中考数学锐角三角函数(大题培优 易错 难题)及答案解析
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中考数学锐角三角函数(大题培优 易错 难题)及答案解析
一、锐角三角函数
1．如图，△ABC内接于⊙O，2,BCABAC，点D为»AC上的动点，且10cos10B.
(1)求AB的长度；
(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由.
(3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BHCDDH.
【答案】(1) 10AB=；(2) 10ADAE；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB即可求得AB长；
（2）连接DG，则可得AG为⊙O的直径，继而可证明△DAG∽△FAE，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG，连接BG，求得AF=3，FG=13，继而即可求得AD•AE的值；
（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明△ADC≌△ADN，可得AC=AN，继而可得AB=AN，再根据AH⊥BN，即可证得BH=HD+CD.
【详解】（1)过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，
∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF=12BC=1，
在RtΔAFB中，BF=1，∴AB=110cos1010BFB；
（2）连接DG，
∵AF⊥BC，BF=CF，∴AG为⊙O的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，
又∵∠DAG=∠FAE，∴△DAG∽△FAE，
∴AD：AF=AG：AE，
∴AD•AE=AF•AG，
连接BG，则∠ABG=90°，∵BF⊥AG，∴BF2=AF•FG，
∵AF=22ABBF=3，
∴FG=13， ∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3×103=10；
（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，
∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，
∴∠ADC=∠ADN，
∵AD=AD，CD=ND，
∴△ADC≌△ADN，
∴AC=AN，
∵AB=AC，∴AB=AN，
∵AH⊥BN，
∴BH=HN=HD+CD.
【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.
2．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形
（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH的长，从而可求tan∠ADP
试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC
∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF ∵AD//BC
∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF
∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF
∴AB=BE AB=AF
∴AF=AB=BE
∵AD//BC
∴ABEF为平行四边形
又AB=BE
∴ABEF为菱形
（2）作PH⊥AD于H
由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5
∴tan∠ADP=
考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数
3．如图，反比例函数 0kykx 的图象与正比例函数 2yx 的图象相交于A(1,a),B两点，点C在第四象限，CA∥y 轴，90ABC.
(1)求k的值及点B的坐标；
(2)求tanC的值.
【答案】（1）2k，1,2B；（2）2.
【解析】
【分析】（1）先根据点A在直线y=2x上，求得点A的坐标，再根据点A在反比例函数0kykx 的图象上，利用待定系数法求得k的值，再根据点A、B关于原点对称即可求得点B的坐标；
（2）作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，根据90ABC ， 90BHC ，可得CABH，再由已知可得AODABH，从而得CAOD，求出Ctan即可.
【详解】（1）∵点A(1，a)在2yx上，
∴a=2，∴A(1，2)，
把A(1，2)代入 kyx 得2k，
∵反比例函数0kykx 的图象与正比例函数 2yx 的图象交于A，B两点，
∴AB、 两点关于原点O中心对称，
∴12B， ；
（2）作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，
∵90ABC ， 90BHC ，∴CABH，
∵CA∥y 轴，∴BH∥x轴，∴AODABH，∴CAOD，
∴AD22OD1tanCtanAOD.
【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出∠C=∠AOD是关键.
4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC＝80，BD＝60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．
(1)求菱形ABCD的周长；
(2)记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；
(3)当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）在菱形ABCD中，
∵AC⊥BD，AC=80，BD=60，∴。
∴菱形ABCD的周长为200。
（2）过点M作MP⊥AD，垂足为点P．
①当0＜t≤40时，如答图1，
∵，
∴MP=AM•sin∠OAD=t。
S=DN•MP=×t×t=t2。
②当40＜t≤50时，如答图2，MD=70﹣t，
∵，
∴MP=（70﹣t）。
∴S△DMN=DN•MP=×t×（70﹣t）=t2+28t=（t﹣35）2+490。
∴S关于t的解析式为。
当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480；
当40＜t≤50时，S随t的增大而减小，最大值不超过480。
综上所述，S的最大值为480。
（3）存在2个点P，使得∠DPO=∠DON。
如答图3所示，过点N作NF⊥OD于点F，
则NF=ND•sin∠ODA=30×=24，
DF=ND•cos∠ODA=30×=18。 ∴OF=12。∴。
作∠NOD的平分线交NF于点G，过点G作GH⊥ON于点H，
则FG=GH。
∴S△ONF=OF•NF=S△OGF+S△OGN=OF•FG+ON•GH=（OF+ON）•FG。
∴。
∴。
设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG，
∴。
∴PK=。
根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P′。
∴存在两个点P到OD的距离都是
【解析】
试题分析：本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形、等腰三角形、中垂线、勾股定理、解直角三角形、二次函数极值等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问中，动点M在线段AO和OD上运动时，是两种不同的情形，需要分类讨论；第（3）问中，满足条件的点有2个，注意不要漏解.
（1）根据勾股定理及菱形的性质，求出菱形的周长；
（2）在动点M、N运动过程中：①当0＜t≤40时，如答图1所示，②当40＜t≤50时，如答图2所示．分别求出S的关系式，然后利用二次函数的性质求出最大值；
（3）如答图4所示，作ON的垂直平分线，交EF于点I，连接OI，IN．过点N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分别为G，H．易得△DNG∽△DAO，由EF垂直平分OD，得到OE=ED=15，EG=NH=3，再设OI=R，EI=x，根据勾股定理，在Rt△OEI和Rt△NIH中，得到关于R和x的 方程组，解得R和x的值，把二者相加就是点P到OD的距离，即PE=PI＋IE=R+x，又根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P′也满足条件，故存在两个点P，到OD的距离也相同，从而问题解决．
试题解析：（1）如图①)在菱形ABCD中，OA=AC=40， OD=BD=30，
∵AC⊥BD，
∴AD==50，
∴菱形ABCD的周长为200；
（2）(如图②)过点M作MH⊥AD于点H．
① (如图②甲)①当0＜t≤40时，
∵sin∠OAD===，
∴MH=t，
∴S=DN·MH=t2．
②(如图②乙)当40＜t≤50时，
∴MD=80-t，
∵sin∠ADO=-，
∴MH=(70-t)，
∴S=DN·MH,
=-t2＋28t
＝-(t-35)2＋490．
∴S=，
当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480．
当40＜t≤50时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480．
综上所述，S的最大值为480；
(3)存在2个点P，使得∠DPO=∠DON．
(如图④)作ON的垂直平分线，交EF于点I，连接OI，IN．
过点N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分别为G，H．
当t=30时，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，
∴NG=24，DG=18．
∵EF垂直平分OD，
∴OE=ED=15，EG=NH=3，
设OI=R，EI=x，则
在Rt△OEI中，有R2=152＋x2……①，
在Rt△NIH中，有R2=32＋(24-x)2……②，
由①,②可得：,
∴PE=PI＋IE=．
根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P′也满足条件，
∴存在两个点P，到OD的距离都是．
