中考数学培优 易错 难题(含解析)之锐角三角函数及答案
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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．
（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；
（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）
（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）
【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.
【解析】
【分析】
（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D、C、M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出CD．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可．
【详解】
（1）在ABC△中，180180375390ACBBBAC.
在RtABC中，sinACBAB，所以3sin3725155ACAB（海里）.
答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里.
（2）过点C作CMAB，垂足为M，由题意易知，DCM、、在一条直线上.
在RtACM中，4sin15125CMACCAM，3cos1595AMACCAM.
在RtADM△中，tanMDDAMAM，
所以tan7636MDAM.
所以222293691724ADAMMDCDMDMC，. 设缉私艇的速度为v海里/小时，则有2491716v，解得617v.
经检验，617v是原方程的解.
答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
2．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．
(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
(2) 求证：∠ACF=90°；
(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.
图1 图2
【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析
（2）证明见解析
（3）=2π
【解析】
试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH
（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明
（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长
试题解析：（1）BE=FH．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形 ∴∠B=90°， ∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°
又∵∠AEF=90° ∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°
∴∠HEF=∠BAE ∴ ∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF
∴△ABE≌△EHF（SAS）
∴BE=FH
(2)∵△ABE≌△EHF
∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"
∴CH=FH
∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°
∵AC是正方形对角线，∴ ∠ACD=45°
∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°
（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形
△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°
过E作EN⊥AC于点N
Rt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=
Rt△ENA中，EN =
又∵∠EAF=45° ∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）
∴∠EAC=30°
∴AE=
Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8
AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°
=2π·4·（90°÷360°）=2π
考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数
3．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
已知：如图，AB是半圆O的直径，弦//CDAB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQOP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与点C、D不重合），20AB，4cos5AOC．设OPx，CPF的面积为y．
（1）求证：APOQ；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当OPE是直角三角形时，求线段OP的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13xxyxx；（3）8OP
【解析】
【分析】
（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OPDQ，联结OD后还有OADO，再结合要证明的结论APOQ，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POAQDO即可；
（2）根据PFC∽PAO，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos5AOC、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去．
【详解】
（1）联结OD，∵OCOD，
∴OCDODC，
∵//CDAB，
∴OCDCOA，
∴POAQDO．
在AOP和ODQ中，
{OPDQPOAQDOOADO，
∴AOP≌ODQ，
∴APOQ；
（2）作PHOA，交OA于H，
∵4cos5AOC，
∴4455OHOPx，35PHx， ∴132AOPSAOPHx．
∵//CDAB，
∴PFC∽PAO，
∴2210()()AOPyCPxSOPx，
∴2360300xxyx，当F与点D重合时，
∵42cos210165CDOCOCD，
∴101016xx，解得5013x，
∴2360300xxyx50(10)13x；
（3）①当90OPE时，90OPA，
∴4cos1085OPOAAOC；
②当90POE时，1010254coscos25OCCQQCOAOC，
∴252OPDQCDCQCD2571622，
∵501013OP，
∴72OP（舍去）；
③当90PEO时，∵//CDAB，
∴AOQDQO，
∵AOP≌ODQ，
∴DQOAPO，
∴AOQAPO，
∴90AEOAOP，此时弦CD不存在，故这种情况不符合题意，舍去；
综上，线段OP的长为8．
4．许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A，B两点之间的距离他沿着与直线AB平行的道路EF行走，走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为200米，求A，B两点之间的距离（结果保留一位小数）
【答案】215.6米．
【解析】
【分析】
过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点，
根据Rt△ACM和三角函数tanBDF求出CM、DN，然后根据MNMDDNAB即可求出A、B两点间的距离.
【详解】
解：过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点
在Rt△ACM中，∵45ACF，
∴AM=CM=200米，
又∵CD=300米，所以100MDCDCM米，
在Rt△BDN中，∠BDF=60°，BN=200米
∴115.6tan60BNDN米，
∴215.6MNMDDNAB米
即A，B两点之间的距离约为215.6米．
【点睛】
本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.
5．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，动点D从点A出发，在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动，连结CD，作点A关于直线CD的对称点E，设点D运动时间为t（s）．
（1）若△BDE是以BE为底的等腰三角形，求t的值；
（2）若△BDE为直角三角形，求t的值；
（3）当S△BCE≤92时，所有满足条件的t的取值范围 （所有数据请保留准确值，参考数据：tan15°=2﹣3）．
【答案】（1）332；（2）3秒或3秒；（3）6﹣33≤t≤3
【解析】
【分析】
（1）如图1，先由勾股定理求得AB的长，根据点A、E关于直线CD的对称，得CD垂直平分AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以AD=DE=BD，由AB=33，可得t的值；
（2）分两种情况：
①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，根据AB=3t=33，可得t的值；
②当∠EDB=90°时，如图3，根据△AGC≌△EGD，得AC=DE，由AC∥ED，得四边形CAED是平行四边形，所以AD=CE=3，即t=3；
（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，
①当△BCE在BC的下方时，
②当△BCE在BC的上方时，
分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论．
【详解】
解：（1）如图1，连接AE，
由题意得：AD=t，
∵∠CAB=90°，∠CBA=30°，
∴BC=2AC=6，
∴AB=2263=33，
∵点A、E关于直线CD的对称，
∴CD垂直平分AE，
∴AD=DE，
∵△BDE是以BE为底的等腰三角形，
∴DE=BD，
∴AD=BD，
∴t=AD=332；
（2）△BDE为直角三角形时，分两种情况：
①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，
∵CD垂直平分AE，
∴AD=DE=t，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2t，
∴AB=3t=33，
