数学中的对称性及其应用

CourseEducationResearch课程教育研究2022年第5期理论窑探索

数学当中的对称现象较多袁无论是图形还是公式当中都具有一定的对称性遥利用对称性解决数学问题可以丰富解题思路尧减轻解题工作量袁为此本文将对数学中的对称性及其应用进行简要分析遥1.对称概述对称指的是某种意义下的平衡尧对等[1]遥从某种角度来看袁对称象征着协调尧和谐遥日常生活中的对称现象有很多袁如太阳尧埃菲尔铁塔等袁具有较强的美感遥数学本身就是研究客观世界中空间形式与数量关系的学科袁而客观世界中有大量的对称现象袁所以对称性也是数学研究的重点遥在古希腊时期袁人们就开始研究数学中的对称性遥例如袁泰勒斯应用比例原理检测了金字塔的高度遥欧几里得所著的叶原本曳描述了大量的对称性命题袁而赫尔曼窑外尔在叶对称曳一书当中描述了多种对称形式袁如旋转对称性尧双侧对称性尧结晶对称性等遥我国对数学中的对称性也有深入研究袁例如叶九章算术曳中的野盈不足术冶就分析了平面图形与立体图形的对称性遥2.对称性在初等数学中的表现形式与应用从义务教育到高等教育袁数学一直是重点学科遥而对称性在数学中也占据着重要地位袁例如对称性在初等数学中发挥着重要作用遥对称性与初等数学息息相关袁无论是平面几何还是立体几何当中都包含大量的对称性内容袁且代数知识当中也展现出了大量的对称性遥2.1对称性在初等数学中的表现形式对称性在初等数学中的表现主要体现在平面几何尧立体几何以及公式尧定理等方面遥渊1冤对称性在平面几何中的表现形式遥从平面几何来看袁轴对称图形尧中心对称图形以及平移对称图形当中都蕴含了对称性知识遥第一袁轴对称图形遥轴对称图形指的是若沿着平面上的一条直线对一个平面图形进行折叠袁且图形在直线两边的部分能够完全重合袁这一平面图形就属于轴对称图形袁而平面上的这条直线就属于对称轴遥从轴对称的定义来看袁对称轴可以将图形分为相等的两部分袁且在镜面反射过程中也不会出现变化遥常见的轴对称图形有等腰三角形尧等边三角形以及正方形等渊如图1所示冤遥第二袁中心对称图形遥初等数学中对中心对称图形的表述为野若将一个平面图形绕着平面上某一个点旋转180毅后袁旋转后的图形能与之前的图形完全重合袁这一图形就属于中心对称图形袁这一点属于对称中心冶[2]遥常见的中心对称图形有椭圆形尧抛物线以及双曲线等遥而中心对称图形与轴对称图形也有一定的关系袁例如中心对称图形具有一个对称中心点袁而轴对称图形具有一条对称轴曰验证中心对称图形需要将图形围绕对称中心旋转180毅袁而验证轴对称图形需要将图形按照对称轴反转180毅曰在旋转之后袁中心对称图形的旋转图形会与原图形重合袁而轴对称图形的旋转图形会与另一图形重叠遥从这些方面来看袁轴对称图形不一定是中心对称图形袁如等腰三角形等只属于轴对称图形袁不属于中心对称图形遥而中心对称图形也不一定是轴对称图形袁如平行四边形属于中心对称图形袁但不属于轴对称图形遥也有很多图形同属于轴对称图形和中心对称图形袁如椭圆尧正方形等遥第三袁平移对称图形遥平移对称图形指的是如果按照一个方向将一个平面图形平移一段距离袁且平移后的图形能与原图形重合袁该图形就属于平移对称图形遥例如袁正弦函数数学中的对称性及其应用周传楷渊中国地质大学湖北武汉430000冤揖摘要铱在生活当中袁对称性可以增强事物的美感遥在数学当中袁对称性可以增强数学的和谐美袁也可以降低数学的解题难度遥无论是初等数学还是高等数学当中都包含了很多对称性的内容袁例如对称性在初等数学中的平面几何尧立体几何等知识当中均有体现袁在高等数学中的二重积分尧三重积分等知识中也有一定的应用遥因此袁对称性是数学中的关键内容袁需要综合分析对称性在数学中的表现形式与具体应用遥揖关键词铱数学对称性解题揖中图分类号铱G64揖文献标识码铱A揖文章编号铱2095-3089渊2022冤05-0181-03

181窑窑课程教育研究CourseEducationResearch2022年第5期理论窑探索的图像就属于平移对称图形遥等腰三角形等边三角形正方形图1常见的轴对称图形渊2冤对称性在立体几何中的表现形式遥第一袁面对称图形遥在给定平面的反射情况下袁若立体图形能够变为原图形袁则该立体图形属于面对称图形遥常见的面对称图形有正方体尧正四面体等袁其中正方体的对称面有九个袁而正四面体有六个对称面遥同时袁球体尧圆锥也属于面对称图形袁且都具有无数个对称面遥从某种角度来看袁面对称图形与轴对称图形十分相似袁所以可以将轴对称图形看作是特殊的面对称图形[3]遥但是袁面对称图形的对称性更加复杂袁需要深入研究遥第二袁旋转对称图形遥如果将一个立体图形绕着某一条定直线旋转任意角度袁且旋转后的图形能与原图形重合袁该图形就属于旋转对称图形遥例如袁正四面体旋转120毅或240毅都能与原图形重合遥渊3冤对称性在公式与定理中的表现形式遥第一袁公式遥公式对称性指的是公式当中的运算符号具有可交换性袁即使互换公式中的符号也不会影响公式作用的发挥遥相比于几何图形的对称性袁公式的对称性不太明显袁但是可以丰富公式的内涵遥例如袁s=p渊p-a冤渊p-b冤渊p-c冤姨属于海伦公式袁具有计算三角形面积的作用[4]遥在这一公式当中袁a尧b尧c代表的是三角形三边的周长袁p指的是三角形周长的二分之一遥任意更换a尧b尧c都不会改变公式的意义遥且这一公式的对称性属于对称轮换袁受到了乘法结合律以及乘法交换律等因素的影响遥第二袁定理遥大量的概念与定理当中也具有对称性的特点袁如乘法与除法尧加法与减法尧函数与反函数等遥2.2对称性在初等数学中的应用利用对称性可有效解决各类数学问题遥第一袁可以利用对称性预测问题的结果遥部分数学题目较难袁应用对称性可以预测问题的答案袁之后再逐步验证答案正确与否遥例如袁已知a袁b袁c沂R+袁且a+b+c=1袁求解f渊a袁b袁c冤=4a+1姨+4b+1姨+4c+1姨的最大值遥这一题目的难度相对较大袁因此在解题时需要先分析数量关系袁可以发现这一题目与轮换公式多项式的定义相同袁便可以先预测a=b=c=13时袁函数的值最大遥之后袁就可以计算整个函数的最大值遥第二袁可以利用对称性激发解题灵感遥很多数学题目当中都应用了对称性知识袁如不等式等遥在解题时就可以先考虑对称性问题袁之后再明确解题方法遥第三袁利用对称性进行题目的转化遥部分数学题目当中蕴含了对称性知识袁但是很难看出来袁就需要分析其中的对称性袁并将复杂题目转变为简单题目遥第四袁利用对称性进行正确选择遥很多数学题目的解题方法都不止一种袁但是为了提高解题效率需要选择最简便的解题方法遥而利用对称性就可以分析题目的简单解题方法袁从而提高解题质量遥3.对称性在高等数学中的表现形式与应用对称性在高等数学中也占据着重要地位袁需要充分了解对称性在高等数学中的表现形式与具体应用遥3.1对称性在高等数学中的表现形式微积分主要是由微分学与积分学共同构成的袁其中微分学包括极限理论尧微分尧导数等内容袁而积分学包括定积分与不定积分等内容遥极限理论指的是若一个函数或数列无限接近于一个常数袁这个常数就是这个函数或数列的极限曰微分指的是对函数局部变化率的线性描述袁可以描述当函数自变量的取值发生十分微小的变化时袁函数的值发生的变化曰导数即当自变量的增量无限接近于零时袁因变量的增量与自变量的增量之商的极限[5]遥而对称性在微积分中发挥着重要作用袁需要综合分析其作用遥第一袁需要综合分析微分学中的对称性遥微分学当中包括对称函数这一概念袁即f渊x1袁x2袁xn噎冤是n元对称函数袁若其任意两个变元对换时函数不变袁就属于对称函数遥例如袁z=x+y-x2+y2姨袁u=ln渊xxyyzz冤就属于对称函数遥而对称函数对任意一个变元所得到的结果都可以经过变元的对换直接转移到其他变元遥第二袁需综合分析定积分中的对称性遥定积分的对称性主要体现在周期性与奇偶性这两方面遥可以利用对称性解决相应的问题遥例如袁从几何角度来看袁0-a乙f渊x冤dx这一定积分就是求解曲线y=f渊x冤与直线x=-a袁x=0与y=0所围成的曲边梯形的面积遥如果利用变量t代替-x袁则0-a乙f渊x冤dx=a0乙f渊-x冤dx袁a-a乙f渊x冤dx=a0乙

[f渊x冤182窑窑CourseEducationResearch课程教育研究2022年第5期理论窑探索+f渊-x冤]dx[6]遥从这一角度来看袁如果f渊x冤属于奇函数袁就可以将上述式子转变为x轴上下具有两个相同面积的曲边梯形袁但其中一个曲边梯形为正的袁一个曲边梯形为负的袁两者相加为零遥如果f渊x冤属于偶函数袁则a-a乙f渊x冤dx=2a0乙f渊x冤dx=20-a乙f渊x冤dx袁且可以将这一式子理解为y轴左右具有两个面积相同且符号一致的曲边梯性遥所以袁如果f渊x冤在[-a,a]上连续袁则当f渊x冤为偶函数时袁a-a乙f渊x冤dx=2a0乙f渊x冤dx曰当f渊x冤为奇函数时袁a-a乙f渊x冤dx=0曰当f渊x冤为一般函数时袁a-a乙f渊x冤dx=a0乙[f渊-x冤+f渊x冤]遥第三袁需综合分析重积分中的对称性遥重积分的对称性主要体现在二重积分与三重积分当中遥二重积分代表的是二元函数在空间上的积分袁与定积分较为类似袁属于某种特定形式的和的极限遥从本质上看袁二重积分主要用于求解圆顶柱体的体积遥若被积函数>0袁则二重积分是柱体的体积遥若被积函数<0袁则二重积分是柱体体积的负值遥从几何角度来看袁二重积分代表着不同部分柱体体积的代数和袁一般情况下在直角坐标系的平面上方取正数袁在平面下方取负数遥从数值角度来看袁二重积分不属于函数袁只是一个数值袁所以如果一个连续函数当中含有二重积分袁就可以通过对函数进行二次积分的方式求解二重积分这一数值遥二重积分的对称性体现在多个方面遥若D关于y轴对称袁且f渊x袁y冤关于变量x属于奇函数时袁I=0袁若f渊x袁y冤关于变量x属于偶函数时袁I=2蓦f渊x袁y冤d灼遥如果D关于x轴对称袁也可以得到相似的结论遥如果D不仅关于x轴对称袁也关于y轴对称袁且f渊-x袁y冤以f渊x袁y冤以f渊x袁-y冤袁则I=4蓦f渊x袁y冤dxdy[7]遥其次袁二重积分也具有轮换对称性遥若积分定域D关于直线y=x轴对称袁则D蓦f渊x袁y冤d灼=D蓦f渊y袁x冤d灼遥3.2对称性在高等数学中的应用对称性在高等数学中的应用范围十分广泛遥例如袁对偶是常见的对称性表现形式遥从本质上看袁对偶属于极性互反关系袁主要包括序对偶尧逻辑对偶以及射影空间对偶等类型遥其中袁序对偶指的是二元关系中的≧袁≦曰逻辑对偶指的是存在与不存在之间的关系袁某个与任意之间的关系曰射影空间对偶指的是射影平面上的点与直线遥射影定理指的是在直角三角形当中袁斜边上的高是两个直角边在斜边上射影的比例中项袁每一条直角边都是这条直角边在斜边上的射影以及斜边的比例中项遥而对偶原理在射影空间中占据着重要地位袁可以利用对偶原理分析射影定理问题袁判断命题的真假性遥例如袁若a尧b尧c尧d属于四个不同的平面袁且a袁b这两个平面的交线和c袁d这两个平面的交线共面遥判断袁a尧b尧c尧d四个平面共点袁且a袁c这两个平面的交线与b袁d这两个平面的交线也共面这一命题的真假遥这一问题的难度相对较大袁可以利用对偶原理解决问题袁从而证明命题的真假遥4.结语根据难度可以将数学分为初等数学与高等数学袁而对称性这一概念贯穿数学本身袁在初等数学与高等数学中发挥着重要作用遥在初等数学中袁可以利用对称性解决平面几何与立体几何等问题遥在高等数学中袁可以利用对称性解决二重积分等问题遥需高度重视对称性在数学中的应用袁并通过有效措施充分发挥对称性的作用遥参考文献院[1]李红玲.对不需要极限及无穷小概念的微积分新理论的研究[J].佛山科学技术学院学报(自然科学版),2021,39(5):43-47.[2]宋英平.基于专业应用下的高职数学课程微积分案例研究[J].中国多媒体与网络教学学报(中旬刊),2021(10):152-154+117.[3]荆素风.高等数学微积分教学中数学思想方法渗透策略[J].山西财政税务专科学校学报,2021,23(6):69-71.[4]尹松庭.对称性在积分计算中的运用[J].乐山师范学院学报,2021,36(12):1-4.[5]姚青.生活数学新教材中数学模型思想的渗透要要要以人教版叶生活数学曳二年级野得数是3的加法渊合一合冤冶教学为例[J].现代特殊教育,2021(23):51-53.[6]刘红梅.二重积分计算巧用对称性简化求解[J].普洱学院学报,2018,34(6):45-47.[7]王湘萍.浅谈对称性和奇偶性在积分学中的应用[J].数学学习与研究,2019(22):127-128.183窑窑