2019-2020学年高中数学 6.7数学归纳法提能训练 理 新人教A版.doc

2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.3.2 数学归纳法应用举例导学案新人教A 版选修1-2一、【学习目标】 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

二、【课前案】阅读教材71-72页完成下列问题..1、数学归纳法:用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：--------------------------------------------------(2)假设由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确2.数学归纳法应用中的四个常见错误 数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种常用方法。

证明时，它的两个步骤：归纳奠基和归纳递推缺一不可。

使用数学归纳法解决问题易出现的四类错误：（1）初始值0n 确定的错误；（2）对项数估算的错误；（3）没有利用归纳递推；（4）关键步骤含糊不清。

用数学归纳法证明时有一个技巧，即当n=k+1时，代入假设后再写出结论，然后往中间”凑”。

但中间的计算过程必须有，不能省略也不能含糊不清。

这一步是数学归纳法的精华所在，阅卷老师关注的重要环节。

三、【课中案】型一：用数学归纳法证明数列求和公式例1用数学归纳法证明：6)12)(1(.........3212222++=++++n n n n型二：用数学归纳法证明平面几何区域个数问题例2用数学归纳法证明平面上n 个圆最多把平面分成22+-n n个区域型三：用数学归纳法证明不等式例3.求证：225n n n >≥时，当四、【课后案】1.用数学归纳法证明“2n ＞2n +1对于n ＞0n 的正整数n 成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取（ ）A. 1B. 2C. 3D.5 2.若f(n)= *1111,()2321n N n +++⋅⋅⋅+∈+,则n=1时f(n)是 A. 1 B. 13 C. 11123++ D.以上对项数估算都有错误 3.用数学归纳法证明不等式11112321n +++⋅⋅⋅+-＜n （n ∈*N ）过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左端增加的项数是（ ）A. 1B. 2k-1C. 2kD. 2k +14.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)= 2n ﹒1﹒3…(2n-1)(n ∈N)时，从“n=k →n=k+1”两边同乘以一个代数式，它是 （ ）5.用数学归纳法证明21*122221()n n n N -+++⋅⋅⋅=-∈的过程如下：①当n=1时，左边=1，右边=121-=1，等式成立。

课时分层作业(十二) 数学归纳法(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2B.13n ＋13n ＋1C.13n ＋1＋13n ＋2D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2D [因为f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1，所以f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2，所以f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.故选D.] 2．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0C [边数最少的凸n 边形是三角形．]3．已知a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，猜想a n 等于( )A.3n ＋2 B.3n ＋3 C.3n ＋4D.3n ＋5 D [a 2＝3a 1a 1＋3＝37， a 3＝3a 2a 2＋3＝38，a 4＝3a 3a 3＋3＝13＝39，猜想a n ＝3n ＋5.] 4．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…·(n ＋n )＝2n×1×3…(2n －1)时，从“k 到k ＋1”左边需增乘的代数式是( )A ．2k ＋1B.2k ＋1k ＋1C ．2(2k ＋1) D.2k ＋2k ＋1C [当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…·(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋1)·(k ＋2)·(k ＋3)…(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·2(2k ＋1)．]5．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)等于f (k )加上( ) A ．π2B ．πC ．2πD ．32π B [从n ＝k 到n ＝k ＋1时，内角和增加π.] 二、填空题6．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n 个式子应为________． [答案] 1－4＋9－16＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)27．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1(n ∈N ＋)”的过程中，第二步假设n ＝k时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________．[解析] ∵n ＝k 时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1”，∴n ＝k ＋1时为使用归纳假设， 应写成1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1.[答案] 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－18．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N ＋)能被14整除，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为________． [解析] 34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝34k ＋5＋52k ＋3＝81×34k ＋1＋25×52k ＋1＝81×34k ＋1＋81×52k ＋1－56×52k ＋1＝81×(34k ＋1＋52k ＋1)－56×52k ＋1.[答案] 81×(34k ＋1＋52k ＋1)－56×52k ＋1三、解答题9．用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34.∴等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k (k ≥2，k ∈N ＋)．当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·(k ＋1)2－1(k ＋1)2＝(k ＋1)k ·(k ＋2)2k ·(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)，∴当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)知，对n ≥2，n ∈N ＋时，等式成立．10．用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，整式a n－b n都能被a －b 整除． [证明] (1)当n ＝1时，a n－b n＝a －b 能被a －b 整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，a k－b k能被a －b 整除，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1－bk ＋1＝ak ＋1－a k b ＋a k b －bk ＋1＝a k (a －b )＋b (a k －b k )．因为(a －b )和a k －b k都能被a －b 整除，所以上面的和a k(a －b )＋b (a k－b k)也能被a －b 整除．这也就是说当n ＝k ＋1时，ak ＋1－bk ＋1能被a －b 整除．根据(1)(2)可知对一切正整数n ，a n－b n都能被a －b 整除．[能力提升练]1．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1B.12n ＋2 C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2D [因为f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)， 所以f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， 所以f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.]2．某同学回答“用数学归纳法证明n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N ＋)的过程如下： 证明：(1)当n ＝1时，显然命题是正确的：(2)假设n ＝k 时有k (k ＋1)＜k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时命题是正确的．由(1)(2)可知对于n ∈N ＋，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于( )A ．从k 到k ＋1的推理过程没有使用归纳假设B ．归纳假设的写法不正确C ．从k 到k ＋1的推理不严密D ．当n ＝1时，验证过程不具体A [证明(k ＋1)2＋(k ＋1)＜(k ＋1)＋1时进行了一般意义的放大．而没有使用归纳假设k (k ＋1)＜k ＋1.]3．用数学归纳法证明22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6－1(n ∈N ＋，且n ＞1)时，第一步应验证n ＝________，当n ＝k ＋1时，左边的式子为________．[解析] ∵所证明的等式为 22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6－1(n ∈N ＋，n ＞1)．又∵第一步验证的值应为第一个值(初始值)， ∴n 应为2.又∵当n ＝k ＋1时，等式左边的式子实际上是将左边式子中所有的n 换成k ＋1， 即22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2. [答案] 2 22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)24．是否存在常数a ，b ，c 使等式(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝an 4＋bn 2＋c 对一切正整数n 成立？证明你的结论．[解] 存在．分别用n ＝1,2,3代入，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，81a ＋9b ＋c ＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－14，c ＝0，故原等式右边＝n 44－n 24.下面用数学归纳法证明．(1)当n ＝1时，由上式可知等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时等式成立，即(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝14k4－14k 2. 则当n ＝k ＋1时，左边＝[(k ＋1)2－12]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k [(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)·[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k ＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k (2k ＋1)＝14k 4－14k 2＋(2k ＋1)·k (k ＋1)2＝14(k ＋1)4－14(k ＋1)2，故n ＝k ＋1时，等式成立． 由(1)(2)得等式对一切n ∈N ＋均成立．。

高三 一轮复习 6.7 数学归纳法（检测学生版）一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324(n >2)时的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边( )A ．增加了一项12 k ＋1B ．增加了两项12k ＋1＋12 k ＋1C ．增加了两项12k ＋1＋12 k ＋1 ，又减少了一项1k ＋1D ．增加了一项12 k ＋1 ，又减少了一项1k ＋12．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( )A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1 3．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a (a ≠1)”，在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 34．(2012·江西，6)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．1995．给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)…… 记第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则a nm ＝( )A ．(m ，n －m ＋1)B ．(m －1，n －m )C ．(m －1，n －m ＋1)D ．(m ，n －m ) 6．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k 项二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应增添的代数式为________．8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________. 9．某个命题与自然数n 有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立．那么当n ＝________时，该命题不成立，可推得n ＝5时该命题也不成立．10．平面上有n 条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条这样的直线把平面分成f (k )个区域，则k ＋1条直线把平面分成的区域数f (k ＋1)＝f (k )＋________.三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4；(2)根据计算结果，猜想{a n }，{b n }的通项公式，并用数学归纳法证明．12．设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2,3，….(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出{a n }的一个通项公式；(2)当a 1≥3时，证明对所有n ≥1，有①a n ≥n ＋2；②11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ≤12.。

第六章 第七节 数学归纳法(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14解析：项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1. 答案：D2．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程，由n ＝k到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项 D ．2k项解析：1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－(1＋12＋13＋…＋12k －1)＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k项．答案：D3．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)正确，再推n ＝2k ＋3正确 B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)正确，再推n ＝2k ＋1正确 C ．假设n ＝k (k ∈N *)正确，再推n ＝k ＋1正确 D ．假设n ＝k (k ≥1)正确，再推n ＝k ＋2正确 解析：首先要注意n 为奇数，其次还要使n 能取到1. 答案：B4．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1) D ．3(2＋7k)解析：本题考查用数学归纳法证明整除性问题．(1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立． 答案：D5．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)＝3n 2－3n ＋2的自然数n 等于( ) A ．1 B ．1或2 C ．1,2,3 D ．1,2,3,4解析：当n ＝1时，左端＝1×2＝2， 右端＝3×12－3×1＋2＝2，命题成立； 当n ＝2时，左端＝1×2＋2×3＝8， 右端＝3×22－3×2＋2＝8，命题成立； 当n ＝3时，左端1×2＋2×3＋3×4＝20， 右端＝3×32－3×3＋2＝20，命题成立； 当n ＝4时，左端1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40， 右端＝3×42－3×4＋2＝38，命题不成立． 答案：C6．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即k 2＋k ＜k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，k ＋12＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2＜k 2＋3k ＋2＋k ＋2＝k ＋22＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立． 则上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析：用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设． 答案：D二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜测第n 个不等式为____________(n ∈N *)．解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2.答案：1＋12＋13＋…＋12n －1>n28．如图，这是一个正六边形的序列：则第n 个图形的边数为________．解析：第(1)图共6条边，第(2)图共11条边，第(3)图共16条边，……，其边数构成等差数列，则第(n )图的边数为a n ＝6＋(n －1)×5＝5n ＋1.答案：5n ＋19．(2011·某某模拟)若数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋12，记＝2(1－a 1)(1－a 2) (1)a n )，试通过计算c 1，c 2，c 3的值，推测＝________.解析：c 1＝2(1－a 1)＝2×(1－14)＝32，c 2＝2(1－a 1)(1－a 2)＝2×(1－14)×(1－19)＝43，c 3＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2×(1－14)×(1－19)×(1－116)＝54，故由归纳推理得＝n ＋2n ＋1. 答案：n ＋2n ＋1三、解答题10．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． 解：(1)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝74，a 4＝158，由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)证明：当n ＝1时，a 1＝1，结论成立． 假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么n ＝k ＋1(k ≥1且k ∈N *)时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1.∴2a k ＋1＝2＋a k .∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k， 这表明n ＝k ＋1时，结论成立． ∴a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．11．(2010·某某高考)已知△ABC 的三边长都是有理数． (1)求证：cos A 是有理数；(2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数．证明：(1)由AB 、BC 、AC 为有理数及余弦定理知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC是有理数．(2)用数学归纳法证明cos nA 和sin A ·sin nA 都是有理数．①当n ＝1时，由(1)知cos A 是有理数，从而有sin A ·sin A ＝1－cos 2A 也是有理数． ②假设当n ＝k (k ≥1)时，cos kA 和sin A ·sin kA 都是有理数． 当n ＝k ＋1时，由cos(k ＋1)A ＝cos A ·cos kA －sin A ·sin kA ，sin A ·sin(k ＋1)A ＝sin A ·(sin A ·cos kA ＋cos A ·sin kA ) ＝(sin A ·sin A )·cos kA ＋(sin A ·sin kA )·cos A ，及①和归纳假设，知cos(k ＋1)A 与sin A ·sin(k ＋1)A 都是有理数． 即当n ＝k ＋1时，结论成立．综合①、②可知，对任意正整数n ，cos nA 是有理数．12．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝(2－1)(a n ＋2)，n ＝1,2,3，…. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }中，b 1＝2，b n ＋1＝3b n ＋42b n ＋3，n ＝1,2,3，…，证明：2＜b n ≤a 4n －3，n ＝1,2,3，….解：(1)因为a n ＋1＝(2－1)(a n ＋2)＝(2－1)(a n －2)＋(2－1)(2＋2)＝(2－1)(a n－2)＋2，所以a n ＋1－2＝(2－1)(a n －2)．所以数列{a n －2}是首项为2－2，公比为2－1的等比数列， 所以a n －2＝2(2－1)n，即{a n }的通项公式a n ＝2[(2－1)n＋1]，n ＝1,2,3，….(2)用数学归纳法证明：(ⅰ)当n＝1时，因为2＜2＝b1＝a1＝2，所以2＜b1≤a1，结论成立；(ⅱ)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即2＜b k≤a4k－3，即0＜b k－2≤a4k－3－2.当n＝k＋1时，b k＋1－2＝3b k＋42b k＋3－2＝3－22b k＋4－322b k＋3＝3－22b k－22b k＋3＞0，又12b k＋3＜122＋3＝3－2 2.所以b k＋1－2＝3－22b k－22b k＋3＜(3－22)2(b k－2)≤(2－1)4(a4k－3－2)＝a4k＋1－ 2.也就是说，当n＝k＋1时，结论成立．根据(ⅰ)和 (ⅱ)知，2＜b n≤a4n－3，n＝1,2,3，….。

一数学归纳法学习目标：1.了解数学归纳法的原理及其使用范围．(重点)2.会利用数学归纳法证明一些简单问题．(重点、难点)教材整理数学归纳法的概念阅读教材P46～P50，完成下列问题．一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n＝n0时命题成立；(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明_n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是( )A ．k ∈NB ．k ＞1，k ∈N ＋C ．k ≥1，k ∈N ＋D ．k ＞2，k ∈N ＋C [数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法，所以k 是正整数，又第一步是递推的基础，所以k 大于等于1.]1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12). [精彩点拨] 要证等式的左边共2n 项，右边共n 项，f (k )与f (k ＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时要注意项的合并．[自主解答] ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，所以等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即1－12＋13－14＋...＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)，则当n ＝k ＋1时， 左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边， 所以，n ＝k ＋1时等式成立． 由①②知，等式对任意n ∈N ＋成立．1．用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．2．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n ＝n 0时命题的形式，二是要准确把握由n ＝k 到n ＝k ＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n ＝k ＋1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节．1．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．[证明](1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，就是12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时等式也成立，根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立.＋[精彩点拨]先验证n＝1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键是找清f(k＋1)与f(k)的关系并设法配凑．[自主解答](1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，[ 3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝[21(k＋1)＋7]·7k－1＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k.∵[(3k＋1)·7k－1]和9(2k＋3)·7k都能被9整除，∴[ (3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k能被9整除，即[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，即当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对任何n∈N＋，命题都成立，即(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．1．证明本题时关键是用归纳假设式子(3k＋1)·7k－1表示n＝k＋1时的式子．2．用数学归纳法证明整除问题关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证．一般地，证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n)) 整除，主要是找到f(k＋1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋f2(k)．2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除．[证明](1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36,36能被9整除，命题成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)，由归纳假设知，上式中两项都能被9整除，故n＝k＋1时，命题也成立．由(1)和(2)可知，对n∈N＋命题成立．＋点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论．[精彩点拨](1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明．[自主解答] 当n ＝2时，f (2)＝1 ；当n ＝3时，f (3)＝3； 当n ＝4时，f (4)＝6. 因此猜想f (n )＝n (n －1)2(n ≥2，n ∈N ＋)．下面利用数学归纳法证明：(1)当n ＝2时，两条相交直线有一个交点， 又f (2)＝12×2×(2－1)＝1.∴n ＝2时，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N ＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k 条直线的交点个数为f (k )＝12k (k －1)，当n ＝k ＋1时，其中一条直线记为l ，剩下的k 条直线为l 1，l 2，…，l k . 由归纳假设知，剩下的k 条直线之间的交点个数为f (k )＝k (k －1)2.由于l 与这k 条直线均相交且任意三条不过同一点， 所以直线l 与l 1，l 2，l 3，…，l k 的交点共有k 个， ∴f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝k (k －1)2＋k ＝k 2＋k2＝k (k ＋1)2＝(k ＋1)[(k ＋1)－1]2，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对一切n ∈N ＋且n ≥2时成立．1．从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n 变化时，交点个数间的关系．2．利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时几何图形的变化规律并结合图形直观分析，要讲清原因．3．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明．[解]设分割成线段或射线的条数为f(n)，则f(2)＝4，f(3)＝9，f(4)＝16.猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)＝n2(n≥2)，下面利用数学归纳法证明．(1)当n＝2时，显然成立．(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时，结论成立，f(k)＝k2.则当n＝k＋1时，设有l1，l2，…，l k，l k＋1，共k＋1条直线满足题设条件．不妨取出直线l1，余下的k条直线l2，l3，…，l k，l k＋1互相分割成f(k)＝k2条射线或线段．直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线段．k 条直线l2，l3，…，l k－1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k 条．故f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1＋k ＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2， ∴当n ＝k ＋1时，结论正确．由(1)(2)可知，上述结论对一切n ≥2且n ∈N ＋均成立.1．数学归纳法中，n 取的第一个值n 0是否一定是1?[提示] n 0不一定是1，指适合命题的第一个正整数，不是一定从1开始． 2．如何理解数学归纳法的两个步骤之间的关系？[提示] 第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的桥梁，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论，因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判断．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就无意义了．【例4】 用数学归纳法证明：1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1成立时，左边计算的结果是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3[精彩点拨] 注意左端特征，共有n ＋2项，首项为1，最后一项为a n ＋1.C [实际是由1(即a 0)起，每项指数增加1，到最后一项为a n ＋1，所以n ＝1时，左边的最后一项应为a 2，因此左边计算的结果应为1＋a ＋a 2.]1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.2．递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．4．当f (k )＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k，则f (k ＋1)＝f (k )＋________.[解析] f (k ＋1)＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)，∴f (k ＋1)＝f (k )＋12k ＋1－12(k ＋1). [答案]12k ＋1－12k ＋21．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)· (2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式为( ) A ．1 B ．1＋3 C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4C [当n ＝1时左边所得的代数式为1＋2＋3.]2．某个与正整数n 有关的命题，如果当n ＝k (k ∈N ＋且k ≥1)时命题成立，则一定可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立．现已知n ＝5时，该命题不成立，那么应有( )A ．当n ＝4时，该命题成立B ．当n ＝6时，该命题成立C ．当n ＝4时，该命题不成立D ．当n ＝6时，该命题不成立C [若n ＝4时命题成立，由递推关系知n ＝5时命题成立，与题中条件矛盾，所以n ＝4时，该命题不成立．]3．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n －1)(n ∈N ＋)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左端需乘以的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1B [当n ＝k 时，等式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k·1·3·…·(2k －1)．当n ＝k ＋1时，左边＝[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2]…[(k ＋1)＋k ][(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)．比较n ＝k 和n ＝k ＋1时等式的左边，可知左端需乘以(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．故选B.]4．用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2，n ∈N ＋”时，若n ＝1，则左端应为________．[解析] 当n ＝1时，左端应为1×4＝4. [答案] 45．用数学归纳法证明：1＋a ＋a 2＋…＋an －1＝1－a n1－a(a ≠1，n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1－a1－a ＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，等式成立， 即1＋a ＋a 2＋…＋a k －1＝1－a k1－a. 那么n ＝k ＋1时， 左边＝1＋a ＋a 2＋…＋a k －1＋a k＝1－a k1－a＋a k＝1－a k＋a k－a k ＋11－a ＝1－a k ＋11－a＝右边， 所以等式也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N ＋等式均成立．。

课下梯度提能（二）一、题组对点训练 对点练一 弧度的概念 1．下列叙述中正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 解析：选D 由弧度的定义知，选项D 正确． 2．与角－π6终边相同的角是( )A.5π6 B.π3 C.11π6 D.2π3解析：选C 与角－π6终边相同的角的集合为{α|α＝－π6＋2k π，k ∈Z }，当k ＝1时，α＝－π6＋2π＝11π6，故选C.3．角－2912π的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D －2912π＝－4π＋1912π，1912π的终边位于第四象限，故选D.对点练二 角度与弧度的换算 4．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15° 解析：选C 对于A ，60°＝60×π180＝π3；对于B ，－10π3＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.5．把角－690°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为________． 解析：法一：－690°＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫690×π180＝－236π. ∵－236π＝－4π＋π6，∴－690°＝－4π＋π6.法二：－690°＝－2×360°＋30°，则－690°＝－4π＋π6.答案：－4π＋π66．已知角α＝－2 020°.(1)将α改写成φ＋2k π(k ∈Z,0≤φ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－2π，4π)上找出与α终边相同的角．解：(1)因为α＝－2 020°＝－6×360°＋140°，且140°＝140×π180＝7π9，所以α＝－12π＋7π9，故α是第二象限角．(2)与α终边相同的角可表示为θ＝2k π＋7π9，k ∈Z ，又－2π≤θ＜4π，所以k ＝－1,0,1， 将k 的值分别代入θ＝2k π＋7π9，k ∈Z ，得θ＝－11π9，7π9，25π9.对点练三 扇形的弧长公式和面积公式的应用7．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对的弧长为( ) A.403π B.203π C.2003 D.4003π 解析：选A 240°＝240180π＝43π，∴弧长l ＝43π×10＝403π，选A.8．若扇形的面积为3π8，半径为1，则扇形的圆心角为( )A.3π2 B.3π4 C.3π8 D.3π16解析：选B S 扇形＝12lR ＝12(αR )·R ＝12αR 2，由题中条件可知S 扇形＝3π8，R ＝1，从而α＝2S 扇形R 2＝3π41＝3π4，故选B. 9．一个扇形的面积为1，周长为4，则圆心角的弧度数为________．解析：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l ·R .联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1.解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.答案：210.如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积．解：∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，∴AB ︵的长为4π.∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，有S △OAB ＝12×AB ×OD (D 为AB 中点)＝12×2×6cos 30°×3＝9 3. ∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. ∴弓形ACB 的面积为12π－9 3. 二、综合过关训练1．角α的终边落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．2．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为( )A.1sin 0.5B ．sin 0.5C ．2sin 0.5D ．tan 0.5解析：选A 连接圆心与弦的中点，则弦心距、弦长的一半、半径构成一个直角三角形．弦长的一半为1，弦所对的圆心角也为1，所以圆的半径为1sin 0.5，所以该圆心角所对的弧长为1×1sin 0.5＝1sin 0.5，故选A.3．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3C. 3 D ．2 解析：选C 如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR＝ 3.4．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q ＝( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π}解析：选B 如图，在k ≥1或k ≤－2时，[2k π，(2k ＋1)π]∩[－4，4]为空集，分别取k ＝－1，0，于是A ∩B ＝{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}．5．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为________． 解析：A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝π5，B ＝π3，C ＝7π15. 答案：π5，π3，7π156．若角α的终边与8π5角的终边相同，则在[0，2π]上，终边与α4角的终边相同的角是________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )． 令k ＝0，1，2，3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.答案：2π5，9π10，7π5，19π107．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9，∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.∵α与14π9角终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ，解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.8．如图所示，已知一长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A 走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．解：AA 1︵所在的圆半径是2 dm ，圆心角为π2；A 1A 2︵所在的圆半径是1 dm ，圆心角为π2；A 2A 3所在的圆半径是 3 dm ，圆心角为π3，所以点A 走过的路径长是三段圆弧之和，即2×π2＋1×π2＋3×π3＝（9＋23）π6(dm)．。

2019-2020学年高中数学 6.1不等关系与不等式提能训练 理 新人教A 版一、选择题（每小题6分，共36分）1.(2012•湘潭模拟)若a<b<0,则下列不等式不能成立的是( )(A)11a b> (B)a b 22> (C)|a|>|b| (D)a b11()()22>2.（预测题）设a,b 为正实数，则“a ＜b ”是“a-1a ＜b-1b”成立的( ) (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 3.若x ∈(12,1),a=log 2x,b=2log 2x,c=log 23x,则( ) (A)a ＜b ＜c (B)c ＜a ＜b (C)b ＜a ＜c (D)b ＜c ＜a4.（2012·石家庄模拟）设a 、b 、c 、d ∈R,且a ＞b,c ＞d,则下列结论正确的 是( )（A ）a+c ＞b+d （B ）a-c ＞b-d （C ）ac ＞bd（D ）a b d c＞5.若A=(x+3)(x+7)，B=(x+4)(x+6)，则A ，B 的大小关系为( ) (A)A<B (B)A=B (C)A>B (D)不确定6.若1＜a ＜3,-4＜b ＜2,则a-|b|的取值范围是( ) (A)(-1,3) (B)(-3,6) (C)(-3,3) (D)(1,4) 二、填空题（每小题6分，共18分）7.（易错题）以下不等式：①a ＜0＜b;②b ＜a ＜0;③b ＜0＜a;④0＜b ＜a;⑤ab ＞0,a ＞b ，其中使11a b＜成立的充分条件是___________. 8.（8.(2012•岳阳模拟)若a<b<0，则1a b -与1a的大小关系为.9.（2012·福州模拟）设a ＞b ＞c ＞0,x y ==z =x,y,z 的大小顺序是_________.三、解答题（每小题15分，共30分）10.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品至少140件,所需租赁费最多不超过2 500元，写出满足上述所有不等关系的不等式. 11.已知b ＞a ＞0，x ＞y ＞0，求证：x y .x a y b++＞ 【探究创新】（16分）已知奇函数f(x)在R 上是单调递减函数，α，β，γ∈R ，α+β＞0,β+γ＞0,γ+α＞0,试说明：f(α)+f(β)+f(γ)的值与0的关系.答案解析 1. 【解析】选B.由a<b<0知ab>0，因此11a b ab ab <,即11a b>成立， 由a<b<0得-a>-b>0,∴｜a|>|b|>0成立，∵x1y ()2=是减函数，∴ab11()()22>成立，只有B 不成立. 2.【解题指南】对于充要条件问题，主要从两方面入手：看a ＜b 时11a b a b--＜是否成立，若成立则充分条件具备，反之不具备，再从11a b a b--＜入手看a ＜b 是否成立即可. 【解析】选C.∵0＜a ＜b,∴110,a b＞＞ ∴110,a b--＜＜由同向不等式的可加性得11a b a b--＜，故充分条件具备.若11a b ,a b --＜则11a b ()0,b a-+-＜即(a-b)(1+1ab)＜0,∵a,b 为正实数,∴1+1ab＞0,故a-b ＜0,∴a ＜b 成立，故必要条件具备，故选C.3.【解题指南】利用对数函数的性质与不等式性质求解. 【解析】选C.∵x ∈(12,1),∴-1＜log 2x ＜0. ∴c-a=log 2x(log 2x+1)(log 2x-1)＞0,即c ＞a. a-b=-log 2x ＞0,∴a ＞b,∴c ＞a ＞b,故选C.4.【解析】选A.由不等式的可加性可知a+c ＞b+d, 而当a=2,b=1,c=-2,d=-3时，B 不一定成立， C ，D 中a 、b 、c 、d 符号不定，不一定成立.5.【解析】选A.因为(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)=(x 2+10x+21)-(x 2+10x+24)=-3<0, 故A<B.6.【解题指南】由已知先求出|b|的范围而后求得-|b|范围,再用不等式同向可加性可解.【解析】选C.由-4＜b ＜2得0≤|b|＜4，故-4＜-|b|≤0,又1＜a ＜3，故-3＜a-|b|＜3,故选C.7.【解析】①中a ＜0＜b,则1a ＜0,1b ＞0，故11a b＜成立. ②中b ＜a ＜0，则11b a ＞，即11a b ＜成立.③中b ＜0＜a,则1a ＞0,1b ＜0,故11a b ＞，故11a b ＜不成立.④中0＜b ＜a ，则11a b＜成立.⑤中ab ＞0,若a ＞b ＞0，则11a b ＜成立，若b ＜a ＜0，则11a b＜也成立.答案：①②④⑤ 8. 【解析】()11b 110..a b a a a b a b a-=<∴<--- 答案:11a b a<- 9.【解析】∵a ＞b ＞c ＞0,∴y 2-x 2=b 2+(c+a)2-a 2-(b+c)2=2c(a-b)＞0,∴y 2＞x 2，即y ＞x, z 2-y 2=c 2+(a+b)2-b 2-(c+a)2=2a(b-c)＞0,故z 2＞y 2，即z ＞y,故z ＞y＞x. 答案：z ＞y ＞x 【一题多解】特值代换法，令a=3,b=2,c=1, 则,则x ＜y ＜z,故z ＞y ＞x.10.【解析】设甲种设备需要生产x 天,乙种设备需要生产y 天,则甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况如表所示:则x 、y 满足的关系为:5x 6y 50,5x 6y 50,10x 20y 140,x 2y 14,200x 300y 2 500,2x 3y 25,x N,y N.x N,y N.+≥+≥⎧⎧⎪⎪+≥+≥⎪⎪⎨⎨+≤+≤⎪⎪⎪⎪∈∈∈∈⎩⎩即 【方法技巧】用不等式表示不等关系问题的解题步骤(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，把文字语言“翻译”成对应的数学符号语言，用不等式表示不等关系; (3)设变量后，数量化不等关系(列出不等式(组)). 11.【解题指南】利用作差比较法进行证明.【证明】()()()()x y b y x a x yx a y b x a y b +-+-=++++ ()()bx ay,x a y b -=++∵b ＞a ＞0，x ＞y>0,∴bx ＞ay,x+a ＞0，y+b ＞0,bx ay x y0,.(x a)(y b)x a y b-∴∴++++＞＞【探究创新】 【解析】由α+β＞0得α＞-β,∵f(x)是R 上的单调递减函数，故f(α)＜f(-β)， 又∵f(x)是R 上的奇函数，故f(α)＜-f(β)， ∴f(α)+f(β)＜0.同理可得f(β)+f(γ)＜0,f(α)+f(γ)＜0, ∴2f(α)+2f(β)+2f(γ)＜0, 故f(α)+f(β)+f(γ)＜0.。