2013年数学中考试题专题3二次函数与圆

二次函数的实际应用1例题1：一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。

⑴问此球能否投中？⑵在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈?例题2：（2012·武汉·五月调考）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面2103米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．O练习1. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米．2. 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是21251233y x x=-++则他将铅球推出的距离是m 练习1图3．如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。

一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。

例题3：公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面外安装一个柱子OA，O恰好在水面中心，OA ＝1.25米，由柱子顶端A处的喷水头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在距离为1米处达到距水面最大高度2.25米．（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至落到池外？（2）如果水流喷出的抛物线开口与（1）相同，水池半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达多少米？例题4：(2012·武汉·四月调考)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25m的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3m．(1)建立适当的平面直角坐标系．，使水管顶端的坐标为(0，2.25)，水柱的最高点的坐标为(1，3)，求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围）；(2)如图；在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3 m，最内轨道的半径为r m，其上每0.3 m的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当r为多少时池中安装的地漏的个数最多？练习：1. 爱琴公园的音乐喷泉中的一个旋转喷泉如图所示，水管AB高出水面53米，B处是自转的水喷头，喷出水流呈抛物线状，喷出的水流在与A点的水平距离2米处达到最高点C，点C距离水面3米。

二次函数与圆的综合题（中考数学压轴题必考）例1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明．练习1.如图，二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a为常数，且0＜a＜1）的图象过原点O并与x轴交于点P；过点A（1，﹣1）的直线l垂直y轴于点B，并与二次函数的图象交于点Q，以OA为直径的⊙C交x轴于点D，连接DQ．（1）点B与⊙C的位置关系是；（2）点A是否在二次函数的图象上；（填“是”或“否”）（3）若DQ恰好为⊙C的切线，①猜想：四边形OAQD的形状是，证明你的猜想；②求二次函数的表达式．例2.如图示已知点M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线过A、B两点且与y轴交于点C．过C点作⊙M 的切线CE，求直线OE的解析式．练习2.平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴，设平行于x轴的直线交抛物线y＝﹣x2﹣x+2于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．练习4.如图，抛物线y＝﹣x2+x+2．经过A、B、C三点，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C，M为抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．练习5.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．以AB为直径作⊙M．（1）求出M的坐标并证明点C在⊙M上；（2）若P为抛物线上一动点，求出当CP与⊙M相切时P的坐标；练习6.在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的析式；（2）求点D的坐标：（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．练习7.如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝n，OC＝m，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A，B两点，∠ACD＝90°，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点．（1）求证：∠OCA＝∠OBC；（2）若A（x1，0），B（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝5，x1•x2＝4，求点C 的坐标和抛物线的解析式；（3）若△ACD≌△ABD，在四边形ABDC内有一点P，且点P到四边形四个顶点的距离之和P A+PB+PC+PD最小，求此时距离之和的最小值及P点的坐标（用含n的式子表示）．练习8.已知二次函数y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）（1）求证：它的图象与x轴必有两个交点；（2）这条抛物线与x轴交于两点A、B（A在B左），与y轴交于点C，顶点为D，sin∠ABD＝，⊙M过A、B、C三点，求⊙M的面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使P A是⊙M的切线？若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由．例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．练习9.已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+1的图象关于y轴对称，且抛物线过点（2，2），点P为抛物线上的动点，以点P为圆心的⊙P与x轴相切，当点P运动对，⊙P始终经过y轴上的一个定点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当⊙P的半径为时，⊙P与y轴交于M、N两点，求MN的长；（3）求定点E到直线y＝kx﹣8k的距离的最大值．练习10.已知：直线y＝﹣x﹣4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx （a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为﹣2（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连接AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO＝2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习11.已知A是x轴正半轴上一个动点，以线段OA为直径作⊙B，圆心为点B，直径OA＝m，线段EF是⊙B的一条弦，EF∥x轴，点C为劣弧EF的中点，过点E作DE垂直于EF，交抛物线C1：y＝ax2+bx（a＞0）于点G，抛物线经过点O和点A．（1）求证：DG＝m；（2）拖动点A，如果抛物线C1与⊙B除点O和点A外有且只有一个交点，求b的值；（3）拖动点A，抛物线C1交⊙B于点O、E、F、A，①求证：DE＝m﹣；②直接写出FC2的值（用a，m的代数式表示）练习13.如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A．B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），求出抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D点，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．例4.如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B 为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．练习14.如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E 四点，B为OD中点．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．练习15.如图，二次函数与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B作直线BD，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得∠ADB＝∠ABM，连接AE，求证：AE＝AD；（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请求出k的值．例5.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y 轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；（2）如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P点的坐标；（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．练习16.如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣5，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求b，c的值．（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值．若不存在，请说明理由．（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O 三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．练习17.如图1，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为G，P为半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．①判断点C、D与⊙G的位置关系，并说明原因；②当点P沿半圆从点B运动到点A时，求线段AQ的最小值．练习18.如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EF＝AB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．课后练习1.抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是介于B、C之间的抛物线上的动点（包括B、C两点），点E是△ABP 的外接圆圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当P为抛物线的顶点时，求圆心E的坐标；（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，延长PH交⊙E于点Q，当P从C点出发，沿该抛物线运动到B点，求点Q在这个运动过程中的路径长．2.如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．（1）求证：∠BDE＝90°；（2）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；（3）如图2，AC与BE交于点F．①请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；②若，求点E坐标及a的值．。

二次函数一级训练1．(2012年广西北海)已知二次函数y＝x2－4x＋5的顶点坐标为()A．(－2，－1) B．(2,1) C．(2，－1) D．(－2,1)2．(2012年贵州黔东南州)抛物线y＝x2－4x＋3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为()A．(4，－1) B．(0，－3) C．(－2，－3) D．(－2，－1)3．(2011年浙江温州)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图3－4－4.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是()图3－4－4A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值4．(2012年湖南衡阳)如图3－4－5为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0; ②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④当－1＜x＜3时，y＞0.其中正确的个数为()图3－4－5A．1 B．2 C．3 D．45．(2012年陕西)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－x－6向上(下)或向左(右)平移了m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则||m的最小值为()A．1 B．2 C．3 D．66．在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2＋a的图象可能是()7．(2012年黑龙江哈尔滨)李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图3－4－6所示的矩形ABCD.设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是()图3－4－6A．y＝－2x＋24(0<x<12)B ．y ＝－12x ＋12(0<x <24)C ．y ＝2x －24(0<x ＜12)D ．y ＝12x －12(0<x <24)8．(2011年浙江宁波)将抛物线y ＝x 2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为____________．9．(2011年贵州贵阳)写出一个开口向下的二次函数的表达式______________________． 10．(2011年浙江舟山)如图3－4－7，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(－1,0)，(1，－2)，当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是____________．图3－4－711．(2011年江苏淮安)抛物线y ＝x 2－2x ＋3的顶点坐标是__________．12．(2011年江苏盐城)已知二次函数y ＝－12x 2－x ＋32.(1)在如图3－4－8中的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围；(3)若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．图3－4－813．(2011年广东)已知抛物线y ＝12x 2＋x ＋c 与x 轴没有交点．(1)求c 的取值范围；(2)试确定直线y ＝cx ＋1经过的象限，并说明理由．14．(2012年黑龙江哈尔滨)小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x (单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积S (单位：cm 2)随x (单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，这个三角形面积S 最大？最大面积是多少？⎣⎡⎦⎤参考公式：当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有最小(大)值4ac －b 24a二级训练15．(2011年甘肃兰州)如图3－4－9所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：①b 2－4ac >0；②c >1；③2a －b <0；④a ＋b ＋c <0.你认为其中错误的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个图3－4－916．(2011年广东茂名)给出下列命题：命题1：点(1,1)是双曲线y ＝1x 与抛物线y ＝x 2的一个交点．命题2：点(1,2)是双曲线y ＝2x 与抛物线y ＝2x 2的一个交 点．命题3：点(1,3)是双曲线y ＝3x与抛物线y ＝3x 2的一个交点．……请你观察上面的命题，猜想出命题n (n 是正整数)：______________________________. 17．(2011年湖南怀化)已知：关于x 的方程ax 2－(1－3a )x ＋2a －1＝0. (1)当a 取何值时，二次函数y ＝ax 2－(1－3a )x ＋2a －1的对称轴是x ＝－2? (2)求证：a 取任何实数时，方程ax 2－(1－3a )x ＋2a －1＝0总有实数根．三级训练 18．(2011年四川凉山州)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图3－4－10，反比例函数y ＝ax与正比例函数y ＝bx 在同一坐标系内的大致图象是( )图3－4－1019．(2012年广东深圳)如图3－4－11，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－4,0)，B (1,0)，C (－2,6)．(1)求经过A，B，C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE＝CE；(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A，B，F为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．图3－4－11二次函数参考答案【分层训练】 1．B2．A 解析：y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以顶点坐标为(2，－1)，右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为(4，－1)．3．C4．C 解析：①图象开口向下，能得到a ＜0；②对称轴在y 轴右侧，x ＝－1＋32＝1，则有－b2a＝1，即2a ＋b ＝0；③当x ＝1时，y ＞0，则a ＋b ＋c ＞0； ④由图可知，当－1＜x ＜3时，y ＞0. 5．B 解析：由y ＝x 2－x －6＝(x －3)(x ＋2)，可求出抛物线与x 轴有两个交点分别为(3,0)(－2,0)，将抛物线向右平移2个单位，恰好使得抛物线经过原点，且移动距离最小．6．C7．B 解析：本题考查函数解析式的表示方法及自变量取值范围．AB ＋CD ＋BC ＝24，即2AB ＋x ＝24,2y ＋x ＝24，所以y ＝12－12x .因为菜园一边的墙足够长，所以自变量x (BC )只要小于24即可，又边长大于零，所以x 取值范围0＜x ＜24.故选B.8．y ＝x 2＋1 9.y ＝－x 2＋2x ＋1(答案不唯一)10．x >12 11.(1,2)12．解：(1)画图(如图D8)．图D8(2)当y ＜0时，x 的取值范围是x ＜－3或x ＞1. (3)平移后图象所对应的函数关系式为y ＝－12(x －2)2＋2⎝⎛⎭⎫或写成y ＝－12x 2＋2x . 13．解：(1)∵抛物线与x 轴没有交点，∴Δ＜0，即1－2c ＜0，解得c ＞12.(2)∵c ＞12，∴直线y ＝cx ＋1随x 的增大而增大． ∵b ＝1，∴直线y ＝cx ＋1经过第一、二、三象限．14．解：(1)S ＝12×x (40－x )＝－12x 2＋20x .(2)当x ＝－b2a ＝20时，S ＝4ac －b 24a＝200，所以当x ＝20 cm 时，三角形的面积最大，最大面积是200 cm 2. 15．D。

中考专题： 圆与函数综合题1、如图，平面直角坐标系中，以点C （22为半径的圆与轴交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、B ，试确定此二次函数的解析式．2、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线2y x bx c =++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．3、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为轴，且经过（0,0116）两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A （0,2），(1)求a,b,c 的值；(2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与轴相交；（3）设⊙P 与轴相交于M ()1x ,0，N ()()212x ,0x x 两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标。

4、如图，二次函数y =x 2+bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，且经过点（b －2，2b 2－5b －1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；（3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标.5、类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。

原题：如图1，在⊙O 中，MN 是直径，AB ⊥MN 于点B ，CD ⊥MN 于点D ，∠AOC =90°，AB =3，CD =4，则BD = 。

2013中考数学试题分类汇编二次函数1、（2013杭州）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O 两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2=x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．考点：二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．专题：分类讨论．分析：根据OC的长度确定出n的值为8或﹣8，然后分①n=8时求出点A的坐标，然后确定抛物线开口方向向下并求出点B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围；②n=﹣8时求出点A的坐标，然后确定抛物线开口方向向上并求出点B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围．解答：解：根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或﹣8．分类讨论：①n=8时，易得A（﹣6，0）如图1，∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a＜0，∵AB=16，且A（﹣6，0），∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称，∴对称轴直线x==2，要使y1随着x的增大而减小，则a＜0，∴x＞2；（2）n=﹣8时，易得A（6，0），如图2，∵抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a＞0，∵AB=16，且A（6，0），∴B（﹣10，0），而A、B关于对称轴对称，∴对称轴直线x==﹣2，要使y1随着x的增大而减小，且a＞0，∴x＜﹣2．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了一次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，难点在于要分情况讨论．2、(2013年南京)已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m) (a、m为常数，且a≠0)。

(1) 求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；(2) 设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。

一、选择题 1、（2012年台湾）下列哪一个函数，其图形与x 轴有两个交点？ (A) y =17(x +83)2+2274 (B) y =17(x -83)2+2274 (C) y = -17(x -83)2-2274 (D) y = -17(x +83)2+2274。

2、（2012年台州市）已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间二、填空题1、（2012年内蒙古包头）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值 是 cm 2．2、（2012年甘肃白银）抛物线2y x bx c =-++的部分图象如上所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论： ， ．（对称轴方程，图象与x 正半轴、y 轴交点坐标例外）3、（2012年甘肃庆阳）从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）的函数关系式是29.8 4.9h t t =-，那么小球运动中的最大高度为 米． 4、（2012年包头）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值（填空题2）是 cm 2．5、（2012年包头）已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个．三、解答题1、（2012年北京市）已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 2、（2012 安徽）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．【解】（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．3、（2012年常德市）已知二次函数过点A（0，2-），B（1-，0），C（5948，）．（1）求此二次函数的解析式；（2）判断点M（1，12）是否在直线AC上？（3）过点M（1，12）作一条直线l与二次函数的图象交于E、F两点（不同于A，B，C三点），请自已给出E点的坐标，并证明△BEF是直角三角形．4、（2012年湖南长沙）为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润＝销售额－生产成本－员工工资－其它费用），该公司可安排员工多少人？（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？5、（2012年内蒙古包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =．（1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．6、（2012年杭州市）已知平行于x 轴的直线)0(≠=a a y 与函数x y =和函数xy 1=的图象分别交于点A 和点B ，又有定点P （2，0）． （1）若0>a ，且tan ∠POB =91，求线段AB 的长； （2）在过A ，B 两点且顶点在直线x y =上的抛物线中，已知线段AB =38，且在它的对称轴左边时，y 随着x 的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；（3）已知经过A ，B ，P 三点的抛物线，平移后能得到259x y =的图象，求点P 到直线AB 的距离． 7、（2012年娄底）已知关于x 的二次函数y =x 2-（2m -1）x +m 2+3m +4.（1）探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.（2）设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A （x 1，0），B （x 2，0），且21x +22x =5，与y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式.9、（2012烟台市）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？O 1 1y x =1y x =P (2，0)xy（第24题）10、（2012年孝感）已知抛物线2234y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）．（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；（2）设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且1123ONOM-=，求k 的值．11、（2012年新疆）（1）用配方法把二次函数243y x x =-+变成2()y x h k =-+的形成． （2）在直角坐标系中画出243y x x =-+的图象．（3）若1122()()A x y B x y ，，，是函数243y x x =-+图象上的两点，且121x x <<，请比较12y y ，的大小关系．（直接写结果）（4）把方程2432x x -+=的根在函数243y x x =-+的图象上表示出来．12、（2012年天津市）已知函数212y x y x bx c αβ==++，，，为方程120y y -=的两个根，点()1M T ，在函数2y 的图象上． （Ⅰ）若1132αβ==，，求函数2y 的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数1y 与2y 的图象的两个交点为A B ，，当ABM △的面积为112时，求t 的值； （Ⅲ）若01αβ<<<，当01t <<时，试确定T αβ，，三者之间的大小关系，并说明理由．12、（2012年广西梧州）如图（9）-1，抛物线23y ax ax b =-+经过A （1-，0），C （3，2-）两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B ． （1）求此抛物线的解析式；（2）若直线)0(1≠+=k kx y 将四边形ABCD 面积二等分，求k 的值；（3）如图（9）-2，过点E （1，1）作EF ⊥x 轴于点F ，将△AEF 绕平面内某点旋转180°得△MNQ （点M 、N 、Q 分别与点A 、E 、F 对应），使点M 、N 在抛物线上，作MG ⊥x 轴于点G ，若线段MG ︰AG ＝1︰2，求点M ，N 的坐标．13、2012年包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =． （1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．图（9）-1图（9）-214、（2012年北京市）已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.15、（09湖南怀化）如图11，已知二次函数22)(m k m x y -++=的图象与x 轴相交于两个不同的点1(0)A x ，、2(0)B x ，，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．（1）求P ⊙与y 轴的另一个交点D 的坐标；（2）如果AB 恰好为P ⊙的直径，且ABC △的面积等于5，求m 和k 的值．16、(2012年达州)如图11，抛物线)1)(3(-+=x x a y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 右侧），过点A 的直线交抛物线于另一点C ，点C 的坐标为（-2，6）.(1)求a 的值及直线AC 的函数关系式；(2)P 是线段AC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ，交x 轴于点N. ①求线段PM 长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M ，使得△CMP 与△APN 相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由.17、(2012年肇庆市)已知一元二次方程2 10x px q +++=的一根为 2． （1）求q 关于p 的关系式；（2）求证：抛物线2 y x px q =++与x 轴有两个交点；（3）设抛物线2y x px q =++的顶点为 M ，且与 x 轴相交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，求使△AMB 面积最小时的抛物线的解析式．2013年中考备考往年真题专题《二次函数与一元二次方程》试题及答案18、（2012年邵阳市）如图（十二）直线l 的解析式为y ＝－x+4, 它与x 轴、y 轴分相交于A 、B 两点，平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点，运动时间为t 秒（0<t ≤4）．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN,记 △MPN 和△OAB 重合部分的面积为S 2； ①当2<t ≤4时，试探究S 2 与之间的函数关系；②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，S 2 为△OAB 的面积的165？。

【仲烦1】（我市）已知圆P的圆心在反比例函数y=-（A：>1）上，并与工轴相交于X、3两点.且x始终与］轴相切于定点C（0,1）.⑴求经过三点的二次匣1数图象的解析式；（2）若二次函教图象的顶点为D,问当上为何值时'四边形也站尹为菱形.【耕音】解：（1）连接PC、PAx PB，谊P点ffPHXx轴.垂足为H・（1分）与y轴相切于点C（0, 1），.-.PC±y^.•.•P点在反比例函数》二占的囹象上，X•.•P点坐标为（k,1）.（2分）•.•PAU.在RtAAPH中，AH=厨2_尸於后一1，•'•A(k-90 ).(3分)•.•由。

P交x轴于A、B两点，且PHJLAB，由垂径击理可知，PH垂直平分AB.AOB=OA+2AH=k•••B3小2_1，0）.《4分〉故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直钱斛析式为x=k.可设该抛物线解析式为y=a<x-k）2+h.（5分）又二.抛物线过C（。

，1），B（k-^2_r0），[ak^-^h=1•3|—?昭得a=l，h=1-k^.（7分）•.•抛物线解析式为y=心）2+1上2.（B分）（2）由<1）知抛物线顶点D坐标为（k,l-k2>•・•DH-k2-l.若四边形ADBP为装形.则必有PH=DH.（10分）VPH=1，.•-k2-l=l.又">1,（11分）•・•当k取以时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形•（12分）3【百麒2]翎南省韶关市）25.如图6,在平面直角坐标系中旭边形OABC是矩形,。

虹4应=2,直线），=-"：与坐标轴交于D、E。

设M是加的中点，P是线段DE上的动点.（1）求M、D两点的坐标；<2）当P在什么位置时，PA=PB?求出此时P点的坐标j<3）过P作PH1BC,垂足为H,当以PM为直径的OF与BC相切于点N时，求梯形PHBH的面积.图6【分析】(1)因为四边形OABC是逅形，0A=4,AB=2»直线>=r-?与坐标轴交于D、E，M是AB的中点2.所以令y=0,即司术出D的坐标，而AM-1.印以M(4,1)；(2)因为PA=PB.断以P是AB的香直平分线和直线ED的交点，而AE的中垂线是y=l，断以P的纵坐标为1，令直线ED的解析式中的y=l，求出的x的值即为相应的P的横坐标；(3〉可设P(x，y>，连将PN、MN、NF，因为点P在y・x-：上，所以P《x，粮据蹦意可2得PNlMNi FN±BCi F是圈心，又因N是钱段HB的中点，HN-NB-—»PH-2-(-x*-)t2 2 2BM=1,利用直径对的圆周角是直甬可得到ZHPX-ZHNP=ZHNP-ZBNM=90°•所以ZHPN=ZB取ph ir£x+| NM,又因ZPHN-ZB-900-所以可得到R tAPNH<^RtANMB•所以—•A2=—^，这BM BN—4-x1—样牧可得到关于X的方程，解之即可求出X的值，而饬求面招的四边形是一个直角梯形，南以Spg=也皿滋或"医号)("6+应)=.21_色叵.2 2 24满答】俄；《1)M", 1),D《9,0)；(2分)2(2)V PA=PB>•七点P在线段AB的中毒线上，•.•点P的纵坐标是I，3又•:点P在尸-X-—上，2・.•点P的坐标为(【，1)?(4分)（3）设P（x，y），连接PN、MN、NF，3点P lSy=・x+-上，匕3・'・P（x ,-w+—），2依题意知：PN«LMN>FN^BC,F是圆心，・'・N是线段HB的中点，HN=NB=±M，PH=2.2口，BM=1，<6分）22HPN-ZHNP=NHNP-ZBNM=90°，NHPN=ZBNN1，又ZPHN=ZB=90°5RtAPNH^RtANMBs:HN_PH•'两南，4-x x*.."F=二，-等」22，（8分）x?-12x+14=0»朋得；x-6-j22（^-*>^舍去），k=6-皿=些罕=空也艾竺=一*孕屈，（9分）2【例题31（||-4省白银等7市新课程）28.在直角坐标系中>0A的丰径为4,圆心A曜标为（2, 0），S与X轴交于E、尸两点，与），轴交于（7、D两点，过点（7作0X的切线时，交x轴于点3.（1）求直线C5的解析式：（2）若抛物线.件履7）日€的顶点在直线3C上,与x轴的交点恰为点E、已求该抛物线的解析式J（3）试判断点C是否在抛物线上？（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与A4OC相似？直接与出两组这样的点•4［分析】(1>SHAC.根撮区］的李径求出AC. W1B点人的坐麻求出0A，燃后利用勾腹定理列式求出0C・从而得到点C的坐标，再求出ZCAO=60=.然后粮掘直有三甬形两锐角互余米出NB=30。

2013年中考真题——二次函数（三）2013年中考真题——二次函数（三）一．解答题（共30小题）1．（2013•山西）综合与探究：如图，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A，B，C的坐标．（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2013•三明）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上．（1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标；（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2013•日照）已知，如图（a），抛物线y=ax+bx+c经过点A（x1，0），B（x2，0），C（0，﹣2），其顶点为D．以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N．∠ONE=30°，|x1﹣x2|=8．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连结AD、BD，在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP与△ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图（b），点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH•AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．4．（2013•衢州）在平面直角坐标系x、y中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=﹣（x﹣t）2+t（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．5．（2013•曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．6．（2013•钦州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA．（1）求点A的坐标和∠AOB的度数；（2）若将抛物线y=x2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，判断点C′是否在抛物线y=x2+2x上，请说明理由；（4）若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2013•黔西南州）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2013•黔东南州）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式；（2）在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）及直线y2=x+1的图象，并根据图象，直接写出使得y1≥y2的x的取值范围；（3）设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y2=x+1于点B，点P在抛物线上，当S△PAB≤6时，求点P的横坐标x的取值范围．9．（2013•齐齐哈尔）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，0），B（﹣1，3），C（﹣3，3）（1）求此二次函数的解析式；（2）设此二次函数的对称轴为直线l，该图象上的点P（m，n）在第三象限，其关于直线l的对称点为M，点M 关于y轴的对称点为N，若四边形OAPN的面积为20，求m、n的值．10．（2013•莆田）如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；（2）若△ACD的面积为3．①求抛物线的解析式；②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．11．（2013•平凉）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由．12．（2013•盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y 轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）13．（2013•攀枝花）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2013•宁夏）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．15．（2013•宁德）如图，在直角坐标系中，抛物线y=x2﹣3x与经过点B（0，6）的直线相交于x轴上点A（3，0），P为线段AB上一动点（P点横坐标为t，且与点A、B不重合），过P作x轴垂线，交抛物线于Q点，连接OP，OQ，QA．（1）写出直线AB表达式；（2）求t为何值时，△POQ为等腰直角三角形；（3）设四边形APOQ面积为S．求S与t的函数关系式，并求S的整数值的个数．参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点是（﹣，），对称轴是直线x=﹣．16．（2013•宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．17．（2013•南通）如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．（1）求b的值；（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）求证：x1•OB+y2•OA=0．18．（2013•南平）如图，已知点A（0，4），B（2，0）．（1）求直线AB的函数解析式；（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y=（x﹣m）+n与线段OA交于点C．①求线段AC的长；（用含m的式子表示）②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．19．（2013•南宁）如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．20．（2013•南京）已知二次函数y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D．①当△ABC的面积等于1时，求a的值；②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．21．（2013•南充）如图，二次函数y=x2+bx﹣3b+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b﹣2，2b2﹣5b﹣1）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M过A，B，C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；（3）连接AM，DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA，MD与x轴，y轴分别交于点E，F．若△DMF 为等腰三角形，求点E的坐标．22．（2013•内江）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．23．（2013•牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．24．（2013•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x=﹣3，请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式．（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．25．（2013•绵阳）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A （﹣1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．（1）求二次函数的解析式和B的坐标；（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．26．（2013•梅州）如图，已知抛物线y=2x2﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积；（2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l1与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点做平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标；（3）过点D（m，0）（其中m＞1）且与x轴垂直的直线l2上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）．27．（2013•茂名）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）．（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由．28．（2013•泸州）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，﹣），已知抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）．（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）29．（2013•眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．（1）求这条抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移个单位后得到的抛物线的解析式．30．（2013•娄底）已知：一元二次方程x2+kx+k﹣=0．（1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）设k＜0，当二次函数y=x2+kx+k﹣的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l 与△ABC的外接圆有公共点？2013年中考真题——二次函数（三）参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2013•山西）综合与探究：如图，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A，B，C的坐标．（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．时，﹣﹣x+4，﹣m﹣m+4）﹣（m=，，xAD=，，即y=﹣x2．（2013•三明）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上．（1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标；（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．=10．y=（，3．（2013•日照）已知，如图（a），抛物线y=ax2+bx+c经过点A（x1，0），B（x2，0），C（0，﹣2），其顶点为D．以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N．∠ONE=30°，|x1﹣x2|=8．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连结AD、BD，在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP与△ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图（b），点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH•AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．r===4a=（x﹣x x（，，﹣）的解析式为）4．（2013•衢州）在平面直角坐标系x、y中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=﹣（x﹣t）2+t（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．，t=OP=±．或时，=±，；=±，t，﹣，5．（2013•曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．×6+﹣mm6．（2013•钦州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA．（1）求点A的坐标和∠AOB的度数；（2）若将抛物线y=x2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，判断点C′是否在抛物线y=x2+2x上，请说明理由；（4）若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．y=x y=（的坐标，令的二次项系数为，由此可得抛物线x（x（的二次项系数为，且过顶点（x==2AC=2y=xy=（=07．（2013•黔西南州）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．，代入可得：．，则=，时，，即，），则=，8．（2013•黔东南州）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式；（2）在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）及直线y2=x+1的图象，并根据图象，直接写出使得y1≥y2的x的取值范围；（3）设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y2=x+1于点B，点P在抛物线上，当S△PAB≤6时，求点P的横坐标x的取值范围．9．（2013•齐齐哈尔）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，0），B（﹣1，3），C（﹣3，3）（1）求此二次函数的解析式；（2）设此二次函数的对称轴为直线l，该图象上的点P（m，n）在第三象限，其关于直线l的对称点为M，点M 关于y轴的对称点为N，若四边形OAPN的面积为20，求m、n的值．得：10．（2013•莆田）如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；（2）若△ACD的面积为3．①求抛物线的解析式；②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．×DAC=，，×DAC==，DAC=PAB==，x+1，解得，，）点坐标（，）代入+m，﹣﹣，解得，，﹣）点坐标（，﹣）代入=+m，﹣﹣）11．（2013•平凉）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由．=4，OP==2的面积为：BO=4212．（2013•盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y 轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）（，k=b=y=x+），，k=b=y=x+y=或y=．13．（2013•攀枝花）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．，解得PN（），﹣有最大值，此时点的坐标为（﹣，﹣t=），），）或（，﹣14．（2013•宁夏）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．）代入得：点坐标（15．（2013•宁德）如图，在直角坐标系中，抛物线y=x2﹣3x与经过点B（0，6）的直线相交于x轴上点A（3，0），P为线段AB上一动点（P点横坐标为t，且与点A、B不重合），过P作x轴垂线，交抛物线于Q点，连接OP，OQ，QA．（1）写出直线AB表达式；（2）求t为何值时，△POQ为等腰直角三角形；（3）设四边形APOQ面积为S．求S与t的函数关系式，并求S的整数值的个数．参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点是（﹣，），对称轴是直线x=﹣．，|OA||PQ|=6t=16．（2013•宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．17．（2013•南通）如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．（1）求b的值；（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）求证：x1•OB+y2•OA=0．﹣x=，再将x=x与抛物线）在反比例函数=，+对应边成比例得到，即可证明，（﹣）﹣（﹣x=代入y=（）与抛物线）在反比例函数+，xkx+8=++﹣+++++==18．（2013•南平）如图，已知点A（0，4），B（2，0）．（1）求直线AB的函数解析式；（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y=（x﹣m）2+n与线段OA交于点C．①求线段AC的长；（用含m的式子表示）②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．AM=，根据相似三角形对应边成比例得出，解得：，AM==．19．（2013•南宁）如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．的长，然后代入计算即可得解；，x，，然后表示出+，y=，=AM==++=1x，++=，+=取何值，的值都等于同一个常数的式子表示出是解20．（2013•南京）已知二次函数y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D．①当△ABC的面积等于1时，求a的值；②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．），×||=1=×||﹣=0﹣21．（2013•南充）如图，二次函数y=x2+bx﹣3b+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b﹣2，2b2﹣5b﹣1）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M过A，B，C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；（3）连接AM，DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA，MD与x轴，y轴分别交于点E，F．若△DMF 为等腰三角形，求点E的坐标．AE=AM=x=x=，﹣，22．（2013•内江）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．。

2013年中考数学二次函数试题汇编47、（2013•眉山压轴题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．（1）求这条抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移个单位后得到的抛物线的解析式．考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形，需要分类讨论：①以点A为直角顶点．过点A作直线AD的垂线，与抛物线的交点即为所求点P．首先求出直线PA的解析式，然后联立抛物线与直线PA 的解析式，求出点P的坐标；②以点P为直角顶点．此时点P只能与点B重合；③以点E为直角顶点．此时点P亦只能与点B重合．（3）抛物线沿射线AD方向平移个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位．据此，按照“左加右减”的原则，确定平移后抛物线的解析式．解答：解：（1）根据题意得，A（1，0），D（0，1），B（﹣3，0），C （0，﹣3）．抛物线经过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），则有：，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3．（2）存在．△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形：①以点A为直角顶点．如解答图，过点A作直线AD的垂线，与抛物线交于点P，与y轴交于点F．∵OA=OD=1，则△AOD为等腰直角三角形，∵PA⊥AD，则△OAF为等腰直角三角形，∴OF=1，F（0，﹣1）．设直线PA的解析式为y=kx+b，将点A（1，0），F（0，﹣1）的坐标代入得：，解得k=1，b=﹣1，∴y=x﹣1．将y=x﹣1代入抛物线解析式y=x2+2x﹣3得，x2+2x﹣3=x﹣1，整理得：x2+x﹣2=0，解得x=﹣2或x=1，当x=﹣2时，y=x﹣1=﹣3，∴P（﹣2，﹣3）；②以点P为直角顶点．此时∠PAE=45°，因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上．过点A与y轴平行的直线，只有点A一个交点，故此种情形不存在；因此点P只能在x轴上，而抛物线与x轴交点只有点A、点B，故点P 与点B重合．∴P（﹣3，0）；③以点E为直角顶点．此时∠EAP=45°，由②可知，此时点P只能与点B重合，点E位于直线AD与对称轴的交点上．综上所述，存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形．点P的坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣3，0）．（3）抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4．抛物线沿射线AD方向平移个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y=（x+1+1）2﹣4+1=x2+4x+1．点评：本题考查了二次函数综合题型，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、抛物线与平移、等腰直角三角形等知识点，试题的考查重点是分类讨论的数学思想．48、(2013河南省压轴题)如图，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，点的坐标为。