凸性定义、相关定理及其应用进行进一步的分析，探讨函数凹凸性在证明不等式、求取值范围以及求最值、解数形结合合问题方面的应用，皆在为解决高中有关函数凹凸性的相关问题提供比较清晰的解题思路和解题方法.2 文献综述2. 1国内外研究现状根据所查到的相关文献资料可知，目前有关函数凹凸性在高等数学和初等数学中的研究甚多，学者们从不同的方面和角度对其进行了较为广泛的探讨，比如：唐才祯、莫玉忠、李金继的《凹凸函数在不等式证明中的巧用》一文⑴和张建平的《琴生不等式的应用》一文⑵主要介绍了函数凹凸性的定义和詹生不等式的证明过程；谢晓强的《函数凹凸性的儿个应用》一文&和魏远金的《函数凹凸性在高考中的应用》一文"［主要论述了函数凹凸性在初等数学中的应用，解决了一些用初等数学知识难以解决的初等不等式；王强芳、魏远金的《函数凹凸性在解题中的应用》一文⑸探讨函数的凹凸性在高考数学中的应用；周再禹的《巧用函数凸性证明不等式》一文⑹探讨了用函数的凸性巧妙的来证明中学代数中的一些不等式；尚亚东、游淑军的《凸函数及其在不等式证明中的应用》一文⑺和刘海燕的《凸函数在不等式证明中的应用》一文⑻介绍了凸函数的定义性质及其在证明不等式的一些应用；郝建华的《凸函数的性质及其在不等式证明中的应用》一文⑼主要介绍了两个重要的不等式——霍尔德不等式和闵可夫斯基不等式；刘大谨的《凶函数与不等式》一文"探讨了/'⑴在区间/是四函数的充要条件；江炳新的《构造凸函数证一类不等式》一文“针对目前高考数学的部分压轴题中体现的高等数学思想方法提出在教学中要引导学生进行函数凹Hi性的探究；傅拥军的《函数I，性在不等式证明中的应用》一文”针对在中学数学中不等式的证题方法较多，技巧性强的这一特点，通过例题说明函数凸性是函数在区间变化的整体形态，对于一些不等式，可以巧妙地构造凸函数，利用凸函数加以证明；夏红卫的《凸函数与不等式》一文邱从凸函数的定义出发，得到函数的连续性，推导出Jensen不等式，并由此得到n个正数的算术平均与儿何平均之间的不等式关系；张景丽、陈蒂的《凸函数在不等式证明中的应用》一文「逐论述可导凸函数的儿何特征和性质，并举例说明它们在不等式证明中的应用；晏忠红的《凸函数的应用》一文h主要论述了用凸函数方法和凸函数詹生不等式推证儿种重要的不等式，并对某些结论作一些探讨，等等；朱庆喜的《函数凹凸性的应用举例》'⑺一文主要根据函数凹凸性的定义形式通过例子反映出函I数凹凸性的简捷有效应用；王萍珠的《例说高考函数图像题的解法》-文⑻是针对高考中的函数图像题这类问题该如何解决而提出应从学会看图和学会作图两方面着手；罗志斌，曾菊华的《关于函数凹凸定义的一个注解》用一文针对不同教材的函数凹凸定义进行比较,对函数凹凸性的相关性质进行讨论，并对函数凹凸性的应用进行研究；赵春燕的《构造函数，利用函数性质证明不等式》地一文论述在构造函数的背景下运用函数的单调性、微积分中值定理、函数的极值和最值等，将不等式问题转化为函数问题，等等.2.2国内外研究现状评价综合国内外研究现状可以看出，关于函数凹凸性在高中数学中的应用的研究，仁者见仁、智者见智.其中，较大多数只对一个或儿个题目研究某一方面的问题，对高中出现的有关函数凹凸性的问题没有给出系统的归纳和分类.因此函数凹凸性在高中数学中的应用还有许多问题值得研究和探索.2. 3提出问题经过查阅了国内外的参考文献以及对近儿年高考试题的分析，发现函数凹凸性在解决高中题时有巧妙作用，而IR前文献对用函数凹凸性来解决高中题乂没具体给出应用的归纳和分类.于是本文在查阅了相关资料后，在前人研究的基础之上，对函数凹凸性的应用做了归纳和分类，总结出函数凹凸性在证明不等式、求取值范围、解数形结合问题以及求最值方面的应用，进而培养与提高学生学习数学的兴趣，为学生解决这些问题提供史广的解题思路和解题方法.3凹凸函数基础知识3.1凹凸函数的定义函数凹凸性在高中数学中有巧妙的作用，往往能起到事半功倍的效果，下面先介绍一下它的定义.定义1：如果函数，（尤）对其定义域中任意的玉,心都有如下不等式V | ［/（xj + f（x2）］（1）成立，则称/（尤）是下凸（凸）函数（如图1所示），当且仅当明=互时等号成立.如果函数/.（］）对其定义域中任意的明，心都有如下不等式/（^±^）＞_L［/（X I）+/（X2）］（2）成立，则称丁⑴是上凸（凹）函数（如图2所示），当且仅当玉=互时等号成立.从儿何意义来看，不等式（1）表示定义域中任意两点羽，尤2的中点M所对应的曲线上的点Q位于弦上对应点P的下面.不等式（2）则有相反的意义.3. 2凹凸函数的相关定理以下儿个有关凹凸函数相关定理在解题中非常重要，为了使以后的解题过程更加的方便，下面做一个归纳总结.定理1 （詹生不等式）⑹若函数/（W在区间I是上四函数，则有不等式：/'筋玉+02心+・・・ + 0,/〃）20|/。

高中数学曲线的凹凸性解题技巧在高中数学中，曲线的凹凸性是一个重要的概念，它与函数的二阶导数有关。

凹凸性的判断对于解题和理解函数的性质都具有重要意义。

本文将介绍凹凸性的基本概念和解题技巧，并通过具体的题目举例说明。

一、凹凸性的基本概念1. 凹函数和凸函数在数学中，对于函数f(x)，如果对于任意的x1和x2，以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么称f(x)是凹函数；如果对于任意的x1和x2，以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么称f(x)是凸函数。

2. 凹凸性的判断对于函数f(x)，如果它的二阶导数f''(x)满足以下条件：- 当f''(x)>0时，函数f(x)是凹函数；- 当f''(x)<0时，函数f(x)是凸函数。

二、解题技巧在解题过程中，我们可以通过以下几个方面来判断函数的凹凸性。

1. 寻找关键点首先，我们需要找到函数的关键点，即函数的极值点和拐点。

极值点是函数的局部最大值或最小值，拐点是函数曲线的凹凸性发生变化的点。

2. 计算一阶导数和二阶导数其次，我们需要计算函数的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。

一阶导数可以帮助我们找到函数的极值点，二阶导数可以判断函数的凹凸性。

3. 判断凹凸性根据二阶导数的正负性，我们可以判断函数的凹凸性：- 当f''(x)>0时，函数在该点附近是凹函数；- 当f''(x)<0时，函数在该点附近是凸函数。

三、举例说明现在我们通过一个具体的例子来说明凹凸性的解题技巧。

例题：已知函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5，求函数f(x)的凹凸区间和拐点。

解析：1. 寻找关键点为了找到函数的关键点，我们首先需要计算一阶导数和二阶导数。

f'(x)=3x^2-6x-9f''(x)=6x-62. 计算一阶导数和二阶导数将一阶导数和二阶导数分别置零，解方程得到关键点：3x^2-6x-9=06x-6=0解得x=-1和x=3/2，这两个点分别为函数的极值点和拐点。

专题四 函数的凸凹性函数的凹凸性主要用于高等数学中，例如凸函数在泛函分析、最优化理论、数理经济学以及数学规划和控制论等领域有着广泛的应用，而高中课本中没有相关的概念．虽然函数的凹凸性在高中教材中没有给出系统定义、性质，但它的身影在高考中频频出现，充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能． 一 、凹凸函数的定义函数凹凸性在高中数学中有巧妙的作用，往往能起到事半功倍的效果，下面先介绍一下它的定义． 定义1：如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ，2x 都有如下不等式[])()(21)2(2121x f x f x x f +≤+ （1） 成立，则称)(x f 是下凸（凸）函数(如图1所示)，当且仅当21x x =时等号成立． 如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ，2x 都有如下不等式[])()(21)2(2121x f x f x x f +≥+ （2） 成立，则称)(x f 是上凸（凹）函数(如图2所示)，当且仅当21x x =时等号成立．二、凹凸函数的几何特征：1.形状特征图1（下凸函数） 图2（上凸函数）下凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 上凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。

2切线斜率特征图3（下凸函数） 图4（上凸函数） 下凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率)(x f y =随x 增大而增大；上凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率)(x f y =随x 增大而减小； 简记为：斜率凹增凸减．．．．．．。

3增量特征：图5（下凸函数） 图6（凸函数）下凸函数的增量特征是：i y ∆越来越大；上凸函数的增量特征是：i y ∆越来越小； 简记为：增量下大上小．．．．．．。

三、凸函数与导数的关系定理1（可导函数与凹凸函数的等价命题）：（1） 设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的下凸函数⇔)(x f '为I 上的增函数； （2） 设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的上凸函数⇔)(/x f 为I 上的减函数； 定理2（可导函数与二阶导数的关系）：（1）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的下凸函数⇔0)(≥''x f 且)(x f ''不在I 上的任一子区间上恒为零.（2）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的上凸函数⇔0)(≤''x f 且)(x f ''不在I 上的任一子区间上恒为零.对于一些函数凹凸性的判断，常根据定理2，判断其二阶导数的正负． 四、凹凸函数的相关定理以下几个有关凹凸函数相关定理在解题中非常重要， 为了使以后的解题过程更加的方便，下面做一个归纳总结．定理1（詹生不等式）[16]若函数()f x 在区间I 是上凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≥+++ （3）若函数()f x 在区间I 是下凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ （4）其中n i q I x i i ,,2,1,0, =>∈；121=+++n q q q ．定理2 若)(x f 是下凸函数，则其对应定义域中的任意n 个点n x x x ,,21恒有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++当且仅当n x x x === 21时等号成立． 类似地，对于上凸函数有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ ．五、高中数学中常见函数的凹凸性在高中数学中，对于一些常见函数我们可根据函数图像或求二阶导数对其凹凸性进行判断．如二次函数2x y =，因为开口向上，所以在区间(-∞，+∞)上是下凸函数，当然也可根据其二阶导数02>=''y ，得出它是下凸函数．下面对于一些常用的，在考试中出现频率高的函数的凹凸性作一个探讨． （1）对数函数对于对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且而言，其凹凸性如下：若10<<a ，则对数函数x y a log =为下凸函数；若1>a ，则对数函数x y a log =为上凸函数．（2）指数函数)1,0(≠>=a a a y x且为下凸函数．（3）三角函数sin (0,)sin (,2cos (,)223cos (,22tan (,0)2tan (02cot (,0)2cot (0,)2y x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x πππππππππππ⎧=∈⎧⎨⎪=∈⎩⎪⎪⎧=∈-⎪⎪⎨⎪=∈⎪⎪⎩⎪⎨⎧=∈-⎪⎪⎨⎪=∈⎪⎪⎩⎪⎧=∈-⎪⎪⎪⎨⎪=∈⎪⎩⎩是上凸函数，是下凸函数，）是上凸函数，是下凸函数，）是上凸函数，是下凸函数，，）是下凸函数，是上凸函数，（4）二次函数对于二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 而言，其凹凸性如下：若0>a ，则二次函数c bx ax y ++=2为下凸函数；若0<a ，则二次函数c bx ax y ++=2为上凸函数．（5）反比例函数 对于反比例函数)0(≠=k xky 而言，其凹凸性如下： 当0>k 时:若)0,(-∞∈x ，则反比例函数)0(≠=k x k y 为上凸函数；若),0(+∞∈x ，则反比例函数)0(≠=k xky 为下凸函数．当0<k 时:若)0,(-∞∈x ，则反比例函数)0(≠=k x k y 为下凸函数；若),0(+∞∈x ，则反比例函数)0(≠=k xky 为上凸函数．（6）对勾函数对于对勾函数)0,0(>>+=b a xbax y 而言，其凹凸性如下： 当)0,(-∞∈x 时，对勾函数)0,0(>>+=b a xbax y 为上凸函数；当),0(+∞∈x 时，对勾函数)0,0(>>+=b a xbax y 为下凸函数．六、 函数凹凸性在高中数学解题中的应用 6.1图形与图像问题【例1】一高为Ｈ满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图7所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数)(h f V =的大致图象可能是图8中的（ ）．解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，根据鱼缸形状可知V 的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．图7图8【例2】如下图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f(x)表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是6.2函数与图像问题【例1】 在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中,当210x x <<时， 2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 恒成立的函数的个数是( ).A.0B.1C.2D.3【分析】：运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x 1,x 2∈I,且x 1<x 2,当f(x)总满足2)()()2(2121x f x f x x f +>+时,函数f(x)在区间I 上的图象是“上凸”的,由此否定y=2x ,y=x 2,y=cos2x ，应选B 。