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浦东新区2021学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试卷考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分 .一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．已知复数12z i =+（i 为虚数单位），则||z = .2．函数()1f x =的反函数为1()f x -，则1(3)f -= .3．已知3cos 5θ=-，则cos2θ的值为 .4．已知集合{|11}A x x =-<< ，{|0}2xB x x =<-，则A B = .5．底面半径长为2，母线长为3的圆柱的体积为 .6．三阶行列式125143356中，元素2的代数余子式的值为 . 7．数列{}n a 的通项公式为21(110)12(11)n n n a n n -≤≤⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，则lim n n a →∞= . 8．方程22log (1)log (1)1x x ++-=的解为 .9. 已知函数2()23f x x x m =+++，若()0f x ≥对任意的[1,2]x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是 .10．某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为 .（用数字作答）11．已知(1,0)A -、(1,0)B、P ，点C 是圆221x y +=上的动点，则PC PB PC PA ⋅+⋅的取值范围是 .12．已知实数x y 、满足||||14x x y y +=，则|24|x y +-的取值范围是 .B二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．已知直线a 在平面β上，则“直线l ⊥a ”是“直线l ⊥β”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件14．10(1)x -的二项展开式中第4项是 （ ） （A ）3710C x （B ）4610C x （C ）3710C x - （D ）4610C x - 15．若方程2244x ky k +=表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于 （ ）（A ）（B ）（C（D 16．函数1()sin 2f x x =-，[,40]x t t ∈+零点的个数不可能是（ ） （A ）12个 （B ）13个 （C ）14个 （D ）15个三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知三棱锥P ABC -中，PA 、BA 、CA 两两互相垂直，且长度均为1． （1）求三棱锥P ABC -的全面积；（2）若点D 为BC 的中点，求PD 与平面PAC （结果用反三角函数值表示）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数2()1f x x ax =++，a R ∈．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）若函数()()(0)f x g x x x=>，写出函数()g x 的单调递增区间并用定义证明．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某水产养殖户承包一片靠岸水域．如图，AO 、OB 为直线岸线，1000OA =米，1500OB =米，3AOB π∠=，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB ，过弧AB 上一点P 按线段PA 和PB 修建 养殖网箱，已知23APB π∠=． （1）求岸线上点A 与点B 之间的直线距离；（2）如果线段PA 上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段PB 上的网箱每米可获得30元的经济收益．记PAB θ∠=，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知斜率为k 的直线l 经过抛物线C ：24y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ．（1）若点A 和B 到抛物线准线的距离分别为32和3，求AB ； （2）若2AF AB BF +=，求k 的值；（3）点(,0)M t ，0t >，对任意确定的实数k ，若AMB ∆是以AB 为斜边的直角三角形，判断符合条件的点M 有几个，并说明理由．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列n a ，若存在A R 使得数列na A 是递减数列，则称数列n a 是“A 型数列”． （1）判断数列1,3,1,2是否为“0型数列”； （2）若等比数列n a 的通项公式为n na q （*n N ），0q ，其前n 项和为n S ，且{n S }是“A 型数列”，求A 的值和q 的取值范围； （3）已知0k，数列n a 满足10a ，11nna k a （*n N ）．若存在A R ，使得 n a 是“A 型数列”，求k 的取值范围，并求出所有满足条件的A （用k 表示）．浦东新区2021学年度第一学期期末教学质量检测高三数学答案 2021.121．2． 4 3． 725-4． {|01}x x << 5． 12π 6． 3 7．2 8．9. [6,)-+∞ 10． 4511． [4,12] 12．[44)- 13． B 14． C 15．B 16． D17．解：（1）三棱锥P ABC -的全面积1332242S +=⨯+=…………………….6分（2）取AC 的中点，连接HD 和HP ， 因为PA ⊥平面ABC ，DH 在平面ABC 上， 所以PA DH ⊥，又因为DH AC ⊥ 所以DH ⊥平面PAC ，所以DPH ∠是PD 与平面PAC 所成角；……………………….10分 因为12DH =，PH =，所以tan DPH ∠=DPH ∠= 所以PD 与平面PAC所成角的大小为arctan ………………………14分18．解：（1）当0a =时，2()1f x x =+，定义域为R ， 任选x R ∈，都有2()1()f x x f x -=+=，所以0a =时函数()f x 为偶函数；………………………………….3分 当0a ≠，(1)2,(1)2f a f a -=-=+ 则(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-；B0a ≠时函数()f x 既非奇函数又非偶函数；………………………….6分（2）函数()g x 的单调递增区间为[)1,+∞．证明：()1()f x g x x a x x==++， 任取[)12,1,,x x ∈+∞且12x x <……………………….8分12121212121212121111()()()()(1)()()x x g x g x x a x a x x x x x x x x x x --=++-++=--=- ……………10分由于12x x <，则120x x -<；由于[)12,1,x x ∈+∞，则121210x x x x ->； 所以1212121()()0x x x x x x --<，即12()()f x f x <． …………………………12分函数()g x 的单调递增区间为[)1,+∞． ………………………………….14分19． 解：（1）AB ===岸线上点A 与点B之间的直线距离为米．…………………………….6分 （2）△PAB中，2sin sin sin()33PA PBππθθ==-，sin()3PA πθ⇒=-，PB θ=，（03πθ<<）………………8分设两段网箱获得的经济总收益为y 元，则4030sin()3y PA PB πθθ=+=-+[4sin()3sin ]sin )3πθθθθ=-+=+arctan θ=+……………………….12分当arctan 2πθ+=，即arctan (0,)23ππθ≈-时，……………………….13分max 55076y =≈（元） 所以两段网箱获得的经济总收益最高约为55076元．……………………….14分20． 解：（1）根据抛物线定义，3,32AF BF ==，∴92AB =. ……………4分.（2）直线l 的方程为()1y k x =-，()()()21,14.2y k x y x =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎪⎨=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎩()()2222240,3k x k x k ⇒-++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 0>∆， ………………5分()()1221242,41.5x x kx x ⎧+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⇒⎨⎪⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩………………6分 12121,1,2AF x BF x AB x x =+=+=++，2AF AB BF +=，()()()11221221x x x x ⇒++++=+，()2121,6x x ⇒-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ …………8分221222458,33k k x x k k++⇒==， ………………9分 代入（5）得：224222458=178033k k k k k k++⋅⇒--=， ()21k ⇒=-舍或28k =，∴ k =±………………10分（3）∵ AMB ∆是以AB 为斜边的直角三角形，∴ MA MB ⊥，0MA MB ⋅=， ………………11分()()1122,,0x t y x t y -⋅-=, ()()12120x t x t y y -⋅-+=,即()21212120x x t x x t y y -+++=，()()2121211y y k x x =--()2121214k x x x x =--+=-，（或者221212124416,4y y x x y y =⋅==-），∴ 2241240t t k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，224230t t k ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， ………………14分 2242120k ⎛⎫∆=++> ⎪⎝⎭， 120t t ⋅<，方程仅有一个正实数解，存在一个满足条件的点M . ………………16分.21．解：（1）1312，因此是的……………………………………………4分 （2）若1q，nS AnA ，不存在A R 使得数列nA 是递减数列，n S 不是“A 型数列”；若1q ，(1)(1)11n n n q q q q S q q --==--，因为{}n S 为递增数列，对于任意A ，存在N ，当n N >时，n nS AS A ，递增，不存在A ，n S 不是“A 型数列”；若01q，11n n q q S q q q -=+--，取1qA q=-，1n nq S Aq q，递减；综上，01q <<．…………………………….……10分 （3）（i ）若1k ，则10a ，21a ，31a k . 此时若存在AR 使得n a 是A 型数列，则11A AkA ，从而12A且1k ，矛盾………..12分（ii ）当01k时，首先证明0na （*nN ）. 用反证法.（猜出答案给2分）…14分 由题意，此时10a ，21a ，31a k. 因此，若存在*nN ，使得0na ，则4n .假设n m 为使得0n a 的最小正整数，则1mma a ，故11110mmma ka a k，而12221110m mmk a ka a kk ，与m 的最小性矛盾. 故0na （*nN ），从而11n na ka 对一切*n N 成立.据此，可解得111n n k a k. 故当11k时，11n nk a k ，即：na 为递减数列. 于是n a 为型数列…………………….16分再证明是唯一解. 用反证法.假设存在A 使得n a 是A 型数列.若A ，则由22211m m k a k 得，当2log 11k m Ak 时，21ma A . 故222212111m m mmk k a AAAa A k k ，n a A 不是递减数列，从而na 不是A 型数列. 同理可证A 时n a 也不是A 型数列……………………..18分综上，0,1k，相应的11Ak.。
2024学年第一学期奉贤区高三学科质量调研数学（完卷时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1~6题每个空格填对得4分，7~12题每个空格填对得5分．1．设全集{}1,2,3,4U =，集合{}2,4A =，则A =_______．2．若直线1l ：20x ay +−=与直线2l ：20ax y +−=互相垂直，则a =_______． 3．已知x ∈R ，则不等式2+20x x −>的解集为_______． 4．设()ln 1,0,21,0.xx x f x x +>⎧=⎨+≤⎩若()01f x =，则0x =_______． 5．若A ，B ，C ，D ，E 五人站成一排，如果A ，B 必须相邻，那么排法共_______种．6．65(x 的二项展开式中的常数项为_______．（用数字作答）7．已知抛物线()20x ay a =>上有一点P 到准线的距离为6，点P 到x 轴的距离为4，则抛物线的焦点坐标为_______．8．在复平面内，O 为坐标原点，复数()1i 43i z =−−，2125i z =+对应的点分别为1Z 、2Z ，其中i 为虚数单位，则12,OZ OZ <>的大小为 _______．9．A 、B 两人下棋，每局两人获胜的可能性一样．某一天两人要进行一场三局两胜的比赛， 最终胜者赢得100元奖金．第一局比赛A 胜，后因为有其他要事中止比赛．为求公平，则11．上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（左图1）的屋檐下常系挂风铃（中间图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成．为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量．因此我们需要作出一些合理的假设：假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；10第题图假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计．截面图如下（右图3），其中1320O O cm =，2318O O cm =，16AB cm =，则制作100个这样的惊鸟铃的铃身至少需要_______千克铜．（铜的密度为38.9/g cm ）（结果精确到个位）11第题左图112．已知集合{}012,,,,n M P P P P =，2,n n ≥∈N 是由函数cos y x =，[0,2]x ∈π的图像上两两不相同的点构成的点集,集合0{,0,1,2,,,2,}i S a a OP OP i n n n ==⋅=≥∈N ,其中()00,1P 、()1,1P π−．若集合S 中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为d 的等差数列,当1,12d ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭时，计算符合条件的点集M 的个数为____________．二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14选对每个得4分，15-16选对每个得5分，否则一律零分．13．在ABC ∆中，“2C π=”是“22sin sin 1A B +=”的（ ） A ．充分非必要条件； B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件． 14．函数22log sin log cos y x x =+，则下列命题正确的是（ ）A ．函数是偶函数；B ．函数定义域是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭； C ．函数最大值1−； D ．函数的最小正周期为π．15．在四棱锥S ABCD −中，若SA xSB ySC zSD =++，则实数组(),,x y z 可能是（ ）A ．()1,1,1−；B ．()1,0,1−；C ．()1,0,0；D ．()1,1,1−−．16．已知数列{}n a 不是常数列，前n 项和为n S ，0na >．若对任意正整数n ，存在正整数m ，使得1n m S a a −<，则称{}n a 是“可控数列”．现给出两个命题：①若各项均为正整数的等差数列{}n a 满足：3d=，则{}n a 是“可控数列”；②若等比数列{}n a 是“可控数列”，则其公比为()0,1q ∈．则下列判断正确的是（ ）A ．①与②均为真命题；B ．①与②均为假命题；C ．①为假命题，②为真命题；D ．①为真命题，②为假命题．11第题中图211第题右图3三、解答题（第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分） 17．已知函数()y f x =，其中()()01xf x aa a =>≠常数且．（1）若函数()y f x =的图像过点()2,9，求关于x 的不等式()213fx −>的解集；（2）存在(]0,1x ∈，使得数列()1f 、()f tx 、()22f x +是等比数列，求实数t 的取值范围．18．某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：18第题假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）求频率分布直方图中x 的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）已知甲型芯片指标在[)80,100为航天级芯片，乙型芯片指标在标在[)60,70为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在[)70,90内取2件，乙型芯片指标在[)50,70内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率．19．如图为正四棱锥P ABCD −，O 为底面ABCD 的中心． （1）求证：CD ∥面PAB ，平面PAC ⊥平面PBD ； （2）设E 为PB 上的一点，2BE BP =．②已知平面ECD 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为arctan 2，若AD =，求AP 的长．20．椭圆Γ：()22211x y a a+=>的左右焦点分别为1F 、2F ，设()00,P x y 是第一象限内椭圆上的一点，1PF 的延长线分别交椭圆于点()11,Q x y ． （1）若椭圆的离心率2，求a 的值； （2）若a =1125PQ OF ⋅=，求0x ； （3）若2a =，过点()0,T t 的直线L 与椭圆Γ交于M 、N 两点，且2MN =，则当0t ≥ 时，判断符合要求的直线有几条，说明理由？20第题（2）图21．若函数()y f x =的图像上存在k 个不同点1P 、2P 、、k P ()2,k k ≥∈N 处的切线重合，则称该切线为函数()y f x =的一条k 点切线，该函数具有k 点切线性质．（1）判断函数22y x x =−，x ∈R 的奇偶性并写出它的一条2点切线方程（无需理由）； （2）设()ln xf x e x =−，判断函数()y f x =是否具有k 点切线性质，并说明理由；（3）设()cos 2g x x x =+，证明：对任意的3,m m ≥∈N ，函数()y g x =具有m 点切线性质，并求出所有相应的切线方程.19第题(2)图19第题（1）图20第题（3）图参考答案一、填空题1．{}1,3 2．0a = 3．(),−∞+∞=R 4． 1 5．48 6．57．()0,2 8．16arccos65（或63arctan 16） 9．75 10．44sin θθ+11．120（119也可以） 12．60二、选择题13．A 14．C 15．A 16．D三、解答题（第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分） 17．解：（1）将点()2,9代入函数解析式，得：29a =，因为01a a >≠且，所以3a =. …………………………2分 因为()3xf x =在R 上是严格增函数，()213f x −>所以2133x −>， 211x −> …………………………3分解得0x <或1x >，所以原不等式的解集为()()01−∞+∞，，. …………………………2分 （2）由题意，数列()1f 、()f tx 、()22f x +是等比数列， 得：()()()2212ftx f f x =⋅+⎡⎤⎣⎦，…………………………2分即：()2212tx x a a a +=⋅，化简得223tx x =+…………………………1分(]0,1x ∈，所以32t x x =+…………………………1分因为3y x x=+在(]0,1上是严格减函数， …………………………1分 所以[)34,x x+∈+∞，所以t 的取值范围是[)2,+∞. …………………………2分 若()2212333tx x +=⋅，化简得223tx x =+的解法最多扣一分 …………………1分18． 解：（1）由题意()100.0020.0050.0230.0250.0251x ⨯+++++=，解得：0.020x = . …………………………3分 乙型芯片该项指标的平均值为()250.002350.026450.032550.030650.0101047⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯= ………3分（2）由题意：甲型芯片根据分层抽样[70,80)取1件，[80,90)取1件； ……………2分乙型芯片根据分层抽样[50,60)取3件，[60,70)取1件. ……………2分 从6件中任取2件的情况有2615C = ……………2分则至少有一件为航天级芯片的概率为1122422635C C C C ⋅+=. ……………2分19．解：（1）证明：CD ∥AB ，AB ⊂平面PAB ，CD 不在平面PAB 内，…………2分 由线面平行判定定理得CD ∥面PAB …………………………1分由题意：四棱锥P ABCD −为正四棱锥，O 为底面ABCD 的中心 所以PO ⊥底面ABCD ，所以PO AC ⊥， …………………………1分AC BD ⊥，又因为BD PO O =（这一步必需有） …………………………1分由线面垂直的判定定理得AC ⊥平面PBD …………………………1分又因为AC⊂平面PAC所以由面面垂直的判定定理得平面PAC ⊥平面PBD . …………………………1分（2）选①若AD AP ==EC 与面EBD 所成角的大小．由（1）知道AC ⊥平面PBD ，E 点在PB 上，所以面EBD 与面PBD 是同一个平面 连EO ，则OEC ∠是直线EC 与面EBD 所成的角 ……………1分AD =，可以计算3AO OC BO DO ==== 32AP =，可以计算3OP =23BE BP =，可以得到2233BE BP AP ===3tan 13OP PBO OB ∠===，4PBO π∴∠=利用余弦定理得：2222cos 892352OE BE BO BE BO EBO =+−⋅∠=+−⋅⋅= ……………3分3tan 5OC OEC OE OE ∴∠===所以直线EC 与面BED 所成角的大小arctan 5…………………………1分选②已知平面ECD 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为arctan 2，AD =，可以计算3AO OCBO DO ==== …………………………1分在平面内过E 点作EF⊥BD 交于点F根据PO ⊥底面ABCD 得PO BD ⊥，所以EF ∥PO …………………………1分 所以EF ⊥底面ABCD …………………………1分 过F 点作FH CD ⊥交CD 于点H连HE ，根据三垂线定理得到：EH CD ⊥ …………………………1分 EHF ∠是平面ECD 与平面ABCD 所成的二面角的平面角 …………………………1分23BE BP =，可以得到23FH BC =，2233FH BC AD ===tan2EF EHF HF ∴∠===所以平面2,EF OP = …………………………1分PA == …………………………1分AD =，可以计算3AO OCBO DO ==== …………………………1分在平面PBD 内过E 点作EF⊥BD 交于点F根据PO ⊥底面ABCD 得PO BD ⊥，所以EF ∥PO …………………………1分 所以EF ⊥底面ABCD …………………………1分 过F 点作FH CD ⊥交CD 于点H连HE ，根据三垂线定理得到：EH CD ⊥ …………………………1分 EHF ∠是平面ECD 与平面ABCD 所成的二面角的平面角 …………………………1分23BE BP =，可以得到23FH BC =，2233FH BC AD ===tanEF EHF HF ∴∠===所以平面2,EF OP = …………………………1分PA == …………………………1分第（2）问另解：如图，以O 为原点，OB 、OC 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.选①若AD AP ==EC 与面BED 所成角的大小． 点()0,0,3P ，点()3,0,0B因为23BE BP =，()1,0,2E …………………………1分 由（1）可得AC ⊥平面PBD所以平面BED 的一个法向量()0,1,0n OC == …………………………1分所以3cos ,14EC n <>=…………………………2分所以直线EC 与面BED 所成角的大小arcsin 14…………………………1分若选②已知平面ECD 与平面ABCD 所成二面角的大小为arctan 点()0,3,0C ，点()3,0,0B ，()3,0,0D − 设()0,0,P h 因为23BE BP =，得21,0,3E h ⎛⎫ ⎪⎝⎭ …………………………1分易得21,3,3CE h ⎛⎫=−⎪⎝⎭，()3,3,0CD =−− 设平面ECD 的一个法向量为()1,,n x y z =得：2303330x y h x y ⎧−+=⎪⎨⎪−−=⎩， 求得：()1,,6n h h =−− …………………………2分又平面BCD 的一个法向量为()20,0,1n=所以12cos n n <>=，， …………………………2分又因为平面ECD 与平面ABCD 所成二面角的大小为arctan 2所以3=，解得3h =…………………………1分PA == …………………………1分20．解：（1）椭圆的离心率2e a ==…………………………2分所以a = …………………………2分（2）显然直线1PF的斜率是存在的，()11,1,10a b c F ==∴==∴−， …………………………1分()()10101101,,1,0,PQ x x y y OF PQ OF x x =−−=−⋅=− …………………………1分直线1001PF y k x =+，过点1F 的直线方程为()0011y y x x =++， ……………………1分 它与椭圆2212x y +=联立得到()()22221000012211x y y y x y y ⎡⎤++−+−=⎣⎦ ()222010002210,2212y y y x y x y −∴=+=++，01023y y x ∴=−+ ……………………1分()01000100001111112323x y y x x x y x y x +⎛⎫++∴=−=−−=−− ⎪++⎝⎭ …………………………1分 0100001121,0,1235x PQ OF x x x x +⋅=++=>∴=+ …………………………1分（3）2a =时，椭圆方程为2214x y +=斜率不存在时，过任意点()0,T t 的唯一的直线L ：0x =与椭圆交于M 、N 两点坐标()()0,101−，，，此时2MN =恒成立 …………………………………2分 斜率存在时，设过任意点()0,T t 的直线L 的方程为y kx t =+联立它与椭圆2214x y +=联立得到()222148440k x ktx t +++−=()()22222264414446416160k t k tk t ∆=−+−=+−> ……………………………1分2MN == …………………………………1分 2222123440k t k t +−−=t =时，方程2222123440k t k t +−−=方程无解…………………………………1分t ≠时，222430124t k t−=≥−当2t =时，存在直线斜率为0的直线2y =，使得使得2MN = ………………1分 当2334t <<时，即2t <<存在k =2MN = ………………………………………1分所以：2t <<3条直线，使得2MN =2t =存在2条直线，使得2MN = ………………………1分t ≥或02t ≤<存在1条直线，使得2MN =21．解：（1）函数22y x x =−，x ∈R 是偶函数 …………………………2分其一条2点切线方程为：1y =− …………………………2分（2）因为()ln x f x e x =−，所以()1x f x e x'=−. …………………………2分 记()1xh x e x =−，则()21xh x e x'=+ 由()210xh x e x '=+>，知函数()y f x '=在(0,)+∞上为严格增函数. ……………………2分 因此，对于函数()y f x =的图像上任意两点，()()111,P x f x ，()()222,P x f x ，()()12f x f x ''≠，所以其切线斜率不相等，切线不可能重合，因此函数()y f x =不具有k 点切线性质. …………………………2分 （3）()cos 2g x x x =+，()2sin g x x '=−，…………………………1分 故函数在0x x =处的切线方程为：0000cos 2(2sin )()y x x x x x −−=−−，即0000(2sin )sin cos y x x x x x =−++……………1分一方面取m 个点(0,1)、(21)π,4π+、(41)π,8π+、…、(2241)m m π−π,π−4π+，在该m 个点处的切线方程均为：21y x =+所以该函数具有m 点切线性质.…………………………2分 另一方面，若在点(,())i i i P a f a (1,2,,i m =)处的切线重合.则有1231112223332sin 2sin 2sin 2sin sin cos sin cos sin cos sin cos m m m ma a a a a a a a a a a a a a a a −=−=−==−⎧⎨+=+=+==+⎩.由123sin sin sin a a a ==可以知道角1a 与2a 终边相同或关于y 轴对称、角1a 与3a 终边相同或关于y 轴对称、角2a 与3a 终边相同或关于y 轴对称，因123a a a 、、中至少2个角终边相同，不妨设角1a 与2a 终边相同，则212a a t =+π（0t ≠）.此时21cos cos a a =，且11221111sin sin (2)sin 2(2)sin a a a a a t a t a t a ==+π+π=+π（）， 则12sin 0t a π=，故1sin 0a =，则12a n =π或12a n =π+π……………2分此时切线方程为21y x =+或21y x =−.…………………………2分。
2021届高三一模暨春考数学模拟试卷五2020.9.28一､填空题:1.若513sin α=-,且α为第四象限角,则tan α的值是____. 2､函数()cosxsinxf x sinxcosx=的最小正周期是____. 3､函数()2x f x m =+的反函数为()1y f x -=,且()1y f x -=的图像过点()5,2Q ,那么m =____.4､点()1,0到双曲线2214x y -=到渐近线的距离是____. 5.用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器,其容积为____立方米.6.根据相关规定,机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(等于)20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车.假设饮酒后,血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升,经过x 个小时,酒精含量降为p 毫克/100毫升,且满足关系式0rx p p e =⋅(r 为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升,2小时后,测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升,则此人饮酒后需经过____小时方可驾车.(精确到小时)7､如图,在平行四边形ABCD 中,2AB =,1AD =,则AC BD ⋅的值为____.8､三倍角的正切公式为3tan α=____(用tan α表示).9､设集合A 共有6个元素,用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为____.10.已知非零向量a ､b ､c 两两不平行,且()//a b c +,()//b a c +,设c xa yb =+,x,y ∈R ,则2x y +=____.11.已知数列{}n a 满足:11a =,112{,,,}n n n a a a a a +-∈()*,n a n ∈∈N ,记数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对所有满足条件的{}n a ,10S 的最大值为M,最小值为m,则M m +=____.12.曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数()20k k >的点轨迹.给出下列四个结论:①曲线C 过点()1,1-:②曲线C 关于点()1,1-成中心对称;③若点P 在曲线C 上,点A,B 分别在直线12l l 、上,则||||PA PB +不小于2k;④设0P 为曲线C 上任意一点,则点0P 关于直线1:1l x =-､点()1,1-及直线2:1l y =对称的点分别为1P ､2P ､3P ,则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ｡其中,所有正确结论的序号是____.二､选择题13.若空间三条直线a ､b ､c 满足a b ⊥,b c ⊥,则直线a 与c()A.一定平行;B.一定相交;C.一定是异面直线;D.平行､相交､是异面直线都有可能 14.在无穷等比数列{}n a 中,()121lim 2n n a a a →∞+++=,则1α的取值范围是() A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.()0,1 D.110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处,测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21°方向,且塔顶的仰角为18︒,此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处,此时测得塔底位于北偏西39︒方向,则该塔的高度约为() A ､256米B ､279米C ､292米D ､306米减,且关于16.,已知函数2(43)3,0()log (1)1,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩(),01a a >≠且在R 上单调递减,且关于x 的方程()||2f x x =-恰好有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是()A ､20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.123,{}334⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦ D.123,{}334⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭三､解答题:17､已知ABC 中,1AC =,,23ABC π∠=.设BAC x ∠=,记()f x AB BC =⋅. (1)求函数()f x 的解析式及定义域;(2)试写出函数()f x 的单调递增区间,并求出方程()16f x =的解.18､设双曲线22:123x y C -=,1F ,2F 为其左右两个焦点. (1)设O 为坐标原点,M 为双曲线C 右支上任意一点,求1OM F M ⋅的取值范围;(2)若动点P 与双曲线C 的两个焦点1F ,2F 的距离之和为定值,且12cos F PF ∠的最小值为19-,求动点P 的轨迹方程.19.如图,某城市有一矩形街心广场ABCD,如图,其中4AB =百米,3BC =百米,现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN 种植荷花,其中点M 在BC 边上,点N 在AB 边上,要求4MDN π∠=.(1)若2AN CM ==百米,判断DMN ∠是否符合要求,并说明理由;(2)设CDM θ∠=,写出DMN ∠面积的S 关于日的表达式,并求S 的最小值.20､由()2n n 个不同的数构成的数列1a ,2a ,…n a 中,若1i j n <时,j i a a <(即后面的项j a 小于前面项i a ,则称i a 与j a 构成一个逆序,一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数.如对于数列3,2,1,由于在第一项3后面比3小的项有2个,在第二项2后面比2小的项有1个,在第三项1后面比1小的项没有,因此,数列3,2,1的逆序数为2103++=;同理,等比数列1,12-,14,18-的逆序数为4. (1)计算数列()*2191100,n n n n N α=-+∈的逆序数;,(2)计算数列1,3,1nn n a n n n ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-⎪+⎩为奇数为偶数()*1,n k n N ∈的逆序数;,(3)已知数列1,α2a ,…n α的逆序数为a,求1,n n a a -,…1a 的逆序数.21､已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间上的最大值为4,最小值为1,记()()()||f x g x x R =∈. (1)求实数a,b 的值;(2)若不等式()()22223f x g x log k log k +--对任意x R ∈恒成立,求实数k 的取值范围; (3)对于定义在[],p q 上的函数()m x ,设0,x p =n x q =,用任意的()1,2,...,1i x i n =-将[],p q 划分成n 个小区间,其中11i i i x x x -+<<,,若存在一个常数0M >,,使得()()()()()()01121||||||n n m x m x m x m x m x m x M --+-++-≤恒成立,则称函数()m x 为在[],p q 上的有界变差函数.试证明函数是在上的有界变差函数,并求出M 的最小值.。
2025届高三数学一模暨春考数学试卷2时间：120分钟满分：150一.填空题：1.已知集合{1,4}A =，{5,7}B a =-.若{4}A B = ，则实数a 的值是______.2.已知i 是虚数单位.若3i i(,R)a b a b =+∈，则a b +的值为______.3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是______.4.函数y =的定义域是______.5.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______.6.已知双曲线2221(0)2x y a a-=>，则该双曲线的渐近线为______.7.如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =______.8.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若284a a +=，227332a a -=，则10S 的值为______.9.已知函数22,2()11,22x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的不等式()(1)f x f x -<-的解集为______.10.如图，在ABC △中，12AD AB = ，13AE AC = ，CD 与BE 交于点P ，2AB =，4AC =，2AP BC ⋅= ，则AB AC ⋅ 的值为______.11.圆22640x y x y ++-=与曲线243x y x +=+相交于A ，B ，C ，D 点四点，O 为坐标原点，则||OA OB OC OD +++= ______.12.在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则22sin sin A B +的最大值为______.二.选择题：13.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，判断下列结论：（1）月接待游客量逐月增加；（2）年接待游客量逐年增加；（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；（4）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳。
绝密★启用前2021届上海市浦东新区高三上学期一模数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若a 、b 是实数，则a b >是22a b >的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件答案C【分析】根据2xy =是增函数可得出.解：因为2xy =是增函数，所以a b >是22a b >的充要条件. 故选：C.2．若某线性方程组的增广矩阵为1282416⎛⎫⎪⎝⎭，则该线性方程组的解的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定答案C【分析】将线性方程组转化为方程，即可判断解的个数. 解：该线性方程组可化为方程28x y +=，故有无数组解， 故选：C.3．下列命题中正确的是（ ） A ．三点确定一个平面B ．垂直于同一直线的两条直线平行C ．若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l α⊥D ．若a b c 、、是三条直线，//a b 且与c 都相交，则直线a b c 、、共面. 答案D【分析】利用空间点、线、面位置关系直接判断. 解：A.不共线的三点确定一个平面，故A 错误； B.由墙角模型，显然B 错误；C.根据线面垂直的判定定理，若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α垂直，若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面α不垂直，故C 错误；D.因为//a b ，所以a b 、确定唯一一个平面，又c 与a b 、都相交，故直线a b c 、、共面，故D 正确； 故选：D.4．已知函数2,(),x x f x x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数，则以下4个命题：①()f x 是偶函数；②()f x 在[)0,+∞上是增函数； ③()f x 的值域为R ；④对于任意的正有理数a ，()()g x f x a =-存在奇数个零点. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案B【分析】取特殊值可判断①②；根据值域中不含负无理数可判断③；根据,x a x =为有理数或2,x a x =为无理数，解出可判断④.解：①因为2,(),x x f x x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数，所以(1)1,(1)1f f =-=-，所以()f x 不是偶函数，故错误；②因为(3)35f f ==＜，所以()f x 在[)0,+∞不是增函数，故错误；③因为2,(),x x f x x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数，显然()f x 的值域中不含负无理数，故()f x 的值域不为R ，故错误；④()()g x f x a =-的零点即,x a x =为有理数或2,x a x =为无理数，对于,x a x =为有理数，必有解x a =，对于2,x a x =为无理数，必有解x = 故()()g x f x a =-有三个零点或一个，故正确； 故选：B.二、填空题5．lim 21n n n →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭________.答案12【分析】由lim 21n n n →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭lim 112n n →∞⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，再求解即可. 解：解：因为lim 21n n n →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭1lim 1221n n →∞⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭， 故答案为：12. 点评：本题考查了数列的极限的运算，属基础题. 6．半径为2的球的表面积为________. 答案16π【分析】代入球的表面积公式:2=4S R π表即可求得. 解：2R =，∴由球的表面积2=4S R π表公式可得,2=42=16S ππ⨯⨯球表,故答案为:16π点评：本题考查球的表面积公式;属于基础题. 7．抛物线24x y =-的准线方程为______________. 答案1y =【分析】根据抛物线的性质得结论．解：由抛物线方程得2p =，焦点为(0,1)-，准线方程为1y =． 故答案为：1y =．8．已知集合{|0}A x x =>，2{|1}B x x =≤，则A B =________．答案(]0,1【分析】利用集合间的运算直接求解解：{}[]2{0},11,1A x x B x x =>=≤=-，所以(]0,1A B ⋂=.故答案为：(]0,1.9．已知复数z 满足(1)4z i -=（i 为虚数单位），则||z =___________.答案【分析】求出41z i=-，再根据复数模的求法即可求解. 解：41z i=-，所以4|||1|z i ===-故答案为：10．在ABC 中，若2AB =，512B π∠=，4C π∠=，则BC =_________.【分析】由内角和求得A ，然后由正弦定理求得BC ． 解：51243A πBC ππππ-=--==-， 由正弦定理得sin sin AB BC C A =，所以2sinsin 3sin sin 4πAB A BC πC ===．11．函数2()1log f x x =+(4)x ≥的反函数的定义域为___________. 答案[)3,+∞【分析】根据原函数与反函数的关系，直接求原函数的值域.解：函数2()1log (4)f x x x =+≥的值域为[)3,+∞，反函数的定义域是原函数的值域， 故其反函数的定义域为[)3,+∞. 故答案为：[)3,+∞12．在7(x +的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为_________．（用数字作答） 答案12【分析】根据二项展开式的通项，确定有理项所对应的r 的值，从而确定其概率.解：7(x展开式的通项为7721772r rr rr r r T C xC x --+==，07,r r N ≤≤∈，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数， 故有0,2,4,6r =满足题意，故所求概率4182P ==. 点评：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 13．正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE AF =，则AE AF 的取值范围为________． 答案[]0,1【分析】EF 与AC 的交点O 为它们的中点，这样2AO =，结合AO 表示出,AE AF ，计算数量积易得取值范围．解：连接EF 交AC 于点O ，则正方形中，由于AE CF =，得AEO CFO ≅△△，∴2AO OC ==，OE OF =，22()()AE AF AO OE AO OE AO OE ⋅=+⋅-=-，因为正方形的边长为2，所以1,2OE ⎡⎤∈⎣⎦，所以[]0,1AE AF ⋅∈. 故答案为：[0,1]．点评：关键点点睛：本题考查平面向量的数量积．解题关键是EF 的中点O 也是AC 的中点，从而只要用AO 表示出,AE AF ，就易求得取值范围． 14．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1211n n a S +=，则数列{}n a 的前n 项和为n S 为________．答案122n +- 【分析】由1211n n a S +=可得12n n a S +-=，令1n =，2n =，求得1a 和q ，确定数列的前n 项和为n S . 解：11211n n n n a S a S ++=-=（），在（）式中，分别令1,2n =，得213212{2a a a a a -=--=，即21312{24a a a a =+=+，因为{}n a 是等比数列，所以公比322a q a ==，解得12a =， 所以11(1)2(12)22112n n n n a q S q +--===--- 故答案为：122n +-. 15．设函数()2f x x a a x=--+，若关于x 的方程1f x 有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为________．答案⎫⎪⎬⎪⎪⎩⎭【分析】将方程的解转化为两个函数交点问题求解. 解：由()1f x =得2||1x a a x-+=+有两个不同的解， 令2()||,()1h x x a a g x x=-+=+， ()||h x x a a =-+的顶点(,)a a 在y x =上，而y x =与2()1g x x=+的交点坐标为(2,2),(1,1)--， 联立221y x a y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩得2(12)20x a x +-+=， 由2(12)80a ∆=--=，解得12a -=12+， 数形结合，要使得2||1x a a x-+=+有两个不同的解， 则实数a的取值范围是12a -=12+或2.故答案为：122122,222⎧⎫-+⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，16．对于任意的正实数a，b，则2222953a a ba b+++的取值范围为___________.答案2,1⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【分析】法一，原式上下同时除以a，再构造斜率的几何意义，求表示打算的取值范围；法二，原式上下同时除以a后，利用换元，再变形，利用基本不等式求表达式的取值范围.解：法一：转化为斜率先把22229a a b++化作2221953baa⎛⎫++ ⎪⎝⎭+⋅，故可看作23,19bAa ab⎛⎫⎛⎫⎪⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭与(5,22)B--两点的斜率其中点A在221(0,0)y x x y-=>>上，数形结合（如下图），故AB k 最小值为相切时取得， 设22(5)y k x +=+，联立2222(5)1y k x y x ⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩ 由0∆=解得122,2132k k ==（舍） 当ba→+∞时，22219153AB b a kb a⎛⎫++ ⎪⎝⎭=→+（极限思想）故2222953a a b a b +++的取值范围是2,1⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 法二：令0b t a =＞，则222222192292219535353b a a a b t b a b t a⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭==+++， 再令3(0)t x x =>，则原式222122222x x x ++++=≥=⋅， 当且仅当1x =时取等号，再令22m x =+＞22119(2)522944x m m m m+==≤=-+-+-，当且仅当3,1m x ==时取等号，故原式122=22≥⋅，又x →+∞22211x ++→，22229a a b ++22⎫⎪⎪⎣⎭. 故答案为：22⎫⎪⎪⎣⎭点评：关键点点睛：本题上下同时除以a 后，法一的关键是点2319b A a a b ⎛⎛⎫⨯+ ⎪ ⎝⎭⎝在221(0,0)y x x y -=>>上运动，宜采用数形结合分析问题，法二的关键是通过换元，降次，变形再利用基本不等式求取值范围.三、解答题17．如图，直三棱柱111A B C ABC -中，1AB AC ==，2BAC π∠=，14A A =，点M为线段1A A 的中点．()1求直三棱柱111A B C ABC -的体积；()2求异面直线BM 与11B C 所成的角的大小．（结果用反三角表示） 答案()12；()210arccos10. 【分析】()1利用体积公式代入数据求值即可；()2MBC ∠是异面直线BM 与11B C 所成的角或其补角，在MBC △中，利用余弦定理求得结果即可.解：解：()1因为1AB AC ==，2BAC π∠=，14A A =，所以11111222ABC S AB AC =⋅⋅=⨯⨯=△， 因为1111A B C ABC ABC V S A A -=⋅△， 所以11111422A B C ABC ABC V S A A -=⋅=⨯=△． ()2因为11//BC B C ，MBC ∴∠是异面直线BM 与11B C 所成的角或其补角.在MBC△中，1AB =,1114222AM AA =⋅=⨯=,2222215BM AM AB ++=,2222112BC AB AC =+=+=， 2222125MC AC AM =++=由余弦定理得，222222cos 2MB BC MC MBC MB BC +-+-∠===⋅⋅MBC ∴∠=∴异面直线BM 与11B C 所成的角为.点评：本题考查棱柱的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想找出一面直线的夹角是解题的关键点，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题. 18．已知函数()sin()6f x x πω=+(0)>ω的最小正周期为π.（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在ABC 中，若()12A f =，求sin sinBC +的取值范围.答案（1）2ω=，,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）2⎛ ⎝ 【分析】（1）根据函数的最小正周期为π，可求ω，并写出函数式进而求()f x 的单调递增区间；（2）由（1）结论，()12A f =求角A ，根据三角形内角和的性质可知角B 、C 的关系，进而求B 的范围，即可求sin sin B C +的取值范围. 解：（1）因为()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，即2T ππω== ∴2,()sin(2)6f x x πω==+，令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈ ∴()f x 的单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）在ABC 中，若12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由（1）得，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为0,A π<< 所以62A ππ+=，即3A π=23sin sin sin sin sin 326B C B B B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为203B π<<，所以5666B πππ<+<；所以1sin 266B B ππ⎛⎫⎛⎫<+≤<+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin sin B C +的取值范围⎝ 点评：关键点点睛： （1）由最小正周期2||T πω=求参数，利用整体代入法求()f x 的单调递增区间； （2）应用三角形内角和性质可得内角B 、C 的关系，进而用其中一角表示另一角并确定角的范围，进而求函数值的范围.19．勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施.某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前(1,2,3,,12)n n =个月对某种食材的需求总量n S （公斤）近似地满足2635(16)6774618(712)n nn S n n n ≤≤⎧=⎨-+-≤≤⎩．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量.（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值． 答案（1）前7个月每月该食材都够用；（2）为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．【分析】（1）由题意知6460n n S -≥恒成立，讨论16n ≤≤、7n =确定不等式是否成立即可.（2）保证全年每一个月该食材都够用有n pn S ≥恒成立，即max ()nS p n≥，可求p 的最小值．解：（1）当16n ≤≤时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用； 当7n =时，因为()7646764676497747618160S ⨯-=⨯--⨯+⨯-=>，第7个月该食材够用．所以，前7个月每月该食材都够用（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式n pn S ≥对1,2,,12n =恒成立．当16n ≤≤时，635pn n ≥恒成立，可得635p ≥；当712n ≤≤时，26774618pn n n ≥-+-恒成立，即1037746()p n n≥-+恒成立，而当10n =时，1037746()n n-+的最大值为652.2 综上，可得652.2p ≥．∴为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．20．已知椭圆1:C 2214xy +=，1F 、2F 为1C 的左、右焦点.（1）求椭圆1C 的焦距；（2）点2Q 为椭圆1C 一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆1C 交于两点A 、B ，若QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆1C 与双曲线2221:C x y -=在第一象限的交点为(,)M M M x y ，椭圆 1C 和双曲线2C 上满足||||M x x ≥的所有点(,)x y 组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求12NF NF ⋅的取值范围．答案（1）（2）112y x =±；（3）45,⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由椭圆方程，根据参数关系以及焦距的含义即可求焦距. （2）由直线与椭圆关系，令1:2l y x m =+，与椭圆方程联立有1212,x x x x +，应用弦长公式、点线距离公式、三角形面积公式，结合已知QAB 面积为1，即可求m 的值.（3）由题意知M 则曲线C 由双曲线、椭圆中||x ≥的部分构成，令(),N x y 应用向量数量积的坐标表示即可得22123NF NF x y ⋅=+-，讨论N 在椭圆部分或双曲线部分，求12NF NF ⋅的取值范围.解：（1）由椭圆1C 的方程知：3c ==，即焦距为2c =（2）设1:2l y x m =+，代入2244x y +=得222220x mx m ++-=，由()222481840m m m ∆=--=->得||2m <，212122,22+=-=-x x m x x m ，所以2221251||22105AB k x x m m =+⋅-=⨯-=-， 所以Q 到直线l 的距离5d =，由21||||212QABS d AB m m =⋅=⋅-=，得1m =± 所以1:12l y x =± （3）由2222441x y x y ⎧+=⎨-=⎩解得21015M M x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设(),N x y 是曲线C 上一点，又1(3,0)F -，2(3,0)F ，()13,NF x y =---，()23,NF x y =--，∴22122103,(||)5NF NF x y x ⋅=+-≥，当N 在曲线2244(||||)M x y x x +=≥上时，21213NF NF y⋅=-， 当15y =()12min45NF NF ⋅=-，当0y =时，()12max1NF NF ⋅=，所以124,15NF NF ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦； 当N 在曲线221(||||)M x y x x -=≥上时，21222NF NF y ⋅=-； 当15y =()12min45NF NF ⋅=-，124,5NF NF ⎡⎫⋅∈-+∞⎪⎢⎣⎭；综上，124,5NF NF ⎡⎫⋅∈-+∞⎪⎢⎣⎭. 点评：关键点点睛：（1）由椭圆方程求参数c ，进而求焦距.（2）设直线方程，由直线与椭圆相交关系联立方程求1212,x x x x +，结合弦长公式、点线距离公式、三角形面积公式求参数，写出直线方程.（3）由题意知曲线C 由双曲线、椭圆中||x ≥的部分构成，结合向量数量积的坐标表示构造函数，讨论N 点的位置求向量数量积的范围.21．已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意的1x 、2x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.（1）判断()214f x x x =-，[]1,4x ∈与()212f x x x =-+-，[]1,4x ∈是否是非 减函数?（2）已知函数()122xx ag x -=+在[]2,4上为非减函数，求实数a 的取值范围； （3）已知函数()h x 在[]0,1上为非减函数，且满足条件：①()00h =，②()132x h h x ⎛⎫=⎪⎝⎭，③()()11h x h x -=-，求12020h ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 答案（1）()214f x x x =-在[]1,4上不是非减函数，()212f x x x =-+-在[]1,4上是非减函数；（2）(],8-∞；（3）112020128h ⎛⎫=⎪⎝⎭. 【分析】（1）化简两个函数的解析式，结合二次函数和一次函数的单调性可得出结论； （2）任取1x 、[]22,4x ∈且12x x <，由题中定义可得()()12g x g x ≤，通过作差法得出1222x x a +≤，求出122x x +的取值范围，即可得出实数a 的取值范围； （3）根据题意计算出121332h h ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，根据非减函数的定义得知，对任意的12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()12h x =，由已知条件得出()()132h x h x =，进而可得出611729202022020h h ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得解.解：（1）()()221424f x x x x =-=--，所以，函数()1f x 在区间[)1,2上为减函数，在区间(]2,4上为增函数， 则函数()1f x 在区间[]1,4上不是非减函数， 当[]1,4x ∈时，()21,1223,24x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，所以，函数()212f x x x =-+-在区间[]1,4上为非减函数； （2）任取1x 、[]22,4x ∈且12x x <，即1224x x ≤<≤， 因为函数()122xx ag x -=+在[]2,4上为非减函数， 有()()()()()()2112121121221212122222222112222202222x x x x x x x x x x x x x x x x a a g x g x a +++---⎛⎫-=-+-=-+=≤ ⎪⎝⎭，1224x x ≤<≤，1222x x ∴<， 12220x x a +∴-≥，1222x x a +∴≤，1224x x ≤<≤，则1248x x <+<，则()12216,256x x +∈，216a ∴≤，即8a ≤，因此，实数a 的取值范围是(],8-∞；（3）由已知得，()00h =，得()()1101h h =-=， 从而()1111322h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，2111332h h ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，121332h h ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为函数()h x 为[]0,1上的非减函数，对任意的12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1233h h x h ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1122h x ≤≤，所以，()12h x =， ()132x h h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，()()132h x h x =，所以，261131917292020220202202022020h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 17292320203<<，则729120202h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此，661172911120202202022128h h ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 点评：关键点点睛：本题考查函数的新定义“非减函数”，解题时要充分理解“非减函数”的定义，本题第（2）问，在解题时充分利用定义，结合函数单调性、作差法以及参变量分离得出1222x x a +≤，进而可求得参数a 的取值范围；在求解第（3）问时，要结合赋值法以及非减函数的定义得出()12h x =对任意的12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，再结合已知条件将所求函数值转化至已知区间进行求解.。
2021届上海市黄浦区高三上学期一模数学试题一、单选题1．已知a b l 、、是空间中的三条直线，其中直线a b 、在平面α上，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l ⊥平面α”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】B【分析】“l a ⊥且l b ⊥”与“l ⊥平面α”中，一个做题设，一个做结论构建互逆的两个命题，再判断其真假即得.【详解】命题p ：若“l a ⊥且l b ⊥”，则“l ⊥平面α”， 命题q ：若“l ⊥平面α”，则，“l a ⊥且l b ⊥”，命题p 的条件真时，若a //b ，l 可能与平面α平行、斜交、垂直相交、还有可能在面α内，即结论不一定成立，即p 是假命题；命题q 的条件真时，由线面垂直的定义知，其结论必真，即q 是真命题， 所以“l a ⊥且l b ⊥”是“l ⊥平面α”的必要非充分条件. 故选：B2．为了得到函数()sin y x x x R =∈的图像，可以将函数()2sin y x x R =∈的图像（ ） A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移3π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】C【分析】将函数转化为2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据三角函数图象变换的知识判断出正确选项.【详解】函数sin 2sin 3y x x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭所以将函数2sin y x =的图象向右平移3π个单位，即可得到2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，即得到函数sin y x x =的图象.故选：C.3．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成).已知10OA =米，OB x =米(010)x <<，线段BA 、线段CD ､弧BC ､弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度，则θ关于x 的函数解析式是答（ ）A ．21010x x θ+=+B ．10210x x θ+=+C ．1010xxθ-=+D ．10210xx θ-=+ 【答案】A【分析】根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x 的函数解析式.【详解】根据题意，利用弧长公式可知弧BC x θ=⋅（米），弧10AD θ=（米），10AB CD x ==-()2101030x x θθ∴-+⋅+=整理得：21010x x θ+=+(010)x <<故选：A4．已知R k ∈，函数22()|4|f x x x kx =-++的定义域为R ，若函数()f x 在区间(0,4)上有两个不同的零点，则k 的取值范围是（ ） A ．72k -<<- B ．7k <-或2k >- C ．70k -<< D ．20k -<<【答案】A【分析】写出()f x 的分段函数解析式，利用函数()f x 在区间(0,4)上有两个不同的零点，利用参数分离法转化为[)24,(0,2)42,2,4xxk x x x⎧-∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩有两个零点，即函数()g x 的图像与直线y k =有两个交点，数形结合即可得解.【详解】[)2224,(0,2)()424,2,4kx x f x x x kx x kx x +∈⎧=-++=⎨+-∈⎩ 令()0f x =，利用参数分离法得[)24,(0,2)42,2,4x xk x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩，令[)24,(0,2)()42,2,4x xg x x x x⎧-∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩ 函数()f x 在区间(0,4)上有两个不同的零点，转化为函数()g x 的图像与直线y k =在区间(0,4)上有两个交点， 作出函数()g x 的草图，如图所示：由图可知，k 的取值范围是：72k -<<- 故选：A【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解二、填空题5．已知集合{}2,(R)A x x x =∈，若1A ∈，则x =___________.【答案】1-【分析】根据元素与集合之间的关系以及集合的特征即可求解. 【详解】{}2,(R)A x xx =∈，1A ∈，则1x =或21x =， 解得1x =或1x =-，当1x =时，集合A 中有两个相同元素，（舍去）， 所以1x =-. 故答案为：1- 6．函数1()lg1xf x x-=+的定义域是___________ 【答案】（-1，1）【分析】解不等式101xx->+即得函数的定义域. 【详解】由题得101xx->+，所以10,(1)(1)0,111x x x x x -<∴-+<∴-<<+. 所以函数的定义域为（-1，1）. 故答案为：（-1，1）【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查分式不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 7．已知1sin()3πθ-=-，则cos()2πθ-=___________.【答案】13-【分析】利用诱导公式，将条件等式及目标式作恒等变换，即可求值. 【详解】∵1sin()sin 3πθθ-==-，而cos()sin 2πθθ-=， ∴1cos()23πθ-=-. 故答案为：13-.8．已知幂函数()y f x =的图象过点(14,2)，则()f x =___________. 【答案】12x -【分析】设()f x x α=，代入点求解即可.【详解】设幂函数()y f x x α==，因为()y f x =的图象过点(14,2)， 所以142α=， 解得12α=-所以12()f x x -=， 故答案为：12x -9．已知x 是2-和8的等差中项，2y 是32和8___________.【答案】5【分析】利用等差中项求得x ，利用等比中项求得2y ，代入即可得解.【详解】由x 是2-和8的等差中项，得2286x =-+=，解得：3x = 由2y 是32和8的等比中项，得()22328256y =⨯=，解得：216y =5==故答案为：510．已知直线l 过点(2,1)P -，直线l 的一个方向向量是()3,2d =-，则直线l 的点方向式方程是___________. 【答案】2132x y +-=- 【分析】利用直线的点方向式方程可得出结果.【详解】因为直线l 过点(2,1)P -，它的一个方向向量为()3,2d =-， 所以，直线l 的点方向式方程为2132x y +-=-. 故答案为：2132x y +-=-.11，其侧面展开图是圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的体积是___________. 【答案】83π【分析】先求出圆锥的母线长，再求出圆锥的高，由此求出该圆锥体的体积.【详解】，其侧面展开图是圆心角为23π的扇形， ∴圆锥的母线长23l π==∴圆锥的高4h == ∴圆锥的体积218433V ππ=⨯⨯⨯=故答案为：83π【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥的体积的求法，利用扇形的弧长公式求出扇形的半径及圆锥的母线长是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题.12．已知91(x-的二项展开式中的常数项的值是a ，若3i 6i 723i z a ⋅+-=+(其中i 是虚数单位)，则复数z 的模||z =___________.(结果用数值表示) 【答案】5【分析】利用二项展开式的通项公式求出a 的值，再根据复数相等，求出z ，进而求得复数z 的模.【详解】91(x 的二项展开式的通项为：93921991((1)rr r rrrr T C C xx --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭令3902r -=，得6r =，可得常数项为669(1)84a C =-= 367233846723i z a i i i z i i ⋅+-=+⇒⋅+-=+ 129343iz i i-+∴==+，则复数z 的模||5z == 故答案为：5【点睛】关键点点睛：本题考查二项展开式的通项，及复数的四则运算及复数的模长，熟记()n a b +的二项展开式的通项1C r n r rr n T a b -+=是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.13．若关于x 、y 的二元一次线性方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是1302m n ⎛⎫⎪⎝⎭，且11x y =⎧⎨=-⎩是该线性方程组的解，则三阶行列式1010321m n -中第3行第2列的元素的代数余子式的值是___________.【答案】4【分析】由题意可知11x y =⎧⎨=-⎩是二元一次线性方程组32mx y y n+=⎧⎨=⎩的解，求出m 、n 的值，根据代数余子式的定义可求得结果.【详解】由题意可知11x y =⎧⎨=-⎩是二元一次线性方程组32mx y y n +=⎧⎨=⎩的解，所以，132m n -=⎧⎨=-⎩，解得42m n =⎧⎨=-⎩. 所以，三阶行列式10134221--中第3行第2列的元素的代数余子式的值为()()3211114404+--=-⨯-=.故答案为：4.14．某高级中学欲从本校的7位古诗词爱好者(其中男生2人､女生5人)中随机选取3名同学作为学校诗词朗读比赛的主持人．若要求主持人中至少有一位是男同学，则不同选取方法的种数是___________．(结果用数值表示) 【答案】25【分析】要求主持人中至少有一位是男同学，可用间接法求解，用所有种数减去全为女同学的种数即可．【详解】要求主持人中至少有一位是男同学，则不同选取方法的种数是3375765543351025321321C C ⨯⨯⨯⨯-=-=-=⨯⨯⨯⨯．故答案为：2515．已知平面向量,a b 满足||5,||1,3a b a b ==⋅=，向量(1)c a b λλ=⋅+-⋅(R λ∈)，且对任意R λ∈，总有||25c ka +≥成立，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】(,6][4,)-∞-⋃+∞【分析】利用向量数量积的运算律，将不等式||25c ka +≥化为2220(444)251960k k k λλ+++-+≥，即该不等式在任意R λ∈成立，根据判别式0∆≤即可求k 的范围.【详解】由题设，22||[()(1)]20c ka k a b λλ+=+⋅+-⋅≥，∴2222()2()(1)(1)20k a k a b b λλλλ+⋅++-⋅⋅+-⋅≥， 由已知条件，得：2225()6()(1)(1)20k k λλλλ+++-+-≥，整理得：2220(444)251960k k k λλ+++-+≥对任意R λ∈成立，即0∆≤， ∴22240k k +-≥，解得k ∈(,6][4,)-∞-⋃+∞. 故答案为：(,6][4,)-∞-⋃+∞.【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的运算律，结合一元二次不等式在实数域上恒成立，由判别式求参数范围.16．已知R a b ∈、，函数22()||(R)f x x ax b x ax b x =+++--∈，若函数()f x 的最小值为22b ，则实数b 的取值范围是___________. 【答案】[]0,1.【分析】计算2(0)2b b fb +=≥，得到01b ≤≤，()()[]21212,,,(),,x x x x f x ax b x x x ⎧∈-∞⋃+∞⎪=⎨+∈⎪⎩，讨论0a >，0a =，0a <三种情况，计算得到答案. 【详解】2(0)2b bf b +=≥，解得01b ≤≤. ()()[]2221212,,,(),,2x ax b x ax bx x x x f x ax b x x x +++--⎧∈-∞⋃+∞⎪==⎨+∈⎪⎩，其中2140a a b x -+=<，2240a a bx ++=>.函数图象如图，当0a >时，()()2211minf x f x x b ===，故1x b =-24a a b b -+=-，化简得到()10b a b +-=，故0b =或11b a =-<； 当0a =时，()2min f x b b ==，解得0b =或1b =.当0a <时，()()2222minf x f x x b ===，故2x b =，即24a a b b ++=，化简得到()10b b a --=，故0b =或11b a =+<. 综上所述：01b ≤≤. 故答案为：[]0,1.【点睛】关键点点睛：由函数的最小值22b 可知需满足2(0)2b bf b +=≥，即01b ≤≤，在此条件下函数可去掉绝对值转化为分段函数，利用二次函数图象与性质求解，属于中档题.三、解答题17．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 是侧面11CDD C 的中心.（1）连接1A D ，求三棱锥11A DED -的体积11A DED V -的数值；（2）求异面直线1A E 与AD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 【答案】（1）163；（2）2arctan2. 【分析】（1）计算出1DED 的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥11A DED -的体积；（2）由11//AD A D 可得出异面直线1A E 与AD 所成角为11D A E ∠，然后在11Rt A D E △中计算出11tan D A E ∠，利用反正切可得出所求角. 【详解】（1）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 是侧面11CDD C 的中心，1111114222DED CDD S S CD DD ==⨯⨯⋅=△△， 11A D ⊥平面11DCC D ，∴11111111644333A DED DED V S A D -=⋅⋅=⨯⨯=△；（2）在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AD A D ，11EA D ∴∠就是异面直线1A E 与AD 所成的角（或补角），11A D ⊥平面11DCC D ，1D E ⊂平面11DCC D ，所以，111A D D E ⊥.221111442222D E D C ==+=111112tan D E EA D A D ∠==112arctanEA D ∠=所以，异面直线1A E 与AD 所成的角的大小是2arctan2. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．18．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A 为钝角，且2sin 20a B b =.（1）求角A 的大小；（2）记B x =，求函数()cos cos()3f x x x π=++的值域.【答案】（1）34π；（2）32⎫⎪⎪⎝⎭.【分析】（1）根据正弦定理对等式2sin 0a B -=边角互化，可得sin A =由A 为钝角，即可求得角A 的值；（2）由三角形内角和定理可得x 的范围，化简函数()cos cos()3f x x x π=++，利用整体法求解三角函数的值域.【详解】（1）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2sin 0a B =， ∴根据正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，2sin 0a B =可化为22sin sin 2sin 0(0,sin 0)R A B R B B B π⋅=<<≠.∴sin A =，A 为钝角，34A π∴=. （2）B x =，A BC π++=，344C x x πππ∴=--=-，得04x π<<.∴()cos cos()3f x x x π=++1cos cos 2x x x =+-sin()3x π=-. 又因为04x π<<，可得1233πππ<-<x .由函数sin y x =的图像，可知sinsin sin 1233x πππ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，即sin()3π<-<x .3sin()32π<-<x .所以函数()f x 的值域是32⎫⎪⎪⎝⎭. 【点睛】关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到()()sin f x A x =+ωϕ的形式.19．已知实数,a b是常数，函数())f x a b =. （1）求函数()f x 的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若3,1a b =-=，设t =记t 的取值组成的集合为D ，则函数()f x 的值域与函数321()(3)2g t t t =-(t D ∈)的值域相同.试解决下列问题： （i ）求集合D ； （ii ）研究函数321()(3)2g t t t =-在定义域D 上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明；若没有，请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数()f x 的最小值.【答案】（1）定义域为[1,1]-，()f x 为偶函数，理由见解析；（2）（i）2]；（ii ）()g t 在D 上是减函数，证明见解析，()f x 最小值为2-.【分析】（1）由函数解析式，根据根式的性质列不等式组，即可求函数定义域，由函数奇偶性的定义说明(),()f x f x -的关系即可证函数的奇偶性.（2）（i）由题设可得22t =+t 的取值集合D ，（ii ）任意的12,t t D ∈且12t t <，根据解析式判断12(),()g t g t 大小即可确定单调性，利用()f x 与()g t (t D ∈)的值域相同求()f x 最小值. 【详解】（1）实数,a b是常数，函数())f x a b =，∴由2101010x x x +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，解得11x -≤≤.∴函数的定义域是[1,1]-.对于任意[1,1]x ∈-，有[1,1]x -∈-,())f x a b -=)()a b f x ==，即()()f x f x -=对[1,1]x ∈-都成立(又()f x 不恒为零)，∴函数()f x 是偶函数.（2）由3,1a b =-=，有()1)f x =.（i ）t =11x -≤≤)，则22t =+∴01≤≤，224(0)t t ≤≤≥2t ≤≤.2]D ∴=.（ii ）由（i ）知：321()(3)2g t t t =-的定义域为2]D =. 对于任意的12,t t D ∈且12t t <，有32321211221()()[3(3)]2g t g t t t t t -=---2212112212121[()()3()()]2t t t t t t t t t t =-++--+22121122*********()[(2)(2)()()]222t t t t t t t t t t t t =--+-+-+-1211221221111()[(2)(2)(2)(2)]222t t t t t t t t t t =--+-+-+-. 又12120,0,0t t t t >>-<且1220,20t t -≤-≤(这里二者的等号不能同时成立)，∴1211221221111()[(2)(2)(2)(2)]0222t t t t t t t t t t --+-+-+->，即1212()()0,()()g t g t g t g t ->>. ∴函数()g t 在D 上是减函数.∴()()()32min 1223222g t g ==⨯-⨯=-. 又函数()f x 的值域与函数321()(3)2g t t t =-的值域相同，∴函数()f x 的最小值为2-. 【点睛】关键点点睛：（1）根据根式的性质求定义域，利用函数奇偶性的定义说明奇偶性；（2）由根式性质，求换元后t 的范围，利用单调性定义判断()g t 的单调性，进而由()g t 的值域求()f x 的最小值.20．定义：已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，把圆222222a b x y a b +=+称为该椭圆的协同圆.设椭圆22:142x y C +=的协同圆为圆O (O 为坐标系原点)，试解决下列问题：（1）写出协同圆圆O 的方程；（2）设直线l 是圆O 的任意一条切线，且交椭圆C 于,A B 两点，求OA OB ⋅的值； （3）设,M N 是椭圆C 上的两个动点，且OM ON ⊥，过点O 作OH MN ⊥，交直线MN 于H 点，求证：点H 总在某个定圆上，并写出该定圆的方程. 【答案】（1）2243x y +=；（2）0OA OB ⋅=；（3）证明见解析，定圆的方程为2243x y +=. 【分析】（1）由协同圆的定义，结合椭圆方程的参数写出协同圆圆O 的方程； （2）讨论直线l 的斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时，直接求出交点坐标，利用向量数量积的坐标表示求OA OB ⋅；斜率存在时，设:l y kx t =+联立椭圆方程，由切线的性质确定判别式符号，应用根与系数关系、向量数量积的坐标表示求OA OB ⋅； （3）设1122(,),(,)M x y N x y ，则12120x x y y +=，讨论,OM ON 有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在，分别求||OM ，||ON ，||MN ，由等面积法求||OH ，即可证结论，并写出定圆方程.【详解】（1）由椭圆22:142x y C +=，知224,2a b ==.根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆224:3O x y +=. （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212OA OB x x y y ⋅=+.直线l 为圆O 的切线，分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论： ①当直线l的斜率不存在时，直线:l x =.若:l x =，由22142x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时121244033OA OB x x y y ⋅=+=-=.若:l x =，同理得：0OA OB ⋅=. ②当直线l 的斜率存在时，设:l y kx t =+.由22142x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(12)4240k x ktx t +++-=，有222222168(12)(2)8(42)k t k t k t ∆=-+-=-+，又直线l 是圆O的切线，故=，可得22344t k =+. ∴0∆>，则12221224122412kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，而1212()()y y kx t kx t =++2222121224()12t k k x x kt x x t k-=+++=+. ∴2222212122222443440121212t t k t k x x y y k k k----+=+==+++，即0OA OB ⋅=. 综上，恒有0OA OB ⋅=. （3）,M N 是椭圆C 上的两个动点且OM ON ⊥，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12120x x y y +=.∴直线,OM ON ：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论.若直线ON 的斜率不存在，即点N 在y 轴上，则点M 在x 轴上，有22124,2x y ==.∴||2OM =，||ON =||MN ==，由11||||||||22OMNSOM ON OH MN =⋅=⋅，解得||OH =. 若直线,OM ON 的斜率都存在，设1:OM y k x =，则11:ON y x k =-. 由221142x y y k x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得21222112412412x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，有||OM =同理，得||ON =于是，||MN ==. 由11||||||||22OMNSOM ON OH MN =⋅=⋅，可得||OH =.因此，总有||OH =，即点H . ∴该定圆的方程为圆2243x y +=. 【点睛】关键点点睛：研究直线与曲线相交关系注意讨论直线的斜率是否存在，求出交点坐标或联立椭圆、直线方程，根据判断判别式的符号、根与系数关系，结合题设已知条件列方程求定值或定曲线.21．已知函数()y f x =的定义域为R ，数列{}n a 满足21a a ≠，1()n n a f a -=，*11()()()(2,)n n n n f a kf a t a ka n n N --+=+≥∈(实数k t 、是非零常数).（1）若1k =-，且数列{}n a 是等差数列，求实数t 的值；（2）若210a ka +≠，数列{}n b 满足*1()n n n b a ka n N +=+∈，求通项公式n b ；（3）若11k t =-≠，，数列{}n a 是等比数列，且1(0,R)a a a a =≠∈，21a a ≠，试证明：()f a t a =⋅.【答案】（1）1t =；（2）1*21()(N )n n b a ka t n -=+∈；（3）证明见解析.【分析】（1） 设等差数列的公差0d ≠，根据11()n n n n a a t a a +--=-，得到d td =，即可求解；（2）由210a ka +≠，数列{}n b 满足*1()n n n b a ka n N +=+∈，推得数列{}n b 是首项为1b ，公比为t 的等比数列，即可求解；（3）由题意，得到11()(2)n n n n a a t a a n +--=-≥，根据（2）知121()n n b a a t -=-，利用累加法，求得12()11n n a a a a a a t t t---=+---，结合数列{}n a 是等比数列，即可求解. 【详解】由数列{}n a 满足21a a ≠，1()n n a f a -=，*11()()()(2,)n n n n f a kf a t a ka n n N --+=+≥∈， *11()(2,)n n n n a ka t a ka n n N +-∴+=+≥∈.（1）因为数列{}*(N )n a n ∈是等差数列，21a a ≠，1k =-，记公差为d ，则公差0d ≠，所以11()n n n n a a t a a +--=-，即d td =，解得1t =.（2）因为210a ka +≠，数列{}n b 满足*1()n n n b a ka n N +=+∈，所以1210b a ka =+≠，*1(2,)n n b tb n n N -=≥∈. 所以数列{}n b 是首项为1b ，公比为t 的等比数列.所以1*21()()n n b a ka t n N -=+∈.（3）因为11k t =-≠，，且21a a ≠，所以*11()(2,)n n n n a a t a a n n N +--=-≥∈，根据（2），可知当1k =-时，1*21()(N )n n b a a t n -=-∈，所以112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+1211n n b b b a --=++++11(1)1n b t a t--=+-，所以11*22()(1)()()111n n n a a t a a a a a a a t n N t t t------=+=+-∈---.因为数列{}n a 是等比数列， 所以2()01a a a t-+=-，解得2a ta =， 又因为21()()a f a f a ==，所以()f a ta =. 【点睛】数列与函数的综合问题的求解策略：1、已知函数的条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质，图象等研究数列问题；2、已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的定义，通项公式，前n 项和公式，求和方法等对式子化简变形；3、注意数列和函数的不同，数列只能看成是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性.。
参考答案：一．填空题：1、4(,)+∞；2、22；3、()13,；4、4；5、712；6、0；7、；8、3[0,3；9、(],1-∞-；10、11[,]83；11、[6-+；12、(3-+；二．选择题：13、D；14、A；15、A；16、B；三．解答题：17、（1）,,,36T x k k k Z πππππ⎡⎤=∈-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3π；18、（1）322arccos ；（2）42162米。
19、（1）35；（2）1[,)4a ∈+∞．20．（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a == ，又焦距为4，则224a b +=，…………………3分解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=.……………………………4分（2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>，………………………………………………………………2分又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅< ，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--，……………………………4分即223503m m -<-，则153m <<-或153m <<，即实数m的取值范围1515()33- .…………………6分（3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -.设00(,)D x y，由（1）得点B ，又点P 是线段BD 的中点，则点003(,)22x y P +，……………2分直线BD，直线AD，又BD PQ ⊥，则直线PQ的方程为0000()22y x x y x y -+-=-，即200000322x x y y x y y --=++，又直线AD的方程为y x =+，联立方程200000322x x y y x y y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y化简整理，得2220003)22x y x x x --++=+，又220013x y =-，代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x --+=-+，即02(3)1(33x x x +-+=，则0234x x =，即点Q的横坐标为024x +，……………5分则4p q x x -==.故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.……6分说明：看作是PQ 在OB 或(1,0)i = 方向上投影的绝对值，请相应评分.21、解：（1）(1)1f =，(2)2f =，猜想()f n n =；（2）98n a n =-，由21218899899999m m m m n n --<-<⇒+<<+112191,92,,9---∴=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅m m m n ，21199m m m t --∴=-，352211(91)(99)(99)(99)m m m S --∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-352121(9999)(1999)m m --=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+22129(19)(19)91091191980m m m m +---⋅+=-=--，2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立min 12()83λλ⇒≤==⇒≤m S S ；（3）1sin ,4b π=记1sin ,4n n b πθθ==，则1sin sin 2n n θθ+==*1()2n n n N πθ+⇒=∈，1tan,4c π=记1tan ,4n n c πϕϕ==，则1sec 1tan tan tan 2n n n n ϕϕϕϕ+-==*1()2n n n N πϕ+⇒=∈，11sin ,tan ,22n n n n b c ππ++∴==当(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<可知：1111sin ()tan ,2222n n n n n n b f c ππππ++++=<=<=。
上海市崇明区2021届高三一模数学试卷2020.12一．填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分〉l 设集合A={1,2，匀，集合B ={3，剑，则AnB=2.不等式王二.！＿< 0的解集是x+23己知复数z 满足（z -2)i = 1 ( i 是虚数单位），则z=4设函数1·(x ）＝�的反函数为广＇（功，则广1(2)=x+l5点（0,0）到直线x+y =2的距离是1+2+3＋…6.计算：lim = n →00n (n +2)14x+6y=l 7若关于x 、γ的方程组｛无解，则实数α＝; E 似－3y=28用数字0、1、2、3、4,5组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（结果用数值表示）9.若（2α2+ b 3）＂的二项展开式中有一项为ma 4b 12，则m=. x 2 y 2I 0.设。
为坐标原点，直线X ＝α与双曲线C.－－；；－－寸＝1Cα＞ 0, b ＞们的两条渐近线a ' b '分别交于D 、E两点，若A ODE 的面积为1，则双曲线C的焦距的最小值为l l己知函数y=J （吟，对任意xεR，都高f(x+2)·f(x)=k Ck为常数），且当xε（0,2］时，f(x )= x 2 + 1，则／（2021)=12.己知点D为圆0：对＋y 2 =4的弦MN 的中点，点A的坐标为（1,0），且互M ·五万＝1,则OA ·O D 的最大值为二．选择题（本大题共4题，每题5分，共20分〉13.若α＜O<b ，则下列不等式恒成立的是（）－70＞l －G A B.一α＞b C.a 2 >b 2 D.α3 < b 314.正方体上点P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点，则直线PQ 与RS 异面的图形是（）s R p ，，Pl : R ’二，J ---I Q P,--1－＿�J ＿＿＿←·· s ，．．．．．．，．．． r……t--I -， ， 二.:.:V Q pA. ， ’S 'S ， ， QB. QC.D.。
