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八．函数的奇偶性1．列说法正确的是________．(填序号)①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；②如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称；③如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；④如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数为偶函数2. 已知函数f (x )＝(m －1)x 2－2mx ＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数为________函数(填“增”“减”“常”)．3. 已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝x 2＋|x |－1，那么当x <0时，f (x )＝______.4. 函数f (x )＝x2x ＋1x －a 为奇函数，则a ＝________.5. 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －x x <0的解集____．6．数f （x ）=是一个奇函数，满足f （2t+3）＜f （4﹣t ），则a= ，t 的取值范围是 ．7. ))(1()(a x x x f +-=为奇函数,则)(x f 的减区间为______________.8 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 4；(2)f (x )＝x 5；(3)f (x )＝x ＋1x； (4f (x )＝x ；(5f (x )＝1－x 2＋x 2－19.y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f （x ）=x ﹣x 2．（1）求x ＞0时，f （x ）的解析式；（2）问是否存在这样的正实数a ，b ，当x ∈时，f （x ）的值域为？若存在，求出所有的a ，b 值；若不存在，请说明理由．10.数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R且a≠0），F（x）=．（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于零．。
第7课时函数的奇偶性(1)教学过程一、问题情境用多媒体展示日常生活中常见的对称现象,如美丽的蝴蝶、建筑(如图1)……并让学生自己列举生活中对称的实例,从而揭示本节课的课题.[2](图1)二、数学建构(一)生成概念问题1作出函数f(x)=|x|和g(x)=图象,回答下列问题:(1)这两个函数图象有什么共同特征?(2)自变量为任意两个相反数时相应函数值是如何体现这些特征的?[3](图2)首先让学生分别计算x=±3,x=±2,x=±1,…时的函数值,通过特殊值让学生发现两个函数的对称性反应到函数值上具有的特性:f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).进而提出在定义域内是否对所有的x,都有类似的情况?借助课件演示(或参见图2),学生通过观察和运算发现两个函数具有上述不同特性,即两个函数各自对称性的实质是:自变量互为相反数时,函数值相等和互为相反数这两种关系.然后通过解析式给出简单证明,进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立.奇偶性的概念:如果对于函数y=f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数;如果对于函数y=f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数.(二)理解概念问题2奇函数、偶函数的定义中有“任意”两字,这说明函数的奇偶性是怎样的一个性质?与单调性有何区别?(函数的奇偶性是函数在定义域上的一个整体性质,它不同于单调性)问题3-x与x在几何上有何关系?具有奇偶性的函数的定义域有何特征?(函数的定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的首要条件) (三)巩固概念问题4(1)对于任意一个奇函数f(x),图象上的点P(x,f(x))关于原点的对称点P'的坐标是什么?点P'是否也在函数f(x)的图象上?由此可得到怎样的结论?(2)如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,能否判断它的奇偶性?(学生通过回答问题4可以把奇函数图象的性质总结出来,即函数f(x)是奇函数⇔图象关于原点对称;然后教师让学生自己研究一下偶函数图象的性质,即函数f(x)是偶函数⇔图象关于y轴对称.同时,教师用多媒体展示中心对称图形绕中心旋转及轴对称图形绕轴旋转的特性,形象直观.如此经过由形到数再由数到形的过程,可使学生加深对本小节内容的理解)三、数学运用【例1】(教材P42例6)判定下列函数是否为偶函数或奇函数:(1)f(x)=x2-1;(2)f(x)=2x;(3)f(x)=2|x|;(4)f(x)=(x-1)2.(见学生用书课堂本P23) [处理建议]规范板书第(1)题,其余3小题由学生自己完成.要强调先求函数的定义域,再判断f(x)和f(-x)的关系,最后再根据函数奇偶性的定义得出结论.[规范板书]解(1)函数f(x)=x2-1的定义域是R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),所以函数f(x)=x2-1是偶函数.(2)函数f(x)=2x的定义域是R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=-2x=-f(x),所以函数f(x)=2x是奇函数.(3)函数f(x)=2|x|的定义域是R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),所以函数f(x)=2|x|是偶函数.(4)函数f(x)=(x-1)2的定义域是R.因为f(1)=0,f(-1)=4,所以f(1)≠-f(-1), f(1)≠f(-1).因此,根据函数奇偶性定义,可以知道函数f(x)=(x-1)2既不是奇函数,也不是偶函数.[题后反思](1)利用定义判断函数奇偶性的步骤:①首先确定函数的定义域,并判断它是否关于原点对称.如果定义域不关于原点对称,则函数既不是奇函数,也不是偶函数.②如果函数的定义域关于原点对称,则进一步观察f(-x)与f(x)的关系.③作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数;若f(-x),f(x)既不相等也不互为相反数,则f(x)既不奇函数,也不是偶函数.(2)若f(x)既是奇函数又是偶函数,则f(x)=0;反之,f(x)=0的定义域关于原点对称时才能称f(x)=0既是奇函数又是偶函数.由于定义域可能有无数个(只要关于原点对称即可),所以,既是奇函数又是偶函数的函数有无数个.变式判断函数y=的奇偶性.[处理建议]强调研究函数的性质(本课的奇偶性,上一课的单调性、最值等)时,都必须先求定义域.[规范板书]解∵≥0,∴x<-1或x≥1,∴函数的定义域为{x|x<-1或x≥1},它不关于原点对称,∴函数y=是非奇非偶函数.[题后反思]判断一个函数的奇偶性,首先要考察它的定义域是否满足“x和-x都在函数的定义域内”,即是否关于原点对称,如果对称然后再考察f(-x)与f(x)的关系;否则函数既不是奇函数,也不是偶函数.【例2】(教材P43例7)判断函数f(x)=x3+5x是否具有奇偶性.(见学生用书课堂本P24) [处理建议]关键是规范学生利用奇偶性的定义解决问题.[规范板书]解函数f(x)的定义域为R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=(-x)3+5(-x)=-(x3+5x)=-f(x),所以函数f(x)=x3+5x为奇函数.[题后反思]强调掌握判断函数奇偶性的步骤.变式(教材P45第8题)已知函数f(x)=x2+mx+1是偶函数,求实数m的值.[规范板书]解因为函数f(x)=x2+mx+1是偶函数,故f(-x)=f(x)恒成立,即(-x)2+m(-x)+1=x2+mx+1对任意的x恒成立,所以m=0.[题后反思](1)已知函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)恒成立;已知函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x)恒成立.若多项式恒成立,则变量的对应项系数相等.(2)也可结合二次函数的图象,知其对称轴必为y轴,所以m=0;还可以根据函数解析式的特点进行判断,y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数⇔b=0(此性质还可以类似推广).【例3】已知函数f(x)为偶函数,且当x<0时,f(x)=x+1,求当x>0时函数f(x)的解析式.(见学生用书课堂本P24) [处理建议]先提出“如何求给定区间上的解析式”的问题,引导学生讨论,教师点评,然后示范解题.[规范板书]解因为函数f(x)为偶函数,当x>0,则-x<0,所以f(x)=f(-x)=-x+1.[题后反思]本例是利用函数的奇偶性求解析式,关键要抓住一点:求什么范围内的解析式就设自变量在什么范围内.变式(教材P45习题2.2第11题)已知函数y=f(x)是R上的奇函数,且当x>0时f(x)=1,试求函数y=f(x)的解析式.[处理建议]引导学生讨论:“函数f(x)的解析式怎样书写才正确,为什么?”也可以结合图象,引导学生写出正确的解析式.[规范板书]解∵函数f(x)为奇函数,∴f(-0)=-f(0),∴f(0)=0;当x<0时,-x>0,∴f(x)=-f(-x)=-1.∴f(x)=[题后反思]奇函数f(x)若在x=0处有意义,则f(0)=0 .*【例4】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=;(2)f(x)=.[处理建议]引导学生对第(1)题进行分子有理化.[规范板书]解(1)函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),将函数式分子有理化,得f(x)==,f(-x)==,∴f(x)=-f(-x),∴函数f(x)是奇函数.(2)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),∵f(-x)===f(x),∴函数f(x)为偶函数.[题后反思]在观察f(x)和f(-x)的关系时,把握式子的结构特征以及适当处理也很重要.变式判断函数f(x)=的奇偶性.[处理建议]此类问题,主要是考察奇、偶函数的定义,准确理解定义并作出判断,要求达到“快而精准”,对一些典型的函数应当加以记忆.[规范板书]解∵f(x)=,∴解得x∈[-, 0)∪(0,],它关于原点对称.此时,f(x)===,∴f(-x)===-=-f(x),∴f(x)为奇函数.[题后反思]判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变).四、课堂练习1.判断下列函数是否具有奇偶性(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”或“既奇又偶”):(1)函数f(x)=是奇函数;(2)函数f(x)=x2-2-1是偶函数;(3)函数f(x)=x+1是非奇非偶函数;(4)函数f(x)=x2,x∈(-1, 1]是非奇非偶函数;(5)函数f(x)=+是非奇非偶函数;(6)函数f(x)=+是偶函数.2.若二次函数y=ax2+(b-3)x+c(a≠0)是偶函数,则b=3.提示结合偶函数的定义,可得b=3;也可以结合二次函数的图象,知其对称轴必为y轴,所以b=3;还可以根据二次函数解析式的特点进行判断,y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数⇔b=0(此性质还可以类似推广).五、课堂小结从知识与方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结:本节课主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.。
苏教版数学必修一集合函数的奇偶性单调性精选题教学部专用知胜教育个性化教学专用教案学生姓名：备课时间：年月日授课时间：年月日至科目：数学讲次：第讲高一年级授课教师：周老师上课后，学生签字：年月日教学类型：■强化基础型□引导思路型■错题讲析型□督导训练型□效率提升型□单元测评型□综合测评型□应试指导型□专题总结型□其它：教学目标：集合，函数的奇偶性，单调性总结。
集合1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的对象的全体。
2、集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
3、集合的表示：（1）用大写字母表示集合：A,B（2）集合的表示方法：a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c}b、描述法：集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合，某R某23c、维恩图：用一条封闭曲线的内部表示.4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：aA；aA注意：常用数集及其记法：非负整数集：（即自然数集）N正整数集:N某或N+整数集:Z有理数集:Q实数集:R6、集合间的基本关系（1）“包含”关系—子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。
记作：AB（或BＡ）注意：AB有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。
B或BA反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A（2）“包含”关系—真子集如果集合AB，但存在元素某B且某A，则集合A是集合B的真子集，记作AB(或B（3“相等”关系：A=B“元素相同则两集合相等”，如果AB同时BA那么A=B规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
（4）集合的性质①任何一个集合是它本身的子集，AA②如果AB,BC,那么AC１A)教学部专用③如果AB且BC，那么AC④有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集7、集合的运算运算类型交集并集定义由所有属于A且属于B的元由所有属于集合A或属于集素所组成的集合,叫做A,B合B的元素所组成的集合，的交集．记作AB（读作‘A叫做A,B的并集．记作：AB交B’）（读作‘A并B’）补集全集：一般，若一个集合含问题中的所有元素，我们就全集，记作：U设S是一个集合，A是S的S中所有不属于A的元素组做S中子集A的补集（或余CS韦恩图示ABABSACU(CUA)A图1图2性质A∩A=AA∩Φ=ΦA∩B=BAA∩BAA∩BBAUA=AAUΦ=AAUB=BUAAUBＡAUBBAU(CuA)=UA∩(CuA)=Φ．二函数1.函数的概念：记法y=f(某)，某∈A．2.函数的三要素：定义域、值域、对应法则3.函数的表示方法：（1）解析法：（2）图象法：（3）列表法：4.函数的基本性质a、函数解析式子的求法（1）代入法：（2）待定系数法：（3）换元法：（4)拼凑法：b、定义域：能使函数式有意义的实数某的集合称为函数的定义域。
函数的单调性与奇偶性习题课练习:1.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( ) ①(||)y f x = ; ②()y f x =- ; ③()y x f x =⋅ ; ④()y f x x =+ .A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④答案: ①偶函数; ②奇函数; ③偶函数; ④奇函数; 应选D.结论: 奇函数+奇函数=奇函数; 偶函数+偶函数=偶函数;奇函数×偶函数=奇函数; 偶函数×偶函数=偶函数;奇函数×奇函数=偶函数;技巧: 奇函数相当于“—”号 ; 偶函数相当于“+”号进行运算.2.若奇函数)(x f 的定义域为R ，则有 （ ）A. )()(x f x f ->B. )()(x f x f -≤C. 0)()(≤-⋅x f x fD. 0)()(>-⋅x f x f解析:奇函数)(x f 的定义域为R ,则2()()()0f x f x f x ⋅-=-≤, 故应选C ;3. (课时训练P24第6题)已知奇函数f(x)是定义在（-1，1）上的减函数，问:当m为何值时 f (-m)+f (1-m)＜0成立．解析:由已知得f (-m)＜-f (1-m)．因f(x)是奇函数，故-f (1-m) = f (m -1) ,于是f (-m)＜f (m-1)．又f(x)是定义在（-1，1）上的减函数，从而1,11,111,m mmm->-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩⇒1,211,02,mmm⎧<⎪⎪-<<⎨⎪<<⎪⎩12m⇒<<,即不等式的解集是1(0,)2．练习:若奇函数f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，试解关于a的不等式： f (a-1)+f (a-3)＜0．解析:由已知得 f (a -1) ＜-f (a -3)．因f (x )是奇函数，故 –f (a -3)= f (3-a )， 于是f (a -1) ＜ f (3-a )．又f (x )是定义在（-2，2）上的增函数，从而13,212,232,a a a a -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩⇒2,1315a a a <⎧⎪-<<⎨⎪<<⎩12a ⇒<< ． 即不等式的解集是(1,2)．例1. ( 课时训练P24页练习7)当m 、n 为何值时,函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++是奇函数?分析: ②()()0f x f x -+=,用于求奇函数解析式的字母的值;解析:2222()(1)(1)()(1)(12)2f x m x m x f x m x m x n n +=+-+----+++-+ 222(1)2(2)m x n =-++ =0恒成立∵x R ∈, ∴210m -=且20n +=;∴1,2m n =±=-.证明：设x 1<x 2 <0，则-x 1>-x 2>0． x 1<x 2 <0，为什么这样设?∵f (x)在（0，+∞）上是增函数．∴f (-x 1) >f (-x 2)，又f (x)在R 上是奇函数．∴-f (x 1)> -f (x 2)，即f (x 1)< f (x 2)．∴函数y= f (x)在（0，+∞）上是增函数．练习. 函数()y f x =是R 上的偶函数,且在(,0]-∞上是增函数,若()(2)f a f ≤, 则实数a 的取值范围是 ( )A.2a ≤B. 2a ≥-C.22a -≤≤D.2a ≤-或2a ≥解析:∵函数()y f x =是偶函数,且在(,0]-∞上是增函数,∴函数()y f x =在[0,)+∞上是减函数,又由()(2)f a f ≤,且()f x 是R 上的偶函数得(||)f a ≤(2)f ,∴||a ≥2 .选D .例2.作下列函数的图象: (课时训练P25例1)(P20练习第6题) (含绝对值型函数的探究)(1)|1||1|y x x =+-- ; (2) 2|2|y x =-分析: 这两个函数的画法不同, (1)是个分段函数, 需要分段讨论; (2)是下翻上型函数.解析: (1) 2, 1,|1||1|2, 11,2, 1.x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩其图象如下图所示:(2)练习: (课时训练P26练习6)作出函数2(||1)1y x =--的图象,并说明它是通过怎样的图形变换由2y x =的图象得到的.分析:首先定位判断出该函数为偶函数,应当先作出y 轴右侧的图象即2(1)1y x =--,再作对称图象即可.如果从变换的角度出发,则需要从整体上去作图分析.解析:函数的图象如图所示.将2y x =的图象向右平移一个单位,得到2y x=-的图象;(1)再向下平移一个单位,得到2=--的图象;(1)1y x最后擦去y轴左侧的图象,将y轴右侧的图象对称到y轴的左侧,就得到了2y x=--.(||1)1例3. (课时训练P26练习3)已知函数(1)y f x=的图象关于=-的图象关于原点对称,则()y f x对称.分析: 方法一, 考查两个函数图象间的关系, (1)y f x=-向左平移1个单位可得函数()=的图象, 原对称中心为(0,0) ,则平移后得对称中心为(-1,0) .y f x方法二: 关于原点对称的函数为奇函数, 即得(1)(1)--=--. 理解f x f x 否????则函数()=的图象关于(-1,0) 对称.y f x练习:1.已知函数()y f x=+的图象关于y f x=的图象关于y轴对称,则(5)直线对称.2.已知函数()=+的图象关于y f x=的图象关于原点对称,则(5)y f x点对称.1.答案: 提示函数()x=需向左平移5个单位得函数y f x=的对称轴0x=-.=+的对称轴为5(5)y f x2.答案: 提示函数()=的对称中心(0,0)需向左平移5个单位得函数y f xy f x=+的对称中心(-5,0)(5)结论:①.已知函数()=+的图象关于y f x ay f x=的图象关于y轴对称,则()直线对称.②.已知函数()y f x =的图象关于原点对称,则()y f x a =+的图象关于 点 对称.③.已知函数()y f x a =+的图象关于y 轴对称,则()y f x =的图象关于 直线 对称.④.已知函数()y f x a =+的图象关于原点对称,则()y f x =的图象关于 点 对称.答案:①x a =-②(,0)a -③x a =④(,0)a结论:①.已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,则()y f x a =+的图象关于 直线x a =-对称.②.已知函数()y f x =的图象关于原点对称,则()y f x a =+的图象关于 点(,0)a -对称.③.已知函数()y f x a =+的图象关于y 轴对称,则()y f x =的图象关于 直线x a =对称.④.已知函数()y f x a =+的图象关于原点对称,则()y f x =的图象关于 点(,0)a 对称.。
2023-2024学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．命题“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定为（ ） A ．∃x ∈R ，sin x ＞1 B ．∃x ∈R ，sin x ≤1 C ．∀x ∈R ，sin x ＞1D ．∀x ∈R ，sin x ＜12．下列四个函数中，与y ＝2x 有相同单调性和奇偶性的是（ ） A ．y ＝2xB ．y ＝x 3C ．y ＝e xD ．y ＝sin x3．若全集U ＝R ，A ={x|12＜x ＜1}，B ={x|x−1x＜0}，则（∁U A ）∩B ＝（ ）A ．（0，1）B ．(0，12)C ．(0，12]D ．[0，1]4．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 25．若实数m ，n 满足2m ＝3n ＝6，则下列关系中正确的是（ ） A ．1m+1n=1 B ．1m+2n=2 C ．2m+1n=2 D ．1m+2n =126．若p ：cosα≤12，q ：α≤π3，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（ ） A ．小于20克 B ．不大于20克C ．大于20克D ．不小于20克8．若α、β∈(0，π2)且满足sin αcos α+sin βcos β＞2cos αcos β，设t ＝tan αtan β，f(x)=1−t 2xtx ，则下列判断正确的是（ ） A ．f （sin α）＜f （sin β） B ．f （cos α）＜f （cos β） C ．f （sin α）＜f （cos β）D ．f （cos α）＜f （sin β）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的有（ ） A ．−3π4是第二象限角 B ．tan225°＝1 C ．小于90°的角一定是锐角D ．sin2＞010．下列命题为真命题的有（ ） A ．若a ，b ∈R ，则a 2+b 2≥2ab B ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则a+m b+m＞abC ．若a ＜b ＜0，则1a ＞1bD ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b11．已知函数f(x)=sinx −2sin2x，则下列结论正确的有（ ） A ．f （x ）为奇函数B ．f （x ）是以π为周期的函数C ．f （x ）的图象关于直线x =π2对称D ．x ∈(0，π4]时，f （x ）的最大值为√22−212．如图，过函数f （x ）＝log c x （c ＞1）图象上的两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M （a ，0），N （b ，0）（b ＞a ＞1），线段BN 与函数g （x ）＝log m x （m ＞c ＞1）的图象交于点C ，且AC 与x 轴平行．下列结论正确的有（ ）A ．点C 的坐标为（b ，log c a ）B ．当a ＝2，b ＝4，c ＝3时，m 的值为9C ．当b ＝a 2时，m ＝2c 2D ．当a ＝2，b ＝4时，若x 1，x 2为区间（a ，b ）内任意两个变量，且x 1＜x 2，则a f(x 2)＜b f(x 1) 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知角α的终边经过点（1，﹣2），则tan α•cos α的值为 ． 14．已知x ＞1，y ＞1，xy ＝10，则lgx •lgy 的最大值为 ．15．已知定义域为R 的奇函数f （x ），当x ＞0时，f(x)={x 2−x +1，0＜x ≤112x−1，x ＞1，若当x ∈[m ，0）时，f（x ）的最大值为−34，则m 的最小值为 ．16．定义域为D 的函数f （x ），如果对于区间I 内（I ⊆D ）的任意三个数x 1，x 2，x 3，当x 1＜x 2＜x 3时，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜f(x 3)−f(x 2)x 3−x 2，那么称此函数为区间I 上的“递进函数”，若函数f(x)=x 3+ax 是区间[1，2]为“递进函数”，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）化简求值： （1）3log 32+(827)13+lg5−lg 12； （2）若x 12+x−12=√5，求x 2+x﹣2的值．18．（12分）已知tan α＝3．求值：（1）cos(α+π2)−sin(3π2+α)2sin(α+π)+cos(2π−α)；（2）2sin 2α+sin αcos α．19．（12分）已知函数f(x)=log 12(4−x)x−1的定义域为集合A ，函数g(x)=m √2x +5（x ∈[−12，112]）的值域为B ． （1）当m ＝1时，求A ∪B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 20．（12分）已知f(x)=sin(ωx +π6)，ω＞0．（1）若f （x 1）＝1，f （x 2）＝﹣1，且|x 1−x 2|min =π2，求函数f （x ）的单调增区间；（2）若f （x ）的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y 轴对称，当ω取最小值时，方程f （x ）＝m 在区间[π6，π2]上有解，求实数m 的取值范围．21．（12分）已知函数f(x)=1−5x1+5x ，g(x)=acosx +√1+sinx +√1−sinx ，其中a ＜0．（1）判断并证明f （x ）的单调性；（2）①设t =√1+sinx +√1−sinx ，x ∈[−π2，π2]，求t 的取值范围，并把g （x ）表示为t 的函数h（t ）；②若对任意的x 1∈[﹣1，0]，总存在x 2∈[−π，π]使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数f(x)=log2(2x+m)−x2．（1）若f（x）为定义在R上的偶函数，求实数m的值；（2）若∀x∈[0，2]，f（x）+m≤1恒成立，求实数m的取值范围．2023-2024学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．命题“∀x∈R，sin x≤1”的否定为（）A．∃x∈R，sin x＞1B．∃x∈R，sin x≤1C．∀x∈R，sin x＞1D．∀x∈R，sin x＜1解：命题：“∀x∈R，sin x≤1”为全称命题，全称命题的否定是特称命题，即∃x∈R，sin x＞1．故选：A．2．下列四个函数中，与y＝2x有相同单调性和奇偶性的是（）A．y＝2x B．y＝x3C．y＝e x D．y＝sin x解：根据题意，函数y＝2x为奇函数，在R上为增函数，据此分析选项：对于A，y＝2x是非奇非偶函数，不符合题意；对于B，y＝x3，其定义域为R，关于原点对称，满足f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x），f（x）为奇函数，且y′＝3x2≥0，恒成立，所以在R上为增函数，符合题意；对于C，y＝e x，是非奇非偶函数，不符合题意；对于D，y＝sin x，f（﹣x）＝sin（﹣x）＝﹣sin x＝﹣f（x），f（x）为奇函数，但y＝sin x在R上不是增函数，不符合题意．故选：B．3．若全集U＝R，A={x|12＜x＜1}，B={x|x−1x＜0}，则（∁U A）∩B＝（）A．（0，1）B．(0，12)C．(0，12]D．[0，1]解：∵x−1x＜0，∴x（x﹣1）＜0，∴0＜x＜1，B＝（0，1），A＝（12，1），∁U A＝（﹣∞，12]∪[1，+∞），则（∁U A）∩B＝（0，12]．故选：C．4．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2解：扇面（图中扇环）部分的面积S =12αr 2−12α(r 2)2=38αr 2=38×2π3×400=100π．故选：B ．5．若实数m ，n 满足2m ＝3n ＝6，则下列关系中正确的是（ ） A ．1m+1n=1 B ．1m+2n=2 C ．2m+1n=2 D ．1m+2n =12解：2m ＝3n ＝6，则m ＝log 26，n ＝log 36， 故1m +1n =1log 26+1log 36=log 62+log 63＝log 6（2×3）＝log 66＝1，故A 正确，B 错误，又2m+1n=2•log 62+log 63＝log 6（22×3）＝log 612≠2，故C 错误，1m +2n=log 62+2•log 63＝log 6（2×32）＝log 618≠12，故D 错误．故选：A ．6．若p ：cosα≤12，q ：α≤π3，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若p ：cosα≤12，则2kπ−π3≤α≤2kπ+π3，k ∈Z ，又“2kπ−π3≤α≤2kπ+π3，k ∈Z ”是“α≤π3“的既不充分也不必要条件， 则p 是q 的既不充分也不必要条件． 故选：D ．7．某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（ ） A ．小于20克 B ．不大于20克C ．大于20克D ．不小于20克解：根据题意，设天平的左臂长为a ，右臂长b ，售货员现将10g 的砝码放在左盘，将黄金xg 放在右盘使之平衡；然后又将10g 的砝码放入右盘，将另一黄金yg放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为x+y（g）．则10a＝bx，ya＝10b，故x+y=10ab+10ba=10（ab+ba）≥10×2√ab×ba=20，当且仅当a＝b时等号成立，则该顾客实际所得黄金不小于20克．故选：D．8．若α、β∈(0，π2)且满足sinαcosα+sinβcosβ＞2cosαcosβ，设t＝tanαtanβ，f(x)=1−t 2xt x，则下列判断正确的是（）A．f（sinα）＜f（sinβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（cosα）＜f（sinβ）解：因为sinαcosα+sinβcosβ＞2cosαcosβ，两边同时除以cosαcosβ，得sinαcosβ+sinβcosα＞2，因为α，β∈(0，π2)，若α+β≤π2则0＜α≤π2−β＜π2，sinα≤sin(π2−β)=cosβ，则sinαcosβ≤1，同理sinβcosα≤1，则sinαcosβ+sinβcosα≤2与sinαcosβ+sinβcosα＞2矛盾，所以α+β＞π2，则π2＞α＞π2−β＞0，sinα＞sin(π2−β)=cosβ，则sinαcosβ＞1，同理sinβcosα＞1，所以t=tanαtanβ=sinαcosβ⋅sinβcosα＞1，又f(x)=1−t2xt x=(1t)x−t x，t＞1，因为函数y=(1t)x，t＞1单调递减，y＝t x，t＞1单调递增，所以f(x)=1−t2xt x=(1t)x−t x，t＞1单调递减．对于AB：由于sinα与sinβ，cosα与cosβ大小关系不确定，故AB错误；对于CD：由于sinα＞cosβ，sinβ＞cosα，所以f（sinα）＜f（cosβ），f（cosα）＞f（sinβ），故C正确，D错误．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列说法正确的有（）A．−3π4是第二象限角B．tan225°＝1C．小于90°的角一定是锐角D．sin2＞0解：对于A：−3π4为第三象限角，故A错误；对于B ：tan225°＝tan （180°+45°）＝tan45°＝1，故B 正确； 对于C ：小于90°的角是锐角或负角，故C 错误； 对于D ：由于sin2≈√32＞0，故D 正确．故选：BD ．10．下列命题为真命题的有（ ） A ．若a ，b ∈R ，则a 2+b 2≥2ab B ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则a+m b+m＞abC ．若a ＜b ＜0，则1a ＞1bD ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b解：根据题意，依次分析选项：对于A ，a 2+b 2﹣2ab ＝（a ﹣b ）2≥0，则有a 2+b 2≥2ab ，A 正确； 对于B ，当a ＝3，b ＝2，m ＝1时，a+m b+m=43＜ab =32，B 错误； 对于C ，若a ＜b ＜0，则b ﹣a ＞0，ab ＞0，则有1a −1b =b−aab＞0，C 正确；对于D ，若ac 2＞bc 2，则有ac 2﹣bc 2＝（a ﹣b ）c 2＞0，由于c ≠0，则有a ﹣b ＞0，即a ＞b ，D 正确． 故选：ACD ．11．已知函数f(x)=sinx −2sin2x，则下列结论正确的有（ ） A ．f （x ）为奇函数B ．f （x ）是以π为周期的函数C ．f （x ）的图象关于直线x =π2对称D ．x ∈(0，π4]时，f （x ）的最大值为√22−2解：∵f(x)=sinx −2sin2x （x ≠kπ2，k ∈Z ）， ∴f （﹣x ）＝﹣sin x +2sin2x=−f （x ），∴f （x ）为奇函数，A 正确； 又f （x +π）＝﹣sin x −2sin2x≠f （x ），∴f （x ）不是以π为周期的函数，B 错误； ∵f （π﹣x ）＝sin x +2sin2x ≠f （x ），∴f （x ）的图象不关于直线x =π2对称，C 错误； ∵x ∈(0，π4]⇒2x ∈（0，π2]，∴y ＝sin x 与y =−2sin2x 在(0，π4]上均为增函数，∴f(x)=sinx −2sin2x 在(0，π4]上单调递增，∴f （x ）max ＝f （π4）=√22−2．D 正确． 故选：AD ．12．如图，过函数f （x ）＝log c x （c ＞1）图象上的两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M （a ，0），N （b ，0）（b ＞a ＞1），线段BN 与函数g （x ）＝log m x （m ＞c ＞1）的图象交于点C ，且AC 与x 轴平行．下列结论正确的有（ ）A．点C的坐标为（b，log c a）B．当a＝2，b＝4，c＝3时，m的值为9C．当b＝a2时，m＝2c2D．当a＝2，b＝4时，若x1，x2为区间（a，b）内任意两个变量，且x1＜x2，则a f(x2)＜b f(x1)解：对于A，由图可知，若设A（a，t），则C（b，t），又A在f（x）＝log c x上，则t＝log c a，∴C（b，log c a），故A正确；对于B，由题意得A（2，log32），B（4，log34），C（4，log m4），且AC与x轴平行，∴log m4＝log32，解得m＝9，故B正确；对于C，由题意得A（a，log c a），B（b，log c b），C（b，log m b），且AC与x轴平行，∴log m b＝log c a，∵b＝a2，∴m＝c2，故C错误；对于D，∵a＜x1＜x2＜b，且c＞1，∴log c a＜log c x1＜log c x2＜log c b，∵b＞a＞1，∴a log c x2＜a log c b，b log c a＜b log c x1，∵log c b•log c a＝log c a•log c b，∴log c a log c b=log c b log c a，∴a log c b=b log c a，∴a log a x2＜b log c x1，∴a f(x2)＜b f(x1)，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知角α的终边经过点（1，﹣2），则tanα•cosα的值为−2√55．解：由于角α的终边经过点（1，﹣2），所以sinα=25=−2√55，故tanα⋅cosα=sinα=−2√55．故答案为：−2√5 5．14．已知x＞1，y＞1，xy＝10，则lgx•lgy的最大值为14．解：∵x＞1，y＞1，xy＝10，∴lgx＞0，lgy＞0，∴√lgxlgy≤lgx+lgy2=lgxy2=lg102=12，当且仅当lgx＝lgy，即x＝y=√10时，取等号．∴lgx•lgy≤14，∴lgx•lgy的最大值为14．故答案为：1 4．15．已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f(x)={x2−x+1，0＜x≤112x−1，x＞1，若当x∈[m，0）时，f（x）的最大值为−34，则m的最小值为−76．解：因为f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[m，0）时，f（x）的最大值为−3 4，则x∈（0，﹣m]时，最小值为3 4，又当0＜x≤1时，f(x)=x2−x+1=(x−12)2+34，根据二次函数的性质可知，当x=12时，f（x）min=34，当x＞1时，f(x)=12x−1单调递减，又当f(x)=12x−1=34时，x=76，故x∈（0，﹣m]时，最小值为34，必有12≤−m≤76，则−76≤m≤−12，故m的最小值为−76．故答案为：−7 6．16．定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意三个数x1，x2，x3，当x1＜x2＜x3时，有f(x2)−f(x1) x2−x1＜f(x3)−f(x2)x3−x2，那么称此函数为区间I上的“递进函数”，若函数f(x)=x3+ax是区间[1，2]为“递进函数”，则实数a的取值范围是[﹣3，+∞）．解：∵函数f(x)=x3+ax是区间[1，2]为“递进函数”，∴f′(x)=3x2−ax2的递增区间为[1，2]，令g(x)=3x2−ax2，则g′(x)=6x+2ax3≥0在[1，2]上恒成立，即a≥﹣3x4在[1，2]上恒成立，∴a≥﹣3，故答案为：[﹣3，+∞）．四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）化简求值：（1）3log32+(827)13+lg5−lg12；（2）若x 12+x−12=√5，求x2+x﹣2的值．解：（1）原式=2+[(23)3]13+lg5+lg2=2+23+lg5+lg2=113；（2）由题意得(x 12+x−12)2=x+x−1+2=5，得x+x﹣1＝3，同理（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝9，故x2+x﹣2＝7．18．（12分）已知tan α＝3．求值：（1）cos(α+π2)−sin(3π2+α)2sin(α+π)+cos(2π−α)；（2）2sin 2α+sin αcos α．解：（1）因为tan α＝3，所以cos(α+π2)−sin(3π2+α)2sin(α+π)+cos(2π−α)=−sinα+cosα−2sinα+cosα=−tanα+1−2tanα+1=25；（2）因为tan α＝3，所以2sin 2α+sin αcos α=2sin 2α+sinαcosαsin 2α+cos 2α =2tan 2α+tanαtan 2α+1=2110．19．（12分）已知函数f(x)=log 12(4−x)1x−1的定义域为集合A ，函数g(x)=m √2x +5（x ∈[−12，112]）的值域为B ． （1）当m ＝1时，求A ∪B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：（1）函数f(x)=log 12(4−x)+√x−1则{4−x ＞0x −1＞0，解得1＜x ＜4， 故A ＝（1，4）；当m ＝1时，g(x)=√2x +5在[−12，112]上单调增，则B ＝[2，4]，∴A ∪B ＝（1，4]；（2）若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则B 是A 的真子集． 当m ＞0时，g(x)=m √2x +5在[−12，2]上单调增，则B ＝[2m ，4m ]，所以1＜2m ＜4m ＜4，解得12＜m ＜1；当m ＝0时，B ＝{0}，不符合题意；当m ＜0时，g(x)=m √2x +5在[−12，2]上单调减，则B ＝[4m ，2m ]，不符合题意；综上所述，实数m 的取值范围为（12，1）．20．（12分）已知f(x)=sin(ωx +π6)，ω＞0．（1）若f （x 1）＝1，f （x 2）＝﹣1，且|x 1−x 2|min =π2，求函数f （x ）的单调增区间；（2）若f （x ）的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y 轴对称，当ω取最小值时，方程f （x ）＝m 在区间[π6，π2]上有解，求实数m 的取值范围．解：（1）由于f （x 1）＝1，f （x 2）＝﹣1，且|x 1−x 2|min =π，所以T 2=12×2πω=π2，则ω＝2，所以f(x)=sin(2x +π6)； 由−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ，解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，k ∈Z ， 所以函数f （x ）的单调增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，k ∈Z ． （2）将f （x ）的图象向左平移π3个单位长度后得到y =sin[ω(x +π3)+π6]=sin(ωx +ωπ3+π6)， 若所得图象关于y 轴对称，则ωπ3+π6=π2+kπ，得ω＝1+3k ，k ∈Z ，因为ω＞0，所以ωmin ＝1； x ∈[π6，π2]，得x +π6∈[π3，2π3]，f(x)∈[√32，1]， 所以m 的取值范围为[√32，1]．21．（12分）已知函数f(x)=1−5x 1+5x ，g(x)=acosx +√1+sinx +√1−sinx ，其中a ＜0． （1）判断并证明f （x ）的单调性；（2）①设t =√1+sinx +√1−sinx ，x ∈[−π2，π2]，求t 的取值范围，并把g （x ）表示为t 的函数h （t ）；②若对任意的x 1∈[﹣1，0]，总存在x 2∈[−π2，π2]使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）f （x ）是R 上的单调减函数，证明如下：在R 上任取x 1，x 2且x 1＜x 2，则5x 1−5x 2＜0，1+5x 1＞0，1+5x 2＞0，所以f(x 2)−f(x 1)=1−5x 21+5x 2−1−5x 11+5x 1=2(5x 1−5x2)(1+5x 1)(1+5x 2)＜0， 故f （x ）是R 上单调减函数；（2）①t =√1+sinx +√1−sinx ，则t 2=(√1+sinx +√1−sinx)2=2+2√1−sin 2x =2+2|cosx|，又因为x ∈[−π2，π2]，所以cos x ≥0，从而t 2∈[2，4]． 又因为t ＞0，所以t ∈[√2，2]，因为cosx =12t 2−1，所以ℎ(t)=12at 2+t −a ，t ∈[√2，2]； ②设f （x ）在x ∈[﹣1，0]时值域为A ，则由f （x ）的单调性可知，A =[0，23]； 设h （t ）在t ∈[√2，2]时的值域为B ，由题意得A ⊆B ，（ⅰ）当−12≤a ＜0时，即−1a≥2，h （t ）在[√2，2]上单调增，则B =[√2，a +2]， 因为√2＞0，显然不满足A ⊆B ；（ⅱ）当√2−2＜a＜−12时，即√2+22＜−1a＜2，h（t）在[√2，−1a]上单调增，在[−1a，2]上单调减，且ℎ(2)＞ℎ(√2)，所以B=[√2，−12a−a]，显然不满足A⊆B；（ⅲ）当−√22＜a≤√2−2时，即√2＜−1a≤√2+22，h（t）在[√2，−1a]上单调增，在[−1a，2]上单调减，且ℎ(√2)＞ℎ(2)，所以B=[a+2，−12a−a]，且a+2＞0，所以不满足A⊆B；（ⅳ）当a≤−√22时，−1a≤√2，h（t）在[√2，2]上单调减，所以B=[a+2，√2]，因为A⊆B，所以a+2≤0且√2＞23，所以a≤﹣2，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．22．（12分）已知函数f(x)=log2(2x+m)−x2．（1）若f（x）为定义在R上的偶函数，求实数m的值；（2）若∀x∈[0，2]，f（x）+m≤1恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）因为函数f（x）为定义在R上的偶函数，则f（﹣x）＝f（x）对x∈R恒成立，所以f(x)−f(−x)=log2(2x+m)+x2−[log2(2−x+m)−−x2]=log22x+m(2−x+m)⋅2x=0，化简得2x+m(2−x+m)⋅2x=1，即（2x﹣1）（1﹣m）＝0，所以m＝1；（2）不等式f（x）+m≤1可化为log2(2x+m)−x2+m≤1（*），由题意得：2x+m＞0对任意x∈[0，2]恒成立，则m＞﹣1；（*）可化为log2(2x+m)≤log22(x2−m+1)，所以0＜2x+m≤2x2⋅(12)m−1，对于不等式2x+m≤2x2⋅(12)m−1，令t=2x2，因为x∈[0，2]，所以t∈[1，2]，∀x∈[0，2]，2x+m≤2x2⋅(12)m−1恒成立⇔∀t∈[1，2]，t2−(12)m−1t+m≤0恒成立；令F(t)=t2−(12)m−1t+m，可得{F(1)≤0，F(2)≤0，，即{(12)m−1−m≥1，2⋅(12)m−1−m≥4.（**），由于函数r(m)=2⋅(12)m−1−m为R上的减函数，且r（0）＝4，所以不等式2⋅(12)m−1−m≥4的解集为m≤0；由于函数t(m)=(12)m−1−m为R上的减函数，所以当m≤0时，t（m）≥t（0）＝2≥1恒成立，所以（**）式的解为m≤0．综上，m的取值范围为（﹣1，0]．。
课后导练基础达标1.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,g(x)(x∈R)为偶函数,则下列函数中一定是奇函数的是（）A.［f(x)］2+［g(x)］2B.f［g(x)］C.f(x)-g(x)D.f(x)·g(x)解析：由复合函数奇偶性判断的性质可知f(x)·g(x)为奇函数，选D.答案：D2.定义在R上的偶函数f(x),在x>0上是增函数,则（）A.f(3)<f(-4)<f(-π)B.f(-π)<f(-4)<f(3)C.f(3)<f(-π)<f(-4)D.f(-4)<f(-π)<f(3)解析：因f(x)为偶函数,∴f(-4)=f(4),f(-π)=f(π),又因在x＞0上是增函数，∴f(4)＞f(π)＞f(3),即f(-4)＞f(-π)＞f(3)，故选C.答案：C3.下列结论中正确的是（）A.偶函数的图象一定与y轴相交B.奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0C.定义域为R的增函数一定是奇函数D.图象过原点的单调函数，一定是奇函数解析：∵y=f(x)为奇函数，∴f(-0)=-f(0),即f(0)=-f(0).∴2f(0)=0,∴f(0)=0.故选B.答案：B4.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在（-∞,0］上是减函数，且f(2)=0,则使得f(x)＜0的x的取值范围是（）A.（-∞，2）B.(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,2)解析：用图象法解，由函数的性质可画出其图象如右图所示.显然f(x)＜0的解集为{x|-2＜x＜2},故选D.答案：D5.设定义在R上的函数f(x)=x|x|,则f(x)（）A.既是奇函数,又是增函数B.既是偶函数,又是增函数C.既是奇函数,又是减函数D.既是偶函数,又是减函数解析：∵f(-x)=-x|x|=-f(x),∴f(x)在R上是奇函数；当x＞0时f(x)=x2,在［0，+∞）上是增函数，又奇函数在原点两侧单调性一致，故选A.答案：A6.若y=(m-1)x 2+(2+m)x+3是偶函数，则m=______________.解析：二次函数是偶函数，则一次项系数为0，也可用偶函数定义来判断，m=-2. 答案：-27.已知y=ax,y=xb 在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax 2+bx+c 在(-∞,0)上是_________________函数.（填“增”或“减”) 解析：y=ax 是减函数,则a ＜0，y=x b 在（0，+∞）上是减函数，则b ＞0.y=ax 2+bx+c 的对称轴x=-ab 2＞0，又抛物线开口向下，所以在（-∞,0）上是增函数. 答案：增8.奇函数在整个定义域(-1,1)上为减函数,且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求实数a 的取值范围.解析：f(1-a)+f(1-a 2)＜0⇒f(1-a)＜-f(1-a 2)=f(a 2-1),∴f(1-a)＜f(a 2-1),由题目已知可得：⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-,12,20,20,11,111,11122a a a a a a a 或-2＜a ＜0⇒0＜a ＜1.9.已知f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3)=f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=x 2-4,求f(5.5).解析：f(x+3)=f(x)⇒f(5.5)=f(2.5)=f(-0.5).∵f(x)是奇函数，且0≤x ≤1时，f(x)=x 2-4,∴f(-0.5)=-f(0.5)=-(0.52-4)=415. 10.已知奇函数f(x)的定义域R ，且当x ＞0时，f(x)=x 2-2x+3.求f(x)的表达式.解析：设x ＜0,则-x ＞0.∴f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x 2+2x+3.∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x).∴当x ＜0时，f(x)=-f(-x)=-x 2-2x-3;当x=0时，f(0)=0.∴f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<---=>+-).0(32),0(0),0(2222x x x x x x x 综合训练11.已知偶函数y=f(x)(x ∈R)在x<0时是增函数,若x 1<0,x 2>0且|x 1|<|x 2|,则下列结论中正确的是（ ）A.f(-x 1)<f(-x 2)B.f(-x 1)>f(-x 2)C.f(-x 1)=f(-x 2)D.以上结论都不对解析：因x 1＜0,x 2＞0,|x 1|＜|x 2|,∴0＞x 1＞-x 2,∴f(x 1)＞f(-x 2).而f(x 1)=f(-x 1),∴f(-x1)＞f(-x2),选B.答案：B12.f(x)是奇函数,当x∈［0,+∞］时,f(x)≤m(m<0),则f(x)的值域是（）A.［m,-m］B.(-∞,m)C.［-m,+∞)D.(-∞,m］∪［-m,+∞)解析：设x∈(-∞,0］,则-x≥0,于是f(-x)≤m.又因为f(x)是奇函数，因而f(-x)=-f(x)≤m.所以f(x)≥-m,故选D.答案：D13.若h(x)、g(x)均为奇函数,f(x)=ah(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,则在(-∞,0)上f(x)有最小值____________.解析：∵当x＞0时ah(x)+bg(x)+2≤5,∴ah(x)+bg(x)≤5-2=3,f(-x)=ah(-x)+bg(-x)+2=-ah(x)-bg(x)+2=-［ah(x)+bg(x)］+2≥-3+2=-1.答案：-114.设f(x)=ax7+bx5+cx3+dx+5,其中a、b、c、d是常数，若f(-7)=-7,则f(7)=___________.解析：f(-7)=a(-7)7+b(-7)5+c(-7)3+d(-7)+5=-7,∴a(-7)7+b(-7)5+c(-7)3+d(-7)=-7-5=-12,∴-(a×77+b×75+c×73+d×7)=-12,∴a×77+b×75+c×73+d×7=12,∴f(7)=12+5=17.答案：1715.已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)对任意的实数x、y总成立,且f(1)≠f(2).求证:f(x)是偶函数.解析：令y=0,则f(x)+f(x)=2f(x)·f(0).∵f(1)≠f(2),∴f(x)不恒为0.∴f(0)=1.令x=0,f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y),∴f(-y)=f(y).∴函数f(x)是偶函数.拓展提升16.若对于一切实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(0),并证明f(x)为奇函数;(2)若f(1)=3,求f(-3).解析:(1)令x=y=0,则f(0)=2f(0),即f(0)=0.令y=-x,则f［x+(-x)］=f(x)+f(-x),∴f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x).∴y=f(x)为奇函数.(2)由y=f(x)为奇函数,∴f(-3)=-f(3).∵f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1),∴f(-3)=-3f(1)=-9.。
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。
证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。
因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。
因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。
因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。
第16课时函数的单调性(1)班级：__________ 姓名：____________ 编号：016 使用时间：9月20日【学习目标】1 •理解函数单调性概念；2•掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；3.提高观察、抽象的能力.；【课刖案】1 •单调增函数的定义：一般地，设函数y二f(x)的定义域为A，区间I 5 A •如果对于区间I内的任意两个值洛,X2，当捲：：：X2时，都有____________ ，那么就说y = f(x)在区间I上是单调____________ 函数，|称为y = f (x)的单调 ___________ 区间.2•单调减函数的定义：一般地，设函数y二f(x)的定义域为A，区间I二A •如果对于区间I内的任意两个值X1, X2,当为::x2时，都有_______________ ,那么就说y = f (x)在区间I上是单调____________ 函数，I称为y = f (x)的单调________ 区间3•函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是__________ 图像；而函数在其单调减区间上的图像是_______ 的图像。
(填"上升"或"下降")4•函数单调性证明的步骤：JF x.2 /-4 -2 TO 2 3 A5 6 V? Jr【课中案】例1 :画出下列函数图象，并写出单调区间.(1) y 一-x2 2 ；1(2) y=—；x(3)x2+1 xW0f(x^ -2x-2,x_0__ 3例2:求证：函数f（x）= —x +1在区间（—g，+ 8）上是单调减函数追踪训练一1.函数y - . - x2-2x 8的单调增区间为_______________1 2求证：f（x）二x 在区间（0,1）上是减函数.x1例3:函数y 在其定义域（」：,0）U（0,=）上是减函数吗?x追踪训练二1.函数y = 3x —2x2 + 1的单调递增区间是（）A. ( — 8, 3 4]3 C. (—8，—4]3B.匚，+8>43D. [—, +8)42.函数f(x + 1)= x2—2x+ 1的定义域是［一2,0］，贝U f(x)的单调递减区间是__ ________\+1,x 03.函数y=丿的单调减区间为_x -1,x 0ax +1 i4•讨论函数f(x) (a )在(-2「：)上的单调性.。
第二课时 奇偶性1．下列说法中，正确的序号是__________．①图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数②奇函数的图象一定经过原点③偶函数的图象若不经过原点，则它与x 轴交点的个数一定是偶数④图象关于y 轴成轴对称的函数一定是偶函数．2．(1)一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)是奇函数，则b ＝________；(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)是偶函数，则b ＝________.3．已知函数y ＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝__________.4．已知偶函数y ＝f(x)在区间[0,4]上是单调增函数，则f(－3)与f(π)的大小关系是__________．5．已知f(x)是区间(－∞，＋∞)上的奇函数，f(1)＝－2，f(3)＝1，则f(－1)与f(3)的大小关系是__________．6．已知奇函数f(x)在x<0时，f(x)＝x(x －1)，则当x>0时，f(x)＝________.7．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)＝x ，则f(7.5)等于__________．8．若定义在R 上的函数f(x)满足：对任意x 1、x 2∈R 有f(x 1＋x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)＋1，则下列说法一定正确的序号是__________．①f(x)为奇函数②f(x)为偶函数③f(x)＋1为奇函数④f(x)＋1为偶函数9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x 3＋x ；(2)f(x)＝1－x 2＋x 2－1；(3)f(x)＝x 2＋1，x ∈[－2,2)；(4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x<0，x (1＋x )，x>0.10．若f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝1x －1，求f(x)和g(x)的解析式．11．函数f(x)＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(12)＝25，求函数f(x)的解析式．12．若函数f(x)＝x 3(x ∈R )，则函数y ＝f(－x)在其定义域上是单调递__________(填“增”“减”)的__________(填“奇”“偶”“非奇非偶”)函数．13．设函数y ＝f(x)是奇函数．若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝________.14．已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，其定义域是[a －1,2a]，则a ＝__________，b ＝__________.15．若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有最小值是__________．16．若函数f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝__________.17．老师给了一个函数y ＝f(x)，三个学生甲、乙、丙各指出这个函数的一个性质： 甲：对于x ∈R ，函数的图象关于y 轴对称；乙：在(－∞，0]上函数递减；丙：在[0，＋∞)上函数递增．请构造一个这样的函数：__________.18．若f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x －2)＝－f(x)，给出下列4个结论：①f(2)＝0；②f(x)＝f(x ＋4)；③f(x)的图象关于直线x ＝0对称；④f(x ＋2)＝f(－x)．其中所有正确结论的序号是________．19．(易错题)已知定义域为R 的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f(x ＋8)为偶函数，则下列关系正确的序号为__________．①f(6)>f(7) ②f(6)>f(9) ③f(7)＝f(9) ④f(7)>f(9) ⑤f(7)<f(9) ⑥f(7)<f(10) ⑦f(7)>f(10) ⑧f(6)＝f(10) ⑨f(7)＝f(10)20.(易错题)(1)已知函数f(x)满足关系式2f(x)＋f(1x)＝x ，试判断f(x)的奇偶性． (2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋3，x<0，0，x ＝0，－x 2＋2x －3，x>0.判断f(x)的奇偶性并证明．21．已知函数f(x)＝ax 2＋1bx ＋c(a 、b 、c ∈Z )是奇函数，又f(1)＝2，f(2)<3，求a 、b 、c 的值．22．已知函数f(x)＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．答案与解析1．①③④2．(1)0 (2)0 (1)由题知，－kx ＋b ＝－(kx ＋b)，∴b ＝0.(2)由题知a(－x)2＋b(－x)＋c ＝ax 2＋bx ＋c ，∴－bx ＝bx ，故b ＝0.3．1 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(－2)－f(－3)＝－f(2)－[－f(3)]＝f(3)－f(2)＝1.4．f(－3)<f(π) ∵f(x)为偶函数，∴f(－3)＝f(3)，∵f(x)在[0,4]上是单调增函数，∴f(3)<f(π)．∴f(－3)<f(π)．5．f(3)<f(－1) ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝2>1＝f(3)，即f(3)<f(－1)．6．－x(x ＋1) 设x>0，则－x<0，由题意，得f(－x)＝－x(－x －1)＝x(x ＋1)．∵函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝x(x ＋1)，∴f(x)＝－x(x ＋1)．7．－0.5 ∵f(x ＋2)＝－f(x)，f(－x)＝－f(x)，且当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，∴f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.8．③ 令x 1＝x 2＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋1，∴f(0)＝－1.令x 1＋x 2＝0，则x 2＝－x 1，由条件有f(0)＝f(x 1)＋f(－x 1)＋1，∴f(x 1)＋f(－x 1)＋2＝0(x 1∈R )．∴①②都不正确，∵f(－x 1)＋1＝－[f(x 1)＋1]，∴f(x 1)＋1为奇函数．故③正确，④不正确．9．解：(1)函数的定义域为R ，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x 3＋x)＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0，得x 2＝1， 即x ＝±1.∴函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．f(1)＝f(－1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f(x)的定义域为[－2,2)，不关于原点对称，∴函数f(x)是非奇非偶函数．(4)函数的定义域关于原点对称．方法一：当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]＝－x(1－x)＝－f(x)．∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．方法二：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x<0，x (1＋x )，x>0的图象如图．图象关于原点对称，∴f(x)是奇函数．10．解：由题意，得⎩⎨⎧ f (x )＋g (x )＝1x －1，f (－x )＋g (－x )＝1－x －1， ⎩⎨⎧ f (x )＋g (x )＝1x －1， ①f (x )－g (x )＝－1x ＋1. ② 由①＋②2，得f(x)＝1x 2－1， 由①－②2，得g(x)＝x x 2－1. 11．解：∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，∴f(－0)＝－f(0)．∴f(0)＝0，即b ＝0.∴f(x)＝ax 1＋x 2. ∵f(12)＝25，∴12a 1＋(12)2＝25，解得a ＝1.∴f(x)的解析式为f(x)＝x 1＋x 2. 能力提升12．减 奇 ∵f(x)＝x 3，∴y ＝f(－x)＝(－x)3＝－x 3.∴y ＝f(－x)是单调递减的奇函数．13．－3 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)．∴由条件得－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3.∴f(1)＋f(2)＝－3.14.130 ∵函数具有奇偶性时，定义域必须关于原点对称， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又对于f(x)有f(－x)＝f(x)恒成立， ∴b ＝0.15.－1 ∵φ(x)，g(x)是奇函数，∴φ(－x)＝－φ(x)，g(－x)＝－g(x)．当x ∈(0，＋∞)时，f(x)≤5，∴aφ(x)＋bg(x)≤3，当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，此时有aφ(－x)＋bg(－x)≤3，∴－[aφ(x)＋bg(x)]≤3，∴aφ(x)＋bg(x)≥－3，即f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2≥－3＋2＝－1，∴当x ∈(－∞，0)时，f(x)有最小值为－1.16．－2x 2＋4 f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)＝bx 2＋(2a ＋ab)x ＋2a 2，∵f(x)是偶函数，∴2a ＋ab ＝0.又f(x)的值域为(－∞，4]，∴b<0且2a 2＝4.∴b ＝－2，即f(x)＝－2x 2＋4.17．y ＝x 2或y ＝|x| 这是一个开放性题，答案不唯一．由三个性质可得出，f(x)为偶函数且左减右增．∴可以是y ＝ax 2(a>0)或y ＝a|x|(a>0)等．18．①②④ 由题意，知f(0)＝－f(2)，∴f(2)＝－f(0)．又f(x)是R 上的奇函数，∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.∴f(2)＝0.故①正确．∵f(x)＝－f(x ＋2)＝f(x ＋4)，∴②正确．∵f(x)为奇函数，∴图象关于原点对称，∴③不正确．∵f(－x)＝－f(x)＝f(x ＋2)，∴④正确．19．③⑦⑧ 方法一：∵f(x)在(8，＋∞)上为减函数，∴f(9)>f(10)．∵y ＝f(x ＋8)为偶函数，∴f(－x ＋8)＝f(x ＋8)．令x ＝1，得f(－1＋8)＝f(1＋8)，即f(7)＝f(9)．∴f(7)>f(10)．令x ＝2，得f(－2＋8)＝f(2＋8)，即f(6)＝f(10)．∴f(6)＝f(10)<f(9)＝f(7)．∴③⑦⑧正确．方法二：∵y ＝f(x ＋8)为偶函数，∴其图象关于y 轴对称，即f(x ＋8)的对称轴为x ＝0(y 轴)．将函数y ＝f(x ＋8)的图象向右平移8个单位，即得函数y ＝f(x)的图象，∴y ＝f(x)的对称轴为x ＝8.又f(x)在(8，＋∞)上为减函数，∴f(x)在(－∞，8)上为增函数．∴f(6)＝f(10)<f(9)＝f(7)．故③⑦⑧正确．点评：比较函数值的大小要利用对称性．将所比较的函数值对应的自变量转化到同一个单调区间上，再运用单调性比较(方法一)；也可利用与对称轴的远近及单调性比较大小(如方法二)．注意常用如下结论：(1)奇函数在其对称区间内具有相同的单调性；偶函数在对称区间内的单调性相反．(2)若f(x)对任意的x ∈R ，都有f(a ＋x)＝f(a －x)，则f(x)的图象关于直线x ＝a 对称〔或说f(x)的对称轴为x ＝a 〕，反之亦成立．特别地，当a ＝0时，f(x)为偶函数．本题中由f(－x ＋8)＝f(x ＋8)，得f(x)的对称轴为x ＝8.此类问题的关键是弄清对称轴，千万不能把y 轴看成是f(x)的对称轴，这是致错的主要原因，若能设想本题f(x)的大致图象如下图，则问题就好理解了．20．解：(1)由题意，知f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0},2f(x)＋f(1x)＝x ①，将①式中的x 用1x 替换得2f(1x )＋f(x)＝1x ②，由①②联立消去f(1x )得f(x)＝2x 2－13x.∵定义域关于原点对称且有f(－x)＝2(－x )2－13(－x )＝－2x 2－13x＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数．(2)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x 2－2x －3＝－(x 2＋2x ＋3)＝－f(x)；当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x 2－2x ＋3＝－(－x 2＋2x －3)＝－f(x)，当x ＝0时，f(－0)＝f(0)＝0＝－f(0)．综上，f(x)是奇函数．点评：(1)判断函数的奇偶性，首先要检查定义域是否关于原点对称，若函数的定义域不关于原点对称，则此函数是非奇非偶函数；若对称，再判断f(－x)＝±f(x)之一是否能成立，若同时成立，即有f(x)＝0，则此时函数f(x)既是奇函数又是偶函数．本题第(1)小题要先求f(x)的解析式，用构造方程消去法，再判断奇偶性，不能直接判断．(2)对分段函数判断奇偶性，必须分别证明x>0和x<0时均有f(－x)＝－f(x)成立，才能判定函数f(x)为奇函数，缺一不可．若只有x>0时，f(－x)＝－f(x)成立，并不能说明f(x)具有奇偶性，是奇函数．因为奇偶性是对整个定义域内性质的刻画，注意不要漏掉x ＝0时的情况．21．解：由f(－x)＝－f(x)，得a (－x )2＋1－bx ＋c ＝－ax 2＋1bx ＋c， 即－bx ＋c ＝－(bx ＋c)，∴c ＝0.又f(1)＝2，∴得到a ＋1＝2b.而由f(2)<3，得4a ＋1a ＋1<3. ∴a －2a ＋1<0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>0，a ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a ＋1>0. 解得－1<a<2.又a ∈Z ，∴a ＝0，或a ＝1.若a ＝0，则b ＝12Z ，舍去；若a ＝1，则b ＝1∈Z ，符合题意， ∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.拓展探究22．解：(1)当a ＝0时，f(x)＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x 2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．当a ≠0时，f(x)＝x 2＋a x(a ≠0，x ≠0)， 得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a ≠0，∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)设2≤x 1<x 2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝(x1－x2)x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)<0恒成立，∵x1－x2<0，x1x2>4，即a<x1x2(x1＋x2)恒成立．又∵x1＋x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.∴a的取值范围是(－∞，16]．。
