山东省济宁市2015届高考数学专题复习第5讲函数的单调性与最值练习新人教A版

第三节三角函数的图象与性质[考情展望] 1.考查三角函数图象的识别.2.考查三角函数的有关性质(单调性、奇偶性、周期性和对称性).3.考查三角函数的值域(最值)．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质三角函数奇偶性的判断技巧1．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z)；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)． 2．若f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)． (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z)．1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠32π＋3k π，k ∈ZB.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π6＋k π，k ∈Z C.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－π6＋k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π6＋k π3，k ∈Z【解析】 由3x ≠π2＋k π，k ∈Z 得x ≠π6＋k π3，k ∈Z ，故选D.【答案】 D2．函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π2是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的偶函数【解析】 f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52π＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－2sin x ，故f (x )是最小正周期为2π的奇函数． 【答案】 A3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2【解析】 法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z. 取k ＝－1，则x ＝－π4.法二 x ＝π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ；x ＝π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ；x ＝－π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确；而x ＝－π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 项也不正确．【答案】 C4．比较大小：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.【解析】 ∵－π2＜－π10＜－π18＜0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. 【答案】 ＞5．(2013·天津高考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22C.22D ．0【解析】 ∵x ∈[0，π2]，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin(2x－π4)有最小值－22. 【答案】 B6．(2013·江苏高考)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________．【解析】 函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期T ＝2π2＝π. 【答案】 π考向一 [053] 三角函数的定义域和值域(1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．(2)求下列函数的值域： ①y ＝2cos 2x ＋2cos x ；②y ＝3cos x －3sin x ，x ∈[0，π]； ③y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x .【思路点拨】 (1)由tan x －1≠0，且x ≠π2＋k π，k ∈Z 解得．(2)①令cos x ＝t ，转化成二次函数求解，注意t 的范围．②借助辅助角公式，化原式成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，借助函数的单调性求解． ③令sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝t 2－12，从而转化成二次函数求值域．【尝试解答】 (1)要使函数有意义，必需有 ⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z.故函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z .【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z(2)①y ＝2cos 2x ＋2cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋122－12.当且仅当cos x ＝1时，得y max ＝4，当且仅当cos x ＝－12时，得y min ＝－12，故函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4. ②y ＝3cos x －3sin x ＝23⎝⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]， ∴π6≤x ＋π6≤7π6， ∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，∴－23≤23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤3.∴y ＝3cos x －3sin x 的值域为[－23，3]． ③法一：y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x ＝x ＋cos x2－12＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋222－1，所以当sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1时， y 取最大值1＋2－12＝12＋ 2.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22时，y 取最小值－1， ∴该函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12＋2.法二：设t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12(－2≤t ≤2)，y ＝t ＋12t 2－12＝12(t ＋1)2－1，当t ＝2时，y 取最大值为2＋12，当t ＝－1时，y 取最小值为－1.∴函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12＋2. 规律方法1 1.求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2.求解三角函数的值域最值的常见类型及方法形如y ＝a sin x ＋b cos x＋c 的三角函数化为y ＝Aωx ＋φ＋k 的形式，再求最值值域；形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域最值；形如y ＝a sin x cos x ＋bx ±cos x ＋c 的三角函数，可设t ＝sin x ±cosx ，化为关于t 的二次函数求解.考向二 [054] 三角函数的单调性求下列函数的单调区间． (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4；(2)y ＝|tan x |. 【思路点拨】 (1)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，再借助复合函数单调性求解；(2)由y ＝tan x的图象→y ＝|tan x |的图象→求单调区间．【尝试解答】 (1)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4， 它的增区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的减区间，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的增区间． 由2k π－π2≤3x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k π3－π12≤x ≤2k π3＋π4，k ∈Z. 由2k π＋π2≤3x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z.得2k π3＋π4≤x ≤2k π3＋712π，k ∈Z. 故所给函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－π12，2k π3＋π4，k ∈Z ；增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π4，2k π3＋7π12，k ∈Z.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z. 规律方法2 1.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.2.求形如y ＝Aωx ＋φ或y ＝Aωx ＋φ其中，ω＞的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.对点训练 (2014·常州模拟)已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求：(1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．【解】 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z.取k ＝－1,0可得函数在[－π，0]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.考向三 [055] 三角函数的奇偶性、周期性和对称性(1)已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列说法正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数(2)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )A.π6 B.π3C ．－π6D ．－π3(3)设函数f (x )＝s in(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，给出以下四个论断： ①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形；③它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0成中心对称图形； ④在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π6，0上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．【思路点拨】 (1)借助诱导公式对f (x )先化简，再判断． (2)化f (x )为A sin(ωx ＋φ)的形式，再结合诱导公式求解．(3)本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断．【尝试解答】 (1)周期T ＝2ππ＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，因此函数f (x )是偶函数，故选B. (2)f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤123x ＋φ－323x ＋φ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋φ＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，由f (x )为偶函数，知φ＋π3＝k π(k ∈Z)，即φ＝k π－π3(k ∈Z)，由所给选项知只有D 适合．(3)若①、②成立，则ω＝2ππ＝2；令2·π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2，故k ＝0，∴φ＝π3.此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，当x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin π＝0，∴f (x )的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0成中心对称；又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12上是增函数，∴在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π6，0上也是增函数，因此①②⇒③④，用类似的分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒②④.【答案】 (1)B (2)D (3)①②⇒③④或①③⇒②④规律方法3 1.判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解.2.求三角函数的周期主要有三种方法：周期定义；利用正余弦型函数周期公式；借助函数的图象.思想方法之九 研究三角函数性质的一大“法宝”——整体思想所谓整体思想就是研究问题时从整体出发，对问题的整体形式、结构特征进行综合分析、整体处理的思想方法．在三角函数学习中，运用“整体思想”可以解决以下几类问题 (1)三角函数的化简求值；(2)研究三角函数的有关性质(如定义域、值域、单调性等)； (3)解三角不等式或求含参变量的取值范围问题．———— [1个示范例] ————[1个对点练] ————(2012·课标全国卷)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]【解析】 由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A. 已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪[6，＋∞) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 【解析】 当ω＞0时，由－π3≤x ≤π4得－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知，－π3ω≤－π2，∴ω≥32， 当ω＜0时，由－π3≤x ≤π4得π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知，π4ω≤－π2，∴ω≤－2，综上知ω∈(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.【答案】 D。

课时作业(五) [第5讲 函数的单调性与最值](时间：45分钟 分值：100分)1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)2．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋3－b (a >0)在[1，3]上有最大值5和最小值2，则a ＋b＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．23．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (1x)>f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)4．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b ＋1(a ，b ∈R )对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立．若当x ∈[－1，1]时，f (x )>0恒成立，则实数b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b <－2C ．b <－1或b >2D ．不能确定5．函数y ＝x ＋1－x －1的值域为( )A ．(－∞，2]B ．(0，2]C ．[2，＋∞)D ．[0，＋∞)6．已知m >2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图像上，则( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 2<y 1<y 3D ．y 3<y 2<y 17．[2013·安庆一中三模] 定义在R 上的函数f (x )＝e x ＋e －x ＋|x |，则满足f (2x －1)<f (3)的x 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(－1，2)8．[2013·金华模拟] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x <0.若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤203，263 B. (203，263) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤113，6 D. (113，6) 9．设g (x )是定义在R 上以1为周期的函数．若f (x )＝x ＋g (x )在[3，4]上的值域为[－2，5]，则f (x )在区间[－10，10]上的值域为( )A ．[－15，11]B ．[－15，12]C ．[－19，10]D ．[－12，15]10．函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值和最小值分别是________．11．函数f (x )＝x 2－|x |的单调递减区间是________．12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________． 13．[2013·茂名二模] 若对∀x ∈A ，y ∈B (A ⊆R ，B ⊆R )有唯一确定的f (x ，y )与之对应，则称f (x ，y )为关于x ，y 的二元函数．定义满足下列性质的二元函数f (x ，y )为关于x ，y 的广义“距离”：(1)非负性：f (x ，y )≥0，当且仅当x ＝y 时取等号；(2)对称性：f (x ，y )＝f (y ，x )；(3)三角不等式：f (x ，y )≤f (x ，z )＋f (z ，y )对任意的实数z 均成立．现给出三个二元函数：①f (x ，y )＝|x －y |；②f (x ，y )＝(x －y )2；③f (x ，y )＝x －y .请选出所有能够成为关于x ，y 的广义“距离”的函数序号：________．14．(10分)函数f (x )＝log 9(x ＋8－a x )在[1，＋∞)上是增函数，求a 的取值范围．15．(13分)利用单调性的定义证明：函数f (x )＝x ＋2在[－2，＋∞)上是增函数．。

第一讲 复数与框图第一部分 算法与程序框图一、算法与程序框图1．算法(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤． (2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题． 2．程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．应用循环结构应注意的三个问题 ①确定循环变量和初始值；②确定算法中反复执行的部分，即循环体； ③确定循环的终止条件．基础自测1．阅读如图11－1－1的程序框图，若输入x ＝2，则输出的y 值为( )图11－1－1A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 ∵2＞0，∴y ＝2×2－3＝1.【答案】 B2．阅读如图11－1－2所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是()图11－1－2A ．3B ．4C ．5D ．6第十一章 算法初步、推理证明、复数【解析】 试将程序分步运行：第一次循环：S ＝11－2＝－1，n ＝2；第二次循环：S ＝11－ －1 ＝12，n ＝3；第三次循环：S ＝11－12＝2，n ＝4.【答案】 B3．如图11－1－3所示的程序框图输出的S 是126，则①应为()图11－1－3A ．n ≤5?B ．n ≤6?C ．n ≤7?D ．n ≤8?【解析】 2＋22＋ (2)＝2 1－2n1－2＝126，∴n ＝6，∴应填入n ≤6? 【答案】 B考点一 利用程序框图求值例 (1)(2013·安徽高考)如图11－1－4所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )图11－1－4A.16B.2524C.34D.1112(2)(2014·山东卷) 执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 .【答案】3【解析】根据判断条件0342≤+-x x ，得31≤≤x 输入1=x第一次判断后循环，11,21=+==+=n n x x第二次判断后循环，21,31=+==+=n n x x 第三次判断后循环，31,41=+==+=n n x x方法与技巧 1.对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支.2.利用循环结构表示算法，第一要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二准确表示累计变量；第三要注意从哪一步开始循环.跟踪练习 (1)(2013·北京高考)图11－1－6执行如图11－1－6所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．1 B.23 C.1321 D.610987(2)(2013·浙江高考)若某程序框图如图11－1－7所示，则该程序运行后输出的值等于__________．图11－1－7【解析】 (1)当i ＝0，S ＝1时，执行S ＝S 2＋12S ＋1后得S ＝23，i ＝i ＋1＝1；当i ＝1，S ＝23时，执行S ＝S 2＋12S ＋1后得S ＝1321，i ＝i ＋1＝2.由于此时i ≥2是成立的，因此输出S ＝1321.(2)方法一：根据程序框图可知，当k ＝1时，S ＝1＋11×2＝32；当k ＝2时，S ＝32＋12×3＝53；当k ＝3时，S ＝53＋13×4＝74；当k ＝4时，S ＝74＋14×5＝95；此时k ＝5>4，所以S ＝95.方法二：根据程序框图可知，S ＝1＋11×2＋12×3＋…＋1k k ＋1＝1＋1－12＋12－13＋…＋1k －1k ＋1＝1＋1－1k ＋1＝2－1k ＋1，当k ＝4时，S ＝2－14＋1＝95.当k ＝5>4时，输出S ＝95.【答案】 (1)C (2)95考点二 程序框图的补充与完善例 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ，利用如图11－1－8所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是( )图11－1－8A ．n ＞10B ．n ≤10C ．n ＜9D ．n ≤9【思路点拨】 本程序框图为“当型”循环结构，故判断框内为满足循环的条件． 【尝试解答】 第1次循环，m ＝1＋1＝2 n ＝1＋1＝2 第2次循环，m ＝2＋2＝4 n ＝2＋1＝3 …当执行第10项时，n ＝11 n 的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为进入之前的值 故答案为：n ≤9或n ＜10. 故选D.【答案】 D方法与技巧 1.熟悉框图的结构与功能是解决此类问题的关键.2.解答此题可以采用类比归纳的方式求解，如通过计算该数列的第1项，第2项，第3项，探寻n 与a n 的关系，从而得出正确答案.跟踪练习 (2013·江西高考)阅读如下程序框图11－1－9，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是()图11－1－9A ．S <8B ．S <9C ．S <10D ．S <11【解析】 根据程序框图，i ＝2，S ＝2×2＋1＝5，不满足条件；i ＝3，S ＝2×3＋2＝8，不满足条件；i ＝4，S ＝2×4＋1＝9，此时输出i ＝4，所以填S <9.【答案】 B考点三 基本算法语句例 运行如下所示的程序，输出的结果是________．a ＝1b ＝2a ＝a ＋b PRINT aEND【思路点拨】 分析各语句的结构及含义，运行算法程序，确定输出结果． 【尝试解答】 a ＝1，b ＝2，a ＝a ＋b ＝1＋2＝3，∴输出的结果为3. 【答案】 3方法与技巧 1.本题主要考查程序框图中的赋值语句，输出语句.要注意赋值语句一般格式中的“＝”不同于等式中的“＝”，其实质是计算“＝”右边表达式的值，并将该值赋给“＝”左边的变量.,2.解决此类问题关键要理解各语句的含义，以及基本算法语句与算法结构的对应关系.跟踪练习 运行如下所示的程序，当输入a ，b 分别为2,3时，最后输出的m 的值为________．INPUT a ，b IF a ＞b THEN m ＝a E LSE m ＝b END IF PRINT m【解析】 ∵a ＝2，b ＝3，∴a ＜b ，应把b 值赋给m ，∴m 的值为3. 【答案】 3第二部分 数系的扩充与复数的引入一、复数的有关概念 1．定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做实部，b 叫做虚部．(i 为虚数单位) 23. ⇔a ＝c ，b ＝d (4．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．5．模：向量OZ →的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i |＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．三、复数的运算1．运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R图11－4－12．几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图11－4－1给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.基础自测1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i 【解析】 ∵A (6,5)，B (－2,3)，∴线段AB 的中点C (2,4)，则点C 对应的复数为z ＝2＋4i. 【答案】 C2．复数i1＋2i (i 是虚数单位)的实部是( )A.25 B ．－25 C.15 D ．－15【解析】 i 1＋2i ＝i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝2＋i 5＝25＋15i ，故选A.【答案】 A3．若z ＝1＋2ii，则复数z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i【解析】 ∵z ＝1＋2i i ＝ 1＋2i i－1＝2－i ，∴z ＝2＋i.【答案】 D4．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－1 【解析】 (a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，故应有a ＝1，b ＝－1. 【答案】 D5．(2013·山东高考理)复数z ＝ 2－i2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．25 B.41 C ．5 D. 5【解析】 z ＝ 2－i 2i ＝4－4i ＋i 2i ＝3－4ii ＝－4－3i ，∴|z |＝ －4 2＋ －3 2＝25＝5.【答案】 C6．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3【解析】 因为a －103－i ＝a －10 3＋i 3－i 3＋i ＝a －10 3＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.【答案】 D考点一 复数的有关概念例 (1)(2013·陕西高考)设z 是复数，则下列命题中的假命题是( )A ．若z 2≥0，则z 是实数B ．若z 2<0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0D ．若z 是纯虚数，则z 2<0(2)(2012·课标全国卷)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2； p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ； p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4【思路点拨】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，结合选项逐一判断．(2)把复数z 化成m ＋n i(m ，n ∈R )的形式，然后根据复数的相关概念判断命题是否正确． 【尝试解答】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i≥0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确． 选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确． 选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．(2)∵z ＝2－1＋i＝－1－i ，∴|z |＝ －1 2＋ －1 2＝2，∴p 1是假命题；∵z 2＝(－1－i)2＝2i ，∴p 2是真命题； ∵z ＝－1＋i ，∴p 3是假命题；∵z 的虚部为－1，∴p 4是真命题． 其中的真命题共有2个：p 2，p 4. 【答案】 (1)C (2)C方法与技巧 1.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程 不等式 组即可.2.求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ，然后利用复数模的定义求解.跟踪练习 (2007山东)．复数43i1+2i+的实部是（ ） A ．2-B ．2C ．3D ．4【答案】:B 【分析】：将原式(43)(12)25(12)(12)i i i i i +-=-+-，所以复数的实部为2。

第七节 函数的图象[考情展望] 1.以基本初等函数为知识载体，考查利用图象的变换(平移、对称、翻折、伸缩)作函数图象的草图.2.结合函数的解析式辨别函数图象.3.利用函数图象研究函数性质或探究方程解的个数问题．一、描点法作图通过列表、描点、连线，三个步骤画出函数的图象． 二、图象变换 1．平移变换2．对称变换(1)y ＝f (x )――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )； (2)y ＝f (x )――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )； (3)y ＝f (x )――→关于原点对称 y ＝－f (－x )； (4)y ＝a x(a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称 y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)． 3．翻折变换(1)y ＝f (x )――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. (2)y ＝f (x )――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．平移变换八字方针(1)对于左(右)平移变换，可熟记为：左加右减，但要注意加(减)指的是自变量． (2)对于上(下)平移变换，可熟记为：上加下减，但要注意加(减)指的是函数值．1．函数y ＝1－1x －1的图象是( )【解析】 将y ＝－1x的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象．【答案】 B2．函数y ＝x |x |的图象大致是( )【解析】 y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ≥0，－x 2x ＜0，故选A. 【答案】 A3．函数f (x )＝|log 2x |的图象是( )【解析】 法一 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，－log 2x ，0＜x ＜1.结合图象可知A 正确．法二 结合翻折变换，可知选A. 【答案】 A4．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示：由图象知当a ＞0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．【答案】 (0，＋∞)5．(2013·四川高考)函数y ＝x 33x－1的图象大致是( )【解析】 由3x－1≠0得x ≠0，∴函数y ＝x 33x－1的定义域为{x |x ≠0}，可排除选项A ；当x ＝－1时，y ＝ －1 313－1＝32>0，可排除选项B ；当x ＝2时，y ＝1，当x ＝4时，y ＝6480，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.【答案】 C6．(2013·湖北高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )【解析】 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.【答案】 C考向一 [028] 作函数的图象作出下列函数的图象：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.【思路点拨】 对于(1)，(2)，(4)可先去掉绝对值号化成分段函数，再分别画出函数的图象，也可通过图象变换画出函数图象．对于(3)可先化简解析式分离常数，再用图象变换画图．【尝试解答】 (1)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x ＞0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0x 2＋2x －1，x ＜0且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象．得图象如图．规律方法1 画函数图象的一般方法有1 直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线 如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分 时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出.2 图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出.对点训练 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝x ＋2x ＋3； (3)y ＝|log 2x －1|.【解】 (1)∵y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1.∴函数y ＝|lg x |的图象，如图①； (2)∵y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，可见原函数图象可由y ＝－1x图象向左平移3个单位再向上平移1个单位而得，如图②.① ② ③(3)先作出y ＝log 2x 的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即得y ＝|log 2x －1|的图象，如图③.考向二 [029] 识图与辨图(2012·山东高考)函数y ＝cos 6x2x －2－x 的图象大致为( )【思路点拨】 从函数的奇偶性及x →＋∞和x 从正方向趋近于0三个方面排除选项，得出正解．【尝试解答】 ∵y ＝f (x )＝cos 6x 2x －2－x ，∴f (－x )＝cos －6x2－x －2x＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A ；当x 从正方向趋近0时，y ＝f (x )＝cos 6x 2x －2－x 趋近＋∞，排除选项B ；当x 趋近＋∞时，y ＝f (x )＝cos 6x 2x －2－x 趋近0，排除选项C.故选择选项D.【答案】 D规律方法2 知式选图的方法, 1 从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象上下的位置；2 从函数的单调性，判断图象的变化趋势；3 从函数的奇偶性，判断图象的对称性；4 从函数的周期性，判断图象的循环往复；5 从函数的极值点判断函数图象的拐点. 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项.对点训练 (1)已知图2－7－1①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数为( )图2－7－1A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)(2)(2014·青岛模拟)已知a ＞0，且a ≠1，函数y ＝log a x ，y ＝a x，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )【解析】 (1)y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f －x ，x ≥0f x ，x ＜0(2)当0＜a ＜1时，y ＝log a x 及y ＝a x均为减函数且直线y ＝x ＋a 恒过定点(0，a )，排除D 选项．当a ＞1时，y ＝log a x 及y ＝a x均为增函数，故排除A. 又y ＝log a x 及y ＝a x的单调性相同，从而排除B 选项． 经检验，C 选项符合0＜a ＜1时的情形，故选C. 【答案】 (1)C (2)C考向三 [030] 函数图象的应用已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R)，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )＞0的解集；(5)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有三个不相等的实根}．【思路点拨】 求解本题先由f (4)＝0，求得函数解析式，再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象，进而应用图象求解(3)(4)(5)三个小题．【尝试解答】 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4； (2)∵f (x )＝x |m －x |＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －4 ，x ≥4，－x x －4 ，x ＜4.∴函数f (x )的图象如图：由图象知f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]； (4)从图象上观察可知：不等式f (x )＞0的解集为：{x |0＜x ＜4或x ＞4}．(5)由图象可知若y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0＜m ＜4， ∴集合M ＝{m |0＜m ＜4}．规律方法3 1. 1 有关方程解的个数问题常常转化为两个函数图象的公共点的个数问题；利用此法也可由解的个数求参数值.2 有关不等式问题常常转化为两个函数图象的上、下关系问题.2.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.对点训练 (1)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个(2)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 【解析】 (1)根据f (x )的性质及f (x )在[－1,1]上的解析式可作图如下：可验证当x ＝10时，y ＝|lg 10|＝1；0＜x ＜10时，|lg x |＜1；x ＞10时|lg x |＞1.结合图象知y ＝f (x )与y ＝|lg x |的图象交点共有10个．故选A.(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x ＜0，作出图象，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14＜1＜a ，∴1＜a ＜54.【答案】 (1)A (2)1＜a ＜54易错易误之三 图解题的一大“杀手”——作图不规范 ——— [1个示范例] ——— [1个防错练] ———(2012·天津高考)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．【解析】 因为函数y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x >1或x <－1 ，－x －1 －1≤x <1 .此处常因不会去绝对值导致函数解析式无法化简，最终导致无法画出函数图象. 所以函数y ＝kx －2的图象恒过点(0，－2)，此处常因分析不出直线的特征：恒过定点 0，－2 ，导致无法确定k 的取值范围. 根据图象易知，两个函数图象有两个交点时，0<k <1或1<k <4.【防范措施】 1 解析式含有绝对值符号的函数，一般要去掉绝对值符号，把函数化为分段函数，利用几何直观求解.2 直线方程中x 或y 的系数含有参数时，直线恒过定点，可通过该点旋转直线寻找满足条件的k 的取值范围.(2013·湖南高考)函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f (x )＝ln x 与g (x )＝(x －2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．【答案】 C。

1. [2014·大庆质检]下列函数中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A. f (x )＝1xB. f (x )＝(x －1)2C. f (x )＝e xD. f (x )＝ln(x ＋1) 解析：由题意知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，故选A.答案：A2. [2014·日照模拟]已知函数f (x )在定义域(0，＋∞)上是单调函数，若对于任意x ∈(0，＋∞)，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f x －1x ＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15的值是( ) A. 5B. 6C. 7D. 8 解析：因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f x －1x ＝2对任意x ∈(0，＋∞)都成立，所以f (x )－1x ＝c >0(c 为常数)，即f (x )＝c ＋1x，且f (c )＝2，故2＝c ＋1c ，解得c ＝1，故f (x )＝1＋1x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝1＋5＝6. 答案：B3. [2013·吉林调研]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x 1＋x 2<0且x 1x 2<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A. 可能为0B. 恒大于0C. 恒小于0D. 可正可负 解析：由x 1x 2<0不妨设x 1<0，x 2>0.∵x 1＋x 2<0，∴x 1<－x 2<0.由f (x )＋f (－x )＝0知f (x )为奇函数．又由f (x )在(－∞，0)上单调递增得，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)<0.故选C.答案：C4. [2014·济宁模拟]若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析：由图象的对称性，知函数f (x )＝|2x ＋a |关于直线x ＝－a 2对称，因为函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，所以－a 2＝3，即a ＝－6. 答案：－65. [2014·合肥模拟]f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调递增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是________．解析：2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有x>0，x－8>0，且x(x－8)≤9，解得8<x≤9.答案：(8,9]。

2015年高考专题系列：函数与导数函数导数的内容在历年高考中主要集中在切线方程、导数的计算，禾U用导数判断函数的单调性、极值、最值等问题，以及与不等式、三角函数、数列、立体几何、解析几何等知识相联系的综合题目，类型有交点个数、恒成立等问题，其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与划归、数形结合等重要的思想方法，主要考察导数的工具性作用.考点一：导数几何意义:b X 」例1: (2014新课标全国I 卷) 设函数f(x) =ae x l nx •，曲线y = f(x)在点(1, f (1)处的切线为xy = e(x -1) 2 .(1)求 a,b 的值考点二：判断函数单调性，求函数的单调区间(I)当k 乞0时，求函数f(x)的单调区间;考点三：用导数解决函数的极值问题1、(2014新课标江西卷)已知函数:' ' ■ ■■ ■ - ■---:.(1)当-：时，求i 虑的极值；(A,B 组同学做) 2013福建高考节选)已知函数f(x) = x — 1 + g (a € R , e 为自然对数的底数).e(1)若曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；⑵求函数f(x)的极值.(分类讨论)(13福建)［解］(1)由f(x) = x — 1 + e x ，得f ' (x)= 1 — e x . 又曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x 轴,例2、(2014新课标山东卷)设函数f(x)=与-k(2 In x)x x(k 为常数, e 二2.71828…是自然对数的底数)a a得f' (1) = 0,即1 —e= 0，解得a= e. (2)f‘(x)= 1 一-x,①当a W 0时，f' (X)>0 , f(x)为(—m,+ m)上的增函数，所以函数f(x)无极值.②当a>0 时，令f' (x) = 0,得e x= a,即x= In a.x q — m, in a), f' (x)<0; x€(ln a, + m), f' (x)>0 ,所以f(x)在(—m, in a)上单调递减，在(In a, + m)上单调递增，故f(x)在x= In a处取得极小值，且极小值为f(ln a) = In a,无极大值.综上，当a W 0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x= In a处取得极小值In a,无极大值.考点四：已知函数的单调性求参数的范围［典例］已知函数f(x)= In x—a2x2+ ax(a € R).若函数f(x)在区间(1，+m )上是减函数，求实数a的取值范围.(分类讨论)考点五：运用导数解决函数的最值问题2 1例5:设函数f(x) = aIn x—bx2(x>0)，若函数f(x)在x= 1处与直线y= — ?相切, (1)求实数a, b的值；(2)求函数f(x)在1, e上的最大值.最值突破题：1. 已知函数f(x) = In x—ax(a € R).求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在［1,2］上的最小值.2. (2013 全国卷I )设函数f(x)= x2+ ax + b, g(x) = e x(cx+ d).若曲线y= f(x)和曲线y = g(x)都过点P(0 , 2)，且在点P处有相同的切线y= 4x+ 2. (1)求a, b, c, d的值；(2)若x>—2时，f(x)W kg(x),求k的取值范围针对训练1、（2014新课标重庆卷）已知函数f（x）二ae2x- be"-cx（a,bc R）的导函数f'（x）为偶函数，且曲线y = f（x）在点（0, f（0））处的切线的斜率为4—c.（1）确定a,b的值；（2）若c=3，判断f（x）的单调性；2、（2014新课标福建卷）已知函数f x]=e x-ax（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线y=f x在点A处的切线斜率为-1.（I）求a的值及函数f x的极值；3、（2014新课标安徽卷）设函数f（x）=1+ （1+a）x-x2-x3，其中a > 0 .（I ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；2x4、（2014新课标湖南卷）已知常数a 0,函数f（x）=l n（1 ax）.x+2（1）讨论f（x）在区间（0, •：：）上的单调性；总结:最值拔高题：已知函数f(x)= In x —ax(a € R).⑴求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在［1,2］上的最小值.1 1［解］(l)f' (x)= -—a(x>0)，①当a w0 时，f' (x) = -—a>0,即函数f(x)的单调增区间为(0, + ).x —1 11 1 一ax②当a>0 时，令f' (x) = 一一a = 0，可得x=，当0<x< 时，f' (x) = >0；— a a —当x>1时，f' (x)=匕尹切，故函数f(x)的单调递增区间为0, a，单调递减区间为a，+m.1(2)①当-W1,即a> 1时，函数f(x)在区间［1,2］上是减函数，••• f(x)的最小值是f(2) = In 2 —2a.a1 1②当2，即Ova w^时，函数f(x)在区间［1,2］上是增函数，• f(—)的最小值是f(1) = —a.a 2③当1<1<2，即1<a<1时，函数f(x)在1, 1上是增函数，在£，2上是减函数.又f(2) —f(1) = In 2 —a,1•••当2<a<ln 2 时，最小值是f(1)=—a;当In 2w a<1 时，最小值为f(2) = In 2 —2a.综上可知，当0<a<In 2时，函数f(x)的最小值是一a ;当a >In 2时，函数f(x)的最小值是In 2 —2a.［.(2013 全国卷I )设函数f(x)= x2+ ax+ b, g(x)= e x(cx+ d).若曲线y= f(x)和曲线y= g(x)都过点P(0, 2)，且在点P处有相同的切线y= 4x+ 2. (1)求a, b, c, d的值；(2)若—>—2时，f(x)w kg(x),求k的取值范围解］(1)由已知得f(0) = 2, g(0) = 2, f' (0) = 4, g ' (0) = 4.而f' (x) = 2x+ a, g' (x) = e—(cx+ d+ c)，故b= 2, d= 2, a = 4, d + c= 4. 从而a = 4, b= 2, c= 2, d= 2.2 —— 2⑵由(1)知，f(x) = —+ 4x+ 2, g(x) = 2e(x+ 1). 设函数F(x)= kg(x)—f(x) = 2ke (x+ 1) ———4x —2,则F ' (x)= 2ke—(x+ 2) —2x—4 = 2(x+ 2)(ke——1). 由题设可得F(0) > 0, 即卩k> 1.令F ‘ (x)= 0 得X1 =—In k, X2=—2.(i )若1w k v e2,则—2v X1W 0.从而当x q —2, X”时，F‘(x)v0;当x€(x1,+)时，F' (x)> 0, 即卩F(x)在(—2, X”上单调递减，在(X1,+s)上单调递增，故F(x)在［—2,+^)上的最小值为F(x”.而F(x” = 2x1 + 22—X1 —4X1 —2=—X1 (X1+ 2) > 0.故当x> —2时，F(x)》0，即f(x)w kg(x)恒成立.(ii )若k= e2,贝U F ' (x)= 2e2(x+ 2)(e——e—2).从而当x>—2 时，F ' (x)> 0，即F(x)在(一2,+ )上单调递增，而F(—2) = 0，故当x> —2 时，F(x)》0, 即卩f(x)w kg(x)恒成立.(iii )若k>e2,贝U F(—2) = —2ke—2+ 2 = —2e—2 (k—e2) v 0.从而当x> —2 时，f(x)w kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围是［1 , e2］.。

单调性（增函数、减函数、最大值与最小值）例1：证明函数xx f 1)(=在),0(+∞上是减函数。

证明：设21,x x 是),0(+∞上的任意两个实数，且21x x <，则021<-=∆x x x 2112212111)()(x x x x x x x f x f y -=-=-=∆ 由),0(,21+∞∈x x ，得021>x x ，且012>∆-=-x x x 于是0>∆y 所以，xx f 1)(=在),0(+∞上是减函数。

方法：利用定义证明函数单调性的步骤：（1） 取值（2） 计算x ∆、y ∆ （3） 对比符号 （4） 结论例二：最值：在课本P31、例四 方法：最值在单调区间的两端奇偶性函数奇偶性的几个性质：（1）奇偶函数的定义域关于原点对称；（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； （3）)()()(x f x f x f ⇔=-是偶函数，)()()(x f x f x f ⇔-=-是奇函数； （4）0)()()()(=--⇔=-x f x f x f x f ,0)()()()(=-+⇔-=-x f x f x f x f ；（5）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；（6）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

讲练： 类型一：1．函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上递减，则实数a 的取值X 围是（ ）A ．3a ≥-B ．3a ≤-C ．5a ≤D ．3a ≥2．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值X 围（） A ．2-≥b B ．2-≤b C ．2->b D ． 2-<b类型二：1.若函数f(x)在定义域R 上是偶函数，得表达式．时求)(0,)(,02x f x x x x f x >+=< 2．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，1)(+-=x x f ，则当0<x 时，()f x 等于（ ）A ．1+-xB ．1--xC ．1+xD ．1-x 3．如果偶函数在],[b a 具有最大值，那么该函数在],[a b --有（） A ．最大值 B ．最小值 C ．没有最大值 D ． 没有最小值4．函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f .类型三：1．函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是（）A ．]8,3[B ． ]2,7[--C ．]5,0[D ．]3,2[-2．已知]3,1[,)2()(2-∈-=x x x f ，求函数)1(+x f 得单调递减区间. 类型四：1．在区间)0,(-∞上为增函数的是（）A ．1=yB ．21+-=xxy C ．122---=x x y D ．21x y +=类型五：1．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，且在区间[0,4]上是减函数，则（ ）A ．(10)(13)(15)f f f <<B ．(13)(10)(15)f f f <<C ．(15)(10)(13)f f f <<D ．(15)(13)(10)f f f << 2．定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且在区间]0,1[-上为递增，则（） A ．)2()2()3(f f f << B ．)2()3()2(f f f << C ．)2()2()3(f f f <<D ．)3()2()2(f f f <<3．已知)(x f 在实数集上是减函数，若0≤+b a ，则下列正确的是（） A ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≤+B ． )()()()(b f a f b f a f -+-≤+ C ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≥+D ．)()()()(b f a f b f a f -+-≥+类型六：1．函数||2x x y +-=，单调递减区间为，最大值和最小值的情况为.2．定义在R 上的函数)(x s （已知）可用)(),(x g x f 的=和来表示，且)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，则)(x f =. 提高题：1．（执信期中考）探究函数2216()(0)f x x x x=+>的最小值，并确定取得最小值时x 的值. 列表如下, 请观察表中y 值随x 值变化的特点，完成以下的问题.x …1 2 3 4 7 … y …17817…已知：函数2216()(0)f x x x x =+>在区间（0，2）上递减，问：（1）函数2216()(0)f x x x x=+>在区间上递增.当=x 时，=最小y .（2）证明：函数2216()(0)f x x x x=+>在区间（0，2）递减；（3）思考：函数2216()(0)f x x x x =+<有最大值或最小值吗？如有，是多少？此时x 为何值？（直接回答结果，不需证明）2．（本题满分10分）设()f x 是定义在R 上的函数，对任意,x y R ∈，恒有()()()f x y f x f y +=⋅， 当0x >时，有0()1f x <<．⑴ 求证：(0)1f =，且当0x <时，()1f x >；⑵ 证明：()f x 在R 上单调递减． 3．已知8)(32005--+=xbax x x f ，10)2(=-f ，求)2(f .4．在经济学中，函数)(x f 的边际函数为)(x Mf ，定义为)()1()(x f x f x Mf -+=，某公司每月最多生产100台报警系统装置。