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北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》教案一. 教材分析《不等关系》是北师大版数学八年级下册第2.1节的内容，主要介绍不等式的概念和基本性质。
这一节内容是学生学习不等式的重要基础，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了有理数、方程等基础知识，对于数学符号和运算有一定的了解。
但他们对不等式的概念和性质可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.了解不等式的概念和基本性质。
2.学会用不等式表示实际问题中的不等关系。
3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.不等式的概念和基本性质。
2.如何用不等式表示实际问题中的不等关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法，引导学生通过观察、思考、讨论和操作，自主探索不等式的概念和性质，提高学生的参与度和实践能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例和练习题3.小组讨论材料七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一些实际问题中的不等关系，如身高、体重、温度等，引导学生思考如何用数学符号表示这些不等关系。
2.呈现（10分钟）介绍不等式的概念和基本性质，通过示例和讲解，让学生理解不等式的含义和运用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，选取一些实际问题，尝试用不等式表示不等关系，并互相交流分享。
4.巩固（10分钟）针对每组的问题，选取几个进行讲解和分析，引导学生正确理解和运用不等式。
5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一些不等式相关的应用题，提高学生解决实际问题的能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调不等式的概念和性质，提醒学生注意运用时的细节。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关不等式的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
8.板书（课后整理）总结本节课的主要内容和知识点，方便学生复习和回顾。
教学过程每个环节所用的时间如上所示，供您参考。
北师大版高三数学必修五《不等关系》评课稿一、前言本文是对北师大版高三数学必修五《不等关系》这一教材内容进行评课的文档。
通过对教材的内容、教材的设计与实施等方面进行细致的分析和评价，以期为改进教材的编写和教学实施提供参考。
二、教材综述《不等关系》是北师大版高三数学必修五的一章内容，主要涵盖了不等关系的基本概念、符号表示法、性质和应用等。
通过对不等关系的学习，学生将进一步理解数的大小关系，为后续学习提供基础。
2.1 教材内容教材内容主要包括以下几个方面： - 不等关系的概念：介绍了数之间的大小关系，引导学生理解不等关系的基本概念。
- 不等关系的符号表示法：介绍了大于号、小于号、大于等于号、小于等于号等符号的含义和使用方法。
- 不等关系的性质：介绍了不等关系的传递性、反对称性等基本性质，并通过例题让学生深入理解。
- 不等关系的应用：讨论了不等关系在解实际问题中的应用，如年龄问题、距离问题等。
2.2 教材设计与实施教材采用了一系列教学手段和方法来设计和实施，使学生能够主动参与学习和掌握知识。
具体设计和实施策略包括： - 情境导入：通过一个生活中的例子引入不等关系的概念，让学生能够抓住问题的实际背景。
- 知识讲解与演示：通过教师讲解和演示，引导学生理解不等关系的符号表示法和相关性质。
- 基础巩固：通过一些简单的练习题加深学生对不等关系的理解和记忆。
- 拓展应用：通过一些生活中的实际问题引导学生将不等关系应用到解决问题中。
三、评价与展望3.1 教材优点《不等关系》这一章的教材具有以下几个优点： - 知识系统性强：教材将不等关系的概念、符号表示法、性质和应用等内容有机地结合在一起，形成了一个完整的系统。
- 基础与应用结合紧密：教材既注重对基本概念和性质的讲解，又引导学生将所学知识应用到实际问题中，提高了教学的实用性。
- 教学方法多样化：教材运用了情境导入、示范与讲解、练习与巩固等多种教学方法，使学生的学习方式更加多样化。
1、不等关系素质教育目标（一）知识储备点感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式的意义，会列不等式的表示数量关系。
（二）能力培养点经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力。
（三）情感体验点使学生体会列不等式是研究量与之间关系的重要模型之一。
学法引导引导学生通过对众多实例的学习抽象出不等式的意义，并学会不等式来表示数量关系。
教学设想教学重点：理解不等式的意义，列不等式表示数量关系。
教学难点：正确理解题意列出不等式教学方法：讨论、探索法教学过程：一、实验揭题：[师]我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题。
那么：1．什么样的式子叫做等式？2．在天平两边的秤盘里，放有不同的重物，如果这时天平是平衡的，那么天平两边的重物之间有什么关系？如果在天平左边再加上一块方铁块，那么天平产生什么样的变化？[交流联想]例如：1+2=3，x+6=5x，-------象这样用“=”来表示相等关系的式子叫做等式。
在天平两边的秤盘里，放有不同的重物，如果这时天平保持平衡，那么天平两边的重物的重量是相等的。
但是，如果在天平的左边放入一块方铁，这是天平就会失去平衡，向左边倾斜。
通过实验使学生经历了从相等关系转化到不等关系的过程，明白现实世界中既存在相等关系的量，也存在不等关系的量。
由此揭示课题：不等关系。
[教师活动]提出问题，操作实验，引导发现。
[学生活动]回顾联想，观察实验，回答问题。
二、创设情景，引入新课：下面我们来看关于等周问题的趣话：《贪婪的巴霍姆》贪婪的巴霍姆——等周问题趣话巴霍姆到草原去购买土地，卖地的酋长出了一个奇怪的地价：“每天1000卢布。
”这是什么意思呢？原来，这个卖地者提出的价格是，谁出1000卢布，他就可以去圈土地。
圈多少呢？没有限制，可是有时间限制：圈一天——在一天之内能走多少地方，那么走过线路所圈的土地就全部属于他。
此外，还附带一个条件是：一定要在日出时从规定地点出发，在日落前返回原出发点。
§1不等关系知能目标解读1.通过具体的情境，感受现实生活中存在的大量不等关系，并了解不等式（组）的实际背景.2.能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小，并掌握不等关系的传递性和不等式的基本性质.重点难点点拨重点：比较两数（或式）的大小，理解不等式的性质及其证明，并能说出每一步推理的理由.难点：对不等式性质的准确把握以及严密的逻辑推理证明能力的培养.学习方法指导一、不等关系1.不等式：我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连结两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式.2.在上述符号中，用“>”、“<”连结的不等式，表示严格的不等关系，是严格不等式；用符号“≥”、“≤”、“≠”连结的不等式，表示非严格的不等关系，是非严格不等式.注意：如何理解表示不等式的各个符号的含义？不等式表示的是不相等的关系.对于“不相等”可以是“大于”或“小于”.对于不等式a≤b，表示的是a<b或a=b，只需满足其中一条，不等式就成立.如3≤3就是3<3或3＝3，尽管3<3不成立，但3＝3成立，因此，我们说3≤3这个不等式成立.对于不等式a≥b，表示的是a>b或a=b，同样也是只需满足其中一条，不等式就成立.对于实数来讲，只存在a=b 或a>b或a<b三种关系中的一种，不可能同时满足两条.3.不等关系与不等式的异同不等关系与不等式是不同的概念，前者强调的是关系，可用符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”来表示，而后者表示的是两者的不等关系，可用“a>b”、“a<b”、“a≠b”、“a≥b”或“a≤b”等式子表示，这二者之间的关系是可以通过不等式来体现的，离开了不等式，不等关系就无从体现.注意：在数学意义上，不等关系主要体现在四个方面：①常量与常量之间的不等关系；②变量与常量之间的不等关系；③函数与函数之间的不等关系；④一组变量之间的不等关系.二、用不等式（组）来表示不等关系有的问题以图像的形式揭示函数与函数的不等关系；有的以代数式的形式揭示各组变量之间的不等关系，解决这类问题的关键是找全题目的限制条件，利用限制条件列出不等关系，一定要注意变量的实际意义.由此可见，现实生活中大量的数量关系是通过不等式来表示的.不等式是研究不等关系的数学工具，从而理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.三、实数比较大小的依据与方法1.实数的两个特征（1）任意实数的平方不小于0，即a∈R a2≥0.（2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数.2.实数比较大小的依据在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示（如图）中，可以看出a 与b 之间具有以下性质：如果a-b 是正数，那么a >b ；如果a -b 是负数，那么a <b ；如果a -b 等于零，那么a=b .反之也成立，就是a-b >0⇔a >b ;a-b =0⇔a=b ;a -b <0⇔a <b .上面等价符号的左式反映的是实数运算性质，右式反映的则是实数大小的顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系.它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式性质、证明不等式和解不等式的主要依据.3.实数比较大小的方法（1）比较两个实数a 与b 的大小，需归结为判断它们的差a-b 的符号（注意：指的是差的符号，至于差的值究竟是什么，无关紧要）.（2）比较两个实数大小的步骤：作差→化简整理（配方，分解因式、分类讨论）→判断差的符号→得出结论. 注意：（1）在比较两个代数式的大小时，一定要注意字母的取值范围；（2）比较实数的大小经常用到分类讨论的方法，此处分类讨论的标准是：对于任意两个实数 a 和b ，在a=b ， a>b,a<b 三种关系中有且仅有一种关系成立. 四、不等式的性质1.不等式的性质（1）a>b ⇔b<a .(2)a>b,b>c ⇔a>c .(3)a>b ⇔a+c>b+c .推论 a>b,c>d ⇔a+c>b +d .(4)a>b ,c >0⇔ac>bc ;a>b,c <0⇔ac<bc .推论1 a>b >0,c>d >0⇔ac>bd ;推论2 a>b,ab >0⇔a 1<b 1; 推论3 a>b >0⇔a n >b n (n ∈N ＋,且n >1).(5)a>b >0⇔n a >n b (n ∈N ＋,且n >1).2.关于不等式性质的式子的理解（1）说明了不等式的对称性；（2）说明了不等式的传递性；（3）表示同向不等式具有可加性，它是不等式移项的基础；（4）表明不等式两边允许用非零数（式）乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号.知能自主梳理1.不等式的定义用 表示不等关系的式子叫不等式.2.比较实数大小的依据设a,b ∈R ，则a-b >0⇔ ;a-b =0⇔ ;a-b <0⇔ .3.不等式的基本性质(1)a>b,b>c ⇒ ;(2)a>b,c >0⇒ ;(3)a>b,c <0⇒ ;(4)a>b,c>d ⇒ ;(5)a>b >0,c>d >0⇒ ;(6)a>b >0,n ∈N +,n >1⇒ .［答案］ 1.不等号 2.a>b a=b a<b3.(1)a>c (2)ac>bc (3)ac<bc (4)a+c>b+d (5)ac>bd (6)a n >b n , n a >n b思路方法技巧命题方向 比较大小［例1］ 已知x <1,比较x3-1与2x 2-2x 的大小.［分析］ 作差→因式分解变形→判断符号［解析］ x 3-1-(2x 2-2x )=x 3-2x 2+2x -1=(x 3-x 2)-(x 2-2x +1)=x 2(x -1)-(x -1) 2=(x -1)(x 2-x +1)=(x -1)（x -21）2+43 ∵x <1,∴x -1<0.又∵（x -21）2+43>0, ∴(x -1)［（x -21）2＋43］<0, ∴x 3-1<2x 2-2x .［说明］ 1.作差法比较两个实数的大小时，关键是作差后变形，一般变形越彻底越有利于下一步的判断.因式分解配方通分2.变形的方法对数与指数运算性质分母或分子有理化分类讨论〖JB)〗变式应用1设p =a 2b 2+5,Q =2ab -a 2-4a ,若P >Q ,求实数a,b 应满足的条件.［解析］ P-Q ＝a 2b 2+5-2ab+a 2+4a=(ab -1) 2+(a +2) 2∵P>Q ,∴(ab -1) 2+(a +2) 2>0∴ab ≠1或a ≠-2.故实数a 、b 应满足的条件是ab ≠1或a ≠-2.命题方向 应用不等式（组）表示不等关系［例2］ 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，此时可以售出8万本，据市场调查，若单价每本提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后的杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？［分析］ 利用提价后的价格x 表示出销售总收入，再将题中所要求的不等关系用不等式表示.［解析］ 杂志的定价为x 元，则销售的总收入为（8-2.05.2 x ×0.2）x 万元，那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以用不等式表示为（8-2.05.2-x ×0.2）x ≥20.［说明］ 决此类问题的关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件找到不等关系，然后用不等式表示即可.变式应用2咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为9g,4g,3g,乙种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为4g ，5g ，10g ，已知每天可用原料为奶粉3600g ，咖啡2000g ，糖3000g.写出每天配制的两种饮料的杯数所满足的不等式组. ［解析］ 每天应配制甲种饮料x 杯，乙种饮料y 杯，则x 、y 应满足如下条件： （1）奶粉的总使用量不大于3600g ；（2）咖啡的总使用量不大于2000g ；（3）糖的总使用量不大于3000g ； （4）x,y 为自然数.∴x,y 满足不等式组：9x +4y ≤3600,4x +5y ≤2000,3x +10y ≤3000,x ∈N , y ∈N .命题方向 不等式性质的简单应用［例3］ 对于实数a 、b 、c ，有下列命题①若a ＞b ,则ac ＜bc ;②若ac 2>bc 2,则a>b ;③若a<b <0,则a 2>ab>b 2;④若c>a>b >0;则a c a ->bc b -; ⑤若a>b , a 1>b1,则a >0,b <0. 其中真命题的个数是（ ）A.2B.3C.4D.5［答案］ C［解析］ ①c 的正、负或是否为零未知，因而判断ac 与bc 的大小关系缺乏依据，故该命题是假命题.②由ac 2>bc 2知c ≠0,所以c 2>0,所以a>b ,故该命题是真命题.a<b a<b③ a ２>ab, ab >b 2.所以a 2>ab>b 2故该命题为真命题.a <0 b<0④a>b ⇒-a <-b ⇒c-a<c-b .因为c>a ,所以c-a >0.所以0<c-a<c-b . 两边同乘以()()b c a c --1,得a c -1>b c -1>0. 又因为a>b >0,所以a c a ->bc b -.故该命题为真命题. ⑤a>b ⇒a-b >0, a 1> b 1⇒a 1－b 1>０⇒ab a b ->０.因为a-b >0,所以b-a <0.所以ab <0. 又因为a>b ,所以a >0,b <0,故该命题为真命题.综上可知，命题②、③、④、⑤都是真命题.故选C.［说明］ 通过本例，可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握各性质的条件和结论.在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同乘（除）以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定.变式应用3判断下列各题的对错.（1）bc a c <且c >0⇒a>b （ ） （2）a>b 且c>d ⇒ac>bd （ ） （3）a>b >0且c>d >0⇒cb b a >（ ） （4）⇒>22c b c a a>b （ ） ［答案］ × × √ √ bc a c < ［解析］ （1） ⇒a 1<b 1 ｃ>０当a <0,b >0时，此式成立，推不出a>b ，∴(1)错；（2）当a =3,b =1,c =-2,d =-3时，命题显然不成立，∴（2）错；a>b>0（3）c>d>0⇒d a >cb >0⇒c bd a >成立.∴(3)对； （4）显然c 2>0,∴两边同乘以c 2,得a>b .∴(4)对.探索延拓创新命题方向 应用不等式的性质讨论范围［例4］ 已知：-2π≤α<β≤2π，求2βα+，2βα-的范围.［分析］ 已知的不等式相当于 -2π≤α≤2π -2π≤β≤2π α<β，故本题其实就是已知单角范围求和角、差角范围，所以要进行不等式的加减.但我们只有这样的性质：同向不等式可相加，那么要进行不等式相减怎么办？那只有将其转化为同向不等式再相加.［解析］ ∵-2π≤α<β≤2π， ∴-2π≤α<2π ①, -2π<β≤2π ②， ∴①+②得-π<α+β<π∴-2π<2βα+<2π. 由②得-2π≤-β<2π， ④ ①+④得-π≤α-β<π，又α<β，∴α-β<0，∴-π≤α-β<0，∴-2π≤2βα-<0. 变式应用4已知12<a <60,15<b <36，求a-b 及ba 的取值范围. ［解析］ 欲求a-b 的范围,应先求-b 的范围,欲求b a 的范围,应先求b 1的范围,再利用不等式性质求解.∵15<b <36,∴-36<-b <-15.∴12-36<a-b <60-15,∴-24<a-b <45.又361<b 1<151, ∴15603612<<b a , ∴431<<b a . 名师辨误做答［例5］ 已知1≤a+b ≤5，-1≤a-b ≤3，求3a -2b 的范围.［误解］ ∵1≤a+b ≤5，-1≤a-b ≤3,∴0≤a ≤4.又∵1≤a+b ≤5,-3≤-(a-b )≤1，∴-1≤b ≤3.∵0≤a ≤4,-1≤b ≤3,∴0≤3a ≤12,-6≤-2b ≤2,∴-6≤3a -2b ≤14.［辨析］ 在误解中，由已知条件推出不等式-6≤3a -2b ≤14的各个步骤，均实行了不等式性质中的推出关系，但结论是不正确的，事实上，由1≤a+b ≤5与-1≤a-b ≤3,得到0≤a ≤4,-1≤b ≤3,但这并不意味着a 与b 可各自独立地取得区间［0,4］与［-1,3］的一切值.如取a =4,b =3时，a+b =7，就已超出题设条件1≤a+b ≤5中的范围，细究缘由，就是推出关系并非等价关系.［正解］ 设a+b=u,a-b=v ,则a =2v u +,b=2v u -, 且1≤u ≤5,-1≤v ≤3.∴3a -2b =21u +25v , ∵21≤2u ≤25，-25≤25v ≤215, ∴-2≤2u +25v ≤10， 即-2≤3a -2b ≤10.课堂巩固训练一、选择题1.下列不等式：①x 2+3>2x (x ∈R );②a 3+b 3≥a 2b +ab 2(a,b ∈R );③a 2+b 2≥2（a-b -1）中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3［答案］ C［解析］ 对于①，x 2+3-2x =(x -1) 2+2>0恒成立，对于②，a 3+b 3-a 2b -ab 2=a 2(a-b )+b 2(b-a ) =(a-b )(a 2-b 2)=(a-b ) 2(a+b ),∵a 、b ∈R ,∴(a-b ) 2≥0，而a+b >0,或a+b =0,或a+b <0,故②不正确,对于③，a 2+b 2-2a +2b +2=a 2-2a +1+b 2+2b +1=(a -1) 2+(b +1) 2≥0，∴③正确，故选C.2.设x<a <0，则下列各不等式一定成立的是（ ）A. x 2<ax <a 2B. x 2>ax >a 2C. x 2<a 2<axD. x 2>a 2>ax［答案］ Bx ＜a ＜0 x 2＞ax［解析］ x ＜0 ⇒ ⇒ x 2＞ax ＞a 2.a ＜0 ax ＞a 23.若x>y 与x 1>y 1同时成立，则（ ） A. x >0,y >0 B. x >0,y <0C. x <0,y >0D. x <0,y <0［答案］ B［解析］ ∵由x ＞y 推出x 1>y1，需满足xy ＜0.又x ＞y ，∴x ＞0,y ＜0. 二、填空题4.已知x ≤1，f (x )=3x 3,g (x )=3x 2-x +1,则f (x )与g (x )的大小关系是f (x ) g (x ). ［答案］ ≤［解析］ f (x )-g (x )=3x 3-(3x 2-x +1) =(3x 3-3x 2)+(x -1)=3x 2(x -1)+(x -1)=(3x 2+1)(x -1),∵x ≤1得x -1≤0，而3x 2+1>0,∴(3x 2+1)(x -1)≤0，∴3x 3≤3x 2-x +1.∴f (x )≤g (x ).5.已知60<x <84,28<y <33,则x-y 的取值范围为 ，yx 的取值范围为 . ［答案］ (27,56) (1120,3) ［解析］ ∵28<y <33,∴-33<-y <-28,又∵60<x <84,∴27<x-y <56.由28<y <33得2811331<<y , 即31120<<yx . 三、解答题6.有一公园，原来是长方形布局，为美化市容，市规划局要对这个公园进行规划，将其改成正方形布局，但要求要么保持原面积不变，要么保持原周长不变，那么对这个公园选哪种布局方案可使其面积较大？［解析］ 设这个公园原来的长方形布局的长为a ,宽为b (a>b ).若保持原面积不变，则规划后的正方形布局的面积为ab ;若保持周长不变，则规划后的正方形布局的周长为2(a+b )，所以其边长为2b a +,其面积为（2b a +）2.因为ab -（2b a +）2 =ab -()()()04444222<--=+-=+b a b a ab b a (a>b ),所以ab <（2b a +）2.故保持原周长不变的布局方案可使公园的面积较大.课后强化作业 一、选择题1.已知a,b,c,d 均为实数，有下列命题：（ ）①若ab ＜0,bc-ad ＞0,则0>-b d a c ; ②若ab ＞0, 0>-b d a c ,则bc-ad ＞0; ③若bc-ad ＞0, 0>-bd a c ，则ab ＞0. 其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3［答案］ C［解析］ ①∵ab ＜0,∴ab 1＜0, 又∵bc-ab ＞0,∴ab 1·（bc-ad ）＜0即0<-bd a c , ∴①错； ②∵ab ＞0,0>-b d a c , ∴ab (bd a c -)＞0, 即：bc-ab ＞0,∴②正确；③∵0>-b d a c ,∴abad bc -＞0， 又∵bc-ad ＞0,∴ab ＞0,∴③正确. 2.已知P ＝112++a a ,Q =a 2-a +1,则P 、Q 的大小关系为（ ） A.P>Q B.P<QC.P ≤QD.无法确定［答案］ C［解析］ P-Q ＝112++a a -a 2+a -1=1112223234++---+++---a a a a a a a a a a =()111222224+++-=++--a a a a a a a a , ∵a 2+a +1=(a +21)2+43>0,-a 2(a 2+1)≤0，∴()11222+++-a a a a ≤0， ∴P ≤Q .3.(2011·陕西文，3)设0<a<b ,则下列不等式中正确的是（ ） A.a<b <ab <2b a + B.a <ab <2b a +<b C.a <ab <b <2b a + D. ab <a <2b a +<b ［答案］ B［解析］∵0<a<b ,∴a <2b a +<b , 故A 、C 错误；ab -a =a (b -a )>0,即ab >a ,故选B.本题也可通过特殊值法解决，如取a =1,b =4,易知选B.4.若a 、b 是任意实数，且a >b ,则（ ）A.a 2>b 2B.ab <1 C.lg(a-b )>0 D.( 21)a <(21)b ［答案］ D［解析］ a >b 并不保证a 、b 均为正数，从而不能保证A 、B 成立.又a>b ⇒a-b >0,但不能保证a-b >1,从而不能保证C 成立，显然只有D 成立.事实上，指数函数y =(21)x 在x ∈R 上是减函数，所以a>b ⇒(21)a <(21)b 成立.故选D. 5.已知a<b <｜a ｜，则以下不等式中恒成立的是（ ）A.｜b ｜<-aB.ab >0C.ab <0D.｜a ｜<｜b ｜［答案］ A［解析］ 特殊值法：令a =-1,b =0,满足a<b <|a |,ab =0,排除B 、C ，｜a ｜>|b |,排除D ，故选A.6.已知a 2+a <0,那么a,a 2,-a ,-a 2的大小关系是（ ）A.a 2>a >-a 2>-aB.-a >a 2>-a 2>aC.-a >a 2>a >-a 2D.a 2>-a >a >-a 2［答案］ B［解析］ 特殊值法：∵a 2+a <0,∴-1<a <0.令a =-21,则a 2=41,-a =21,-a 2=-41，故选B. 一般解法：由a 2+a <0,得0<a 2<-a且a <-a 2<0,故a <-a 2<a 2<-a ,选B.7.如图，在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上面叙述的不等关系正确的是（ ）A.a ＞4bB.(a +4)(b +4)=200 a ＞4bC. (a +4)(b +4)=200a ＞4bD.4ab =200［答案］ C8.如果a ＞0,且a ≠1,M =log a （a 3+1），N =log a （a 2+1），那么（ ）A.M ＞NB.M ＜NC.M=ND.M 、N 的大小无法确定［答案］ A［解析］ 当a ＞1时a 3+1＞a 2+1，y=log a x 单增，∴log a (a 3+1)＞log a （a 2+1）.当0＜a ＜1时a 3+1＜a 2+1，y =log a x 单减.∴log a (a 3+1)＞log a (a 2+1),或对a 取值检验.二、填空题9.已知三个不等式：①ab >0;②bc a c >;③bc >ad .以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题 .若③成立，则①成立∴②③⇒①；若①成立则③成立，∴①②⇒③.若③成立即bc ＞ad ,若①成立，则ab ad ab bc >，∴a c ＞bd ∴①③⇒②. 10.如果a>b ，那么下列不等式：①a 3>b 3;②ba 11<; ③3a >3b ;④lg a >lg b . 其中恒成立的是 . ［答案］ ①③ ［解析］ ①a 3-b 3=(a-b )(a 2+b 2+ab )=(a-b )［(a +2b )2+43b 2］>0; ③∵y =3x 是增函数，a >b ，∴3a >3b当a >0,b <0时，②④不成立.11.设m =2a 2+2a +1,n =(a +1) 2,则m 、n 的大小关系是 . ［答案］ m ≥n［解析］ m-n =2a 2+2a +1-(a +1) 2＝a 2≥0.12.设a ＞b ＞0,m ＞0,n ＞0，则p =a b ,q =b a ,r =m a m b ++,s =n b n a ++的大小顺序是 . ［答案］ p ＜r ＜s ＜q［解析］ 取a =4,b =2，m =3,n =1,则p =21,q =2, r =73,s =35则p ＜r ＜s ＜q （特值探路）. 具体比较如下： p-r =a b -m a m b ++=()()m a a m a b +-＜0，∴p ＜r . ∵a ＞b ＞0,m ＞0,n ＞0∴a+m ＞b+m ＞0.a+n ＞b+n ＞0，∴m a m b ++＜1, nb n a ++＞1,∴r ＜s . 或r-s =m a m b ++-n b n a ++ =()()()()n b m a n m a b a b +++++-<0.∴r ＜s .s-q =n b n a ++-b a =()()n b b n a b +-·＜0，∴s ＜q .∴p ＜r ＜s ＜q . 三、解答题13.某城市电信宽带私人用户月收费标准如下表：方案类别 基本费用 超时费用 甲包月制（不限时） 120元 无 乙 限时包月制（限60小时） 80元 2元/时 问某用户每月上网时间在多少小时以内，选择乙方案比较合适？ ［解析］ 设用户每月上网时间为x 小时，则选择乙方案为80(0≤x ≤60) y = 2(x -60)+80(x >60), 由2(x -60)+80≤120,得x ≤80, ∴某用户每月上网时间在80小时以内，选择乙方案比较合适. 14.(1)已知a>b,e>f,c >0.求证：f-ac<e-bc . (2)若bc-ad ≥0,bd >0.求证：b b a +≤dd c +. ［解析］ (1)∵a>b,c >0,∴ac>bc,∴-ac<-bc,∵f <e ,∴f -ac <e -bc .(2)∵bc-ad ≥0,∴ad ≤bc ,又∵bc >0,∴b a ≤dc , ∴b a +1≤dc +1, ∴b b a +≤dd c +. 15.已知a 、b 为正实数，试比较ab b a +与a +b 的大小. ［解析］ 解法一：（ab b a +）－（a +b ）＝（b b a -）- （a a b -）=aa b b b a -+- =()()ab b a b a --=()()ab b a b a 2-+. ∵a 、b 为正实数，∴a +b >0, ab >0,( a -b )2≥0.∴()()ab b a b a 2-+≥0，当且仅当a=b 时，等号成立. ∴ab b a +≥a +b ，当且仅当a=b 时取等号. 解法二：∵（ab b a +）2＝ab a b b a 222++,(a +b )2=a+b +2ab , ∴（a b b a +）2-(a +b )2=ab a b b a 222++-(a+b +2ab ) =()abb a ab b a +-+33 ＝()()()abb a ab b ab a b a +-+-+22 =()()abb a b a 2-+. ∵a 、b 为正实数，∴()()abb a b a 2-+≥0， ∴（ab b a +）2≥(a +b )2. 又∵a b b a +>0，a +b >0， ∴ab b a +≥a +b ，当且仅当a=b 时取等号. 16.已知0<a+b <2π,-2π<a-b <3π,求2a 和3a -3b 的取值范围. ［解析］ ∵0<a+b<2π -2π<a-b<3π, 两式相加得-2π<2a <65π. 设3a -3b =m (a+b )+n (a-b ) =a (m+n )+b (m-n ),则有 m+n =3m-n =-31, 解得m =34,n =35.∴3a -3b =34 (a+b )+ 35 (a-b ). 0<34 (a+b )<32π -65π<35 (a-b )< 95π, 两式相加，得-65π<3a -3b <911π. 故2a ∈(-2π,65π),3a -3b ∈(-65π, 911π).。
2．1不等关系1．了解不等式的概念；2．会用不等式表示简单问题的数量关系．(重点，难点)一、情境导入有一群猴子，一天结伴去摘桃子．分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下59个；如果每只猴子分5个，那么最后一只猴子分得的桃子不够5个．你知道有几只猴子，几个桃子吗？二、合作探究探究点一：不等式的概念以下各式中：①－3＜0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x2＋xy＋y2；⑤x≠5；⑥x＋2＞y ＋3.不等式的个数有()A．5个B．4个C．3个D．1个解析：③是等式；④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4个．应选B.方法总结：此题考查不等式的判别，一般用不等号表示不等关系的式子是不等式．解答此类题的关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠.如果式子中没有这些不等号，就不是不等式．探究点二：列不等式【类型一】用不等式表示数量关系根据以下数量关系，列出不等式：(1)x与2的和是负数；(2)m与1的相反数的和是非负数；(3)a与－2的差不大于它的3倍；(4)a，b两数的平方和不小于他们的积的两倍．解析：(1)负数即小于0；(2)非负数即大于或等于0；(3)不大于就是小于或等于；(4)不小于就是大于或等于．解：(1)x＋2<0；(2)m－1≥0；(3)a＋2≤3a；(4)a2＋b2≥2ab.方法总结：在列不等式时要善于将文字与相应的数学符号相对应，如负数――→对应<0等，列出相应的不等式．【类型二】实际问题中的不等式亮亮准备用自己节省的零花钱买一台学生平板电脑．他现在已存有55元，方案从现在起以后每个月节省20元．假设此学生平板电脑至少需要350元，那么可以用于计算所需要的月数x的不等式是() A．20x－55≥350 B．20x＋55≥350C．20x－55≤350 D．20x＋55≤350解析：此题中的不等关系：现在已存有55元，方案从现在起以后每个月节省20元．假设此学生平板电脑至少需要350元．列出不等式20x＋55≥B.方法总结：用不等式表示数量关系时，要找准题中表示不等关系的两个量，并用代数式表示；正确理解题中的关键词，如负数、非负数、正数、大于、不大于、小于、不小于、缺乏、不超过、至少、至多等的含义．三、板书设计1．不等式的概念2．列不等式(1)找准题目中不等关系的两个量，并且用代数式表示；(2)正确理解题目中的关键词语确实切含义；(3)用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数式连接起来；(4)要正确理解常见不等式根本语言的含义．本节课通过实际问题引入不等式，并用不等式表示数量关系．要注意常用的关键词的含义：负数、非负数、正数、大于、不大于、小于、不小于、缺乏、不超过，这些关键词中如果含有“不〞“非〞等文字，一般应包括“＝〞，这也是学生容易出错的地方.第2课时三角形的三边关系1．掌握三角形按边分类方法，能够判定三角形是否为特殊的三角形；2．探索并掌握三角形三边之间的关系，能够运用三角形的三边关系解决问题．(难点)一、情境导入数学来源于生活，生活中处处有数学．观察下面的图片，你发现了什么？问：你能不能给三角形下一个完整的定义？二、合作探究探究点一：三角形按边分类以下关于三角形按边分类的集合中，正确的选项是()解析：三角形根据边分类⎩⎪⎨⎪⎧不等边三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧只有两边相等的三角形三边相等的三角形〔等边三角形〕应选D.方法总结：三角形按边分类，分成不等边三角形与等腰三角形，知道等边三角形是特殊的等腰三角形是解此题的关键．探究点二：三角形中三边之间的关系【类型一】判定三条线段能否组成三角形以以下各组线段为边，能组成三角形的是()A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cmC．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm解析：选项A中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．应选B.方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．【类型二】判断三角形边的取值范围一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是()A．3＜x＜11 B．4＜x＜7C．－3＜x＜11 D．x＞3解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x A.方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【类型三】三角形三边关系与绝对值的综合假设a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a －b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a －b.方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．三、板书设计1．三角形按边分类：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，三边互不相等的三角形是不等边三角形．2．三角形中三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三角形〞引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步感知三条边之间的关系，重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系〞．通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既增加了学习兴趣，又增强了学生的动手能力。
