高三数学解析式试题答案及解析

高三数学解析式试题答案及解析

1. 若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝( )

A．x－1 B．x＋1 C．2x＋1 D．3x＋3

【答案】B

【解析】∵2f(x)－f(－x)＝3x＋1，①

将①中x换为－x，则有

2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，②

①×2＋②得3f(x)＝3x＋3，

∴f(x)＝x＋1.

2. 某通讯公司需要在三角形地带区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域内，乙中转站建在区域内．分界线固定，且=百米，边界线始终过点，边界线满足．

设()百米，百米.

(1)试将表示成的函数，并求出函数的解析式；

(2)当取何值时？整个中转站的占地面积最小，并求出其面积的最小值．

【答案】（1）；（2）：当米时，整个中转站的占地面积最小，最小面积是平方米.

【解析】（1）要求函数关系式，实际上是建立起之间的等量关系，分析图形及已知条件，我们可借助于三角形有面积，，从这个等式中，解出，即得要求的函数式；（2）有了（1）中的关系式，就可表示为一个字母的式子，它是一个分式函数，由于分母是一次，而分子是二次的，故可这样变形，正好这个表达式可以用基本不等式来求得最小值.

试题解析：(1)结合图形可知，．

于是，，

解得．

(2)由(1)知，，

因此，

(当且仅当，即时，等号成立)．

答：当米时，整个中转站的占地面积最小，最小面积是平方米.12分

【考点】求函数解析式，三角形的面积公式，分式函数的最值与基本不等式.

3. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)的值．

【答案】（1）见解析（2）f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．（3）1

【解析】(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，

所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

所以f(x)是周期为4的周期函数．

(2)解：因为x∈[2，4]，

所以－x∈[－4，－2]，4－x∈[0，2]，

所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.

又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．

(3)解：因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，

又f(x)是周期为4的周期函数，

所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝0，

所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.

4. 若奇函数f(x)在(0，＋∞)上的解析式是f(x)＝x(1－x)，则在(－∞，0)上，f(x)的解析式是( )．

A．f(x)＝－x(1－x) B．f(x)＝x(1＋x)

C．f(x)＝－x(1＋x) D．f(x)＝x(1－x)

【答案】B

【解析】当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∴f(－x)＝(－x)(1＋x)，

又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1＋x)．

5. 若定义在R上的函数满足，且当时，，函数，则函数在区间内的零点个数为（ ）

A．9 B．7 C．5 D．4

【答案】C

【解析】∵，∴，当时，，，

∴，∴，通过画图找两个图像的交点个数，即零点个数.

【考点】1.求函数解析式；2.分段函数图像.

6. 已知函数，则等于 （ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，故选A.

【考点】1.分段函数；2.诱导公式

7. 已知函数 ，则满足方程的所有的的值为

； 【答案】0或3

【解析】试题分析

若，则或

，解得a=3或a="0."

【考点】1.分段函数；2.对数方程和指数方程.

8. 已知函数，则

【答案】10

【解析】取．

【考点】分段函数

9. 已知a，b为常数，若等于 .

【答案】2

【解析】根据题意，由于 ，根据对应相等可知 ，故可知5a-b=2.答案为2.

【考点】函数的解析式

点评：解决的关键是根据已知的解析式，代入变量求解得到，属于基础题。

10. 已知以为周期的函数，其中。若方程

恰有5个实数解，则的取值范围为

【答案】

【解析】据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f（x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y= 与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围。解：∵当x∈（-1，1]时，将函数化为方程（y≥0），∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线 y=与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将y=代入中得到，，（9m2+1）x2-72m2x+135m2=0，令t=9m2（t＞0），则（t+1）x2-8tx+15t=0，由△=（8t）2-4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m2＞15，且m＞0得 m ＞，同样由y=代入由△＜0可计算得 m＜ ，故可知m的范围

【考点】函数与方程

点评：解决的关键是利用函数的周期性以及方程的解的运用，属于中档题。

11. （本题满分12分）

已知函数，且方程有两个实根.

（1）求函数的解析式；

（2）设，解关于的不等式

【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，不等式为，解集为；当时，解集为.

【解析】（1）将分别代入方程，得

解得， -------2分 所以 --------4分

（2）不等式即为，可化为

即 --------6分

当时，解集为； -------- 8分

当时，不等式为，解集为； ----- 10分

当时，解集为. ----------12分

【考点】分式不等式的解法；一元二次不等式的解法；二次函数的性质。

点评：解含参二次不等式的主要思想是分类讨论：一般的讨论开口方向、两根的大小和判别式。在分类讨论时要注意不重不漏。

12. 对于函数(其中)，选取的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能的是 （ ）

A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2

【答案】D

【解析】根据已知条件可知，函数，那么可知

因此可知f(x)+f(-x)=2c，则说明了互为相反数变量的函数值和为偶数，因此可知不满足题意的只有选项D.

【考点】本试题考查了函数的解析式的运用。

点评：解决该试题的关键是根据已知的1，-1的函数值，想到了函数的奇偶性，然后利用奇偶性的性质相加得到和的结果为偶数，作为解题的突破口得到。属于中档题，考查了分析问题和解决问题的能力。

13. 定义在上的函数满足，则的值为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为根据解析式可知，将变量代入解析式中，可知，f(3)=" f(2)-" f(1)=" f(1)-" f(0)- f(0)+

f(-1)=f(0)=-2,选B. 14. （本小题满分12分）函数（）的最大值为1，对任意，有。

(1)求函数的解析式；

(2)若，其中，求的值。

【答案】（1）；（2）。

【解析】本试题主要是考查了三角函数的性质和三角方程的求解的综合运用

（1）因为（）的最大值为1，对任

意，有，得到

（2）其中，∴，代入函数关系式中得到结论。

解：（1）由题意知，则…………………6分

（2）∵其中，∴

则。

15. 定义在R上的函数，对任意的，有

，且.

（1） 求证：； （2）求证：是偶函数.

【答案】（1）证明略

（2）证明略

【解析】(1)根据x,y取值的任意性，可令x=y=0可得2f(0)=2f2(0),又因为,从而得.

(2)令x=0可得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),所以f(-y)=f(y),从而可证出f(x)为偶函数

16. 已知的定义域为，且恒有等式对任意的实

数成立．

（Ⅰ）试求的解析式；

（Ⅱ）讨论在上的单调性，并用单调性定义予以证明．

【答案】（Ⅰ）f(x)=[2^(-x)-2^(x+1)]/3

（Ⅱ）函数在R上为减函数，证明见解析。

【解析】本试题主要是考查了求解函数的解析式，以及函数单调性的证明。

（1）的定义域为，且恒有等式对任意的实数成立．，那么可以得到方程组，消元法得到结论。

（2）设出变量，运用定义法证明单调性。

解：

1、2f(x)+f(-x)+2^x=0 …………1

2f(-x)+f(x)+2^(-x)=0 …………2

1式X2－2式得：

3f(x)+2^(x+1)-2^(-x)=0

即：f(x)=[2^(-x)-2^(x+1)]/3

2、设x1

f(x1)-f(x2) =[2^(-x1)-2^(x1+1)]/3-[2^(-x2)-2^(x2+1)]/3