反比例函数表达式、图象、性质(二)

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反比例函数的图象与性质2

1 0.3 10 7 (1) y ;(2) y ;(3) y ;(4) y 2x x x 100 x
习题5.3
（1）（2）（3） 1.下列函数中，其图象位一第一、三象限的有__________; (4) 在其所在的象限内，y随x的增大而增大的有___________.
4 2.(1)已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数 y 的图象 x 上，比较y1、 y2 、y3的大小关系。
4 4.反比例函数 y x
k 5.反比例函数 y 的图象经过点(2,-3), 则它的表 6 x y 达式为_______________. x
复习回顾
1.反比例函数是一个怎样的图象？
反比例函数的图象是双曲线
2.反比例函数的图象的位置与k有怎样关系？
当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.
∴y3>0, y2 <y1<0 即y2 < y1 < 0< y3 你能解答第(2)小题吗了?
想一想
k y x
P
S1 S2 R

Q

S3
S1、S2有什么关系？为什么？
观察反比例函数图象的两支曲线,回答下列问题: (1)它们会与坐标轴相交吗？它们都不与坐标轴相交。（2）反比例函数的图象是轴对称图形吗？是轴对称图形,它们有两条对称轴. （3）反比例函数的图象是中心对称图形吗？
第五章
反比例函数
2.反比例函数的图象与性质（2）
小测：
k y (k是常数，k 0) 1.写出反比例函数的表达式:________________. x
双曲线 2.反比例函数的图象是____________.

1.2反比例函数的图象与性质

（2）判断点A（-2，-4）， B（3，5）是否在这个
函数的图象上；
解：把点A， B
的坐标分别代入
y
8
，
x
可知点A 的坐标满足函数表达式，点B 的坐标
不满足函数表达式，所以点A 在这个函数的图
象上，点B 不在这个函数的图象上.
精品课件
例1.已知反比例函数y k x
（2，4）.
的图象经过点P
x (2) 当 k>0 时，两支曲线分别位于第_一__、_三__象限，在
每个象限内 y 随 x 值的增大而减小
.
(3) 当 k<0 时，两支曲线分别位于第__二_、_四__象限，在
每个象限内 y 随 x 值的增大而增大
.
(4)反比例函数图象与坐标轴不相交.
(5)反比例函数y= —xk (k≠0) 的图象关于直角坐标系的原点
又有当 y一定时，x互为相反数，因此它们也关于 y 轴对称.
精品课件
小结与复习
解析式
y k (k 0) x
图象
y k (k 0) x
象限增减性
一三象限
二四象限
在每个象限内，在每个象限内，
y随x的增大而 y随x的增大而
减小
增大
精品课件
做一做
习题一：简单图像性质
1.反比例函数 y 5 它的图象经过二四3 x
3.为什么反比例函数
y k (k 0) x
的图象关于原点对称？
由解析式可知：坐标点（x，y）和坐标点（y，x）都在函数的图象上，因此它关于原点对称.
精品课件
说一说
从反比例函数的解析式中再分析
4. 反比例函数
y k (k 0) x

反比例函数的图象和性质(2)课件人教版数学九年级下册

o
x
-1
A
2、下列各点在双曲线
y2 x
上的是（ B
）
A、（ 4 ， 3 ） 32
B、（ 4 ， 3 ） 32
C、（ 3 ， 4 ） 43
D、（ 3 ， 8 ） 43
例2：如图是反比例函数 y m 5 的图象一支，
根据图象回答下列问题：
x
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是
什么？
探究1.
如图,点P是反比例函数 y 图2 象上的一 x
点,PD⊥x轴于D.求△POD的面积
1
S△POD
=
2
OD·PD
=
1 m n
2
=
1k 2
y
P (m,n)
oD
x
如图,点P是反比例函数 y 图2象上的一 x
点,PA⊥x轴于A, PB⊥y轴于B.则长方形
PAOB的面积为 2. S△POD =OD·PD
y
o SS1 1A
SS2
B
x
C2 D
8.如图,在y 1 (x 0)的图像上有三点A, B,C, x
经过三点分别向x轴引垂线,交x轴于A1, B1,C1三点,
边结OA,OB,OC,记OAA1, OBB1, OCC1的
面积分别为S1, S2, S3,则有 _A_ .
y
A.S1 = S2 = S3
B. S1 < S2 < S3
小测：
1.反比例函数的图象是__双__曲__线______.
2.反比例函数
y2 x
的图象在第__二__、__四___象限内，
在每一象限内，y 随x 的增大而______增__大_.
3.点(m,2) 在双曲线

反比例函数图象的性质

当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限。
反比例函数图象的变化规律
随着x的增大，y值逐渐减小或增大，取决于k的符号。
当k>0时，在第一象限和第三象限内，随着x的增大，y值逐渐减小；在第二象限和第四象限内，
随着x的增大，y值逐渐增大。
当k<0时，在第一象限和第三象限内，随着x的增大，y值逐渐增大；在第二象限和第四象限内，随着x的增大，y值逐渐减小。
在物理中的应用
1 2 3
电学
在电路分析中，反比例函数可以用于描述电阻、电容和电感之间的关系，如RC电路和RL电路等。
光学
在光学中，反比例函数可以用于描述光的干涉和衍射现象，如在计算光束的衍射角和干涉条纹间距时需要考虑反比例关系。
热力学
在热力学中，反比例函数可以用于描述气体分子之间的相互作用和分布规律，如理想气体状态方程和麦克斯韦分布等。
02 反比例函数的图象
反比例函数图象的形状
反比例函数图象是双曲线，位于两个象限内。
反比例函数图象关于原点对称。
当k>0时，图象在第一、三象限；当k<0 时，图象在第二、四象限。
反比例函数图象的位置
k的符号决定了反比例函数图象所在的象限。
无论k的取值如何，反比例函数的图象都不会与x轴、y轴相交。
反比例函数的图象是关于原点对称的。
当x增大或减小时，y的值会无限接近于x轴或y轴，但永远不会与之相交。
反比例函数的应用
在物理学、工程学和经济学等领域中，反比例函数有着广泛的应用。
例如，在电学中，电流与电阻的关系可以用反比例函数表示；在经济学中，商品的需求量与其价格之间的关系也可以用反比例函数表示。

1.2.3反比例函数的图象与性质

4 y x 因此，这两个函数表达式分别为 3
和
12 y x
，
它们的图象如图所示.
P
y =12 x
4 y x 3
练一练： M(-2,2). (1)求这个函数的表达式； (2)判断点A(-4,1)，B(1,4)是否在这个函数的图象上； (3)这个函数的图象位于哪些象限？函数值 y随自变量x 的增大如何变化？
探究新知
动脑筋
已知反比例函数 y = k x 的图象经过点P (2，4). (1) 求k 的值，并写出该函数的表达式； (2) 判断点A(-2，-4)，B(3，5)是否在这个函数的图象上；
(3) 这个函数的图象位于哪些象限？在每个象
限内，函数值y 随自变量x 的增大如何变化？
k y = (1) 解因为反比例函数 x 的图象经过点 P(2，4)，即点P 的坐标满足这一函数表达式， k 4= 因而 2 ，解得 k = 8. 8 y = 因此，这个反比例函数的表达式为 x
，可知点A的坐标满足函数表达式，点B的坐标不满足函数表达式，所以点A 在这个函数的图象上，点B 不在这个函数的图象上. 因为k＞0，所以这个反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，函数值y随自变量 x的增大而减小.
8 y = (2) 把点A，B 的坐标分别代入 x
范例分析例2 的图象.根据图象，回答下列问题： (1) k 的取值范围是k＞0 还是k ＜ 0？说明理由； (2) 如果点A(-3，y1 )，B(-2 ，y2 )是该函数图象上的两点，试比较 y1 ，y2 的大小.
解
k 1、已知反比例函数 y x
的图象经过点
(1) 根据题意
k 2 = 得 -2
解得 k=-4. 4 因此，这个反比例函数的表达式为y .

26.1.2反比例函数的图像和性质

03
反比例函数性质分析
单调性判断方法
01
02
03
求导判断法
通过对反比例函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性。
图像观察法
通过观察反比例函数的图像，可以直接判断出函数在不同区间的单调性。
特殊点比较法
选取反比例函数上的特殊点，比较它们的函数值大小，从而判断函数的单调性。
奇偶性讨论
奇函数性质
02
反比例函数图像特点
图像形状及位置
01
反比例函数的图像是一条双曲线，该曲线以原点为中心，分布在两个象限内。
02
当$k > 0$时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当$k < 0$ 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。
渐近线与坐标轴关系
反比例函数的图像无限接近于坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。
的关系等。
工程学
在工程学中，复合反比例函数可用于描述某些物理量之间的关系，如电阻、电容和电感等。
数学建模
在数学建模中，复合反比例函数可作为一种数学模型来描述实际问题，如人口增长、资源消耗等。
THANKS
感谢观看
在第一、三象限内，双曲线无限接近于$x$轴和$y$轴的正半轴；在第二、四象限内，双曲线无限接近于$x$轴和 $y$轴的负半轴。
图像对称性
反比例函数的图像关于原点对称，即如果点$(x, y)$在双曲线上，则点$(-x, -y)$ 也在双曲线上。
此外，反比例函数的图像还关于直线$y = x$和$y = -x$对称。
04
反比例函数在实际问题中应用举例
面积问题求解
矩形面积
当矩形的长度和宽度成反比例关系时，可以通过反比例函数求解其面积。

反比例函数的图像和性质(2)

拓展提升
1、如图1，P是反比例函数 y 5 图象上的一
x
点，则矩形PAOB的面积为 5 .
2、如图2,M是反比例函数 y 8
的一点,则三角形POA的面积为 4
x
y
y
图象上 .
B
x
o
AP
P
oA
x
拓展提升
3、已知反比例函数
y

1 x 的图象上有两点
A（x1，y1)，B（x2，y2），且x1＜x2，那么下列
则S矩形OAPB=OA.AP=|m|.|n|= |k| .
y
y
B
P(m,n)
oA
x
B
P(m,n)
oA
x
活动四
面积性质（二）
设 P (m ,n )是双曲线
y = k (k ≠ 0)上任意一点
x
(2)过 P 作 x轴的垂线 ,垂足为 A , 连结OP 则
SD OAP
=1 2
OA
AP = 1 |m |·|n |= 1 k
结论中，正确的是（ D ）
• A. y1 <y2 B. y1 >y2 C. y1 =y2 • D. y1 与y2之间的大小关系不能确定
双曲线二、四象限
随x的增大而增大
不相交
重要结论
反比例函数y= k (k为常数，k≠0)的图
x
象是双曲线．当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象
限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k＜0时，双曲线的两支分别在第二、四象
限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
应用新知
1.函数 y =
5 x
活动三
点（-2，y1）（-1，y2）（1，y3）在反比例

6.2反比例函数的图像和性质2

在每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大。
正、反比例函数的图象与性质的比较：
正比例函数
解析式
图象
反比例函数
k y ( k 0) x
双曲线 k＞0，一、三象限； k＜0，二、四象限．
y kx ( k 0)
直线
k＞0，一、三象限； k＜0，二、四象限．
位置
增减性
k＞0，y随x的增大而增大； k＞0，在每个象限y随x的增大而随x的增大而增大．
LQ @ LQZX
y
A（1，4）
K
o
x
反比例函数的图象与性质：
反比例函数
k y= x
（k > 0）
图象
图象的位置
图象的对称性
增减性
y
0
x
第一、两个分三象支关于原限内点成中心对称
在每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小。
k y= x
（k < 0）
y 0 x
两个分第二、支关于原四象点成中心限内对称
6.2
反比例函数的图象及性质
（2）
反比例函数的性质
1.当k>0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内； 2.当k<0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内。 3.图象的两个分支关于直角坐标系的原点成中心对称。
双曲线的两个分支无限接近x轴和y 轴，但永远不会与x轴和y轴相交.
练习
k 1．反比例函数 y ( k 0 ) 的图象经过点（－1， 2），那 x 2
A
C
D
图1
O
x
LQ @ LQZX
A
LQ @ LQZX

反比例函数的图像和性质

17.4反比例函数的图象和性质（2）
曾家河小学
刘明虎
复习回顾
反比例函数
y=
k k 0 x
的图象和性质
形状由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线;
当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内; 位置当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内; 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小; 增减性当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
例2：用待定系数法求函数的表达式
精典例题 1、函数y=kx-k 与 y k k 0 在同一条直角坐标系中
x
的图象可能是
y
o x
D
y
o
:
y
x o x
y
o x
(A) (C)
(B) (D)
精典例题 2、已知点 A(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3) 都在反 k y= k 0 y1、y2与y3的大小关比例函数的图像上，则 x 系(从大到小)为？ y
填一填函数解析式
图象形状
位置
正比例函数
y=kx ( k≠0 ) 直线一三象限
反比例函数
k y = x ( k≠0 )
双曲线一三象限
在每个象限，y随x 的增大而减小
K>0
增减 y随x的增大而增大性位置
二四象限
二四象限
在每个象限，y随 x的增大而增大
K<0
增 y随x的增大而减小减性
-1 y3
-2
要善于用“数形结合”的 A 思想方法来解决函数问题。
B
o y1 y2
C 4

x

反比例函数概念与性质

反比例函数概念与性质反比例函数的概念与性质一、反比例函数的概念1.反比例函数可以写成y=k/x的形式，其中自变量x的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数。

2.反比例函数也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。

3.反比例函数的自变量不能为0，故函数图象与x轴、y轴无交点。

二、反比例函数的图象1.在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）。

2.反比例函数的图象是双曲线。

随着k的增大，图象的弯曲度越小，曲线越平直；随着k的减小，图象的弯曲度越大。

3.反比例函数的图象与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。

当k>0时，图象的两支分别位于第一、第三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两支分别位于第二、第四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。

4.反比例函数的图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在另一支上。

5.反比例函数的k值的几何意义是：如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B 点，则矩形PBOA的面积是k；如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥XXX的延长线于C，则三角形PQC的面积也是k。

6.反比例函数的增减性需要将两个分支分别讨论，不能一概而论。

7.直线y=k与双曲线y=k/x的关系：当k>0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称；当k=0时，两图象有一个公共点O；当k<0时，两图象没有交点。

8.反比例函数与一次函数的联系：当k=0时，反比例函数变为一次函数y=0.求反比例函数的解析式的方法主要有三种：待定系数法、反比例函数k的几何意义、实际问题。

四、反比例函数解析式的确定一、反比例函数的定义：反比例函数是指函数表达式为y=k/x的函数，其中k为非零常数。

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第1页共3页
反比例函数表达式、图象、性
质（二）
一、单选题(共11道，每道8分)

1.点A在双曲线上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y
轴于点C，且△ABC的面积为4，
则k=( )

A.2 B.4
C.8 D.16

2.下列选项中，阴影部分面积最小的是( )

A.B.
C.D.
3.如图，直线与反比例函数，
的图象分别交于B，C两点，与x轴交于点D．若A为y
轴上的任意一点，则△ABC的面积为( )

A.3 B.
C.D.不能确定

4.如图，直线y=mx与双曲线交于A，B两
点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM．若，
则k的值是( )

A.1 B.m-1
C.2 D.m

5.如图，点A是反比例函数的图象上任意
一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，交y
轴于点E，以AB为边作，其中C，D在x轴上，
则为( )
第2页共3页

A.2 B.3
C.4 D.5

6.双曲线和在第一象限内的图象如
图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B

两点，交x轴于点C，连接OA，OB，若，则
k=( )

A.3 B.4
C.5 D.6

7.如图，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，若，则k=( ) A.2 B.4 C.7 D.10 8.如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，延长AO交该图象于点B， AC⊥x轴，BC⊥y轴，若Rt△ACB的面积为24，则k=( ) A.12 B.24 C.-12 D.-24 9.双曲线，在第一象限的图象如图，，，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于C，在y轴的负半轴上取一点D，使OD=OC，
连接AD，BD，则( )

A.1 B.2 C.4 D.6
10.如图是反比例函数和在第一
象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A，B

两点，交y轴于点C，若，则的值是( )
第3页共3页

A.2 B.4
C.6 D.8

11.如图，在平面直角坐标系中，点B是x轴负半轴上的

一个定点，点A是双曲线上的一个动点，
当点A的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会( )

A.逐渐减小 B.不变 C.逐渐增大 D.先增大后减小