时钟问题公式

第16讲

时钟问题

时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题。钟面的一周分为60格。当分针走60格时，时针正好走5格，所以时针的速度是分针的5÷60=1/12，分针每走60÷（1－5/60）=65+5/11（分），与时针重合一次，时钟问题变化多端，也存在着不少学问。这里列出一个基本的公式：

在初始时刻需追赶的格数÷（1－1/12）=追及时间（分钟），

其中，1－1/12为每分钟分针比时针多走的格数。一分钟分针可以走6度，时针可以走0.5度。

常见的时钟问题：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型，此外还有快慢钟问题。

【例1】★有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?

【解析】在lO点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；当两针重合时，分针必须追上50个小刻度，设分针速度为“l”，有时针速度为“112”，于是需要时间：1650(1)541211．所以，再过65411分钟，时针与分针将第一次重合．第二次重合时显典型例题 知识梳理

然为12点整，所以再经过65(1210)6054651111分钟，时针与分针第二次重合．标准的时钟，每隔56511分钟，时针与分针重合一次． 我们来熟悉一下常见钟表(机械)的构成：一般时钟的表盘大刻度有12个，即为小时数；小刻度有60个，即为分钟数．所以时针一圈需要12小时，分针一圈需要60分钟(1小时)，时针的速度为分针速度的112．如果设分针的速度为单位“l”，那么时针的速度为“112”．

【小试牛刀】钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？

【解析】此题属于追及问题，追及路程是20格，速度差是11111212，所以追及时间是：11920211211（分）。

时钟追及问题全部公式

1. 基本公式

- 分针速度：分针60分钟转一圈，一圈为360^∘，所以分针每分钟走360÷60

= 6^∘。

- 时针速度：时针12小时转一圈，12×60 = 720分钟转360^∘，所以时针每分钟走360÷720 = 0.5^∘。

- 两针速度差：6 - 0.5=5.5^∘

2. 时钟追及问题的通用公式

- 追及时间=路程差÷速度差。在时钟问题中，路程差通常是两针之间的角度差。

3. 题目解析

- 例1：3点多少分时，时针与分针重合？

- 分析：3点时，时针与分针的角度差为90^∘（因为时针指向3，分针指向12，每一大格为30^∘，3点时分针和时针间隔3大格）。

- 设x分钟后时针与分针重合，根据追及时间=路程差÷速度差，这里路程差为90^∘，速度差为5.5^∘每分钟。

- 则x=(90)/(5.5)=(180)/(11)≈16.36分钟，所以3点(180)/(11)分时针与分针重合。

- 例2：2点多少分时，时针与分针成100^∘角？

- 分析：2点时，时针与分针的角度差为60^∘。有两种情况，一种是分针还没有追上时针且与时针成100^∘角，此时路程差为100 - 60 = 40^∘；另一种是分针超过时针后与时针成100^∘角，此时路程差为60+100 = 160^∘。 - 当路程差为40^∘时，设x分钟后时针与分针成100^∘角（第一种情况），根据追及时间=路程差÷速度差，x=(40)/(5.5)=(80)/(11)≈7.27分钟。

- 当路程差为160^∘时，设y分钟后时针与分针成100^∘角（第二种情况），y=(160)/(5.5)=(320)/(11)≈29.09分钟。

- 1 - 时钟问题

◇专 题 知 识 简 述◇

时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题。

研究时钟的长针（分针）与短针（时针）成直线、成直角与重合的问题，叫做时钟问题。 钟表的分针每小时走60个小格，而时针每小时只走5个小格；分针每分钟走1个小格，而时针每分钟只走605个小格，即121个小格。每分钟分针比时针多走1211个小格。时钟问题的每一个公式都与1211有关，1211个小格是两针在1分钟内所走的路程差。根据两针不同的间隔要求，用除法就可以求出题中所要求的时间。

解题规律：

（1）求两针成直线所需要的时间，有：两针成直线所需要的分钟数=（原来两针间隔的格数±30）÷（1-121）

（2）求两针成直角所需要的时间，有：两针成直角所需要的分钟数=（原来两针间隔的格数±15）÷（1-121），两针成直角所需要的分钟数=（原来两针间隔的格数±45）÷（1-121）

（3）求两针重合所需要的时间，有：两针重合所需要的时间=原来两针间隔的格数刻，就得出两÷（1-121）求出所需要的时间后，再加上原来的时针形成各种不同位置的时刻。

◇例 题 解 析◇

（一）求两针成直线所需要的时间

例1 在7点钟到8点钟之间，分针与时针什么时候成直线？

解：在7点钟的时候，分针在时针后面：5×7=35（格），当分针与时针成直线时，两针的间隔是30格。

- 2 - 因此，只需要分针追上时针：35-30=5（格）。

七年级数学时钟问题公式

一、时钟问题的基础认知。

咱先得知道，时钟一圈是360°。时钟上有12个大格，那每个大格的角度就是360°÷12 = 30°。比如说，时针从12点走到1点，就走了一个大格，也就是转了30°。

分针，60分钟转一圈，也就是360°，所以分针每分钟转的角度是360°÷60 =

6°。举个例子，分针走10分钟，那它转的角度就是6°×10 = 60°。

时针60分钟走一个大格，也就是30°，所以时针每分钟转的角度是30°÷60 =

0.5°。比如说，时针走了30分钟，它转的角度就是0.5°×30 = 15°。

二、计算时针与分针夹角的公式。

计算时针与分针的夹角有个公式：

夹角 = |时针走过的角度 分针走过的角度|。

假设现在是m点n分。

时针走过的角度 = m×30° + n×0.5° 。这里m×30°是时针从12点开始，走到m点时走过的角度，n×0.5°是m点后又过了n分钟时针走过的角度。

分针走过的角度 = n×6° 。

那夹角就等于 |m×30° + n×0.5° n×6°| ，化简一下就是 |m×30° n×5.5°| 。

三、案例分析。

例1：求3点20分的时候，时针与分针的夹角。

这里m = 3，n = 20。 根据公式，夹角 = |3×30° 20×5.5°| = |90° 110°| = 20°。

例2：求8点30分的时候，时针与分针的夹角。

m = 8，n = 30。

夹角 = |8×30° 30×5.5°| = |240° 165°| = 75°。

四、总结。

通过上面的讲解和例子，咱对七年级数学时钟问题的公式应该有了比较清楚的了解。记住这个公式，再遇到类似的问题，就可以轻松解决咯。多做几个练习，熟练掌握，以后这种题就不在话下。