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第15讲加法原理与乘法原理内容概述理解加法原理和乘法原理，体会分类计数与分步计数的区别；能够根据题目条件，对问题进行合理的分类与分步；学习用标数法解决各类路径问题．1．阿奇去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个．他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择?2．阿奇进人一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20种．他打算主食和热菜各买1种，一共有多少种不同的买法?3．老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，冬冬共有多少种不同的写法?4．传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现．邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序．请问：运气不好的沙鲁最坏要试几次才能遇见神龙?5．用红、黄、蓝三种颜色给图15-1的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?6．在图15—2中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”．那么一共有多少种不同的读法？7．运动会中有四个跑步比赛项目，分别为50米、100米、200米、400米，规定每个参赛者只能参加其中的一项．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问：(1)如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法?(2)如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法?8．冬冬的书包里有5本不同的语文书、6本不同的数学书、3本不同的英语书．请问：(1)如果从中任取1本书，共有多少种不同的取法?(2)如果从中取出语文书、数学书、英语书各1本，共有多少种不同的取法?9．如图15-3，甲、乙两地之间有4条路，乙、丙两地之间有2条路，甲、丙两地之间有3条路，那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线?10．图15-4中有一个从A到B的公路网络，一辆汽车从A行驶到B，可以选择的最短路线一共有多少条?拓展篇1．阿奇一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．他们乘坐这些交通工具，一共可以有多少种不同的选择?2．“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色．现有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同颜色搭配的“IMO”?3．书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书各不相同．请问：(1)如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法?(2)如果从每一层中各取l本，共有多少种不同的取法?(3)如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法?4．如图15-5，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路．如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线?5．如图15-6，四张卡片上写有数字2、4、7、8．从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数．请问：一共可以组成多少个不同的三位数?其中有多少个不同的三位奇数?6．奥运场馆实行垃圾分类处理．每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造，如图15-7. 现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一，要求相邻两个垃圾筒颜色不同，且回收废纸的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？7．如图15-8，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法?8．如图15-9，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色．请问：(1)如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法?(2)如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法?9．甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车．会驾驶汽车A的只有甲和乙，汽车E必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶，则一共有多少种不同的安排方案?10．如图15-10，4枚相同的棋子放人4×4的方格内，每个方格只能放1枚，且要求每行每列最多只能放1枚，一共有多少种不同的放法?11．图15-11是一个阶梯形方格表，在方格中放入5枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有1枚棋子，这样的放法共有多少种?12．如图15-12和图15-13，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走，请问：(1)按图15-12所示，从A点走到B点的不同路线有多少条?(2)按图15-13所示，从A点走到B点的不同路线有多少条?超越篇1．爸爸、妈妈带阿奇去吃西餐．餐厅里有米饭和面条2种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排3种主菜，奶油蘑菇汤1种汤，以及蛋糕和布丁2种甜点．如果阿奇想要点1种主食1种主菜，汤和甜点可点可不点，而且种类不限．请问：阿奇一共有多少种点菜方法?2．如图15-14，在一个3×4的方格表内放人4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法?如果放人4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法?3．如图15-15，将图中的八个部分用红、黄、绿、蓝这4种不同的颜色染色，而且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法?4．用4种不同的颜色给图15-16中的圆圈染色，有线段相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?5．一只甲虫沿着图15-17中的方格线从A爬到曰，每次只能向右爬一格或向上爬一格．图中画着黑点的地方不能通过．请问：这只甲虫可以选择多少条不同的路线?6．王老师家装修新房，需要2个木匠和2个电工．现有木匠3人、电工3人，另有1人既能做木匠也能做电工．要从这7人中挑选出4人完成这项工作，共有多少种不同的选法? 7．如图15-18所示，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，不能重复经过任何点．试问：这只甲虫有多少种不同的走法?8．如图15-19所示，国际象棋中的棋子“皇后”从左下角走到右上角，每步只能向右、向上或者向右上移动任意多格，一共有多少种不同的走法?第15讲加法原理与乘法原理内容概述理解加法原理和乘法原理，体会分类计数与分步计数的区别；能够根据题目条件，对问题进行合理的分类与分步；学习用标数法解决各类路径问题．1．阿奇去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个．他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择?【分析】9+3+2=142．阿奇进人一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20种．他打算主食和热菜各买1种，一共有多少种不同的买法?【分析】3×20=603．老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，冬冬共有多少种不同的写法?【分析】9×10×10=9004．传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现．邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序．请问：运气不好的沙鲁最坏要试几次才能遇见神龙?【分析】7×6×5×4×3×2×1=50405．用红、黄、蓝三种颜色给图15-1的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?【分析】3×2×1=66．在图15—2中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”．那么一共有多少种不同的读法？【分析】2×2×2×2=167．运动会中有四个跑步比赛项目，分别为50米、100米、200米、400米，规定每个参赛者只能参加其中的一项．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问：(1)如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法?(2)如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法?【分析】（1）4×4×4×4=256（2）4×3×2×1=248．冬冬的书包里有5本不同的语文书、6本不同的数学书、3本不同的英语书．请问：(1)如果从中任取1本书，共有多少种不同的取法?(2)如果从中取出语文书、数学书、英语书各1本，共有多少种不同的取法?【分析】（1）5+6+3=14（2）5×6×3=909．如图15-3，甲、乙两地之间有4条路，乙、丙两地之间有2条路，甲、丙两地之间有3条路，那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线?【分析】4×2+3=1110．图15-4中有一个从A到B的公路网络，一辆汽车从A行驶到B，可以选择的最短路线一共有多少条?【分析】56拓展篇1．阿奇一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．他们乘坐这些交通工具，一共可以有多少种不同的选择?【分析】4+3+2=92．“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色．现有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同颜色搭配的“IMO”?【分析】5×4×3=603．书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书各不相同．请问：(1)如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法?(2)如果从每一层中各取l本，共有多少种不同的取法?(3)如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法?【分析】（1）15+10+5=30（2）15×10×5=750（3）15×10+10×5+15×5=2754．如图15-5，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路．如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线?【分析】3×3+2×4=175．如图15-6，四张卡片上写有数字2、4、7、8．从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数．请问：一共可以组成多少个不同的三位数?其中有多少个不同的三位奇数?【分析】（1）4×3×2=24（2）3×2=66．奥运场馆实行垃圾分类处理．每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造，如图15-7. 现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一，要求相邻两个垃圾筒颜色不同，且回收废纸的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？【分析】2×2×2×2×2=327．如图15-8，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法?【分析】4×3×2×2×2=968．如图15-9，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色．请问：(1)如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法?(2)如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法?【分析】（1）92=512（2）72=1289．甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车．会驾驶汽车A的只有甲和乙，汽车E必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶，则一共有多少种不同的安排方案?【分析】2×2×3×2×1=2410．如图15-10，4枚相同的棋子放人4×4的方格内，每个方格只能放1枚，且要求每行每列最多只能放1枚，一共有多少种不同的放法?【分析】4×3×2×1=2411．图15-11是一个阶梯形方格表，在方格中放入5枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有1枚棋子，这样的放法共有多少种?【分析】2×2×2×2×1=1612．如图15-12和图15-13，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走，请问：(1)按图15-12所示，从A点走到B点的不同路线有多少条?(2)按图15-13所示，从A点走到B点的不同路线有多少条?【分析】（1）5种（2）108超越篇1．爸爸、妈妈带阿奇去吃西餐．餐厅里有米饭和面条2种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排3种主菜，奶油蘑菇汤1种汤，以及蛋糕和布丁2种甜点．如果阿奇想要点1种主食1种主菜，汤和甜点可点可不点，而且种类不限．请问：阿奇一共有多少种点菜方法?【分析】2×3×(1+1+2+1+2+1)=482．如图15-14，在一个3×4的方格表内放人4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法?如果放人4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法?【分析】（1）3×3×3×3=81（2）3×3×3×3×4×3×2×1=19443．如图15-15，将图中的八个部分用红、黄、绿、蓝这4种不同的颜色染色，而且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法?【分析】4×3×2×2×2×2×2×2=7684．用4种不同的颜色给图15-16中的圆圈染色，有线段相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?【分析】4×3×2×1+4×3×2+4×3×2+4×3=845．一只甲虫沿着图15-17中的方格线从A爬到曰，每次只能向右爬一格或向上爬一格．图中画着黑点的地方不能通过．请问：这只甲虫可以选择多少条不同的路线?【分析】66种6．王老师家装修新房，需要2个木匠和2个电工．现有木匠3人、电工3人，另有1人既能做木匠也能做电工．要从这7人中挑选出4人完成这项工作，共有多少种不同的选法?【分析】3×3+3×3+3×3=277．如图15-18所示，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，不能重复经过任何点．试问：这只甲虫有多少种不同的走法?【分析】树形图法：（略）分类枚举法：从A走3段到B，从A走4段到B从A走5段到B，从A走6段到B，从A走7段到B，共69种8．如图15-19所示，国际象棋中的棋子“皇后”从左下角走到右上角，每步只能向右、向上或者向右上移动任意多格，一共有多少种不同的走法?【分析】188。
数学小学奥数系列7-3加乘原理综合应用（二）姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、 (共41题；共185分)1. （5分）某人忘记了自己的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9．为确保打开保险柜至少要试多少次？2. （5分）在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少种？3. （5分）邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？4. （5分）某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？5. （5分）请用你所学的“解决问题的策略”，解决下面的问题．数学信息（图1）问题（图2）6. （5分）如下图，八面体有12条棱，6个顶点．一只蚂蚁从顶点出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个顶点一次．问共有多少种不同的走法？7. （5分）请问由A点到G点有多少条不同的路线？（路线或点不可重复．）8. （5分）（1）由数字1、2可以组成多少个两位数？（2）由数字1、2可以组成多少个没有重复数字的两位数？9. （5分）图中有10个编好号码的房间，你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码走到小号码，从1号房间走到10号房间共有多少种不同的走法？10. （5分）某次大连与庄河路线的火车，一共有6个停车点，铁路局要为这条路线准备多少种不同的车票？11. （1分）有一些四位数，它们由4个互不相同且不为零的数字组成，并且这4个数字和等于12.将所有这样的四位数从小到大依次排列，第35个为________．12. （1分）张老师有50分和80分的邮票各两枚．他用这些邮票能付________ 种邮资（寄信时需要付的钱数）．13. （1分）李欢国庆节到北京旅游，她带了白色和黄色2件上衣，蓝色、黑色和红色3条裤子，她任意拿一件上衣和一条裤子穿上，共有________种可能。
第7讲加法原理与乘法原理知识网络排列与组合问题是围绕计数问题展开的一类问题。
解决此类问题，一般要用到两个常用的原理，即加法原理和乘法原理。
要完成一个任务，如果能分成r类彼此独立的不同方式，第一类方式有种不同的方法可以完成任务，第二类方式有种不同的方法可以完成任务，……，第r方式有种不同的方法完成任务。
那么完成这个任务就有种不同的方法，这种分类计数的方法就称为加法原理。
如果完成某项任务要分r个不同的步骤，第一步有种不同的方法完成任务，第二步有种不同的方法完成任务，……，第r步有种不同的方法完成任务。
那么完成这个任务就有种不同的方法，这种步骤完成任务的计数方法称为乘法原理。
重点·难点加法原理、乘法原理以及上一讲的容斥原理是解决计数问题的三个基本原理。
应用加法原理和乘法原理，关键是弄清两者之间的本质区别：如果属于分类考虑，则应用加法原理解题，如果属于分步考虑，则应用乘法原理解题。
如何根据题意分清究竟是分类还是分步，是本讲的难点。
学法指导在应用这两个原理解计数问题时必须紧紧抓住“分类还是分步”来区分两种原理。
除此以外，解决问题常用的方法还有枚举法、对应法、归纳法等，应根据具体问题灵活采用适当的方法。
经典例题[例1]如图1所示，在10×10个边长为1的小正方形拼成的棋盘中，求由若干个小方块能拼成的所有正方形的数目。
思路剖析由小方块所拼成的正方形边长可以取1，2，…，10。
这样有十类不同的方式拼出正方形。
下面再计算出每类方式有多少种方法拼出正方形。
边长为1的正方形显然有10×10个；边长为2的正方形，横边有9种选择：AC，BD，CE，DF，…，IK。
类似的，纵边也有9种选择，横边和纵边都选定后正方形就确定了。
因此经过两个独立步骤就可以完成拼正方形的任务，由乘法原理可知拼出边长为2的小正方形有9×9个。
边长为其他数时可以类似推出。
解答由乘法原理可得：边长为1的小正方形有10×10个；边长为2的小正方形有9×9个；边长为3的小正方形有8×8个；……边长为9的小正方形有2×2个；边长为10的小正方形有1×1个。
1、如图，地图上有A, B, C, D,E五个国家，现用五种颜色给地图染色。
（1）假如每种颜色只能用一次，有多少种不同染色方法?（2）要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法?2、书架上有3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书。
如果任选两本，那么共有多少种不同的选择？3、有0,1,2,3,4共五个数字。
（1）可以组成多少个小于1000的自然数？（2）可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？4、六年级的大哥哥大姐姐要毕业了，准备照一张合影留作纪念。
4个男同学，2个女同学共6个人站成一-排。
若两个女同学必须相邻，有多少种不同的站法?答案1、（1）5×4×3×2×1=120（种）（2）5×4×3×3×3=540（种）2、方法一语语：2＋1=3（种）数数：3＋2＋1=6（种）外外：4＋3＋2＋1=10（种）3＋6＋10=19（种）语数：3×4=12（种）数外：4×5=20（种）语外：3×5=15（种）12＋20＋15=47（种）共：19＋47=66（种）答：共有66种不同的选择。
方法二：3+4+5=12（本） 12×11÷2=66（种）答：共有66种不同的选择。
3、（1）一位数：5两位数：5×4=20（个）三位数：5×5×4=100（个）5＋20＋100=125（个）（1）一位数：5两位数：4×4=16（个）三位数：4×4×3=48（个）5＋16＋48=69（个）4、（2×1）×（4×3×2×1）=48（种）48×5=240（种）答：有240种不同的站法。
小学奥数加法原理练习题含答案【三篇】导读：本文小学奥数加法原理练习题含答案【三篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
【第一篇】1、两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？分析与解：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者两数都是偶数。
因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有3×3=9（种）情况；同理，两数都是偶数的也有9种情况。
根据加法原理，两次出现的数字之和为偶数的情况有9＋9＝18（种）。
2、用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。
问：共有多少种不同的染色方法？分析与解：本题与上一讲的例4表面上十分相似，但解法上却不相同。
因为上一讲例4中，区域A与其它区域都相邻，所以区域A 与其它区域的颜色都不相同。
本例中没有一个区域与其它所有区域都相邻，如果从区域A开始讨论，那么就要分区域A与区域E的颜色相同与不同两种情况。
当区域A与区域E颜色相同时，A有5种颜色可选；B有4种颜色可选；C有3种颜色可选；D也有3种颜色可选。
根据乘法原理，此时不同的染色方法有5×4×3×3＝180（种）。
当区域A与区域E颜色不同时，A有5种颜色可选；E有4种颜色可选；B有3种颜色可选；C有2种颜色可选；D有2种颜色可选。
根据乘法原理，此时不同的染色方法有5×4×3×2×2＝240（种）。
再根据加法原理，不同的染色方法共有180＋240=420（种）。
3、用1，2，3，4这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少个？分析与解：将至少有连续三位数是1的五位数分成三类：连续五位是1、恰有连续四位是1、恰有连续三位是1。
连续五位是1，只有11111一种；中任一个，所以有3＋3＝6（种）；3×4＋4×3＋3×3＝33（种）。
六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编-计数问题-加法原理【知识点归纳】加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法…，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+m2…+mn种不同的方法．关键问题：确定工作的分类方法．基本特征：每一种方法都可完成任务．【命题方向】例1：Karry到早餐店吃早餐，有包子、油条、烧卖三种早点供选择，最少吃一种，最多吃三种，有（）种不同的选择方法．A、3B、6C、7D、9分析：分别求出吃一种有几种选择方法，吃两种有几种选择方法，吃三种有几种方法，然后利用加法原理解答即可．解：①吃一种，有包子、油条、烧卖三种选择方法，②吃两种有包子、油条；包子、烧卖；油条、烧卖三种选择方法，③吃三种就是三种一起吃，有一种选择方法；一共有：3+3+1=7（种）．答：有7种不同的选择方法．故选：C．点评：本题考查了加法原理即完成一件事情有n类方法，第一类中又有M1种方法，第二类中又有M2种方法，…，第n类中又有Mn种方法，那么完成这件事情就有M1+M2+…+Mn种方法．例2：高老师有件事要通知24名同学，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少用（）分钟就能通知到每个人．A、24B、12C、6D、5分析：第一分钟老师和学生一共有2人；第二分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×2=2人，第二分钟老师和学生一共有：2+2=4=2×2人；第三分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×4=4人，第二分钟老师和学生一共有：4+4=8=2×2×2人；第四分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×8=8人，第二分钟老师和学生一共有：8+8=16=2×2×2×2人；同理，每次通知的学生和老师的总人数，总是前一次的2倍，所以，2×2×2×2＜24+1＜2×2×2×2×2，因此，4分钟通知不完，只能5分钟；所以最少用5分钟就能通知到每个人．解：根据分析可知：每增加1分钟收到通知的学生和老师的人数是前一分钟收到通知的学生和老师的人数的2倍，所以2×2×2×2＜24+1＜2×2×2×2×2，即16＜25＜32；因此，4分钟通知不完，只能5分钟；所以最少用5分钟就能通知到每个人．故选：D．点评：注意本题为了便于研究规律，不要把老师和学生分隔开研究，这样有利于使问题简单化；通过本题我们可以总结出这种题的一般规律：有几分钟总人数就是几个2连乘（2的n次方）．一．选择题1．在1～99中，任取两个和小于100的数，共有多少种不同的取法？（）A．5051 B．1420 C．24012．Karry到早餐店吃早餐，有包子、油条、烧卖三种早点供选择，最少吃一种，有（）种不同的选择方法．A．3 B．6 C．7 D．93．学校举办班级乒乓球比赛．共有16支球队参加，比赛采用单场淘汰制（即每场比赛淘汰1支球队）．一共要进行（）A．13 B．14 C．15 D．164．一把钥匙开一把锁，现有3把钥匙和3把锁弄混了，最多试开（）次A．3 B．4 C．5 D．65．高老师有件事要通知24名同学，如果用打电话的方式，每分钟通知1人（）分钟就能通知到每个人．A．24 B．12 C．6 D．56．16名乒乓球选手进行淘汰赛，共需进行（）场比赛才能决出最后冠军．A．15 B．12 C．183二．填空题7．口袋里有12个红球，2个黄球，6个花球，任意摸出一个球，颜色有种可能．8．一个火车站，上站台有电梯2部，自动梯1部种不同的走法．9．面食店有三种商品：包子、油条、烧麦．小明早上去面食店买早餐，他可以选一种，也可以选两种，请问小明有种早餐搭配．10．有2克，5克，20克的砝码各一个，能称出种不同的质量．11．将1，2，3，4，5分别填入下图格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有种不同的填法．12．妈妈买回来8个大苹果给小丽吃，如果每天至少要吃掉3个苹果，最多可以有种不同的吃法．13．张老师有50分和80分的邮票各两枚．他用这些邮票能付种邮资（寄信时需要付的钱数）．14．28人参加乒乓球比赛，采用淘汰赛，要决出冠军场．15．从1～10这10个不相等的自然数中每次取出2个数求和，要使它们的和小于10，不同的取法有种．16．广州市小学数学奥林匹克业余学校入学考试，试题有10道选择题，答对一题得4分；还有10道简答题，答对一题得6分种不同的分数．17．一天中，从甲地到乙地有3班火车，4班汽车，在这一天中从甲地到乙地，乘坐这些交通工具有种不同的走法．18．从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，汽车有3班，轮船有2班．问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地种不同走法．19．五把钥匙开五把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最多试开次，就能把锁和钥匙配起来．20．从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，汽车有8班，轮船有2班．问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地种不同走法．21．筐中有120个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，有种分法．三．解答题22．老师拿来6种不同的画报，4种不同的儿童文学．小明从这两种书中任意借一本书，请问一共有多少种不同的借法？23．往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站．问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？24．一把钥匙开一把锁，现在有五把钥匙五把锁，最多试几次可以打开所有锁？25．2010年南非世界杯足球赛有32支球队参加，第一阶段平均分成8个小组进行小组循环赛，每组前2名球队进入第二阶段复赛，胜者进入下一轮，负者淘汰．直至决出冠军球队，这届世界杯比赛一共进行了多少场比赛？（注：三、四名决赛也算做一场比赛）26．小丽、小强、小红、明明4个小朋友，每个人都想单独和聪聪、明明分别合拍一张照片．一共要拍多少张照片？27．一列火车从上海开到南京，中途要经过6个站，这列火车要准备种不同的车票．28．从甲地到乙地有3条直达公路，还有5条直达铁路，那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？29．从1，2，3，4，5，6，7这七个数中，选取三个数使它们的和能被3整除30．从上海到杭州，可乘汽车、火车和飞机．已知一天中汽车有3班，火车有7班，从上海到杭州共有多少种不同的走法？31．（1）有8把不同的锁和锁匙混在一起，最多要试才能将它配对．（2）父亲45岁，儿子23岁，年前父亲的岁数是儿子的3倍．六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编-计数问题-加法原理参考答案一．选择题1．解：1有97种不同的取法，2有95种不同的取法，7有93种不同的取法，4有91种不同的取法，…48有3种不同的取法，49有3种不同的取法，所以共有：97+95+93+91+..+3+1，＝（97+2）×49÷2，＝2401（种）；答：共有2401种不同的取法．答案：C．2．解：①吃一种，有包子、烧卖三种选择方法，②吃两种有包子、油条、烧卖、烧卖三种选择方法，③吃三种就是三种一起吃，有一种选择方法；一共有：3+3+2＝7（种）．答：有7种不同的选择方法．答案：C．3．解：一共进行：8+4+2+1，＝12+2+7，＝15（场）．答：一共要进行15场比赛后才能产生冠军．答案：C．4．解：2+1＝2（次）；答：最多试开3次，就能把锁和钥匙配起来．答案：A．5．解：根据分析可知：每增加1分钟收到通知的学生和老师的人数是前一分钟收到通知的学生和老师的人数的2倍，所以6×2×2×2＜24+1＜2×6×2×2×2，即16＜25＜32；因此，4分钟通知不完；所以最少用5分钟就能通知到每个人．答案：D．6．解：第一轮共有16÷2＝8场，第二轮2÷2＝4场，第三轮7÷2＝2场，决赛3场；所以8+4+5+1＝15场．答：一共需要进行15场比赛．答案：A．二．填空题7．解：因为有三种颜色的球，每种颜色的球都有可能摸到，有3种可能．答案：3．8．解：2+1+4＝6（种），答：上站台有6种不同的走法．答案：2．9．解：（1）选择1种早点，可以是：包子、油条，有3种不同的方法；（2）选择5种早点，可以是：包子、油条、烧麦、烧麦；（3）选择3种早点，可以是：包子、油条；有3种选择方法；共有：4+3+1＝8（种）答：小明有7种早餐搭配．答案：7．10．解：根据加法原理，当砝码只放一边时可称出：出++＝3+3+3＝7（种）；当天平两边都放砝码时，可称出：+＝6+3＝6（种）；所以一共可称出：6+6＝13（种）不同质量．答案：13．11．解：5，4填在黑格里；2，3填在黑格里；12+4＝16种．答案：16．12．解：（1）吃一天只有1种，（2）吃两天有3种：（2，5），3），3），共有：1+3＝6（种）；答：最多可以有4种不同的吃法．答案：4．13．解：由于50分与80分的邮票各两枚能组合成：50+50＝100（分），80+80＝160（分），50+80＝130（分），50+50+80＝180（分），50+80+80＝210（分），50+50+80+80＝260（分），6种不同的邮资，再加50分与80分这两种面值，共可付6+5＝8种不同的邮资．答案：8．14．解：由于28人参赛，则打先14场决出前14名，再打7场决出前7名，此时一人轮空，另外3名打三场后，前4打两场后决出前2名，最后打5场决出冠军．所以共需打：14+7+3+8+1＝27场才能决出冠军．答案：27．15．解：据题意可知，共有以下几种取法：1+2，6+3，…，7种；6+3，…，2+3；3+4，…，2+6；4+2，1种；所以共有：1+5+5+7＝16（种）．答案：16．16．解：选择题得分情况：0，4，3，…40．当简答题得6分时和选择题相加得分情况：6，10，18，26，34，42；当简答题得12分时和选择题相加得分情况：12，16，24，32，40，48；…当简答题得60分时和选择题相加得分情况：60，…96；由此可以发现，其得分情况为：6，4，6，3．从4开始构成一个公差为2的等差数列（100﹣7）÷2+1+2＝50（种）答案：50．17．解：根据题意，从甲地到乙地有3类方法，有3种方法；第二类方法是乘火车，有2种方法；第三类方法是乘汽车，有4种方法；所以，从甲地到乙地的走法共有：3+8+4＝10（种）．答案：10．18．解：根据分析可得：4+3+8＝9（种），答：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有9种不同走法．答案：3．19．解：4+3+4+1＝10（次）答：最多试开10次，就能把锁和钥匙配起来．答案：10．20．解：乘火车有5种方法，乘汽车有8种方法，所以：5+8+2＝15（种）．答：共有15种不同走法．答案：15．21．解：120的约数有：1、2、4、4、5、3、8、10、15、24、40、120．答案：12．三．解答题22．解：6+4＝10（种）答：一共有10种不同的借法．23．解：（4+3+3+1）×2＝20（种）答：铁路部门要准备20种车票．24．解：由分析得出：5+4+3+2+1＝15（次）；答：最多试开15次就能打开所有锁．25．解：每组6场前两名进16强：6×5＝48（场）；16强进8强是一场定输赢要8场5进4又要4场5进2要2场之后冠亚军2场.3.4名一场，48+3+4+2+4+1＝64（场）；答：本届世界杯一共要举行64场比赛．26．解：4+3＝4（张）答：一共要拍7张照片．27．解：中途要经过6个站，加上起点和终点．则有：7+2+5+4+4+2+1＝28（种）答：要准备28种不同的车票．28．解：3+5＝6（种）；答：从甲地到乙地共有多少种不同的走法．答案：8．29．解：2+3+4+3＝13（种），答：不同的选法有13种．30．解：根据题意，从上海到杭州有3类走法，第一类方法是乘汽车，有3种走法；第二类方法是乘火车，有5种走法；第三类方法是乘飞机，有2种走法；所以，从上海到杭州的走法共有：3+4+2＝12（种）．答：从上海到杭州共有12种不同的走法．31．（1）7+6+8+4+3+8+1＝28（次）；答：最多试28次．（2）爸爸比儿子大的岁数：45﹣23＝22（岁），设：儿子x岁时爸爸的年龄是儿子年龄的3倍，则爸爸的年龄为（x+22）岁，4x＝x+22，3x﹣x＝22，2x＝22，x＝11，所以：23﹣11＝12（岁）．答：12年前父亲的岁数是儿子的3倍．答案：28次，12．。
小学奥数系列7-3加乘原理综合应用（二）一、1. 用数字1，2组成一个八位数，其中至少连续四位都是1的有多少个？2. 七位数的各位数字之和为60 ，这样的七位数一共有多少个？3. 从自然数1~40中任意选取两个数，使得所选取的两个数的和能被4整除，有多少种取法？4. 在的自然数中取出两个不同的数相加，其和是3的倍数的共有多少种不同的取法？5. 在1~10这10个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是3的倍数，共有多少种不同的取法？6. 在这10个自然数中，每次取出三个不同的数，使它们的和是3的倍数有多少种不同的取法？7. 从7，8，9，，76，77这71个数中，选取两个不同的数，使其和为3的倍数的选法总数是多少?8. 从这些数中选取两个数，使其和被3除余1的选取方法有多少种？被3除余2的选取方法有多少种？9. 1到60这60个自然数中，选取两个数，使它们的乘积是被5除余2的偶数，问，一共有多少种选法？10. 一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数．问：从一位到六位的回文数一共有多少个?其中的第1996个数是多少?11. 如图，将1，2，3，4，5分别填入图中的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有________种不同的填法．12. 在如图所示1×5的格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8中的五个数，要求填入的数各不相同，并且填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有________种不同的填法．13. 从1～12中选出7个自然数，要求选出的数中不存在某个自然数是另一个自然数的2倍，那么一共有________种选法．14. 从到这个自然数中有________个数的各位数字之和能被4整除．15. 从10到4999这4990个自然数中，其数字和能被4整除的数有多少个？16. 从1到3998这3998个自然数中，又多少个数的各位数字之和能被4整除？17. 有两个不完全一样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？18. 有两个不完全一样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为奇数的有多少种情形？19. 有两个骰子，每个骰子的六个面分别有1、2、3、4、5、6个点．随意掷这两个骰子，向上一面点数之和为偶数的情形有多少种？20. 有三个骰子，每个骰子的六个面分别有1、2、3、4、5、6个点．随意掷这三个骰子，向上一面点数之和为偶数的情形有多少种？21. 3个骰子掷出的点数和中，哪个数最有可能？22. 有一种用12位数表示时间的方法：前两位表示分，三四位表示时，五六位表示日，七八位表示月，后四位表示年．凡不足数时，前面补0．按照这种方法，2002年2月20日2点20分可以表示为200220022002．这个数的特点是：它是一个12位的反序数，即按数位顺序正着写反着写都是相同的自然数，称为反序数．例如171，23032等是反序数．而28与82不相同，所以28，82都不是反序数．问：从公元1000年到2002年12月，共有多少个这样的时刻？23. 假如电子计时器所显示的十个数字是“0126093028”这样一串数，它表示的是1月26日9时30分28秒．在这串数里，“0”出现了3次，“2”出现了2次，“1”、“3”、“6”、“8”、“9”各出现1次，而“4”、“5”、“7”没有出现．如果在电子计时器所显示的这串数里，“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”、“7”、“8”、“9”这十个数字都只能出现一次，称它所表示的时刻为“十全时”，那么2003年一共有多少个这样的“十全时”？24. 地图上有A，B，C，D四个国家（如下图），现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？25. 如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？26. 如右图，有A、B、C、D、E五个区域，现用五种颜色给区域染色，染色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域染一色．有多少种不同的染色方式？27. 如图，有A，B，C，D四个区域，现用四种颜色给区域染色，要求相邻区域的颜色不同，每个区域染一色．有多少种染色方法？28. 用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：共有多少种不同的染色方法? （6级）29. 分别用五种颜色中的某一种对下图的，，，，，六个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：有多少种不同的染法？30. 将图中的○分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻○涂不同的颜色，共有多少种不同涂法？31. 直线a，b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？32. 直线a，b上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？33. 直线a，b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个四边形？34. 三条平行线上分别有2，4，3个点（下图），已知在不同直线上的任意三个点都不共线．问：以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形？35. 5条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5条直线的交点为顶点能构成几个三角形？36. 一个半圆周上共有12个点，直径上5个，圆周上7个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？37. 在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形？（补充知识：由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如果圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角形）．38. 从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使在任意相邻两个圆圈内数字之和都是不能被3整除的奇数，那么最多能找出________种不同的挑法来．（六个数字相同、排列次序不同的都算同一种）39. 用红、橙、黄、绿、蓝5种颜色中的1种，或2种，或3种，或4种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？40. 用红、黄、蓝三种颜色对一个正方体进行染色使相邻面颜色不同一共有多少种方法？如果有红、黄、蓝、绿四种颜色对正方体进行染色使相邻面颜色不同一共有多少种方法？如果有五种颜色去染又有多少种？（注：正方体不能翻转和旋转）41. 用6种不同的颜色来涂正方体的六个面，使得不同的面涂上不同的颜色一共有多少种涂色的方法？（将正方体任意旋转之后仍然不同的涂色方法才被认为是相同的）参考答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.。
乘法原理与加法原理在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成,而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法,就用我们将讨论的乘法原理来解决．例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中,他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船.那么,他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法?分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法,即:第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法:3×1＝3.如果此人到大连后,可以乘船或飞机到天津,那么他从北京到天津则有以下的走法:共有六种走法,注意到3×2=6.在上面讨论问题的过程中,我们把所有可能的办法一一列举出来.这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的．在上面的例子中,完成一件事要分两个步骤.由穷举法得到的结论看到,用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数,就是完成这件事所有的方法数.一般地,如果完成一件事需要个步骤，其中,做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法,…,做第步有种不同的方法,那么，完成这件事一共有种不同的方法.这就是乘法原理.例1.某人到食堂去买饭,主食有三种,副食有五种,他主食和副食各买一种,共有多少种不同的买法？补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成;②每个步骤各有若干种不同的方法来完成.这样的问题就可以使用乘法原理解决问题.例2.右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到Ｂ点，要求任何线段和点不得重复经过.问:这只甲虫最多有几种不同的走法?例3.书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本,有多少种不同的取法?例4.王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、１０0米跑、200米跑四项中的一项比赛,问：报名的结果会出现多少种不同的情形?例5.由数字0、1、2、3组成三位数，问:①可组成多少个不相等的三位数?②可组成多少个没有重复数字的三位数？分析在确定由0、1、２、３组成的三位数的过程中,应该一位一位地去确定.所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成．①要求组成不相等的三位数．所以，数字可以重复使用,百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上,也有4种不同的取法.②要求组成的三位数中没有重复数字,百位上,不能取0,有3种不同的取法；十位上，由于百位已在１、２、3中取走一个，故只剩下0和其余两个数字,故有3种取法;个位上，由于百位和十位已各取走一个数字,故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法．例6.由数字１、2、3、4、５、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数?分析要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字,即分四步完成，由于要求组成的数是奇数，故个位上只有能取1、3、5中的一个，有3种不同的取法；十位上,可以从余下的五个数字中取一个,有５种取法;百位上有4种取法;千位上有3种取法,故可由乘法原理解决．例7.右图中共有16个方格,要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里,并使每行每列只能出现一个棋子．问:共有多少种不同的放法？分析由于四个棋子要一个一个地放入方格内．故可看成是分四步完成这件事.第一步放棋子A，A可以放在1６个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B,由于A已放定,那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放B，故还剩下9个方格可以放B，Ｂ有9种放法;第三步放C,再去掉B所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C，C有4种放法；最后一步放Ｄ，再去掉C所在的行和列的方格,只剩下一个方格可以放D，Ｄ有1种放法,本题要由乘法原理解决.例8.现有一角的人民币４张，贰角的人民币2张,壹元的人民币3张,如果从中至少取一张,至多取９张,那么,共可以配成多少种不同的钱数?分析要从三种面值的人民币中任取几张,构成一个钱数,需一步一步地来做．如先取一角的,再取贰角的，最后取壹元的．但注意到,取２张一角的人民币和取1张贰角的人民币，得到的钱数是相同的．这就会产生重复,如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币４张和贰角的人民币２张统一起来考虑.即从中取出几张组成一种面值，看共可以组成多少种．分析知,共可以组成从壹角到捌角间的任何一种面值,共８种情况．(即取两张壹角的人民币与取一张贰角的人民币是一种情况;取4张壹角的人民币与取2张贰角的人民币是一种情况．)这样一来,可以把它们看成是8张壹角的人民币．整个问题就变成了从8张壹角的人民币和3张壹元的人民币中分别取钱．这样，第一步，从8张壹角的人民币中取;第二步,从3张壹元的人民币中取共4种取法，即0、1、２、3．但要注意,要求“至少取一张＂。
加乘原理之数字问题（二）7-3-3.教学目标复习乘法原理和加法原理；1. 培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力．2. 让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题．3.在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合．知识要点一、加乘原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不．．．．．．．．．．．可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”．．．例题精讲组成一个八位数，其中至少连续四位都是1的有多少个？】用数字1，2【例1 【题型】解答【难度】3星【考点】加乘原理之综合运用；个2和没有2个、3个2、22、1个个【解析】将41看成一个整体，其余4个数有5种情况：42 1可以有5种插法；4①4个2时，个4种插法，共有种；和21个1共有4种排法，每一种排法有②3个2时，3个16?4?4 种；31共有6种排法，每一种排法有种插法，共有2③2个2时，2个和2个18?6?3 种；2种插法，共有种排法，每一种排法有个12和3个1共有4个④12时，8?4?2 1种；⑤没有2时，只有个．所以，总共有：48?1185?16??8? 48个．的有答：至少连续四位都是1 【答案】48，这样的七位数一共有多少个？60七位数的各位数字之和为】2 【例【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】七位数数字之和最多可以为．．七位数的可能数字组合为：360?63?63??97①9，9，9，9，9，9，6．第一种情况只需要确定6的位置即可．所以有6种情况．②9，9，9，9，9，8，7．第二种情况只需要确定8和7的位置，数字即确定．8有7个位置，7有6个位置．所以第二种情况可以组成的7位数有个．426?7?③9，9，9，9，8，8，8，第三种情况，3个8的位置确定即7位数也确定．三个8的位置放置共有种．2105?7?6?三个相同的8放置会产生种重复的放置方式．61?3?2?所以3个8和4个9组成的不同的七位数共有种．35?210?6所以数字和为60的七位数共有．84??42?735【答案】84【例3】从自然数1~40中任意选取两个数，使得所选取的两个数的和能被4整除，有多少种取法？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】2个数的和能被4整除，可以根据被4除的余数分为两类：40?4?10（个），10中能被4整除的数共有个中选2个，有第一类：余数分别为0，0．1~4010?9?2?45（种）取法；10?10?100（种）个，有除余1，余3的数也分别都有10第二类：余数分别为1，3．1~40中被4取法；第三类：余数分别为2，2．同第一类，有45种取法．根据加法原理，共有（种）取法．190?45?45?100【答案】190【例 4】从1，3，5，7中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，这些三位数中能被3整除的有个。
【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第9题【解析】一个数能被3整除，它的各位数之和就能够被3整除。
从1，3，5，7中任选3个数可以是1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7。
和能被3整除的有：1，3，5和3，5，7，共能组成3！×2＝12个数。
【答案】个数12【例 5】从1,2,3,4,5,6中选取若干个数，使得它们的和是3的倍数，但不是5的倍数．那么共有种不同的选取方法．【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级，初赛，5题【解析】从这些数中选取的数的和小于，满足条件的和数有、、、、、1836961211221分别有、、、、、种选取方法，共种选取方法．19?1?5?555?22?4?1224【答案】种19【例1】在1至300的全部自然数中，是3的倍数或5的倍数的数共有( )个。
A、139B、140C、141D、142【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】选择【关键词】华杯赛，五年级，初赛【解析】3的倍有100个，5的倍数有60个，既是3又是5的倍数有20个，则是3或者5的倍数的数共有100+60-20=140个。
【答案】B【例6】在1～10这10个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是3的倍数，共有种不同的取法。
【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空题7年级，第5题，11年级，决赛，第3【关键词】走美杯，【解析】两个数的和是3的倍数有两种情况，或者两个数都是3的倍数，或有1个除以3余1，另一个除以3余2。
1～10中能被3整除的有3个数，取两个有3种取法；除以3余1的有4个数，除以3余2的。
)种取法。
所以共有取法3+12=15(种3个数，各取1个有12有【答案】种15【巩固】从1到20中，最多能取______个数，使任意两个数不是3倍关系。
【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第13题【解析】和共存，和不能共存，和不能共存，和不能共存，5和不能共存，和不能共18336961512421存。
要破坏这些组合，至少要去掉个数，例如3,4,5,64【答案】16个【巩固】从个自然数这个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是的倍数，共有251~254中不同的取法。
【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛，第8题【解析】到中，除以，余数是的数有个，余数是的数有个，余数是的数有个，余数是的数06673252114有个，所以共有（种）。
722?2?6?7?6?56?【答案】种72【例7】在的自然数中取出两个不同的数相加，其和是3的倍数的共有多少种不同的取法？1~100【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】将1～100按照除以3的余数分为3类：第一类，余数为1的有1，4，7，…100，一共有34个；第二类，余数为2的一共有33个；第三类，可以被3整除的一共有33个．取出两个不同的数其和是3的倍数只有两种情况：第一种，从第一、二类中各取一个数，有种取法；第二种，112233?34?从第三类中取两个数，有种取法．根据加法原理，不同取法共有：1122?528528?165033?32?2?种．【答案】1650【巩固】在1~10这10个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是3的倍数，共有多少种不同的取法？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】两个数的和是3的倍数有两种情况，或者两个数都是3的倍数，或有1个除以3余1，另一个除以3余2．1～10中能被3整除的有3个数，取两个有3种取法；除以3余1的有4个数，除以3余2的有3个数，各取1个有种取法．根据加法原理，共有取法：种．1512?12?3?3?4【答案】15【巩固】在这10个自然数中，每次取出三个不同的数，使它们的和是3的倍数有多少种不同的取法？1~10【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】三个不同的数和为3的倍数有四种情况：三个数同余1，三个数同余2，三个数都被3整除，余1余2余0的数各有1个，四类情况分别有4种、1种、1种、所以一共有种，363??3??1?36?4244?1种．【答案】42【巩固】从7，8，9，，76，77这71个数中，选取两个不同的数，使其和为3的倍数的选法总数是多少?【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】两个数和为3的倍数情况有两种：两个被3整除的数和是3的倍数，一个被3除余1的数和一个被3除余2的数相加也能被3整除.这71个数中被3整除，被3除余1，被3除余2的数分别有23、24、24个，选取两个数只要是符合之前所说的两种情况就可以了，选取两个被3整除的数的方法有23?22?（2?1）?253种，从被3除余1和被3除余2的数中各取1个的方法共有种，所57624?24?以一共有种选取方法．829576?253?【答案】829【例8】从这些数中选取两个数，使其和被3除余1的选取方法有多少种？被3除余2的选取方法有多少种？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答3整除的数和一个被3的数相加，和一个被2除余3的情况有两种：两个被1除余3个数的和被两【解析】．除余1的数相加，所以选取方法有种．82823?）?24?24?23?（2?1同样的也可以求出被3除余2的选取方法有种.82823?）?24?24?23?（2?1【答案】828【例9】1到60这60个自然数中，选取两个数，使它们的乘积是被5除余2的偶数，问，一共有多少种选法？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】两个数的乘积被5除余2有两类情况，一类是两个数被5除分别余1和2，另一类是两个数被5除分别余3和4，只要两个乘数中有一个是偶数就能使乘积也为偶数.1到60这60个自然数中，被5除余1、2、3、4的偶数各有6个，被5除余1、2、3、4的奇数也各有6个，所以符合条件的选取方式一共有种．216??6）?6?6?6?6?6?6?6?6?6）（（6?6【答案】216【例10】一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数．问：从一位到六位的回文数一共有多少个?其中的第1996个数是多少?【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】我们将回文数分为一位、二位、三位、…、六位来逐组计算．所有的一位数均是“回文数”，即有9个；aa形式的，即有9个(因为首位不能为0，下同) ；在二位数中，必须为abaa b可相同，10 即有9×在本题中，在三位数中，不同的字母代表的数可以相同必须为)(形式的，、=90个；abba形式的，即有9×10在四位数中，必须为个；abcba形式的，即有9×10×在五位数中，必须为10=900个；abccba形式的，即有9×10×在六位数中，必须为10=900个．所以共有9 + 9 + 90 + 90 + 900 + 900 = 1998个，最大的为999999，其次为998899，再次为997799．而第1996个数为倒数第3个数，即为997799．所以，从一位到六位的回文数一共有1998个，其中的第1996个数是997799．【答案】997799【例11】如图，将1，2，3，4，5分别填入图中的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共51?有种不同的填法．【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【关键词】走美杯，6年级，决赛，第5题【解析】因为要求“填在黑格里的数比它旁边的两个数都大”，所以填入黑格中的数不能够太小，否则就不满足条件．通过枚举法可知填入黑格里的数只有两类：第一类，填在黑格里的数是5和4；第二类，填在黑格里的数是5和3．接下来就根据这两类进行计数：第一类，填在黑格里的数是5和4时，分为以下几步：第一步，第一个黑格可从5和4中任选一个，有2种选法；第二步，第二个黑格可从5和4中剩下的一个数选择，只有1种选法；第三步，第一个白格可从1，2，3中任意选一个，有3种选法．第四步，第二个白格从1，2，3剩下的两个数中任选一个，有2种选法；第五步，最后一个白格只有1种选法．根据乘法原理，一共有种．12??(3?21)(2?1)?第二类，填在黑格里的数是5和3时，黑格中有两种填法，此时白格也有两种填法，根据乘法原理，不同的填法有种．4?2?2所以，根据加法原理，不同的填法共有种．16?4?12【答案】16【巩固】在如图所示1×5的格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8中的五个数，要求填入的数各不相同，并且填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有种不同的填法．【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】如果取出来的五个数是1、2、3、4、5，则共有不同填法16种．从8个数中选出5个数，共有8×7×6÷(3×2×1)=56中选法，所以共16×56=896种．【答案】896【例12】从1～12中选出7个自然数，要求选出的数中不存在某个自然数是另一个自然数的2倍，那么一共有种选法．【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】由于要求选出的数中不存在某个自然数是另一个自然数的2倍，可以先根据2倍关系将1～12进行如下分组：(1，2，4，8)；(3，4，12)；(5，10)；(7)；(9)；(11)．由于第一组最多可选出2个数，第二组最多可选出2个数，其余四组最多各可选出1个数，所以最多可选出8个数．现在要求选出7个数，所以恰好有一组选出的数比它最多可选出的数少一个．⑴如果是第一组少一个，也就是说第一组选1个，第二组选2个，其余四组各选1个，此时有种选法；81?1?1?4?1?2?⑵如果是第二组少一个，也就是说第一组选2个，其余五组各选一个，此时第一组有3种选法，根据乘法原理，有种选法；181?1?1?3?3?2?⑶如果是第三组少一个，也就是说第一组选2个，第二组选2个，第三组不选，其余三组各选1个，有种选法；31?1?1?3?1?1?⑷如果是第四、五、六组中的某一组少一个，由于这三组地位相同，所以各有种61?1?1?3?1?2?选法．根据加法原理，共有种不同的选法．47??6?38?18?3【答案】47【例13】从到这个自然数中有个数的各位数字之和能被4整除．9999991【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】由于在一个数的前面写上几个0不影响这个数的各位数字之和，所以可以将到中的一位数和两9991位数的前面补上两个或一个0，使之成为一个三位数．现在相当于要求001到999中各位数字之和能被4整除的数的个数．一个数除以4的余数可能为0，1，2，3，0～9中除以4余0的数有3个，除以4余1的也有3个，除以4余2和3的各有2个．三个数的和要能被4整除，必须要求它们除以4的余数的和能被4整除，余数的情况有如下5种：；；；．；3?32?2?0?00?1?320?0?2?1?1⑴如果是，即3个数除以4的余数都是0，则每位上都有3种选择，共有种可27?0?0??33?30能，但是注意到其中也包含了000这个数，应予排除，所以此时共有个；261?27?⑵如果是，即3个数除以4的余数分别为0，1，3，而在3个位置上的排列有种，所63?3!?0?1以此时有个；1086?3?2?3?⑶如果是，即3个数除以4的余数分别为0，2，2，在3个位置上的排列有种，所以此时320?2?有个；36??2?33?2⑷如果是，即3个数除以4的余数分别为1，1，2，在3个位置上的排列有种，所以此时32?1?1有个；54?2?33?3?⑸如果是，即3个数除以4的余数分别为2，3，3，在3个位置上的排列有种，此时有33?32?个．24?3?2?2?2根据加法原理，共有．24824??36?54?26?108【答案】248【巩固】从10到4999这4990个自然数中，其数字和能被4整除的数有多少个？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】分段计算：在1000～4999这4000个数中，数字和被4除余0、1、2、3的各有1000个；在200～999这800个数中，数字和被4除余0、1、2、3的各有200个；在20～99、120～199这160个数中，数字和被4除余0、1、2、3的各有40个；此外，10～19、100～119种分别有2个和4个被4整除，所以，共有个．1246????1000200406【答案】1246．到3998这3998个自然数中，又多少个数的各位数字之和能被4整除？【巩固】从1 【题型】解答【难度】3星【考点】加乘原理之综合运用个数每一个加上千位1，2，3，这样，这1000【解析】从0到999共有1000个数，它们除以4的余数为0，3，都能被4整除，所以答案为1000个．1上对应的0，，2，1000 【答案】行起是根据规律一直排到最后的第表中第1行是把的整数依次全部排列出来，然后从第2【例14】1001～100行.77整除？请问：这个表中一共有多少个数能被............969798992345100第1行1............9573193195197199行第2............38839239681216第3行....................................第4行..............................第5行. (100)【难度】3星【题型】解答【考点】加乘原理之综合运用【关键词】日本小学数学奥林匹克决赛.【解析】的数在这个表里，有的数字的正下方写着比它大4A-1A+1A2A2A-1+1A4假如，某数字是不能被77整除的数字，那么不管它被4乘多少回，也不能被77整除.于是我们得知不能被77整除的数字下面写的数字都不能被77整除.那么，如果某数字是可以被77整除，不管乘多少回4，得出的数字都可以被77整除.可被77整除的数字下面都可以被77整除.题目的表中从左右两边第N个的下面写着N个整数.表的第一行从右数第24个是77，在它下面写的24个整数都可以被77整除.另外，从左数第二行第38个是，所以在它下面写的38个整数都可以被777739?38?整除.在表的第一行和第二行里除此之外再没有可以被77整除的数了.从整个表来看，除了上述的个以外，再也没有可以被77整除的数了，所以答案为62. 62?24?38【答案】62【例15】有两个不完全一样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑．第一类，两个数字同为奇数．由于放两个正方体可认为是一个一个地放．放第一个正方体时，出现奇数有三种可能，即1，3，5；放第二个正方体，出现奇数也有三种可能，由乘法原理，这时共有3?3?9种不同的情形．第二类，两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有种不同情形．9?3?3最后再由加法原理即可求解．两个正方体向上的一面数字之和为偶数的共有种不同的183???3?33情形．【答案】18【巩固】有两个不完全一样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为奇数的有多少种情形？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】要使两个数字之和为奇数，只要这两个数字的奇偶性不同，即这两个数字一个为奇数，另一个为偶，3，1数，由于放两个正方体可认为是一个一个地放．放第一个正方体时，出现奇数有三种可能，即．5；放第二个正方体，出现偶数也有三种可能，由乘法原理，这时共有种不同的情形．9?3?3【答案】9【例16】有两个骰子，每个骰子的六个面分别有1、2、3、4、5、6个点．随意掷这两个骰子，向上一面点数之和为偶数的情形有多少种？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：要使两个骰子的点数之和为偶数，只要这两个点数的奇偶性相同，可以分为两步：第一步第一个骰子随意掷有6种可能的点数；第二步当第一个骰子的点数确定了以后，第二个骰子的点数只能是与第一个骰子的点数相同奇偶性的3种可能的点数．根据乘法原理，向上一面的点数之和为偶数的情形有（种）．18?6?3方法二：要使两个骰子点数之和为偶数，只要这两个点数的奇偶性相同，所以，可以分为两类：第一类：两个数字同为奇数．有（种）不同的情形．9?3?3第二类：两个数字同为偶数．类似第一类，也有（种）不同的情形．9?3?3根据加法原理，向上一面点数之和为偶数的情形共有（种）．18?9?9 方法三：随意掷两个骰子，总共有（种）不同的情形．因为两个骰子点数之和为奇数与偶366?6?数的可能性是一样的，所以，点数之和为偶数的情形有（种）．18?2?36【答案】18【巩固】有三个骰子，每个骰子的六个面分别有1、2、3、4、5、6个点．随意掷这三个骰子，向上一面点数之和为偶数的情形有多少种？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：要使三个点数之和为偶数，有两种情况，三个点数都为偶数，或者一个点数为偶数另外两个点数为奇数．可以分为三步：第一步，第一个骰子随意掷有6种可能的点数；第二步，当第一个骰子的点数确定了以后，第二个骰子的点数还是奇数偶数都有可能所有也有6种可能的点数；第三步，当前两个骰子的点数即奇偶性都确定了之后第三个骰子点数的奇偶性就确定了所以只有3种可能的点数．根据乘法原理，向上一面的点数之和为偶数的情形有（种）．1083?6?6?方法二：要使三个点数之和为偶数，有两种情况，三个点数都为偶数，或者一个点数为偶数另外两个点数为奇数．所以，要分两大类来考虑：第一类：三个点数同为偶数．由于掷骰子可认为是一个一个地掷．每掷一个骰子出现偶数点数都有3种可能．由乘法原理，这类共有（种）不同的情形．273?3?3?第二类：一个点数为偶数另外两个点数为奇数．先选一个骰子作为偶数点数的骰子有3种选法，然后类似第一类的讨论方法，共有（种）不同情形．81?3?3）3?（3?根据加法原理，三个骰子向上一面点数之和为偶数的情形共有（种）．108?3?3?3?3?333??【答案】108【巩固】3个骰子掷出的点数和中，哪个数最有可能？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】对于3个骰子的情况，情况比较复杂，点数和的取值范围是3到18，其中点数和为3到8的情况的种数可以用隔板法求出，例如，8点的情况，实际上将8隔为3段，一共有种．21)?6?(2?17?而13到18的点数情况种数也可以直接求出，例如点数为13的情况，将每个骰子的数值分别记为、、，、、的取值都是1到6，则问题变为的13??c)??(7?b)(7?(7a)b)c(7?a(7?)?(7b)ca解的数量，即的解的数量，这就又可以用隔板法来求了，得数还是21种，(事实上构成8?b?c?a的数表一定是左右对称的)对于点数和为9、10、11、12的情况不能用隔板法来求，例如对9进行隔板有种，但这28种中还包括了1、1、7，1、7、1，7、1、1三种情况，所以实际28?87?(21)????的情况只有25种，对于点数和为10点的情况用挡板法求得45种，扣除9种出现超过6点的情况，还有36种,详表如图：11和的可能性最大．103所以个骰子的点数和中，11 10【答案】和【例17】一种电子表在10点28分6秒时，显示的时间如图所示。
