2017年高考数学深化复习命题热点提分专题16圆锥曲线中的热点问题文

专题17 圆锥曲线中的热点问题（仿真押题） 2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题1．已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，1B.⎝⎛⎭⎫0，22 C ．(0,1)D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：由题意知m >0，n <0，椭圆与双曲线的焦点都在x 轴上，∵椭圆与双曲线有相同的焦点，∴m ＋2＋n ＝m －n ，n ＝－1，∴e ＝m ＋2＋n m ＋2＝m ＋1m ＋2＝1－1m ＋2∈⎝⎛⎭⎫22，1. 答案：A2．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，34 B.⎣⎡⎦⎤38，34 C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎣⎡⎦⎤34，1 解析：椭圆的左顶点为A 1(－2,0)，右顶点为A 2(2,0)，设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，得y 20x 20－4＝－34.而k 2PA ＝y 0x 0－2，k 1PA ＝y 0x 0＋2，所以k 2PA ·k 1PA ＝y 20x 20－4＝－34.又k 2PA ∈－2，－1]，所以k 1PA ∈⎣⎡⎦⎤38，34. 答案：B3．过定点C (0，p )的直线与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点，若点N 是点C 关于坐标原点的对称点，则△ANB 面积的最小值为( ) A ．22p B.2p C ．22p 2D.2p 24．若以F 1(－3,0)，F 2(3,0)为焦点的双曲线与直线y ＝x －1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为( )A.62 B.355 C.32D. 3解析：依题意，设题中的双曲线方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝9，b 2＝9－a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1x 2a 2－y 2b2＝1消去y ，得x 2a 2－x －12b 2＝1，即(b 2－a 2)x 2＋2a 2x －a 2(1＋b 2)＝0(*)有实数解，注意到当b 2－a 2＝0时，方程(*)有实数解，此时双曲线的离心率e ＝2；当b 2－a 2≠0时，Δ＝4a 4＋4a 2(b 2－a 2)(1＋b 2)≥0，即a 2－b 2≤1，a 2－(9－a 2)≤1(b 2＝9－a 2>0且a 2≠b 2)，由此解得0<a 2≤5且a 2≠92，此时e ＝3a ≥35＝355.综上所述，该双曲线的离心率的最小值是355，选B. 答案：B5．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2)解析：若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF <45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a <a＋c ⇒b 2<a 2＋ac ⇒2a 2－c 2＋ac >0⇒e 2－e －2<0⇒－1<e <2，又e >1，则1<e <2，故选B. 答案：B6．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M →·MP →＝0，则|OM →|的取值范围是( ) A ．0,3) B ．(0,22) C ．22，3)D ．(0,4]答案：B7．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上一点且|PF 1|＝2|PF 2|，则此双曲线离心率的取值范围是________．解析：由双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而由题意|PF 1|＝2|PF 2|，故|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .又|F 1F 2|＝2c ，由三角不等式有6a ≥2c .又由定义有c >a ，故离心率e ＝ca∈(1,3]．答案：(1,3]8．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________．9．设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，已知A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝60°，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线为MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为________．解析：过A ，B 分别向准线作垂线，垂足分别为A 1，B 1，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，如图，根据递形中位线性质知|MN |＝a ＋b2.在△AFB 中，由余弦定理得 |AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ≥(a ＋b )2－3⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 2 ＝a ＋b 24.所以|AB |≥a ＋b 2，∴|MN ||AB |≤1. 答案：110．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：(1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63a －c ＝3－2，解得：a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1， 故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1.(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1，得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12，∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k 2， |AB |＝1＋k 2·12k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝12k 2－12>063＋k 2≤12|AB |，解得：k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413.11．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，D 、E分别是椭圆的上顶点与右顶点，且S △DEF 2＝1－32. (1)求椭圆C 1的方程；(2)在椭圆C 1落在第一象限的图象上任取一点作C 1的切线l ，求l 与坐标轴围成的三角形的面积的最小值．(2)∵直线l 与椭圆C 1相切于第一象限内的一点， ∴直线l 的斜率必存在且为负． 设直线l 的方程为：y ＝kx ＋m (k <0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 2＝1，消去y 整理可得： ⎝⎛⎭⎫k 2＋14x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，① 根据题意可得方程①只有一实根， ∴Δ＝(2km )2－4⎝⎛⎭⎫k 2＋14(m 2－1)＝0， 整理得：m 2＝4k 2＋1.②∵直线l 与两坐标轴的交点分别为⎝⎛⎭⎫－mk ，0，(0，m )且k <0， ∴l 与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12·m 2－k ，③将②代入③可得：S ＝－2k ＋1－2k≥2⎝⎛⎭⎫当且仅当k ＝－12时取等号，∴l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值为2.12．如图所示，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (2，3)，Q (2，－3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当A ，B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由． 解析：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线y ＝－2上， ∴－b ＝－2，解得b ＝2. 又c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝4，c ＝2 3.可得椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵∠APQ ＝∠BPQ ，则P A ，PB 的斜率互为相反数， 可设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ， 直线P A 的方程为：y －3＝k (x －2)，联立⎩⎨⎧y －3＝k x －2x 2＋4y 2＝16，化为(1＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4 (3－2k )2－16＝0， ∴x 1＋2＝8k 2k －31＋4k 2.同理可得：x 2＋2＝－8k －2k －31＋4k 2＝8k 2k ＋31＋4k 2，∴x 1＋x 2＝16k 2－41＋4k 2，x 1－x 2＝－163k1＋4k 2， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k x 1＋x 2－4k x 1－x 2＝36.∴直线AB 的斜率为定值36. 13．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为F (c,0)且a >b >c >0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF →|＋|CF →|＝4.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP →2＝4P A →·PB →成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)由椭圆的对称性知|GF →|＋|CF →|＝2a ＝4，∴a ＝2.又原点O 到直线DF 的距离为32，∴bc a ＝32，∴bc ＝3，又a 2＝b 2＋c 2＝4，a >b >c >0，∴b ＝3，c ＝1. 故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件．故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0，∴x 1＋x 2＝8k 2k －13＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2，Δ＝32(6k ＋3)>0，∴k >－12.∵OP →2＝4P A →·PB →，即4(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)·(y 2－1)]＝5， ∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5，即4x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5， ∴4⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k 2k －13＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5，解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .14.如图，过顶点在原点、对称轴为y 轴的抛物线E 上的定点A (2,1)作斜率分别为k 1、k 2的直线，分别交抛物线E 于B 、C 两点．(1)求抛物线E 的标准方程和准线方程；(2)若k 1＋k 2＝k 1k 2，证明：直线BC 恒过定点． 解析：(1)设抛物线E 的标准方程为x 2＝ay ，a >0， 将A (2,1)代入得，a ＝4.所以抛物线E 的标准方程为x 2＝4y ，准线方程为y ＝－1.15.已知抛物线y 2＝2px (p >0)上点T (3，t )到焦点F 的距离为4.(1)求t ，p 的值；(2)设A ，B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且OA →·OB →＝5(其中O 为坐标原点)． ①求证：直线AB 必过定点，并求出该定点P 的坐标；②过点P 作AB 的垂线与抛物线交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值． 解析：(1)由已知得3＋p2＝4⇒p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ， 代入可解得t ＝±2 3.②由①得|AB |＝1＋m 2|y 2－y 1| ＝1＋m 2·16m 2＋80， 同理得|CD |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫－1m 2|y 2－y 1|＝1＋1m 2·16m 2＋80， 则四边形ACBD 面积 S ＝12|AB |·|CD | ＝12 1＋m 2·16m 2＋80·1＋1m2·16m 2＋80 ＝8⎣⎡⎦⎤2＋⎝⎛⎭⎫m 2＋1m 2·⎣⎡⎦⎤26＋5⎝⎛⎭⎫m 2＋1m 2.令m 2＋1m 2＝μ(μ≥2)，则S ＝85μ2＋36μ＋52是关于μ的增函数，故S min ＝96，当且仅当m ＝±1时取到最小值96.。

课时巩固过关练(十七) 圆锥曲线中的热点问题一、选择题1．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B.233C ．3D ．2 解析：解法一：设椭圆方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，离心率为e 1，双曲线的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，离心率为e 2，它们的焦距为2c ，不妨设P 为两曲线在第一象限的交点，F 1，F 2分别为左，右焦点，则易知⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)·(a 1－a 2)cos60°＝4c 2，整理得a 21＋3a 22＝4c 2， 所以a 21c 2＋3a 22c 2＝4，即1e 21＋3e 22＝4. 设a ＝⎝⎛⎭⎫1e 1，3e 2，b ＝⎝⎛⎭⎫1，33， ∴1e 1＋1e 2＝a ·b ≤|a |·|b |＝1e 21＋3e 22×1＋13＝4×43＝433，故1e 1＋1e 2的最大值是433，故选A.解法二：不妨设P 在第一象限，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .在△PF 1F 2中，由余弦定理得m 2＋n 2－mn ＝4c 2.设椭圆的长轴长为2a 1，离心率为e 1，双曲线的实轴长为2a 2，离心率为e 2，它们的焦距为2c ，则1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝m ＋n 2＋m －n 2c ＝m c .∴⎝⎛⎭⎫1e 1＋1e 22＝m 2c 2＝4m 2m 2＋n 2－mn ＝4⎝⎛⎭⎫n m 2－n m ＋1，易知⎝⎛⎭⎫n m 2－n m ＋1的最小值为34.故⎝⎛⎭⎫1e 1＋1e 2max ＝433.故选A. 答案：A2．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2C ．7＋ 2D ．6 2解析：设Q (10cos θ，sin θ)，圆心为M ，由已知得M (0,6)，则|MQ |＝10cos θ－2＋θ－2 ＝10cos 2θ＋sin 2θ－12sin θ＋36 ＝－9sin 2θ－12sin θ＋46 ＝－9⎝⎛⎭⎫sin θ＋232＋50 ≤52⎝⎛⎭⎫当sin θ＝－23时取等号， 故|PQ |max ＝52＋2＝6 2.答案：D3．(2016·广东深圳一模)过点(0,2b )的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(2，＋∞)C ．(1,2)D ．(1，2)解析：由题意得，直线l 的方程为y ＝b ax ＋2b ，即bx －ay ＋2ab ＝0，因为双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，所以直线l 与bx －ay ＝0的距离恒大于或等于b ，所以2ab a 2＋b 2≥b ，即3a 2≥b 2，∴b 2a 2≤3，∴e 2＝1＋b 2a 2≤4，又∵e >1，∴1<e ≤2，故选A. 答案：A4．(2016·河南焦作一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，P 为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，过F 2作∠F 1PF 2外角平分线的垂线，垂足为Q ，若|OQ |＝2b ，椭圆的离心率为e ，则a 2＋e 22b的最小值为( ) A.32 B.62C. 3 D ．1解析：如图所示，设∠F 1PF 2的外角平分线为PT ，则F 2Q ⊥PT ，延长F 2Q 交F 1P 的延长线于M .∵PT 为∠F 2PM 的平分线，且PQ ⊥F 2M ，∴△F 2PM 为等腰三角形，且|PM |＝|PF 2|，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PM |＋|PF 1|＝|F 1M |＝2a .又∵O 为F 1F 2的中点，Q 为F 2M 的中点，∴|OQ |＝12|F 1M |， ∴|OQ |＝a ，又|OQ |＝2b ，∴a ＝2b ，∴e ＝1－b 2a 2＝32. ∴a 2＋e 22b ＝4b 2＋342b ＝2b ＋38b ≥22b ·38b ＝3，当且仅当2b ＝38b ，即b ＝34时，取得等号，故选C.答案：C二、解答题5．如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0.由于l 与C 只有一个公共点，故Δ＝0，即b 2－m 2＋a 2k 2＝0，解得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2km b 2＋a 2k 2，b 2m b 2＋a 2k 2.又点P 在第一象限，故点P 的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2k b 2＋a 2k2，b 2b 2＋a 2k 2. (2)由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2k b 2＋a 2k 2＋b 2k b 2＋a 2k 21＋k 2，整理得d ＝a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k 2.因为a 2k 2＋b 2k 2≥2ab ， 所以a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k 2≤ a 2－b 2b 2＋a 2＋2ab＝a －b ， 当且仅当k 2＝b a时等号成立． 所以，点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. 设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1<n <1.因为直线P A 的方程为y －1＝n －1mx ， 所以x M ＝m 1－n，即M ⎝⎛⎭⎫m 1－n ，0. (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )．设N (x N,0)，则x N ＝m 1＋n. “存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”， 即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1， 所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ .点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．7．(2016·豫北名校4月联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2x －2y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ，B 为动直线y ＝k (x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问在x 轴上是否存在定点E ，使得EA →2＋EA →·AB →为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．解：(1)由e ＝63，即c a ＝63， 得c ＝63a ，(*) 由已知得圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，又圆与直线2x －2y ＋6＝0相切，所以a ＝622＋－22＝6，代入(*)式得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝2.所以椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.(2)存在．由⎩⎪⎨⎪⎧ x 26＋y 22＝1，y ＝k x －得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1x 2＝12k 2－61＋3k 2， 假设在x 轴上存在定点E (m,0)，使得EA →2＋EA →·AB →＝(EA →＋AB →)·EA →＝EA →·EB →为定值，则EA →·EB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2)＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2) ＝m 2－12m ＋k 2＋m 2－1＋3k 2的值与k 无关，∴3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，得m ＝73.此时，EA →2＋EA →·AB →＝m 2－6＝－59，所以在x 轴上存在定点E ⎝⎛⎭⎫73，0，使得EA →2＋EA →·AB →为定值，且定值为－59.。

高三数学解答题难题突破—圆锥曲线中直线过定点问题探究【题型综述】直线过定点的解题策略一般有以下几种：（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.(2)直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.【典例指引】类型一 椭圆中直线过未知顶点问题例1 【2017课标1，理20】已知椭圆C ：2222=1x y a b（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.类型二 椭圆中直线过已知定点问题例2. 【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =。

(1) 求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=，证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。

【解析】(1)设出点P 的坐标，利用=NP得到点P 与点,M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222x y +=。

（2）由题意知()1,0F -。

设()()3,,,Q t P m n -,则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-， ()(),,3,OP m n PQ m t n ==---。

题型一 求圆锥曲线的标准方程例1 (2015·天津变式)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为________. 【答案】 x 2－y 23＝1【思维升华】 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程.【跟踪训练1】 (2014·课标全国Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32， F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程. 【解析】(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而PQ ＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.题型二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)(2015·湖南变式)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________. A.73 B.54 C.43 D.53(2)已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，P 为x 轴上一动点，经过点P 的直线y ＝2x ＋m (m ≠0)与双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为________. 【答案】 (1)53 (2)52【解析】(1)由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.(2)由双曲线的方程可知：渐近线方程为y ＝±a bx .∵经过P 的直线y ＝2x ＋m (m ≠0)与双曲线C 有且只有一个交点，∴此直线与渐近线y ＝a bx 平行，∴a b＝2. ∴e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝52. 【思维升华】 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系.掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力.【跟踪训练2】 (2014·北京)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论. 【解析】故d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x0＋2y20x0x20＋y20＋4y20x20＋4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋x20x0x40＋8x20＋162x20＝ 2.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切. 综上，直线AB与圆x2＋y2＝2相切. 题型三最值问题例3 设椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，长轴长为62，设过右焦点F 倾斜角为θ的直线交椭圆M 于A ，B 两点. (1)求椭圆M 的方程； (2)求证：AB ＝621＋sin 2θ； (3)设过右焦点F 且与直线AB 垂直的直线交椭圆M 于C ，D ，求AB ＋CD 的最小值.(3)解 过右焦点F 且与直线AB 垂直的直线交椭圆M 于C ，D ，同理可得 CD ＝62 1＋k 22＋k 2＝621＋cos 2θ， 所以AB ＋CD ＝621＋sin 2θ＋621＋cos 2θ＝1822＋14sin 22θ.因为sin 2θ∈0,1]，所以当且仅当sin 2θ＝1时，AB ＋CD 有最小值是8 2.【思维升华】 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值. 【跟踪训练3】 (2015·课标全国Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66).当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________. 【答案】 12 6【解析】 设左焦点为F 1，PF －PF 1＝2a ＝2，∴PF ＝2＋PF 1，△APF 的周长为AF ＋AP ＋PF ＝AF ＋AP ＋2＋PF 1，△APF 周长最小即为AP ＋PF 1最小，当A 、P 、F 1三点共线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1.与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝12 6. 题型四 定值、定点问题例4 (2015·课标全国 Ⅱ)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . (1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由. 【解析】【思维升华】 求定点及定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【跟踪训练4】 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝ 32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，A 、B 、D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值.【解析】题型五探索性问题例5 (2015·广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由. 【解析】(3)由题意知直线L 表示过定点(4,0)，斜率为k 的直线，把直线L 的方程代入轨迹C 的方程x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，化简得(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0，其中53<x ≤3，记f (x )＝(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2，其中53<x ≤3.若直线L 与曲线C 只有一个交点，令f (x )＝0.当Δ＝0时，解得k 2＝916，即k ＝±34，此时方程可化为25x 2－120x ＋144＝0，即(5x －12)2＝0，解得x ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3，∴k ＝±34满足条件.当Δ>0时，【思维升华】(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在. (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.【跟踪训练5】 (2014·湖南)如图，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2>b 2>0)均过点P (233，1)，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C 1，C 2的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|＋|＝||？证明你的结论. 【解析】(1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2,2a 1＝2. 从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P (233，1)在双曲线x 2－y 2b 21＝1上， 所以(233)2－1b 21＝1.故b 21＝3. 由椭圆的定义知2a 2＝233 2＋ 1－1 2＋ 2332＋ 1＋1 2 ＝2 3.于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2.故C 1，C 2的方程分别为 x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1.于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m 2k 2－3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0. 化简，得2k2＝m2－3，因此·＝x1x2＋y1y2＝m2＋3k2－3＋3k2－3m2k2－3＝－k2－3k2－3≠0，于是2＋2＋2·≠2＋2－2·，即|＋|2≠|－|2，故|＋|≠||.综合①②可知，不存在符合题设条件的直线.。