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2.4.1 抛物线的标准方程学习目标：1.掌握抛物线的标准方程．(重点) 2.掌握求抛物线标准方程的基本方法．[自 主 预 习·探 新 知]抛物线的标准方程1．判断正误：(1)标准方程y 2＝2px (p ＞0)中p 的几何意义是焦点到准线的距离．( ) (2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．( ) (3)x 2＝－2y 表示的抛物线开口向左．( )【解析】 (1)√.抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，故焦点到准线的距离是p .(2)√.一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上，故该说法正确．(3)×.x 2＝－2y 表示的抛物线开口向下． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)×2．焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为________． 【解析】 由题意知p ＝2×2＝4，焦点在y 轴正半轴上， ∴方程为x 2＝2×4y ，即x 2＝8y . 【答案】 x 2＝8y[合 作 探 究·攻 重 难](1)准线方程为2y ＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上.【导学号：95902128】[思路探究] 确定抛物线的类型→设出标准方程→确定参数→写出方程 【自主解答】 (1)准线方程为2y ＋4＝0，即y ＝－2，故抛物线焦点在y 轴的正半轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)．又－p2＝－2，所以2p ＝8，故抛物线的标准方程为x 2＝8y .(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(3)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)． ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x . [规律方法] 求抛物线方程的主要方法是待定系数法若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可； 若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论. 注意：焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax a ，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay a[跟踪训练]1．(1)焦点在x 轴上，且焦点在双曲线x 24－y 22＝1上的抛物线的标准方程为________．(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋16y 2＝144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为__________．【解析】 (1)由题意可设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，则焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，0.∵焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，∴m 24×4＝1，求得m ＝±4，∴所求抛物线方程为y 2＝8x或y 2＝－8x .(2)椭圆的方程可化为x 216＋y 29＝1，其短轴在y 轴上，∴抛物线的对称轴为y 轴，设抛物线的标准方程为x 2＝2py 或x 2＝－2py (p ＞0)，由抛物线焦点到顶点的距离为3得p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y .【答案】 (1)y 2＝8x 或y 2＝－8x x 2＝12y 或x 2＝－12y求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y ＝14x 2；(2)x ＝1ay 2(a ≠0).【导学号：95902129】[思路探究] 原方程→化为标准形式→求焦点坐标和准线方程【自主解答】 (1)抛物线y ＝14x 2的标准形式为x 2＝4y ，所以p ＝2，所以焦点坐标是(0,1)，准线方程是y ＝－1.(2)抛物线x ＝1a y 2的标准形式为y 2＝ax ，所以p ＝a 2，故焦点在x 轴上，坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4. [规律方法] 求抛物线焦点坐标和准线方程的步骤：[跟踪训练]2．求抛物线ay 2＝x (a ≠0)的焦点坐标与准线方程．【解析】 把抛物线ay 2＝x (a ≠0)方程化为标准形式为y 2＝1ax ，所以抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a .[探究问题]1．抛物线定义是什么？能否用数学式表示抛物线的定义？【提示】 平面内到一定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．设抛物线上任意一点P ，点P 到直线l 的距离为PD ，则抛物线的定义可表示为PF＝PD .2．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 的横坐标为x 0，那么点P 到其焦点F 的距离是什么？ 【提示】 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p2，根据抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以点P 到其焦点F 的距离为PF ＝x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝x 0＋p 2.3．探究2中得到的用点P 的横坐标表示其到焦点的距离的公式称为抛物线的焦半径公式，对于其它三种形式的方程的焦半径公式是什么？【提示】 设抛物线上一点P 的横坐标为x 0，对于抛物线y 2＝－2px (p ＞0)，PF ＝p2－x 0；设抛物线上一点P 的纵坐标为y 0，对于抛物线x 2＝2py (p ＞0)，PF ＝y 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝y 0＋p2；设抛物线上一点P 的纵坐标为y 0，对于抛物线x 2＝－2py (p ＞0)，PF ＝p2－y 0.4．通过以上探究，你得到了什么启示？【提示】 当题目中涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般转化为抛物线上的点到准线的距离较为简单，这样就将两点间的距离转化为点到直线的距离，将二次问题转化为一次问题．已知抛物线的方程为y 2＝2x ，F 是其焦点，点A (4,2)，在抛物线上是否存在点M ，使MA ＋MF 取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[思路探究] 判断点A 的位置→把到焦点的距离转化为到准线的距离→利用三点共线求最小值【自主解答】 如图，由于点M 在抛物线上，所以MF 等于点M 到其准线l 的距离MN ，于是MA ＋MF ＝MA ＋MN ，所以当A ，M ，N 三点共线时，MA ＋MN 取最小值，亦即MA ＋MF 取最小值，这时M 的纵坐标为2，可设M (x 0,2)代入抛物线方程得x 0＝2，即M (2,2)． [规律方法]1．此类题目的实质是抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离，从而化曲为直，利用点到直线的距离求最小值．2．涉及抛物线上任意一点P 与平面上的定点A 以及抛物线焦点F 的距离和PA ＋PF 的最小值问题，有以下处理思路：(1)若点A 在抛物线外部，则直线FA 与抛物线的交点P 使得PA ＋PF 最小，其最小值为AF ；(2)若点A 在抛物线内部，则过A 点作与准线l 垂直的直线，它与抛物线的交点为P ，则PA ＋PF 最小，其最小值为点A 到准线l 的距离．[跟踪训练]3．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为________.【导学号：95902130】【解析】 如图，由抛物线定义知PA ＋PQ ＝PA ＋PF ，则所求距离之和的最小值转化为求PA ＋PF 的最小值，则当A 、P 、F 三点共线时，PA ＋PF 取得最小值．又A (0,2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴(PA ＋PF )min ＝AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋－2＝172. 【答案】172[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．抛物线x 2＝－16y 的焦点坐标是________.【导学号：95902131】【解析】 p2＝4，焦点在y 轴上，开口向下，焦点坐标应为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，即(0，－4)．【答案】 (0，－4)2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是________．【解析】 由y ＝14x 2得x 2＝4y ，所以抛物线的准线方程是y ＝－1.【答案】 y ＝－13.抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 216－y 29＝1渐近线的距离为__________．【解析】 抛物线焦点F (1,0)，双曲线渐近线为3x ±4y ＝0，点F 到直线3x ±4y ＝0的距离为d ＝|3×1±4×0|19＋16＝35.【答案】 354．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线方程是________． 【解析】 ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴p ＝94，p ′＝23，∴抛物线方程为y 2＝－92x 或x 2＝43y .【答案】 y 2＝－92x 或x 2＝43y5．抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标.【导学号：95902132】【解】 设焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0，M 点到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10， 即9＋p2＝10，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x .将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6.∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．。
