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(i)当-1≤a<2时,函数图象如图所示(实线部分),函数的最大值为图所示(实线部分),函数的最大值为a3-3a.
(iii)当a<-1时,函数图象如图所示(实线部分),函数没有最大值.
综上可知,当a<-1时,函数没有最大值. 疑难突破 分段函数需要分段讨论.对于①,由于x>0时, f(x)<0,而x≤0时, f(x)的值可为正数,故 只需考虑f(x)=x3-3x在(-∞,0]上的最大值即可.对于②,由于解析式中不含a,那么可以在同一平 面直角坐标系中画出两个相应函数的图象,从图中观察a处于同一位置时函数图象最高点的情 况即可.
高考理数
(北京市专用)
§2.1
函数的概念及其表示
五年高考
A组
自主命题·北京卷题组
1.(2011北京,6,5分)根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=
c , x A, x c , x A (A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么 A
B组
考点一
A.(0,1) C.(0,1]
统一命题、省(区、市)卷题组
)
函数的概念及其表示
B.[0,1) D.[0,1]
x 0, 解得0≤x<1,故选B. 1 x 0,
1.(2013江西,2,5分)函数y= x ln(1-x)的定义域为 (
答案 B 由
2.(2014江西,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a= ( A.1 B.2 C.3 D.-1
当t≠0时,直线AD的方程为y= x,分别与直线y=1,y=2,y=3交于点M1 ,1 ,M2 , 2 ,M3 t ,3 .
4 t
3 . 4 t ,3
4 3 当0< t<1时,直线y=1,y=2,y=3在平行四边形ABCD内部的线段上各有4个整点, 4
9, t 0, 4 4 12, k t (k 1), (其中k∈Z).故选C. 综上得,N(t)= 3 3 4 11, t (k 1) 3
解法二:如图(1)所示,N(t)=9,如图(2)所示,N(t)=11,如图(3)所示,N(t)=12.故函数N(t)的值域为{9,1
1,12}.
(3)
错因分析 不会把区域内的整点个数问题转化为求区域内纵坐标为同一整数或横坐标为同 一整数的线段上的整点问题,不会分类或分类讨论不完整等造成错误. 评析 本题考查区域内的整点个数问题,考查分类讨论思想、数形结合思想和逻辑推理能力.
解题的关键是先把区域内的整点问题转化为求区域内纵坐标为同一整数(或横坐标为同一整
)
答案 A 由已知条件可知 f[g(1)]=f(a-1)=5|a-1|=1, ∴|a-1|=0,得a=1.故选A. 评析 本题主要考查函数的解析式,正确理解函数的定义是解题关键.
log 2 x 1 的定义域为 3.(2018江苏,5,5分)函数f(x)=
.
答案 [2,+∞) 解析 本题考查函数定义域的求法及对数函数. 由题意可得log2x-1≥0, 即log2x≥1,∴x≥2. ∴函数的定义域为[2,+∞). 易错警示 函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合,函数的定义 域要写成集合或区间的形式.
c A c 4
c A
2.(2011北京,8,5分)设A(0,0),B(4,0),C(t+4,4),D(t,4)(t∈R).记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含 边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数N(t)的值域为 ( A.{9,10,11} B.{9,10,12} C.{9,11,12} D.{10,11,12} )
答案 C 解法一:当t=0时,平行四边形ABCD为正方形,不含边界的整点个数为9.
t t 3 4 2 4 4 t t 同理,直线BC的方程为y= (x-4)分别与直线y=1,y=2,y=3交于点N1 4 ,1 ,N2 4 , 2 ,N3 t 4 2
故此时N(t)=12;
3 t=1时,直线y=1,y=2在平行四边形ABCD内部的线段上各有4个整点,而直线y=3在平行四边 当 4
形ABCD内部的线段上只有3个整点,此时N(t)=11.
3 t<k+1(k∈Z)时,N(t)=12; 同理可得当k< 4
3 t=k+1(k∈Z)时,N(t)=11. 当 4
; .
②若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是 答案 ①2 ②(-∞,-1) 解析
x3 3x, x 0, ①若a=0,则f(x)= 当x>0时, f(x)=-2x<0;当x≤0时, f '(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),当x 2 x, x 0.
<-1时, f '(x)>0, f(x)是增函数,当-1<x<0时, f '(x)<0, f(x)是减函数,∴f(x)≤f(-1)=2.∴f(x)的最大值 为2. ②在同一平面直角坐标系中画出y=-2x和y=x3-3x的图象,如图所示:
数)的线段上的整点问题,再进行分类讨论.本题考查的数学思想方法多,综合性强,属于难题.解 法二采用特殊值法,降低了思维量和计算量,提高了解题速度和准确率.
x 3 3 x, x a , 3.(2016北京,14,5分)设函数f(x)= x a. 2 x,
①若a=0,则f(x)的最大值为
c和A的值分别是 ( A.75,25 C.60,25 B.75,16 D.60,16
)
答案 D 由函数解析式可以看出,组装第A件产品所需时间为 =15,故组装第4件产品所需 时间为 =30, 解得c=60,将c=60代入 =15得A=16.故选D. 评析 本题考查函数模型的应用问题和分段函数的有关计算,解题关键是把实际应用问题通 过分段函数模型转化为一般代数运算.本题属于中等难度题.
