江西省南昌市2016_2017学年高二数学下学期期末考试试题文

2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。

江西省南昌市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一下·西安期中) 已知集合，，则集合等于（）．A .B .C .D .2. （2分）已知复数x+（y﹣2）i，（x，y∈R）的模为，则的取值范围是（）A . [﹣， ]B . （﹣∞，﹣]∪[ ，+∞）C . [﹣， ]D . （﹣∞，﹣]∪[ ，+∞）3. （2分） (2017高二下·友谊开学考) 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A . 588B . 480C . 450D . 1204. （2分）(2014·大纲卷理) 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A . 60种B . 70种C . 75种D . 150种5. （2分）(2018·河北模拟) 已知，点为斜边的中点，，，，则等于（）A . -14B . -9C . 9D . 146. （2分） (2016高二上·桃江期中) 设等比数列{an}的前n项和为Sn ，若S5、S4、S6成等差数列．则数列{an}的公比为q的值等于（）A . ﹣2或1B . ﹣1或2C . ﹣2D . 17. （2分）以椭圆的焦点为顶点，离心率为2的双曲线方程（）A .B .C . 或D . 以上都不对8. （2分） (2016高三上·晋江期中) 把函数y=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的图象关于直线x= 对称，则φ的值为（）A . ﹣B . ﹣C .D .9. （2分） (2019高三上·上海月考) 设、是两个平面，则的充要条件是（）A . 内有无数条直线与平行B . 内有两条相交直线与平行C . 、平行于同一条直线D . 、垂直于同一个平面10. （2分）设Sn ， Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若a5=2b5 ，则 =（）A . 2B . 3C . 4D . 611. （2分） (2016高一下·周口期末) 有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·新课标Ⅰ卷理) 设x、y、z为正数，且2x=3y=5z ，则（）A . 2x＜3y＜5zB . 5z＜2x＜3yC . 3y＜5z＜2xD . 3y＜2x＜5z二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若x，y满足4x2+y2=1，则x+y的取值范围是________．14. （1分） (2015高三上·巴彦期中) 已知△ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，P为AB边上任意一点，则的最大值为________15. （1分）设{an}为公比q＞1的等比数列，若a2016和a2017是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2018+a2019=________．16. （1分）已知f（x）=x2+2（a﹣2）x+4，如果对x∈[﹣3，1]，f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为________．三、解答题 (共7题；共62分)17. （10分） (2019高三上·城关期中) 如图，在中，，点在边上，，为垂足.（1）若的面积为，求的长；（2）若，求角的大小.18. （10分） (2017高三上·连城开学考) 如图，己知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且=λ（0＜λ＜1）（1）求证：不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC：（2）若λ= ，求三棱锥A﹣BEF的体积．19. （10分）(2017·日照模拟) 已知椭圆C：的上、下焦点分别为F1 ， F2 ，上焦点F1到直线 4x+3y+12=0的距离为3，椭圆C的离心率e= ．（I）若P是椭圆C上任意一点，求| || |的取值范围；（II）设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆交于点B（B不在y轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与x 轴交于点H，若 =0，且| |=| |，求直线l的方程．20. （10分） (2016高三上·石嘴山期中) 已知函数f（x）=ln（1+x）﹣（a＞0）（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：（e为自然对数的底数）．21. （2分）(2017·成安模拟) 某超市从2017年1月甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为S12与S22 ，试比较S12与S22的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的分布列和数学期望．22. （10分）(2017·临翔模拟) 在直角坐标系xOy中，曲线（t为参数，t≠0），其中0≤a ＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4sinθ，曲线．（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标系；（Ⅱ）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|的最大值．23. （10分）(2020·鹤壁模拟) 己知，函数 .（1）若，解不等式；（2）若函数，且存在使得成立，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共62分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、23-1、23-2、。

2016-2017学年度下学期期末考试高二数学（文）试卷一、选择题1.已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6},集合P ＝{1,3,5},Q ＝{1,2,4},则(∁UP)∪Q ＝( ) A.{1} B.{3,5} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}2.在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差3函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A.(0，1)B.(1，2)C.(2，e)D.(3，4)4.已知命题p ：∀x ＞0，x ＋4x ≥4：命题q ：∃x 0∈R ＋，02x＝12.则下列判断正确的是( )A.p 是假命题B.q 是真命题C.p ∧(⌝q)是真命题D.( ⌝p)∧q 是真命题5设f (x )是定义域在R 上的偶函数，它的图象关于直线x ＝2对称，已知x ∈[－2,2]时，函数f (x )＝－x 2＋1，则x ∈[－6，－2]时，f (x )等于( )A ．－(x ＋4)2＋1 B ．－(x －4)2＋1 C ．－(x －4)2－1 D ．－(x ＋4)2－16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x，x ≥1，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1，32]C ．(1,2)D ．[32，2)7.已知命题P ：1122k ->;命题q:函数22log (2)y x kx k =-+的值域为R ,则P 是q 的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件8．函数y ＝xx ＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是（ ）．A.2a <B.2a ≥C.2a ≤D.2a >9.．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2016)＋f (2017)的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．210.已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．711.如图，E 、F 分别为棱长为1的正方体的棱11A B 、11B C 的中点，点G 、H 分别为面对角线AC 和棱1DD 上的动点（包括端点）则下列关于四面体E-FGH 的体积说法正确的是（ ）A ）此四面体体积既存在最大值，也存在最小值；B ）此四面体的体积为定值；C ）此四面体体积只存在最小值；D ）此四面体体积只存在最大值。

江西省南昌市三校2016-2017学年高二数学下学期期末联考试题文（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1. 设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A. B. -2 C. D. 2【答案】D【解析】为纯虚数,则.故选D.2. 设集合（）A. {1，2，3}B. {4，5}C. {1，2，3，4，5}D.【答案】B【解析】.故选B.3. 已知则是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】为全称命题，否定为特称，故有.故选C.4. “|x|<2”是“x2－x－6<0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】选A.|x|<2⇒-2<x<2,x2-x-6<0⇒-2<x<3,{x|-2<x<2}⊆{x|-2<x<3}.5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】A.为奇函数，是增函数；满足...B.为奇函数，在和为增函数，不在定义域单增，不正确.C.为奇函数，但不是增函数；D.函数是减函数.故选A.6. 某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为一平行六面体，侧面是边长分别为3、4的矩形，高即为底面边长3，所以。

故本题正确答案为C。

点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．7. 函数的零点所在的一个区间是（）。

2016-2017学年江西省南昌一中、十中、南铁一中联考高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（60分）1．（5分）从集合{0，1，2，3，4，5}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a +bi ，其中虚数有（ ）个． A ．36 B ．30 C ．25 D ．202．（5分）（lg2）20+C 201（lg2）19lg5+…+C 20r ﹣1（lg2）21﹣r （lg5）r ﹣1+…+（lg5）20=（ ） A ．1B ．（lg7）20C ．220D ．10203．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O ﹣xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）A ．B ．C ．D ．4．（5分）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程=x +的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ） A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元5．（5分）某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下2×2的列联表：由公式K2=，算得K2≈7.61附表：参照附表，以下结论正确是（）A．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”6．（5分）定义“三角恋写法”为“三个人之间写信，每人给另外两人之一写一封信，且任意两个人不会彼此给对方写信”，若五个人a，b，c，d，e中的每个人都恰给其余四人中的某一个人写了一封信，则不出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为（）A．704 B．864 C．1004 D．10147．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）若x∈（﹣∞，1），则函数y=有（）A．最小值1 B．最大值1 C．最大值﹣1 D．最小值﹣19．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=2.2a+b=8，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．log2310．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2．⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．10111 B．01100 C．11010 D．0001111．（5分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国元首的安全，将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排的方法共有（）A．96种B．100种C．124种D．150种12．（5分）记“点M（x，y）满足x2+y2≤a（a＞0）“为事件A，记“M（x，y）满足”为事件B，若P（B|A）=1，则实数a的最大值为（）A．B．C．1 D．13二.填空题（20分）13．（5分）已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R，使4x+2x•m+1=0”．若命题p为真命题，则实数m的取值范围是．14．（5分）在某次联考数学测试中，学生成绩η服从正态分布N（100，δ2），（δ＞0），若η在（80，120）内的概率为0.6，则落在（0，80）内的概率为．15．（5分）从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，共有种取法；另一类是取出的m个球有m﹣1个白球和1个黑球，共有种取法．显然，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：=．16．（5分）下列说法：①分类变量A与B的随机变量K2越大，说明“A与B有关系”的可信度越大．②以模型y=ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c，k的值分别是e4和0.3．③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y=a+bx 中，b=1，=1，=3，则a=1．正确的序号是．三．解答题17．（12分）某幼儿园为训练孩子的数字运算能力，在一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的卡片各两张，让孩子从盒子里任取3张卡片，按卡片上的最大数字的9倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用X表示取出的3张卡片上的最大数字（1）求取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；（2）求随机变量X的分布列及数学期望；（3）若孩子取出的卡片的计分超过30分，就得到奖励，求孩子得到奖励的概率．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD=5，PD=8，点E，F分别是PB，DC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求EF与平面PDB所成角的正弦值．19．（12分）已知的展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项，求展开式中含的项的二项式系数．20．（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2：1．（Ⅰ）证明PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．21．（12分）某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，答对2道题就终止答题，并获得一等奖．如果前三道题都答错，就不再答第四题．某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同．①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；②记该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及数学期望．22．（10分）设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．（Ⅰ）证明：|a+b|＜；（Ⅱ）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小．2016-2017学年江西省南昌一中、十中、南铁一中联考高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（60分）1．（5分）（2017春•南昌期末）从集合{0，1，2，3，4，5}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a+bi，其中虚数有（）个．A．36 B．30 C．25 D．20【分析】由题意可知b有五种不同取法，a也有五种不同取法，结合分步乘法计数原理得答案．【解答】解：要构成虚数a+bi，则b≠0，∴b可取1，2，3，4，5五个数字，有五种取法，又a，b为互不相等得两个数字，故a有五种取法．∴由分别乘法原理可知，构成虚数的个数为5×5=25个．故选：C．【点评】本题考查分步乘法计数原理，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）（2017春•南昌期末）（lg2）20+C201（lg2）19lg5+…+C20r﹣1（lg2）21﹣r（lg5）r﹣1+…+（lg5）20=（）A．1 B．（lg7）20 C．220D．1020【分析】直接利用二项式定理展开式，以及对数运算性质，求解即可．【解答】解：（lg2）20+C201（lg2）19lg5+…+C20r﹣1（lg2）21﹣r（lg5）r﹣1+…+（lg5）20=（lg2+lg5）20=1．故选：1．【点评】本题考查二项式定理的应用，对数的运算性质，考查计算能力．3．（5分）（2013•新课标Ⅱ）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A．【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．4．（5分）（2011•山东）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果． 【解答】解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上， 回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+， ∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x +9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5， 故选：B ．【点评】本题考查线性回归方程．考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，本题是一个基础题，这个原题在2011年山东卷第八题出现．5．（5分）（2017春•南昌期末）某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下2×2的列联表：由公式K 2=，算得K 2≈7.61附表：参照附表，以下结论正确是（）A．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【分析】根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，得到结论有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．【解答】解：由题意知本题所给的观测值，K2≈7.61＞6.635，∴这个结论有0.010的机会出错，即有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”．故选：C．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了对观测值表的认识与应用，是基础题目．6．（5分）（2017春•南昌期末）定义“三角恋写法”为“三个人之间写信，每人给另外两人之一写一封信，且任意两个人不会彼此给对方写信”，若五个人a，b，c，d，e中的每个人都恰给其余四人中的某一个人写了一封信，则不出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为（）A．704 B．864 C．1004 D．1014【分析】利用间接法，由题意，写信的情况共有45=1024种，出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为4×4×=320种，即可得出结论．【解答】解：由题意，写信的情况共有45=1024种，不妨设a，b，c之间出现“三角恋写法”，则共有6种情况，故出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为4×4×=320种，所以不出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为1024﹣320=704，故选：A．【点评】本题考查组合知识的运用，考查学生利用数学知识解决实际问题，属于中档题．7．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．8．（5分）（2017春•南昌期末）若x∈（﹣∞，1），则函数y=有（）A．最小值1 B．最大值1 C．最大值﹣1 D．最小值﹣1【分析】函数f（x）进行化简变形，然后利用均值不等式求出最值，注意条件：“一正二定三相等”．【解答】解：y=+=+≤﹣2=﹣1，故选C．【点评】考查了利用基本不等式求函数的值域，要注意到条件：“一正二定三相等”，同时要灵活运用不等式．9．（5分）（2017春•南昌期末）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=2.2a+b=8，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．log23【分析】由a x=b y=2，求出x，y，进而可表示，再利用基本不等式，即可求的最大值．【解答】解：∵a x=b y=2，∴x=log a2，y=log b2∴，∴=log2a+log2b=log2ab，∵2a+b=8≥，∴ab≤8（当且仅当2a=b时，取等号），∴≤log28=3，即的最大值为3．故选B．【点评】本题考查基本不等式的运用，考查对数运算，考查学生分析转化问题的能力，正确表示是关键．10．（5分）（2017春•南昌期末）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2．⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．10111 B．01100 C．11010 D．00011【分析】根据题意，只需验证是否满足h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2．经验证，A，B，C 都符合．D中，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，故错误【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项不正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B选项正确；C选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，C选项正确；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D选项正确；故选：A．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．此题注意正确理解题意，根据要求进行计算．11．（5分）（2017春•南昌期末）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国元首的安全，将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排的方法共有（）A．96种B．100种C．124种D．150种【分析】根据题意，需要将5个安保小组分成三组，分析可得有2种分组方法：按照1、1、3分组或，另一种是1、2、2分组；求出每一种情况的分组方法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分组方法：按照1、1、3分组或，另一种是1、2、2分组；若按照1、1、3来分组时，共有=60种分组方法；当按照1、2、2来分时共有=90种分组方法；，根据分类计数原理知共有60+90=150种分组方法，故选D．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意平均分组与不平均分组公式的应用．12．（5分）（2017春•南昌期末）记“点M（x，y）满足x2+y2≤a（a＞0）“为事件A，记“M（x，y）满足”为事件B，若P（B|A）=1，则实数a的最大值为（）A．B．C．1 D．13【分析】画出约束条件的可行域，利用条件概率，判断圆与可行域的关系，然后求解a的最大值即可．【解答】解：M（x，y）满足的可行域如图：记“点M（x，y）满足x2+y2≤a（a＞0）“为事件A，记“M（x，y）满足”为事件B，若P（B|A）=1，说明圆的图形在可行域内部，则实数a的最大值就是圆与直线x﹣y+1=0相切时，取得最小值，此时：，解得a=．故选：A．【点评】本题考查线性规划的简单应用，条件概率的应用，考查数形结合以及计算能力．二.填空题（20分）13．（5分）（2017春•南昌期末）已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R，使4x+2x•m+1=0”．若命题p为真命题，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【分析】由题意可知：∴﹣m=2x+，根据基本不等式的性质，即可求得m的取值范围．【解答】解：因为p为真命题，即方程4x+2x•m+1=0有实数解，∴﹣m=2x+≥2，∴m≤﹣2，故m的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故答案为：（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查了基本不等式的性质、指数的运算性质、基本不等式的性质，简易逻辑的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）（2017春•南昌期末）在某次联考数学测试中，学生成绩η服从正态分布N（100，δ2），（δ＞0），若η在（80，120）内的概率为0.6，则落在（0，80）内的概率为0.2．【分析】根据η服从正态分布N（100，σ2），得到曲线的对称轴是直线x=100，利用η在（80，120）内取值的概率为0.6，即可求得结论．【解答】解：∵η服从正态分布N（100，σ2）∴曲线的对称轴是直线x=100，∵η在（80，120）内取值的概率为0.6，∴η在（80，100）内取值的概率为0.3，∴η在（0，80）内取值的概率为0.5﹣0.3=0.2．故答案为：0.2．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题．15．（5分）（2017春•南昌期末）从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，共有种取法；另一类是取出的m个球有m﹣1个白球和1个黑球，共有种取法．显然，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：=C n+km．【分析】从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有C n+1m种取法．在这Cn+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是，取出1个黑球，m﹣1个白球，则C n m+C n m﹣1=C n+1m根据上述思想，在式子：C n m+C k1•C n m﹣1+C k2•C n m﹣2+…+C k k•C n m﹣k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数，根据排列组合公式，易得答案．【解答】解：在C n m+C k1•C n m﹣1+C k2•C n m﹣2+…+C k k•C n m﹣k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数C n+km故答案为：C n+km．【点评】这个题结合考查了推理和排列组合，处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，最后给出正确的答案．16．（5分）（2017春•南昌期末）下列说法：①分类变量A与B的随机变量K2越大，说明“A与B有关系”的可信度越大．②以模型y=ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c，k的值分别是e4和0.3．③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y=a+bx 中，b=1，=1，=3，则a=1．正确的序号是①②．【分析】①，分类变量A与B的随机变量K2越大，说明“A与B有关系”的可信度越大；②，y=ce kx两边取对数，可得lny=ln（ce kx）=lnc+lne kx=lnc+kx，令z=lny，可得z=lnc+kx，z=0.3x+4，k=0.3，c=e4．③，根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y=a+bx 中，b=1，=1，=3，则a=2．【解答】解：对于①，分类变量A与B的随机变量K2越大，说明“A与B有关系”的可信度越大，正确；对于②，∵y=ce kx，∴两边取对数，可得lny=ln（ce kx）=lnc+lne kx=lnc+kx，令z=lny，可得z=lnc+kx，∵z=0.3x+4，∴lnc=4，k=0.3，∴c=e4．即②正确；对于③，根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y=a+bx中，b=1，=1，=3，则a=2．故错故答案为：①②．【点评】本题考查了命题真假判定，涉及到了线性回归、独立性检验的基础知识，属于中档题．三．解答题17．（12分）（2013•梅州二模）某幼儿园为训练孩子的数字运算能力，在一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的卡片各两张，让孩子从盒子里任取3张卡片，按卡片上的最大数字的9倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用X表示取出的3张卡片上的最大数字（1）求取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；（2）求随机变量X的分布列及数学期望；（3）若孩子取出的卡片的计分超过30分，就得到奖励，求孩子得到奖励的概率．【分析】（1）记事件：“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件记为A”，利用古典概型的概率公式可得到结果．（2）得到随机变量X有可能的取值，计算出各值对应的概率，列表写出分布列，代入公式得到数学期望．（3）记事件“一次取卡片所得计分超过30分”的事件记为B，看出事件所包含的几种情况，根据上面的分布列求和即可．【解答】解：（1）“一次取出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为A则（3分）（2）变量X的可能取值为2，3，4，5（6分）所以分布列为从而E（X）=2×+3×+4×+5×=（8分）（3）“一次取卡片所得计分超过30分”的事件记为B∴（12分）∴孩子得到奖励的概率为（13分）【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，以及等可能事件的概率，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．18．（12分）（2017春•南昌期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD=5，PD=8，点E，F分别是PB，DC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求EF与平面PDB所成角的正弦值．【分析】取CB的中点G，连结DG，建立空间直角坐标系：（1）=（12，0，0）为平面PAD的一个法向量，根据，进而可证EF∥面PAD（2）平面PAD的法向量=（5，﹣12，0），代和线面夹角公式，可得答案．【解答】证明：取CB的中点G，连结DG，因为AD∥BG且AD=BD，所以四边形ABGD为平行四边形，所以DG=AB=12，又因为AB⊥AD，所以DG⊥AD，又PD⊥平面ABCD，故以点D原点建立如图所示的空间直角坐标系．…（2分）因为BC=10，AD=5，PD=8，所以有D（0，0，0），P（0，0，8），B（12，5，0），C（12，﹣5，0），因为E，F分别是PB，DC的中点，所以E（6，﹣2.5，0），F（6，2.5，4），（1）因为PD⊥平面ABCD，DG⊂平面ABCD，所以PD⊥DG，又因为DG⊥AD，AD∩PD=D，AD，PD⊂平面PAD，所以DG⊥平面PAD，所以=（12，0，0）为平面PAD的一个法向量，…（5分）又=（0，5，4），=0，所以，又EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD；…（7分）（2）设平面PAD的法向量为=（x，y，z），所以，即，即，令x=5，则=（5，﹣12，0）…（10分）所以EF与平面PDB所成角θ满足：sinθ===，…（13分）所以EF与平面PDB所成角的正弦值为…（14分）【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的证明，直线与平面的夹角，难度中档．19．（12分）（2017春•南昌期末）已知的展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项，求展开式中含的项的二项式系数．【分析】令a=1求得的展开式的各项系数之和， 由二项展开式的通项公式求得展开式中的常数项， 从而求得n 的值，再计算展开式中项的二项式系数． 【解答】解：令a=1得的展开式的各项系数之和为2n ，…（2分）由二项展开式的通项公式得，令10﹣5r=0，解得r=2，…（4分） 所以的展开式中的常数项是第3项， 即， 由2n =27得n=7；…（8分） 对于，由二项展开式的通项公式得， 所以的项是第4项，其二项式系数是．…（12分）【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了二项式系数与常数项的应用问题，是中档题．20．（12分）（2004•湖南）如图，在底面是菱形的四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC=60°，PA=AC=a ，PB=PD=，点E 在PD 上，且PE ：ED=2：1．（Ⅰ）证明PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．【分析】（I）证明PA⊥AB，PA⊥AD，AB、AD是平面ABCD内的两条相交直线，即可证明PA⊥平面ABCD；（II）求以AC为棱，作EG∥PA交AD于G，作GH⊥AC于H，连接EH，说明∠EHG即为二面角θ的平面角，解三角形求EAC与DAC为面的二面角θ的大小；（Ⅲ）证法一F是棱PC的中点，连接BM、BD，设BD∩AC=O，利用平面BFM ∥平面AEC，证明使BF∥平面AEC．证法二建立空间直角坐标系，求出、、共面，BF⊄平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．还可以通过向量表示，和转化得到、、是共面向量，BF⊄平面ABC，从而BF∥平面AEC．【解答】解：（Ⅰ）证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB．同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）解：作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连接EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角．又PE：ED=2：1，所以．从而，θ=30°．（Ⅲ）解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图．由题设条件，相关各点的坐标分别为.．所以．．．设点F是棱PC上的点，，其中0＜λ＜1，则=．令得即解得．即时，．亦即，F是PC的中点时，、、共面．又BF⊄平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．解法二：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下，证法一：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE．①由，知E是MD的中点．连接BM、BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点．所以BM∥OE．②由①、②知，平面BFM∥平面AEC．又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC．证法二：因为==．所以、、共面．又BF⊄平面ABC，从而BF∥平面AEC．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，二面角的求法，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，转化思想，是中档题．21．（12分）（2013•南充一模）某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，答对2道题就终止答题，并获得一等奖．如果前三道题都答错，就不再答第四题．某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同．①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；②记该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）根据样本容量，频率和频数之间的关系得到要求的几个数据，注意第三个数据是用样本容量减去其他三个数得到．（2）①该同学恰好答满4道题而获得一等奖，即前3道题中刚好答对1道，第4道也能够答对才获得一等奖，根据相互独立事件的概率公式得到结果．②答对2道题就终止答题，并获得一等奖，所以该同学答题个数为2、3、4．即X=2、3、4，结合变量对应的概率，写出分布列和期望．【解答】解：（1）根据样本容量，频率和频数之间的关系得到①0.16×50=8②=0.44③50﹣8﹣22﹣14=6④=0.12（2）由（1）得，p=0.4，①该同学恰好答满4道题而获得一等奖，即前3道题中刚好答对1道，第4道也能够答对才获得一等奖，则有C31×0.4×0.62×0.4=0.1728．②答对2道题就终止答题，并获得一等奖，∴该同学答题个数为2、3、4．即X=2、3、4，P（X=2）=0.42=0.16，P（X=3）=C210.4×0.6×0.4+0.63=0.408，P（X=4）=C310.4×0.62=0.432，∴分布列为：∴EX=2×0.16+3×0.408+4×0.432=3.272．【点评】本小题考查频率、频数和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的随机变量的分布列及数学期望，是一个综合题．22．（10分）（2017春•南昌期末）设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．（Ⅰ）证明：|a+b|＜；（Ⅱ）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解：（Ⅰ）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…（3分）∵a、b∈M，∴|a|＜，|b|＜，∴|a+b|≤|a|+|b|＜．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…（9分）所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…（10分）【点评】本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查计算能力．。

2016-2017学年江西省南昌二中高二（下）第一次段考数学试卷（文科）一、选择题1．给出下列四个命题，其中正确的是（）①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中存在三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．A．②③B．①②③C．①②D．②③④2．过正三棱柱底面一边所作的正三棱柱的截面是（）A．三角形B．三角形或梯形C．不是梯形的四边形D．梯形3．已知a、b是异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β，则α、β的位置关系是（）A．相交B．平行C．重合D．不能确定4．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8 C．2+3D．2+25．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a∥α，a∥β，则α∥βC．若a∥b，a⊥α，则b⊥αD．若a∥α，α⊥β，则α⊥β6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中x的为（）A．2.5 B．3 C．3.2 D．47．已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC．则下列结论不正确的是（）A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAF C．CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD 8．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（）A．B．1 C．D．9．在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π10．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，截面AB1C1D与底面ABCD所成二面角的正切值为2，则B1点到平面AD1C的距离为（）A．B．C．D．11．如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（）①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；④存在点E使得SE⊥BA．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点P在此正方体的表面上运动，且PA=x（0＜x＜），记点P的轨迹的长度为f（x），则函数f（x）的图象可能是（）A．B． C．D．二、填空题13．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF=时，CF⊥平面B1DF．14．三棱锥S﹣ABC中，SA=AB=AC=2，∠ASB=∠BSC=∠CSA=30°，M，N分别为SB，SC上的点，则△AMN周长最小值为．15．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积等于．16．空间中任意放置的棱长为2的正四面体ABCD，下列命题正确的是．（写出所有正确命题的编号）①正四面体ABCD的主视图面积可能是；②正四面体ABCD的主视图面积可能是；③正四面体ABCD的主视图面积可能是；④正四面体ABCD的主视图面积可能是2；⑤正四面体ABCD的主视图面积可能是4．三、解答题17．如图，正四棱锥P﹣ABCD中底面边长为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为．（1）求正四棱锥P﹣ABCD的外接球半径；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AA1=AC=4，AB=1．（Ⅰ）求证：A1B1⊥B1C1；（Ⅱ）求三棱锥ABC﹣A1B1C1的侧面积．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AC=2，．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；（Ⅱ）如果M是棱PD上的点，N是棱AB上一点，AN=2NB，且三棱锥N﹣BMC的体积为，求的值．20．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，，O为AD上一点，且AO=1，平面外两点P，E满足，AE=1，EA⊥平面ABCD，PO∥EA．（1）证明：BE∥平面PCD．（2）求该几何体的体积．21．曲线C1上任意一点M满足|MF1|+|MF2|=4，其中F1（﹣，0），F2（，0）抛物线C2的焦点是直线y=x﹣1与x轴的交点，顶点为原点O．（1）求C1，C2的标准方程；（2）请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同两点M，N，且满足⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）=﹣（k∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为10，求函数f（x）的最大值；（2）若不等式x2f（x）+≥0与k≥x2+（e2﹣2）x﹣e x﹣7在[1，+∞）上均恒成立，求实数k的取值范围．2016-2017学年江西省南昌二中高二（下）第一次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．给出下列四个命题，其中正确的是（）①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中存在三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．A．②③B．①②③C．①②D．②③④【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由正方形的四个顶点共面，知①④错误；由②③正确．【解答】解：在①中，由正方形的四个顶点共面，知①错误；在②中，由公理三及推论知空间四点不共面，则其中任何三点不共线，故②正确；在③中，由公理三及推论知空间四点中存在三点共线，则此四点共面，故③正确；在④中，由由正方形的四个顶点共面，知④错误．故选：A．2．过正三棱柱底面一边所作的正三棱柱的截面是（）A．三角形B．三角形或梯形C．不是梯形的四边形D．梯形【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】过底面一边的截面应有两种，一与侧棱相交，二是与上底面相交，各自讨论可得结论．【解答】解：截面分两种，一是与侧棱相交，截面为三角形，二是与上底面相交，截面为梯形，故选B．3．已知a、b是异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β，则α、β的位置关系是（）A．相交B．平行C．重合D．不能确定【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】若α∥β，则a∥b，与a、b是异面直线矛盾，故α、β的位置关系是相交．【解答】解：∵a、b是异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β，∴若α∥β，则a∥b，与a、b是异面直线矛盾，∴α、β的位置关系是相交．故选：A．4．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8 C．2+3D．2+2【考点】平面图形的直观图．【分析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．【解答】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′∥x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB=2，所以OC=3，则四边形OABC的长度为8．故选B．5．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a∥α，a∥β，则α∥βC．若a∥b，a⊥α，则b⊥αD．若a∥α，α⊥β，则α⊥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由线面平行的性质即可判断A；由线面平行的性质和面面平行的判定，即可判断B；由线面垂直的性质：两条平行线中一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，可判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质，即可判断D．【解答】解：A．若a∥α，b∥α，则a∥b，或a，b异面或a，b相交，故A错；B．若a∥α，a∥β，则α∥β，或α∩β=b，故B错；C．若a∥b，a⊥α，则b⊥α，故C正确；D．若a∥α，α⊥β，则a⊂β或a∥β或a⊥β，故D错．故选：C．6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中x的为（）A．2.5 B．3 C．3.2 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：（5.4﹣1.6）•x×1+=12.6，π=3．解得x=3，故选：B．7．已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC．则下列结论不正确的是（）A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAF C．CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD 【考点】棱锥的结构特征．【分析】由已知中六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC．根据正六边形的几何特征，根据线面平行和线面垂直的判定定理，对四个答案逐一进行判断，即可得到结论．【解答】解：∵六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC．则AF∥CD，由线面平行的判定定理，可得CD∥平面PAF，故A正确；DF⊥AF，DF⊥PA，由线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAF，故B正确；CF∥AB，由线面平行的判定定理，可得CF∥平面PAB，故C正确；CF与AD不垂直，故D中，CF⊥平面PAD不正确；故选D8．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（）A．B．1 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三棱锥的主视图与俯视图知三棱锥的底面与其中一个侧面都是直角三角形，画出其直观图，可得侧视图为直角三角形，且直角边长分别为1，．代入公式计算．【解答】解：由三棱锥的主视图与俯视图知三棱锥的底面与其中一个侧面都是直角三角形，其直观图如图：SB=，SO=1，BC=1，∴CM=，几何体的侧视图为直角三角形，且直角边长分别为1，．∴侧视图的面积S=．故选C．9．在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故选：C．10．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，截面AB1C1D与底面ABCD所成二面角的正切值为2，则B1点到平面AD1C的距离为（）A．B．C．D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】由AB1⊥AD，AB⊥AD，知∠BAB1是截面AB1C1D与底面ABCD所成二面角，由截面AB1C1D与底面ABCD所成二面角的正切值为2，求出BB1=2AB=4，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B1点到平面AD1C的距离．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，∴AB1⊥AD，AB⊥AD，∴∠BAB1是截面AB1C1D与底面ABCD所成二面角，∵截面AB1C1D与底面ABCD所成二面角的正切值为2，∴tan∠BAB1==2，∴BB1=2AB=4，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，4），B1（2，2，4），=（﹣2，0，4），=（﹣2，2，0），=（0，2，4），设平面AD1C的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，2，1），∴B1点到平面AD1C的距离：d==．故选：A．11．如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（）①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；④存在点E使得SE⊥BA．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】平面与平面垂直的性质．【分析】由已知中点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE 沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，我们可得∠SAD为锐角，∠SEC为钝角，逐一分析题目中的四个结论，分别分析出它们的真假，即可得到答案．【解答】解：①若直线SA⊥平面SBC，则直线SA与平面SBC均垂直，则SA⊥BC，又由AD∥BC，则SA⊥AD，这与∠SAD为锐角矛盾，故①错误；②∵平面SBC∩直线SA=S，故平面SBC内的直线与SA相交或异面，故②错误；③取AB的中点F，则CF∥AE，由线面平行的判定定理，可得CF∥SAE平行，故③正确；④若SE⊥BA，由EC∥AB，可得SE⊥EC，这与∠SEC为钝角矛盾，故④错误；故选A．12．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点P在此正方体的表面上运动，且PA=x（0＜x＜），记点P的轨迹的长度为f（x），则函数f（x）的图象可能是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据条件确定P的轨迹，利用轨迹对应的长度关系即可得到结论．【解答】解：P的轨迹为以A为球心，PA为半径的球面与正方体的交线．当0＜r≤1时，f（r）=3×=，此时由一次函数的单调性和图象可知轨迹为直线，排查C，D，当r∈（1，]时，轨迹长度由减小到增加，之后逐渐减小，故选B．二、填空题13．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF=a或2a 时，CF⊥平面B1DF．【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】利用已知条件判断B1D⊥平面AC1，然后说明CF⊥DF．设AF=x（0＜x ＜3a），通过CF2=x2+4a2，DF2=a2+（3a﹣x）2，又CD2=a2+9a2=10a2，求出x即可．【解答】解：由已知得B1D⊥平面AC1，又CF⊂平面AC1，∴B1D⊥CF，故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF．设AF=x（0＜x＜3a），则CF2=x2+4a2，DF2=a2+（3a﹣x）2，又CD2=a2+9a2=10a2，∴10a2=x2+4a2+a2+（3a﹣x）2，解得x=a或2a．故答案为：a或2a．14．三棱锥S﹣ABC中，SA=AB=AC=2，∠ASB=∠BSC=∠CSA=30°，M，N分别为SB，SC上的点，则△AMN周长最小值为2．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】沿着侧棱SA把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点A被分到两处A，A′，则线段AA′的长度即为△AMN周长的最小值．【解答】解：沿着侧棱SA把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点A被分到两处A，A′，则线段AA′的长度即为△AMN周长的最小值．△SAA′中，SA=SA′=2，∠ASB=∠BSC=∠CSA=30°，故∠ASA′=90°，∴AA′===2．故答案为：．15．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积等于16π．【考点】球的体积和表面积．【分析】先利用基本不等式，确定矩形周长最小时，矩形为正方形，求得边长，再利用沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的球心为AC的中点，求得半径，根据球的表面积公式，即可求得结论．【解答】解：设矩形ABCD的边长分别为x、y，则xy=8，矩形周长为2（x+y）≥4=8，当且仅当x=y=2时，矩形周长最小沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的球心为AC的中点，∵AC=4，∴球的半径为2∴三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积等于4π×22=16π故答案为：16π16．空间中任意放置的棱长为2的正四面体ABCD，下列命题正确的是①②③④．（写出所有正确命题的编号）①正四面体ABCD的主视图面积可能是；②正四面体ABCD的主视图面积可能是；③正四面体ABCD的主视图面积可能是；④正四面体ABCD的主视图面积可能是2；⑤正四面体ABCD的主视图面积可能是4．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】作出正四面体的三视图的各种情况，正视图的最小图形与最大图形，求出正视图的面积，即可得到正确命题．【解答】解：对于四面体ABCD，如右图：当光线平行于底面BCD，沿CD方向时，主视图为图中△ABE，则其面积为=，故①正确；当光线平行于底面BCD，沿CO方向时，主视图为以BD为底，正四面体的高AO为高的三角形，则其面积为=，故②正确；当光线垂直于底面BCD时，主视图为△BCD，其面积为，故③正确；将正四面体放入正方体中，如上右图，光线垂直于正方体正对我们的面时，主视图是正方形，其面积为=2，并且此时主视图面积最大，故④正确，⑤不正确．故答案为：①②③④．三、解答题17．如图，正四棱锥P﹣ABCD中底面边长为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为．（1）求正四棱锥P﹣ABCD的外接球半径；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值．【考点】球内接多面体；异面直线及其所成的角．【分析】（1）连结AC，BD交于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD，利用侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为，可得PO=，利用勾股定理建立方程，求出R；（2）容易证明以EO．可得∠AEO就是异面直线PD与AE所成的角，在Rt△AOE中求解【解答】解：（1）连结AC，BD交于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD，∴∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，∴tan∠PAO=．又AB=2，则PO=AO•tan∠PAO=．设F为外接球球心，连FA，易知FA=FP，设FO=x，则x2+4=（﹣x）2，∴x=，∴正四棱锥P﹣ABCD的外接球半径为；（2）连结EO，由于O为BD中点，E为PD中点，所以EO．∴∠AEO就是异面直线PD与AE所成的角．在Rt△POD中，．∴．由AO⊥BD，AO⊥PO可知AO⊥面PBD．所以AO⊥EO，在Rt△OAE中，tan∠AEO===，即异面直线PD与AE所成角的正切值为．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AA1=AC=4，AB=1．（Ⅰ）求证：A1B1⊥B1C1；（Ⅱ）求三棱锥ABC﹣A1B1C1的侧面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AA1中点O，连结OC1，AC1，推导出OC1⊥AA1，OC1⊥A1B1，A1B1⊥OB1，从而A1B1⊥平面OB1C1，由此能证明A1B1⊥B1C1．（Ⅱ）在平行四边形ABB1A1中，过B1作B1E⊥1于点E，过O作OF⊥BB1于点F，则OFB1E为矩形推导出BB1⊥OC1，C1F⊥BB1，由此能求出三棱锥ABC﹣A1B1C1的侧面积．【解答】证明：（Ⅰ）取AA1中点O，连结OC1，AC1，∵AA1=AC=A1C1=4，∠C1A1A=60°，∴△AC1A1为正三角形，∴OC1⊥AA1，OC1=2，又侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，面ACC1A1∩面ABB1A1=AA1，OC1⊂面ACC1A1，∴OC1⊥平面ABB1A1，又A1B1⊂平面ABB1A1，∴OC1⊥A1B1，在△OA1B1中，∵∠OA1B1=60°，A1B1=AB=1，OA1=2，∴=1+4﹣2×1×2×cos60°=3，解得OB1=，∴OA12=OB12+，∴A1B1⊥OB1，又OB1∩OC1=O，OB1⊂平面OB1C1，OC1⊂平面OB1C1，∴A1B1⊥平面OB1C1，∵B1C1⊂平面OB1C1，∴A1B1⊥B1C1．解：（Ⅱ）依题意，=8，在平行四边形ABB1A1中，过B1作B1E⊥1于点E，过O作OF⊥BB1于点F，则OFB1E为矩形，∴OF=B1E，由（1）知OC1⊥平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥OC1，∵BB1⊥OF，OC1∩OF=O，OC1⊂平面OC1F，OF⊂平面OC1F，∴BB1⊥平面OC1F，∵C1F⊂平面OC1F，∴C1F⊥BB1，∵，在Rt△OC1F中，OC1=2，OF=B1E=，∴C1F==，∴=BB1×，∴三棱锥ABC﹣A1B1C1的侧面积S=2=．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AC=2，．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；（Ⅱ）如果M是棱PD上的点，N是棱AB上一点，AN=2NB，且三棱锥N﹣BMC的体积为，求的值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结AC，在△ABC中，由已知边的关系可得AB⊥AC．再由AB∥CD ，得AC ⊥CD ．结合PA ⊥底面ABCD ，得PA ⊥CD ，由线面垂直的判定可得CD ⊥平面PAC ，从而得到平面PCD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设M 点到面ABCD 的距离为d ，求出三角形BNC 的面积，结合三棱锥N﹣BMC 的体积为求得d ，再由三角形相似可得的值．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC ，在△ABC 中，AB=AC=2，，∴BC 2=AB 2+AC 2，则AB ⊥AC ． ∵AB ∥CD ，∴AC ⊥CD ．又∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD ， ∵AC ∩PA=A ，∴CD ⊥平面PAC ，∵CD ⊆面PCD ，∴平面PCD ⊥平面PAC ； 解：（Ⅱ）设M 点到面ABCD 的距离为d ，则．由V N ﹣BMC =V M ﹣BNC ==，得．∵，∴．20．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，，O 为AD 上一点，且 AO=1，平面外两点P ，E 满足，AE=1，EA ⊥平面ABCD ，PO ∥EA ．（1）证明：BE ∥平面PCD ． （2）求该几何体的体积．【考点】组合几何体的面积、体积问题．【分析】（1）在平面PCD 内作直线FC ，利用直线与平面平行的判定定理证明BE ∥平面PCD ．（2）分割几何体为两个棱锥，利用已知数据即可求该几何体的体积．【解答】解：（1）作EF ∥AD ，交PD 于F ，连结FC ，OB ，作FG ∥EA ，交AD 于G ，连结GC ，∵AD ∥BC ，，EF ∥AD ，∴AEFG 是矩形，∵BC AG ，∴EF BC ，∴BCFE 是平行四边形，BE ∥CF ，CF ⊂面PCD ，BE ⊄面PCD ， ∴BE ∥平面PCD ．（2）由题意，几何体看作P ﹣BCDO ，B ﹣POAE 两个棱锥的体积的和， ∵EA ⊥平面ABCD ，PO ∥EA ，∴PO ⊥平面ABCD ，∵AO=1，平面外两点P ，E 满足，AE=1，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，，∴BO ⊥平面PEAO ，∴几何体的体积为：V P ﹣BCDO +V B ﹣POAE ==．21．曲线C1上任意一点M满足|MF1|+|MF2|=4，其中F1（﹣，0），F2（，0）抛物线C2的焦点是直线y=x﹣1与x轴的交点，顶点为原点O．（1）求C1，C2的标准方程；（2）请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同两点M，N，且满足⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由已知得曲线C1是以F1（﹣，0），F2（，0）为焦点，以4为实轴的椭圆，抛物线C2的焦点是F（1，0），顶点为原点O．由此能求出求C1，C2的标准方程．（2）设直线l的方程为y=k（x﹣1），由，得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，由此利用韦达定理结合向量垂直数量积为0的性质能求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵曲线C1上任意一点M满足|MF1|+|MF2|=4，其中F1（﹣，0），F2（，0），∴曲线C1是以F1（﹣，0），F2（，0）为焦点，以4为实轴的椭圆，∴a=2，c=，∴b2=4﹣3=1，∴曲线C1的方程为．∵抛物线C2的焦点是直线y=x﹣1与x轴的交点，顶点为原点O，∴抛物线C2的焦点是F（1，0）∴抛物线C2的标准方程为：y2=4x．…（2）假设存在存在直线直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同两点M，N，且满足⊥，当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=0，不满足条件；当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），由，得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]，∵⊥，∴=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2﹣k2（x1+x2）+k2=﹣+k2=0，解得k=2或k=﹣2，∴直线l满足条件，且l的方程为y=2x﹣2或y=﹣2x+2．…22．已知函数f（x）=﹣（k∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为10，求函数f（x）的最大值；（2）若不等式x2f（x）+≥0与k≥x2+（e2﹣2）x﹣e x﹣7在[1，+∞）上均恒成立，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【分析】（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为10，求出k，即可求函数f（x）的最大值；（2）若不等式x2f（x）+≥0与k≥x2+（e2﹣2）x﹣e x﹣7在[1，+∞）上均恒成立，分别求出k的范围，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为10，∴1+k=10，∴k=9，∴f′（x）=，0＜x＜e10，f′（x）＞0，函数单调递增，x＞e10，f′（x）＜0，函数单调递减，∴x=e10，函数f（x）的最大值为；（2）不等式x2f（x）+≥0，可化为k≤lnx+，令h（x）=lnx+，则在[1，+∞）上h′（x）=＞0，函数单调递增，∴k≤h（1）=；令g（x）=x2+（e2﹣2）x﹣e x﹣7，则在[1，2）上g′（x）=x+（e2﹣2）﹣e x＞0，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，∴k≥g（2）=e2﹣9，综上所述，e2﹣9≤k≤．2017年5月8日。

2016-2017学年度下学期期末考试高二数学（理）试卷一选择题1。

设集合M P x y x P x y y M 则},1|{},|{2-====-（ ）A ．（1，+∞）B ．),1[+∞C ．（0,+∞)D ．),0[+∞2.在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84,84，86，86，86,88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ,B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差3.已知随机变量X 服从正态分布N (2,σ2），且P (X ＜4）＝0。

8，则P (0＜X ＜2）＝( ）A 。

0.6B 。

0。

4 C.0。

3 D.0.2 4. 已知命题P:1122k ->；命题q ：函数22log (2)y x kx k =-+的值域为R ,则P 是q 的（ )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知函数f （x ）＝错误! 则不等式x ＋（x ＋1）f (x ＋1）≤1的解集是( ）A 。

｛x ｜－1≤x ≤错误!－1｝B 。

{x |x ≤1}C 。

{x |x ≤错误!－1} D.｛x |－错误!－1≤x ≤2－1｝6．设f （x )是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线x ＝2对称，已知x ∈[－2，2]时，函数f （x )＝－x 2＋1，则x ∈［－6，－2]时，f (x )等于 ( ）A ．－(x ＋4)2＋1 B ．－（x －4)2＋1C ．－(x －4)2－1 D ．－（x ＋4)2－17。

已知集合{}{},,,|19A a b c B x x x N ==≤≤∈且若映射:f A B →满足()()()f a f b f c ≤≤且()()()12f a f b f c ++=，则这样的映射个数为（ ）A ．12 B.11 C.10 D.98.若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9，则实数m =（ ）(A)2- （B ）1- (C ）1 （D ）29。

2016-2017学年江西省南昌二中高二（下）第一次段考数学试卷（文科）一、选择题1．给出下列四个命题，其中正确的是（）①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中存在三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．A．②③B．①②③C．①②D．②③④2．过正三棱柱底面一边所作的正三棱柱的截面是（）A．三角形B．三角形或梯形C．不是梯形的四边形D．梯形3．已知a、b是异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β，则α、β的位置关系是（）A．相交B．平行C．重合D．不能确定4．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8 C．2+3D．2+25．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a∥α，a∥β，则α∥βC．若a∥b，a⊥α，则b⊥αD．若a∥α，α⊥β，则α⊥β6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中x的为（）A．2.5 B．3 C．3.2 D．47．已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC．则下列结论不正确的是（）A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAF C．CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD 8．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（）A．B．1 C．D．9．在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π10．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，截面AB1C1D与底面ABCD所成二面角的正切值为2，则B1点到平面AD1C的距离为（）A．B．C．D．11．如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（）①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；④存在点E使得SE⊥BA．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点P在此正方体的表面上运动，且PA=x（0＜x＜），记点P的轨迹的长度为f（x），则函数f（x）的图象可能是（）A．B． C．D．二、填空题13．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF=时，CF⊥平面B1DF．14．三棱锥S﹣ABC中，SA=AB=AC=2，∠ASB=∠BSC=∠CSA=30°，M，N分别为SB，SC上的点，则△AMN周长最小值为．15．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积等于．16．空间中任意放置的棱长为2的正四面体ABCD，下列命题正确的是．（写出所有正确命题的编号）①正四面体ABCD的主视图面积可能是；②正四面体ABCD的主视图面积可能是；③正四面体ABCD的主视图面积可能是；④正四面体ABCD的主视图面积可能是2；⑤正四面体ABCD的主视图面积可能是4．三、解答题17．如图，正四棱锥P﹣ABCD中底面边长为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为．（1）求正四棱锥P﹣ABCD的外接球半径；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AA1=AC=4，AB=1．（Ⅰ）求证：A1B1⊥B1C1；（Ⅱ）求三棱锥ABC﹣A1B1C1的侧面积．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AC=2，．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；（Ⅱ）如果M是棱PD上的点，N是棱AB上一点，AN=2NB，且三棱锥N﹣BMC的体积为，求的值．20．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，，O为AD上一点，且AO=1，平面外两点P，E满足，AE=1，EA⊥平面ABCD，PO∥EA．（1）证明：BE∥平面PCD．（2）求该几何体的体积．21．曲线C 1上任意一点M 满足|MF 1|+|MF 2|=4，其中F 1（﹣，0），F 2（，0）抛物线C 2的焦点是直线y=x ﹣1与x 轴的交点，顶点为原点O ． （1）求C 1，C 2的标准方程；（2）请问是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同两点M ，N ，且满足⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．22．已知函数f （x ）=﹣（k ∈R ）．（1）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为10，求函数f （x ）的最大值；（2）若不等式x 2f （x ）+≥0与k ≥x 2+（e 2﹣2）x ﹣e x ﹣7在[1，+∞）上均恒成立，求实数k 的取值范围．2016-2017学年江西省南昌二中高二（下）第一次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．给出下列四个命题，其中正确的是（）①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中存在三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．A．②③B．①②③C．①②D．②③④【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由正方形的四个顶点共面，知①④错误；由②③正确．【解答】解：在①中，由正方形的四个顶点共面，知①错误；在②中，由公理三及推论知空间四点不共面，则其中任何三点不共线，故②正确；在③中，由公理三及推论知空间四点中存在三点共线，则此四点共面，故③正确；在④中，由由正方形的四个顶点共面，知④错误．故选：A．2．过正三棱柱底面一边所作的正三棱柱的截面是（）A．三角形B．三角形或梯形C．不是梯形的四边形D．梯形【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】过底面一边的截面应有两种，一与侧棱相交，二是与上底面相交，各自讨论可得结论．【解答】解：截面分两种，一是与侧棱相交，截面为三角形，二是与上底面相交，截面为梯形，故选B．3．已知a、b是异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β，则α、β的位置关系是（）A．相交B．平行C．重合D．不能确定【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】若α∥β，则a∥b，与a、b是异面直线矛盾，故α、β的位置关系是相交．【解答】解：∵a、b是异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β，∴若α∥β，则a∥b，与a、b是异面直线矛盾，∴α、β的位置关系是相交．故选：A．4．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8 C．2+3D．2+2【考点】平面图形的直观图．【分析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．【解答】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′∥x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB=2，所以OC=3，则四边形OABC的长度为8．故选B．5．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a∥α，a∥β，则α∥βC．若a∥b，a⊥α，则b⊥αD．若a∥α，α⊥β，则α⊥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由线面平行的性质即可判断A；由线面平行的性质和面面平行的判定，即可判断B；由线面垂直的性质：两条平行线中一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，可判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质，即可判断D．【解答】解：A．若a∥α，b∥α，则a∥b，或a，b异面或a，b相交，故A错；B．若a∥α，a∥β，则α∥β，或α∩β=b，故B错；C．若a∥b，a⊥α，则b⊥α，故C正确；D．若a∥α，α⊥β，则a⊂β或a∥β或a⊥β，故D错．故选：C．6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中x的为（）A．2.5 B．3 C．3.2 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：（5.4﹣1.6）•x×1+=12.6，π=3．解得x=3，故选：B．7．已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC．则下列结论不正确的是（）A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAF C．CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD 【考点】棱锥的结构特征．【分析】由已知中六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC．根据正六边形的几何特征，根据线面平行和线面垂直的判定定理，对四个答案逐一进行判断，即可得到结论．【解答】解：∵六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC．则AF∥CD，由线面平行的判定定理，可得CD∥平面PAF，故A正确；DF⊥AF，DF⊥PA，由线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAF，故B正确；CF∥AB，由线面平行的判定定理，可得CF∥平面PAB，故C正确；CF与AD不垂直，故D中，CF⊥平面PAD不正确；故选D8．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（）A．B．1 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三棱锥的主视图与俯视图知三棱锥的底面与其中一个侧面都是直角三角形，画出其直观图，可得侧视图为直角三角形，且直角边长分别为1，．代入公式计算．【解答】解：由三棱锥的主视图与俯视图知三棱锥的底面与其中一个侧面都是直角三角形，其直观图如图：SB=，SO=1，BC=1，∴CM=，几何体的侧视图为直角三角形，且直角边长分别为1，．∴侧视图的面积S=．故选C．9．在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故选：C．10．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，截面AB1C1D与底面ABCD所成二面角的正切值为2，则B1点到平面AD1C的距离为（）A．B．C．D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】由AB1⊥AD，AB⊥AD，知∠BAB1是截面AB1C1D与底面ABCD所成二面角，由截面AB1C1D与底面ABCD所成二面角的正切值为2，求出BB1=2AB=4，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B1点到平面AD1C的距离．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，∴AB1⊥AD，AB⊥AD，∴∠BAB1是截面AB1C1D与底面ABCD所成二面角，∵截面AB1C1D与底面ABCD所成二面角的正切值为2，∴tan∠BAB1==2，∴BB1=2AB=4，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，4），B1（2，2，4），=（﹣2，0，4），=（﹣2，2，0），=（0，2，4），设平面AD1C的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，2，1），∴B1点到平面AD1C的距离：d==．故选：A．11．如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（）①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；④存在点E使得SE⊥BA．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】平面与平面垂直的性质．【分析】由已知中点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE 沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，我们可得∠SAD为锐角，∠SEC为钝角，逐一分析题目中的四个结论，分别分析出它们的真假，即可得到答案．【解答】解：①若直线SA⊥平面SBC，则直线SA与平面SBC均垂直，则SA⊥BC，又由AD∥BC，则SA⊥AD，这与∠SAD为锐角矛盾，故①错误；②∵平面SBC∩直线SA=S，故平面SBC内的直线与SA相交或异面，故②错误；③取AB的中点F，则CF∥AE，由线面平行的判定定理，可得CF∥SAE平行，故③正确；④若SE⊥BA，由EC∥AB，可得SE⊥EC，这与∠SEC为钝角矛盾，故④错误；故选A．12．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点P在此正方体的表面上运动，且PA=x（0＜x＜），记点P的轨迹的长度为f（x），则函数f（x）的图象可能是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据条件确定P的轨迹，利用轨迹对应的长度关系即可得到结论．【解答】解：P的轨迹为以A为球心，PA为半径的球面与正方体的交线．当0＜r≤1时，f（r）=3×=，此时由一次函数的单调性和图象可知轨迹为直线，排查C，D，当r∈（1，]时，轨迹长度由减小到增加，之后逐渐减小，故选B．二、填空题13．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF=a或2a 时，CF⊥平面B1DF．【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】利用已知条件判断B1D⊥平面AC1，然后说明CF⊥DF．设AF=x（0＜x ＜3a），通过CF2=x2+4a2，DF2=a2+（3a﹣x）2，又CD2=a2+9a2=10a2，求出x即可．【解答】解：由已知得B1D⊥平面AC1，又CF⊂平面AC1，∴B1D⊥CF，故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF．设AF=x（0＜x＜3a），则CF2=x2+4a2，DF2=a2+（3a﹣x）2，又CD2=a2+9a2=10a2，∴10a2=x2+4a2+a2+（3a﹣x）2，解得x=a或2a．故答案为：a或2a．14．三棱锥S﹣ABC中，SA=AB=AC=2，∠ASB=∠BSC=∠CSA=30°，M，N分别为SB，SC上的点，则△AMN周长最小值为2．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】沿着侧棱SA把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点A被分到两处A，A′，则线段AA′的长度即为△AMN周长的最小值．【解答】解：沿着侧棱SA把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点A被分到两处A，A′，则线段AA′的长度即为△AMN周长的最小值．△SAA′中，SA=SA′=2，∠ASB=∠BSC=∠CSA=30°，故∠ASA′=90°，∴AA′===2．故答案为：．15．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积等于16π．【考点】球的体积和表面积．【分析】先利用基本不等式，确定矩形周长最小时，矩形为正方形，求得边长，再利用沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的球心为AC的中点，求得半径，根据球的表面积公式，即可求得结论．【解答】解：设矩形ABCD的边长分别为x、y，则xy=8，矩形周长为2（x+y）≥4=8，当且仅当x=y=2时，矩形周长最小沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的球心为AC的中点，∵AC=4，∴球的半径为2∴三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积等于4π×22=16π故答案为：16π16．空间中任意放置的棱长为2的正四面体ABCD，下列命题正确的是①②③④．（写出所有正确命题的编号）①正四面体ABCD的主视图面积可能是；②正四面体ABCD的主视图面积可能是；③正四面体ABCD的主视图面积可能是；④正四面体ABCD的主视图面积可能是2；⑤正四面体ABCD的主视图面积可能是4．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】作出正四面体的三视图的各种情况，正视图的最小图形与最大图形，求出正视图的面积，即可得到正确命题．【解答】解：对于四面体ABCD，如右图：当光线平行于底面BCD，沿CD方向时，主视图为图中△ABE，则其面积为=，故①正确；当光线平行于底面BCD，沿CO方向时，主视图为以BD为底，正四面体的高AO为高的三角形，则其面积为=，故②正确；当光线垂直于底面BCD时，主视图为△BCD，其面积为，故③正确；将正四面体放入正方体中，如上右图，光线垂直于正方体正对我们的面时，主视图是正方形，其面积为=2，并且此时主视图面积最大，故④正确，⑤不正确．故答案为：①②③④．三、解答题17．如图，正四棱锥P﹣ABCD中底面边长为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为．（1）求正四棱锥P﹣ABCD的外接球半径；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值．【考点】球内接多面体；异面直线及其所成的角．【分析】（1）连结AC，BD交于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD，利用侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为，可得PO=，利用勾股定理建立方程，求出R；（2）容易证明以EO．可得∠AEO就是异面直线PD与AE所成的角，在Rt△AOE中求解【解答】解：（1）连结AC，BD交于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD，∴∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，∴tan∠PAO=．又AB=2，则PO=AO•tan∠PAO=．设F为外接球球心，连FA，易知FA=FP，设FO=x，则x2+4=（﹣x）2，∴x=，∴正四棱锥P﹣ABCD的外接球半径为；（2）连结EO，由于O为BD中点，E为PD中点，所以EO．∴∠AEO就是异面直线PD与AE所成的角．在Rt△POD中，．∴．由AO⊥BD，AO⊥PO可知AO⊥面PBD．所以AO⊥EO，在Rt△OAE中，tan∠AEO===，即异面直线PD与AE所成角的正切值为．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AA1=AC=4，AB=1．（Ⅰ）求证：A1B1⊥B1C1；（Ⅱ）求三棱锥ABC﹣A1B1C1的侧面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AA1中点O，连结OC1，AC1，推导出OC1⊥AA1，OC1⊥A1B1，A1B1⊥OB1，从而A1B1⊥平面OB1C1，由此能证明A1B1⊥B1C1．（Ⅱ）在平行四边形ABB1A1中，过B1作B1E⊥1于点E，过O作OF⊥BB1于点F，则OFB1E为矩形推导出BB1⊥OC1，C1F⊥BB1，由此能求出三棱锥ABC﹣A1B1C1的侧面积．【解答】证明：（Ⅰ）取AA1中点O，连结OC1，AC1，∵AA1=AC=A1C1=4，∠C1A1A=60°，∴△AC1A1为正三角形，∴OC1⊥AA1，OC1=2，又侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，面ACC1A1∩面ABB1A1=AA1，OC1⊂面ACC1A1，∴OC1⊥平面ABB1A1，又A1B1⊂平面ABB1A1，∴OC1⊥A1B1，在△OA1B1中，∵∠OA1B1=60°，A1B1=AB=1，OA1=2，∴=1+4﹣2×1×2×cos60°=3，解得OB1=，∴OA12=OB12+，∴A1B1⊥OB1，又OB1∩OC1=O，OB1⊂平面OB1C1，OC1⊂平面OB1C1，∴A1B1⊥平面OB1C1，∵B1C1⊂平面OB1C1，∴A1B1⊥B1C1．解：（Ⅱ）依题意，=8，在平行四边形ABB1A1中，过B1作B1E⊥1于点E，过O作OF⊥BB1于点F，则OFB1E为矩形，∴OF=B1E，由（1）知OC1⊥平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥OC1，∵BB1⊥OF，OC1∩OF=O，OC1⊂平面OC1F，OF⊂平面OC1F，∴BB1⊥平面OC1F，∵C1F⊂平面OC1F，∴C1F⊥BB1，∵，在Rt△OC1F中，OC1=2，OF=B1E=，∴C1F==，∴=BB1×，∴三棱锥ABC﹣A1B1C1的侧面积S=2=．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AC=2，．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；（Ⅱ）如果M是棱PD上的点，N是棱AB上一点，AN=2NB，且三棱锥N﹣BMC的体积为，求的值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结AC，在△ABC中，由已知边的关系可得AB⊥AC．再由AB∥CD ，得AC ⊥CD ．结合PA ⊥底面ABCD ，得PA ⊥CD ，由线面垂直的判定可得CD ⊥平面PAC ，从而得到平面PCD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设M 点到面ABCD 的距离为d ，求出三角形BNC 的面积，结合三棱锥N﹣BMC 的体积为求得d ，再由三角形相似可得的值．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC ，在△ABC 中，AB=AC=2，， ∴BC 2=AB 2+AC 2，则AB ⊥AC ．∵AB ∥CD ，∴AC ⊥CD ．又∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD ，∵AC ∩PA=A ，∴CD ⊥平面PAC ，∵CD ⊆面PCD ，∴平面PCD ⊥平面PAC ；解：（Ⅱ）设M 点到面ABCD 的距离为d ，则．由V N ﹣BMC =V M ﹣BNC ==，得．∵，∴．20．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，，O 为AD 上一点，且 AO=1，平面外两点P ，E 满足，AE=1，EA ⊥平面ABCD ，PO ∥EA ．（1）证明：BE ∥平面PCD ．（2）求该几何体的体积．【考点】组合几何体的面积、体积问题．【分析】（1）在平面PCD 内作直线FC ，利用直线与平面平行的判定定理证明BE ∥平面PCD ．（2）分割几何体为两个棱锥，利用已知数据即可求该几何体的体积．【解答】解：（1）作EF ∥AD ，交PD 于F ，连结FC ，OB ，作FG ∥EA ，交AD 于G ，连结GC ，∵AD ∥BC ，，EF ∥AD ，∴AEFG 是矩形，∵BC AG ，∴EF BC ，∴BCFE 是平行四边形，BE ∥CF ，CF ⊂面PCD ，BE ⊄面PCD ，∴BE ∥平面PCD ．（2）由题意，几何体看作P ﹣BCDO ，B ﹣POAE 两个棱锥的体积的和， ∵EA ⊥平面ABCD ，PO ∥EA ，∴PO ⊥平面ABCD ，∵AO=1，平面外两点P ，E 满足，AE=1，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，，∴BO ⊥平面PEAO ，∴几何体的体积为：V P ﹣BCDO +V B ﹣POAE ==．21．曲线C1上任意一点M满足|MF1|+|MF2|=4，其中F1（﹣，0），F2（，0）抛物线C2的焦点是直线y=x﹣1与x轴的交点，顶点为原点O．（1）求C1，C2的标准方程；（2）请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同两点M，N，且满足⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由已知得曲线C1是以F1（﹣，0），F2（，0）为焦点，以4为实轴的椭圆，抛物线C2的焦点是F（1，0），顶点为原点O．由此能求出求C1，C2的标准方程．（2）设直线l的方程为y=k（x﹣1），由，得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，由此利用韦达定理结合向量垂直数量积为0的性质能求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵曲线C1上任意一点M满足|MF1|+|MF2|=4，其中F1（﹣，0），F2（，0），∴曲线C1是以F1（﹣，0），F2（，0）为焦点，以4为实轴的椭圆，∴a=2，c=，∴b2=4﹣3=1，∴曲线C1的方程为．∵抛物线C2的焦点是直线y=x﹣1与x轴的交点，顶点为原点O，∴抛物线C2的焦点是F（1，0）∴抛物线C2的标准方程为：y2=4x．…（2）假设存在存在直线直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同两点M，N，且满足⊥，当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=0，不满足条件；当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），由，得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]，∵⊥，∴=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2﹣k2（x1+x2）+k2=﹣+k2=0，解得k=2或k=﹣2，∴直线l满足条件，且l的方程为y=2x﹣2或y=﹣2x+2．…22．已知函数f（x）=﹣（k∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为10，求函数f（x）的最大值；（2）若不等式x2f（x）+≥0与k≥x2+（e2﹣2）x﹣e x﹣7在[1，+∞）上均恒成立，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【分析】（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为10，求出k，即可求函数f（x）的最大值；（2）若不等式x2f（x）+≥0与k≥x2+（e2﹣2）x﹣e x﹣7在[1，+∞）上均恒成立，分别求出k的范围，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为10，∴1+k=10，∴k=9，∴f′（x）=，0＜x＜e10，f′（x）＞0，函数单调递增，x＞e10，f′（x）＜0，函数单调递减，∴x=e10，函数f（x）的最大值为；（2）不等式x2f（x）+≥0，可化为k≤lnx+，令h（x）=lnx+，则在[1，+∞）上h′（x）=＞0，函数单调递增，∴k≤h（1）=；令g（x）=x2+（e2﹣2）x﹣e x﹣7，则在[1，2）上g′（x）=x+（e2﹣2）﹣e x＞0，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，∴k≥g（2）=e2﹣9，综上所述，e2﹣9≤k≤．2017年5月8日。

一、选择题1．已知,a b 是单位向量，且,a b 的夹角为3π，若向量c 满足22c a b -+=，则||c 的最大值为（ ） A ．23-B ．23+C ．72+D ．72-2．已知关于x 的方程20ax bx c ++=，其中,,a b c 都是非零向量，且,a b 不共线，则该方程的解的情况是（ ） A ．至少有一个解 B ．至多有一个解 C ．至多有两个解D ．可能有无数个解3．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足BM 2MA =，则CM CA ⋅=( ) A ．32B ．23C ．6D ．1524．已知π(,π)2α∈，π1tan()47α+=，则sin cos αα+= （ ） A ．17-B ．25-C ．15-D ．155．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为( )A ．310B ．210C ．210-D ．310-6．在中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别是,,a b c ，若sin sin()sin 2C B A A +-=，则的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin cos sin cos αααα-=+（ ）A ．4-B ．3-C ．12D ．348．若平面四边形ABCD 满足0,()0AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是( ) A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形9．若O 为ABC ∆所在平面内一点，()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆形状是（ ）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．以上答案均错10．扇形OAB 的半径为1，圆心角为120°，P 是弧AB 上的动点，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．12B ．0C ．12-D ．2-11．已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量(2cos ,2sin )CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ ）．A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12．已知向量i 和j 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足n i a n ⋅=，21n j a n ⋅=+，其中*n ∈N ，设n θ为i 和n a 的夹角，则（ ）A ．n θ随着n 的增大而增大B ．n θ随着n 的增大而减小C ．随着n 的增大，n θ先增大后减小D ．随着n 的增大，n θ先减小后增大13．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为6π，且其图象向右平移23π个单位后得到函数()sin g x x ω=的图象，则ϕ=（ ） A ．6π B ．3π C ．29π D ．49π 14．设0>ω，函数2cos 17y x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ） A ．34B ．23C ．43D ．3215．如图，在ABC ∆中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若,AB a AC b ==,则AO =（ ）A ．1122a b + B ．1124a b + C ．1142a b + D ．1144a b + 二、填空题16．已知平面向量,,a b c 满足21a b a ⋅==，1b c -=，则a c ⋅的最大值是____． 17．函数()1sin cos 533f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为________________. 18．求()22sin cos 2,,63f x x x x ππ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦的值域____. 19．已知向量,a b 满足：43a b +=，232a b -=，当7a b -取最大值时，a b=______．20．设F 为抛物线x 2=8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若FA FB FC 0++=，则FA FB FC ++=______．21．函数1ππ()sin ()cos ()536f x x x =++-的最大值为___________. 22．在平行四边形ABCD 中，E 为线段BC 的中点，若AB AE AD λμ=+，则λμ+=__________．23．已知1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()()2cos sin cos 2παπαπα⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭的值为__________．24．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)0,)2πωφ><（的部分图象如下图所示，则φ＝________.25．已知已知sin π3()25α+=，α∈π(0,)2，则sin(π＋α)等于__________三、解答题26．已知向量a 、b 的夹角为2,||1,||23a b π==.（1）求a ·b 的值（2）若2a b -和ta b +垂直，求实数t 的值. 27．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)（其中ω>0,0<φ<2π3）的最小正周期为π（1）求当f(x)为偶函数时φ的值； （2）若f(x)的图像过点(π6,√32)，求f(x)的单调递增区间28．2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率； (2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由； (3)甲同学发现，其物理考试成绩y (分)与班级平均分x (分)具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.参考数据: 72134840ii x ==∑，72150767ii y ==∑，7141964i i i x y ==∑，71()()314iii x x y y =--=∑.参考公式：y bx a =+，1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y n x yb x x xn x====---⋅⋅==--⋅∑∑∑∑，a y b x =-⋅(计算a b ，时精确到0.01).29．已知平面上三个向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ,的模均为1，它们相互之间的夹角均为1200．（I ）求证：(a ⃗ −b⃗ )⊥c ⃗ ； （II ）若|ka ⃗ +b ⃗ +c |>1 (k ∈R)，求k 的取值范围．30．已知向量x 、y 满足：1x =，2y =，且(2)?(2)5x y x y --=． （1）求x 与y 的夹角θ；（2）若()x my y -⊥，求实数m 的值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．B3．D4．C5．C6．D7．B8．C9．A10．C11．D12．B13．C14．D15．B二、填空题16．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的17．【解析】【分析】先利用两角和与差的正弦余弦公式将函数的解析式展开合并同类项后利用辅助角公式进行化简即可得出函数的最大值【详解】其中因此函数的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值解题的关键就18．【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式再利用正弦函数的定义域和值域二次函数的性质求得函数在上的值域【详解】设故在上值域等价于在上的值域即的值域为【点睛】本题考查同角三角函数的19．【解析】【分析】根据向量模的性质可知当与反向时取最大值根据模长的比例关系可得整理可求得结果【详解】当且仅当与反向时取等号又整理得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量模长的运算性质关键是能够确定模长取20．6【解析】【分析】由题意可得焦点F（02）准线为y＝﹣2由条件可得F是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p＝4焦点F（02）准线为y＝﹣2由于故F是三角形ABC的重心设AB21．【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式通过正弦函数的最值求解即可详解：函数故答案为点睛：本题考查诱导公式的应用三角函数的最值正弦函数的有界性考查计算能力22．【解析】分析：先根据三角形法则化为再根据分解唯一性求即得详解：因为所以因为不共线所以点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若为不共线向量则23．【解析】分析：由可得化简即可求得其值详解：由即答案为点睛：本题考查三角函数的化简求值考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用是基础题24．【解析】由图可知点睛：解决此类问题的关键是求首先根据函数的图象得到再根据最值点或者平衡点求出所有的进而根据的范围求出答案即可注意在代入已知点时最好代入最值点因为在一个周期内只有一个最大值一个最小值而25．【解析】由题意得三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】不妨设(1,0)a =，13(,22b =，(,)c x y =，则2(,c a b x y -+=+，所以22(2c a b x -+=+=，即22(4x y +=，点(,)x y 在以(0,为圆心，2为半径的圆上，所以2c x =+2+．故选B ．2．B解析：B 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知(),c a b R λμλμ=+∈，从而将方程整理为()()20x a x b λμ+++=，由,a b 不共线可得200x x λμ⎧+=⎨+=⎩，从而可知方程组至多有一个解，从而得到结果. 【详解】由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈则方程20ax bx c ++=可变为：20ax bx a b λμ+++= 即：()()20xa xb λμ+++=,a b 不共线 200x x λμ⎧+=∴⎨+=⎩可知方程组可能无解，也可能有一个解∴方程20ax bx c ++=至多有一个解本题正确选项：B 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数.3．D解析：D 【解析】 【分析】结合题意线性表示向量CM ，然后计算出结果【详解】 依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．【点睛】本题考查了向量之间的线性表示，然后求向量点乘的结果，较为简单4．C解析：C 【解析】 【分析】由两角和的正切公式得出3sin cos 4αα=-，结合平方关系求出43cos ,sin 55αα=-=，即可得出sin cos αα+的值. 【详解】1tan 1tan 41tan 7πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭3tan 4α∴=-，即3sin cos 4αα=-由平方关系得出223cos cos 14αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：43cos ,sin 55αα=-=341sin cos 555αα+=-=- 故选：C 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，平方关系，属于中档题.5．C解析：C 【解析】 【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可． 【详解】3,44ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭， ,42ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos 45πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，则0cos cos cos cos sin sin 444444x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 42322525210=-⨯+⨯=-， 故选C ． 【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．6．D解析：D 【解析】试题分析：由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A再注意到：，所以有，故知△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故选D. 考点：三角恒等变形公式.7．B解析：B 【解析】 【分析】根据角的终边上一点的坐标，求得tan α的值，对所求表达式分子分母同时除以cos α，转化为只含tan α的形式，由此求得表达式的值. 【详解】依题意可知1tan 2α=-，11sin cos tan 1231sin sin tan 112αααααα----===-++-+．故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查齐次方程的计算，属于基础题. 8．C解析：C 【解析】试题分析：因为0,AB CD AB DC +=∴=,所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为()0,0AB AD AC DB AC -⋅=∴⋅=,所以BD 垂直AC ，所以四边形ABCD 为菱形.考点：向量在证明菱形当中的应用.点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.9．A解析：A 【解析】 【分析】根据向量的减法运算可化简已知等式为()0CB AB AC ⋅+=，从而得到三角形的中线和底边垂直，从而得到三角形形状. 【详解】()()()20OB OC OB OC OA CB AB AC -⋅+-=⋅+= ()CB AB AC ∴⊥+∴三角形的中线和底边垂直 ABC ∆∴是等腰三角形本题正确选项：A 【点睛】本题考查求解三角形形状的问题，关键是能够通过向量的线性运算得到数量积关系，根据数量积为零求得垂直关系.10．C解析：C 【解析】 【分析】首先以OA 与OB 作为一组向量基底来表示AP 和BP ，然后可得()12AP BP OP OA OB ⋅=-⋅+，讨论OP 与OA OB +共线同向时，()OP OA OB ⋅+有最大值为1，进一步可得AP BP ⋅有最小值12-.【详解】 由题意得AP OP OA =-, BP OP OB =-， 所以()()()()2AP BP OP OA OP OB OPOA OB OP OA OB ⋅=-⋅-=+⋅-⋅+()()11122OP OA OB OP OA OB =--⋅+=-⋅+因为圆心角为120°，所以由平行四边形法则易得1OA OB +=，所以当OP 与OA OB +共线同向时，()OP OA OB ⋅+有最大值为1，此时()12AP BP OP OA OB ⋅=-⋅+有最小值12-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，选择合适的基底表示相关的向量是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11．D解析：D 【解析】 不妨设(0,0)O∵(2,2)OC =，(2cos ,2sin )CA αα=． ∴(2,2)C 、(22,22sin )A cos αα++． ∴点A 在以(2,2)为圆心半径为2的圆上． ∴OA 与OB 的夹角为直线OA 的倾斜角． 设:OA l y kx = ∴22121k d r k -=≤=+．即2410k k -+≤，则[23,23]k ∈-+． 又∵π23tan12-=，523tanπ12+=． ∴OA 、OB 夹角[23,23]θ∈-+．故选D ．12．B解析：B 【解析】 【分析】分别以i 和j 所在的直线为x 轴和y 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系, 可得()1,0i =,()0,1j =,设(),n n n a x y =,进而可得到tan n θ的表达式,结合函数的单调性可选出答案. 【详解】分别以i 和j 所在的直线为x 轴和y 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系, 则()1,0i =,()0,1j =,设(),n n n a x y =,因为n i a n ⋅=，21n j a n ⋅=+,所以,21n n x n y n ==+, 则(),21n a n n =+,n θ为i 和n a 的夹角，211tan 2n n n n y n n x θ+===+,*n ∈N ,tan 0n θ>,则π0,2n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 显然1tan 2n nθ=+为减函数, 又因为函数tan y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数,所以n θ随着n 的增大而减小. 故选:B. 【点睛】本题考查了向量的数量积的运算,考查了学生的推理能力,利用坐标法是解决本题的一个较好方法,属于中档题.13．C解析：C 【解析】 【分析】利用函数()y f x =的周期求出ω的值，利用逆向变换将函数()y g x =的图象向左平行23π个单位长度，得出函数()y f x =的图象，根据平移规律得出ϕ的值. 【详解】由于函数()y f x =的周期为6π，2163πωπ∴==，则()1sin 3g x x =， 利用逆向变换，将函数()y g x =的图象向左平移23π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，所以()1212sin sin 3339f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，29πϕ=，故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象的平移变换，本题利用逆向变换求函数解析式，可简化计算，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.14．D解析：D 【解析】 【分析】由题意得出43π是函数2cos 17y x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的周期，可得出()423k k N ππω*=∈，可得出ω的表达式，即可求出ω的最小值.【详解】 由题意可知，43π是函数2cos 17y x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的周期，则()423k k N ππω*=∈，即32k ω=，又因为0>ω，当1k =时，ω取最小值32，故选D. 【点睛】本题考查函数图象变换，同时也考查了余弦型函数的周期，解题的关键就是确定出余弦型函数的周期，并利用周期公式进行计算，考查化归与转化思想，属于中等题.15．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】分析：利用向量的共线定理、平行四边形法则即可得出． 详解：∵在ABC ∆中，BE 是AC 边上的中线 ∴12AE AC =∵O 是BE 边的中点 ∴1()2AO AB AE =+ ∴1124AO AB AC =+ ∵,AB a AC b == ∴1124AO a b =+ 故选B.点睛：本题考查了平面向量的基本定理的应用.在解答此类问题时，熟练掌握向量的共线定理、平行四边形法则是解题的关键．二、填空题16．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的 解析：2 【解析】 【分析】根据已知条件可设出,,a b c 的坐标，设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =，利用向量数量积的坐标表示a c x ⋅=，即求x 的最大值，根据1b c -=，可得出(),x y 的轨迹方程，从而求出最大值. 【详解】设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =()1,b c x k y -=-- ，1b c -=()()2211x y k ∴-+-=，∴点(),x y 是以()1,k 为圆心，1为半径的圆，02x ≤≤，a c x ⋅=，02x ≤≤ a c ∴⋅的最大值是2. 故填：2. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，以及轨迹方程的综合考查，属于中档题型，本题的关键是根据条件设出坐标，转化为轨迹问题.17．【解析】【分析】先利用两角和与差的正弦余弦公式将函数的解析式展开合并同类项后利用辅助角公式进行化简即可得出函数的最大值【详解】其中因此函数的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值解题的关键就. 【解析】 【分析】先利用两角和与差的正弦、余弦公式将函数()y f x =的解析式展开，合并同类项后利用辅助角公式进行化简，即可得出函数()y f x =的最大值. 【详解】()1111sin cos sin cos cos 53352222f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()x x x ϕ==+，其中tan ϕ==，因此，函数()y f x =，.【点睛】本题考查三角函数的最值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式进行化简，同时也考查了三角函数的基本性质，考查计算能力和转化思想，属于中等题.18．【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式再利用正弦函数的定义域和值域二次函数的性质求得函数在上的值域【详解】设故在上值域等价于在上的值域即的值域为【点睛】本题考查同角三角函数的解析：3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式，再利用正弦函数的定义域和值域、二次函数的性质，求得函数()f x 在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域。