时钟问题的经典解法

17 . 时钟问题就是行程问题，两个人速度不一样同向走，后面的追前面的，确定要追的路程。

在初始时刻需追赶的格数÷（1—1/12)=追及时间（分钟），其中，1—1/12为分针每分钟比时钟多走的格数。

时针 ： 分钟

1格 : 12格

X/12 ： X

1）在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？

①第一次垂直，时针和分钟差15分钟

10+X—X/12=15 =〉11/12X=5 =〉X=5*12/11=5又5/11分钟

所以第一次垂直时，10点5又5/11分钟

②第二次垂直，时针和分钟差15分钟

50+X/12-X=15 =〉11/12X=35 =〉X=12*35/11=420/11=38又2/11分钟

所以第二次垂直时，10点38又2/11分钟

2）现在是2点15分，再过几分钟，时针和分针第一次重合？

因为要重合肯定是在3点15分之后，所以从三点开始算

15+X/12=X ［时钟走的格子数和分钟走的格子数相同］

=〉15=11/12X =〉X=16又4/11分钟

所以第一次重合的时间是3点16又4/11分钟

需要经过的时间是45+16又4/11=61又4/11分钟

3）在7点与8点之间（包含7点与8点)的什么时刻,两针之间的夹角为120°?

①第一次夹角成120°，时针和分钟差20分钟

35+X/12—X=20 =〉11/12X=15 =>X=180/11=16又4/11

所以时间是7点16又4/11分钟

②第二次夹角成120°，时针和分钟差20分钟

正好是8点整

4）小明在7点与8点之间解了一道题,开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，小明解题的起始时间？小明解题共用了多少时间?答案：32又2/11分钟

①开始分针与时针正好成一条直线,时针和分钟差30分钟

35+X/12—X=30 =〉11/12X=5 =>X= 60/11= 5又5/11分钟

所以此时是7点5又5/11分钟

②后来两针正好重合,时针和分钟差0分钟

35+X/12-X=0 =〉11/12X=35 =〉X= 420/11=38又2/11

所以此时是7点38又2/11

那么时间差是38又2/11 – 5又5/11 = 32又8/11分钟

5）。一只旧钟的分钟和时针每65分钟（标准时间的65分钟）重合一次.问这只旧钟一天（标准时间24小时)慢或快几分钟？答案：快10又10/143分钟（按旧钟上的时间） 正常的时钟应该是12小时重合11次,

所以重合一次需要的时间是12/11*60=720/11=65又5/11分钟

将小时折算成分钟

12/11*60-65 X 12*60-65＊11 X

-——--——--—-—--- = —-—--—-———--—-- ===>——-——--————---—--—— =——-————---——---

65 24*60 65＊11 24＊60

===〉X=(720—715）＊1440/715=1440/143=10又10/143分钟

因此这只旧钟快了10又10/143分钟

时钟问题的经典解法

http：//www.sooxue。com 2009-7—1 来源:公务员百事通

时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。

关于时钟的问题有:求某一时刻时针与分针的夹角,两针重合，两针垂直,两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。

一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位.1分钟时间，分针走1个小格，时针指走了1/60*5=1/12个小格，所以每分钟分针比时针多走11/12个小格，以此作为后续计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。

例1:从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线?

5时整时，分针指向正上方,时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格（表面上每个数字之间为5个小格）,如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段内,分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知，此段时间为55/（11/12）=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。

例2：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合?

6时整时，分针指向正上方,时针指向正下方,两者之间间隔为30个小格.如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟。

例3：在8时多少分，时针与分针垂直？

8时整时，分针指向正上方,时针指向左下方,两者之间间隔为40个小格。如果要两者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为15个小格(分针落后时针),也就是分针比时针多走了25个小格，此段时间为25/（11/12）=300/11分钟;另一次是第二次垂直,此时两者间隔仍为15个小格（但分针超过时针），也就是分针比时针多走了55个小格，此段时间为55/（11/12）=60分钟，时间变为9时,超过了题意的8时多少分要求，所以在8时300/11分时，分针与时针垂直。

由上面三个例题可以看出，求解此类问题(经过多少时间,分针与时间成多少夹角）时,采用上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂,结果正确率高，是一种非常好的方法。解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格，而不论两者分别走了多少个小格。下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。

例4：从9点整开始，经过多少分，在几点钟,时针与分针第一次成直线?

9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格.如果要第一次成直线，也就是两者之间间隔变为30个小格,那么分针要比时针多走15个小格，此段时间为15/（11/12)=180/11分钟。

例5:一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟?

9时整时,分针指向正上方，时针指向正右方,两者之间间隔为45个小格.如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/（11/12）=540/11分钟.

例6：时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线？

时针和分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线,也就是两者间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12)=360/11分钟。

专题介绍］钟面上有时针与分针，每针转动的速度是确定的。

分针每分钟旋转的速度： 360°÷60＝6°

时针每分钟旋转的速度: 360°÷（12×60）＝0．5°

在钟面上总是分针追赶时针的局面，或是分针超越时针的局面。这里的转动角度用度数来表示，相当于行走的路程.因此钟面上两针的运动是一类典型的追及行程问题。

[经典例题］例1 钟面上3时多少分时,分针与时针恰好重合？

分析 正3时时，分针在12的位置上,时针在3的位置上，两针相隔90°。当两针第一次重合，就是3时过多少分。在正3时到两针重合的这段时间内，分针要比时针多行走90°.而可知每分钟分针比时针多行走6－0．5＝5．5(度).相应的所用的时间就很容易计算出来了。

解 360÷12×3= 90(度)

90÷（6－0．5)＝ 90÷5．5≈16．36(分)

答 两针重合时约为3时16．36分。

例2 在钟面上5时多少分时，分针与时针在一条直线上,而指向相反？

分析 在正5时时,时针与分针相隔150°。然后随时间的消逝，分针先是追上时针，在此时间内，分针需比时针多行走150°，然后超越时针180°就成一条直线且指向相反了。

解 360÷12×5=150(度）

(150＋ 180)÷（6— 0．5）＝ 60(分）

5时60分即6时正。

答 分针与时针在同一条直线上且指向相反时应是5时60分，即6时正。

例3 钟面上12时30分时,时针在分针后面多少度?

分析 要避免粗心的考虑：时针在分针后面180°。正12时时,分针与时针重合，相当于在同一起跑线上。当到12时30分钟时，分针走了180°到达6时的位置上。而时针在同样的30分钟内也在行走.实际上两针相隔的度数是在30分钟内分针超越时针的度数。

解 （6—0．5）×30=55×3=165（度)

答 时针在分针后面165度.

例4 钟面上6时到7时之间两针相隔90°时，是几时几分？

分析 从6时正作为起点，此时两针成180°。当分针在时针后面90°时或分针超越时针90°时,就是所求的时刻.

解 （180—90）÷（6-0．5)

＝90 ÷5．5

≈16。36（分钟)

（180＋ 90）÷(6— 0．5）

＝270÷5．5

≈49．09(分钟)

答 两针相隔90°时约为6时16．36分,或约为6时49．09分.

时钟问题（追及问题)的简便解法(2009-01—23 12:50:01）

标签：时钟 分针 时针 夹角 解法 分类:数学教育

题1：现 4:05，问，多少分钟以后两针第一次重合。

【方法一】

分针 每分钟走 1 小格，5 分钟走 5 格

时针 每小时走 5 小格，每分钟走 5/60 = 1/12 格,5 分钟走 5/12 格,

两针相距 20－5 + 5/12 = 185/12 格

设 x 分钟以后，两针相遇 分针又走了x 格,时针又走了 x/12 格,就有

x - 15 = 5/12 + x/12 或 (1 — 1/12)ｘ= 185/12

解得 X = 16又9/11（分)

【方法二】简便

设 4 点 x 分两针相遇

从 4 点开始，分针走了 ｘ 格，时针从 4（20格）开始，走了 ｘ/12 格

ｘ－ｘ／12 = 20 ｘ＝21又9/11 即是:4点21又9/11分两针重合。

减去已走过的5分钟，就是 16又9/11（分）.

答：16又9/11分钟以后,两针重合.

【扩展题——计算相遇时钟时间】

① 如果计算两针夹角90°，ｘ－ｘ/12=35 ｘ＝38。18

② 如果两针相背(夹角180°)，方程为ｘ－ｘ/12=５０ ｘ＝54.55

③ 如果两针都与垂直线夹角相等（八字眉）,ｘ＋ｘ/12=40 ｘ=36。92

＊ 这道题，还可以变换角度，30°、60°、120°、150°…… .

＊* 还可以取两个方向夹角.

＊＊* 还可以设成1点、2点、3点、5、6、7、8……点。

方程都是 ｘ＋(－）ｘ/12 = Ａ（5的倍数）的形式。