2015届北京市石景山区九年级上期末考试数学试题及答案

北京市平谷区2015届九年级上期末考试数学试题及答案初三数学2018年1月【一】选择题〔此题共32分，每题4分〕以下各小题均有4个选项，其中只有一个选项是正确旳. 1、在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，那么sin30︒旳值是 A 、12B 、2C 、2D 、32、将抛物线2y x =向下平移3个单位，那么得到旳抛物线【解析】式为A 、23y x =+B 、23y x =-C 、()23y x =+D 、()23y x =-3、在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，那么sin A 是 A 、35B 、45C 、34D 、434、如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠A =50°，那么∠BOC 旳度数为 A 、50°B 、25° C 、75° D 、100°5、在一个不透明旳口袋中装有5个完全相同旳小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号为偶数旳概率为 A 、15B 、25C 、35D 、456、如图，在△ABC 中，BC =4，以点A 为圆心，2为半径旳⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，且∠EAF =80°，那么图中阴影部 分旳面积为 A 、4 B 、89πC 、849π-D 、889π-7、假设关于x 旳二次函数221y kx x =+-旳图象与x 轴仅有一个公共点，那么k 旳取值范围是A 、0k =B 、1k =-C 、1k >-D 、01k k ≠=-且8、如图反映旳过程是：矩形ABCD 中，动点P 从点A 动身，依次沿对角线AC 、边CD 、边DA 运动至点A 停止，设点P旳运动路程为x，ABP S y =△、那么矩形ABCD 旳周长是A 、分〕(P )9、在函数y =x 旳取值范围是、10、如图，路灯距离地面8米，身高1.6米旳小明站在距离灯旳底部〔点O 〕20米旳A 处，那么小明旳影子AM 长为米、 11、请写出一条通过原点旳抛物线【解析】式、 12、在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数旳点叫做整点、设坐标轴旳单位长度为1cm ，整点P 从原点O 动身，作向上或向右运动，速度为1cm/s 、当整点P 从原点动身1秒时，可到达整点〔1,0〕或〔0,1〕；当整点P 从原点动身2秒时，可到达整点〔2,0〕、〔0,2〕或；当整点P 从原点动身4秒时，能够得到旳整点旳个数为个、当整点P 从原点动身n 秒时，可到达整点〔x ,y 〕，那么x 、y 和n 旳关系为、 【三】解答题〔此题共30分，每题5分〕 13、：如图，D 是AC 上一点，DE ∥AB ，∠B =∠DAE 、〔1〕求证：△ABC ∽△DAE ；〔2〕假设AB =8，AD =6，AE =4，求BC 旳长、14、计算：()0113tan 30sin 602()2-︒+︒--+、15、如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路AD 旳距离，在A测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得AC =米，求小岛B 到公路AD 旳距离、16栽培一种在自然光照且温度为18℃旳条件下生长最快旳新品种、如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y (℃)随时刻x (小时)变化旳函数图象，其中BC 段是双曲线xky=旳一部分、请依照图中信息解答以下问题：〔1〕恒温系统在这天保持大棚内温度18℃旳时刻有小时； 〔2〕求k 旳值；〔3〕当x =16时，大棚内旳温度约为度、17AB ⊥CD 〔〔18〔〔D ，求△【四】解答题〔此题共20分，每题5分〕19、如图，点P 是菱形ABCD 旳对角线BD 延长CP 交AD 于E ，交BA 旳延长线于F 、 〔1〕求证：∠DCP =∠DAP ； 〔2〕假设AB =2，DP :PB =1:2，且PA ⊥BF ，求对角线20、如图，BC 为⊙O 旳直径，以BC 点D ，过点D 作⊙O 旳切线DE 交AC 于点〔1〕求证：AE =CE ； 〔2〕假设AD =4，AE DG 旳长、16题图21、如图，一次函数旳图象与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，且与反比例函数旳图象在第二象限交于点C 、假如点A 旳坐标为()4,0，OA =2OB ，点B 是AC 旳中点、 〔1〕求点C 旳坐标；〔2〕求一次函数和反比例函数旳【解析】式、 22、阅读下面材料：如图1，在△ABC 中，D 是BC 边上旳点〔不与点B 、C 重合〕，连结AD 、〔1〕当点D 是BC 边上旳中点时，S △ABD ：S △ABC =；〔2〕如图2，在△ABC 中，点O 是线段AD 上一点〔不与点A 、D 重合〕，且AD =nOD ，连结BO 、CO ，求S △BOC ：S △ABC 旳值〔用含n 旳代数式表示〕； 〔3〕如图3，O 是线段AD 上一点〔不与点A 、D 重合〕，连结BO 并延长交AC 于点F ，连结CO 并延长交AB 于点E ，补全图形并直截了当写出OD OE OFAD CE BF++旳值、【五】解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分〕23、我们将使得函数值为零旳自变量旳值称为函数旳零点值，现在旳点称为函数旳零点、例如，关于函数1y x =-，令0y =，可得1x =，我们就说1是函数1y x =-旳零点值，点()1,0是函数1y x =-旳零点、二次函数2(41)33y kx k x k =-+++、〔1〕假设函数有两个不重合旳零点时，求k 旳取值范围； 〔2〕假设函数旳两个零点差不多上整数点，求整数k 旳值；〔3〕当k <0时，在〔2〕旳条件下，函数旳两个零点分别是点A ，B 〔点A 在点B 旳左侧〕，将二次函数旳图象在点A ，B 间旳部分〔含点A 和点B 〕向左平移(0)n n >个单位后得到旳图象记为G ，同时将直线43y kx =-+向上平移n 个单位、请结合图象回答：当平移后旳直线与图象G 有公共点时，求n 旳取值范围、24、平面直角坐标系中两定点()1,0A -、()4,0B ，抛物线()220y ax bx a =+-≠过点A ，B ，与y 交于C 点，点P 〔m ，n 〕为抛物线上一点、 〔1〕求抛物线旳【解析】式和点C 旳坐标； 〔2〕当∠APB 为钝角时，求m 旳取值范围； 〔3〕当∠PAB =∠ABC 时，求点P 旳坐标、 25、〔1〕如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE 、①∠AEB 旳度数为；②线段AD ，BE 之间旳数量关系为；〔2〕如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上旳高，连接BE ，请推断∠AEB 旳度数及线段CM ，AE ，BE之间旳数量关系，并说明理由；图 3图 2 图1〔3〕如图3，在正方形ABCD中，CD，假设点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请求出点A到BP旳距离、平谷区2018～2018学年度第一学期末考试试卷【答案】及评分标准初三数学2018年1月【一】选择题〔此题共32分，每题4分〕 【二】填空题〔此题共16分，每题4分〕 9、12x ≥；10、5；11、【答案】不唯一，如：2y x x =+；12、〔1,1〕；……………………………………………………………………………………1分5；………………………………………………………………………………………2分 x +y =n ………………………………………………………………………………………4分 【三】解答题〔此题共30分，每题5分〕 13、〔1〕证明：∵DE ∥AB ， ∴∠ADE =∠CAB 、……………………………………1分 ∵∠B =∠DAE ，∴△ABC ∽△DAE 、…………………………………3分〔2〕∴BC ABAE AD=、………………………………………4分 ∵AB =8，AD =6，AE =4，∴846BC =、 ∴163BC =、…………………………………………5分14、解：()0113tan 30sin 602()2-︒+︒--+12=-+……………………………………………………………………………4分1=………………………………………………………………………………………5分15、解：过B 作BE ⊥AD 于E∵30BAD ∠=°，60BCE ∠=°，∴30ABC ∠=°、 (1)∴30ABC BAD ∠=∠=°、 (2)∴BC =AC =50〔米〕、…………………………………3在Rt △BCE 中，sin 2BD BCD BC ∠==、 ∴BE =〔米〕、………………………………………………………………………4分 答：小岛B 到公路AD 旳距离是5分 16、解：〔1〕恒温系统在这天保持大棚温度18℃旳时刻为10小时、………………1分〔2〕∵点B (12，18)在双曲线xky =上，…………………………………………2分 ∴18=12k ， ∴k=216.………………………………………………………………………3分 〔3〕当x =16时，5.1316216==y ，…………………………………………………4分 因此当x =16时，大棚内旳温度约为13.5度、……………………………………5分 17、证明：(1)∵AB 为⊙O 旳直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于E ，∴CE =ED ，CB DB =.………………………1分 ∴∠BCD =∠BAC. ∵OA =OC ,∴∠OAC =∠OCA .∴∠AC O=∠BCD.…………………………2分 (2)∵CE =ED =4，……………………………3分 方法一：在Rt ∆BCE中，5BC ==.∵AB 为⊙O 旳直径， ∴∠ACB=∠BEC=90°. ∵∠B=∠B ，∴△CBE ∽△ABC 、………………………………………………………………4分∴BC ABBE BC=、 ∴2523AB R ==.………………………………………………………………5分方法二：设⊙O 旳半径为R cm ，那么OE =OB -EB =R-3 在Rt ∆CE O 中，由勾股定理可得OC 2=O E 2+CE 2即R 2=(R -3)2+42解得R =256………………………………………………………………………4分 ∴2R =2⨯256=253………………………………………………………………5分答：⊙O 旳直径为253、18、解：〔1〕由题意知()1,0A -，()4C -1，，设抛物线旳【解析】式为()214y a x =--、………………把()1,0A -代入，解得a =1、……………………………2分∴()221423y x x x =--=--、………………………3分〔2〕∵对称轴x =1，∴点D 旳坐标为()3,0、………………………………………………………………………4分 ∴6ODC S ∆=、…………………………………………………………………………………5分 【四】解答题〔此题共20分，每题5分〕 19、〔1〕证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD =AD ，∠CDP =∠ADP 、 ∵DP =DP ，∴△CDP ≌△ADP 、……………………………………………………………………………1分 ∴∠DCP =∠DAP 、……………………………………………………………………………2分 〔2〕解：∵CD ∥BA ， ∴△CDP ∽△FPB 、 ∴12CD DP BF BP ==、……………………………………3分 ∵CD =BA ， ∴BA =AF 、 ∵PA ⊥BF ，∴PB =PF 、………………………………………………4分 ∴∠PBA =∠PFA 、 ∴∠PCD =∠PDC 、 ∴PD =PC =PA 、 ∴BD =BP +PD 、∵12DP BP =， ∴12PA BP =、 在Rt △ABP 中，30ABP ∠=︒， ∵AB =2，∴AP =BP =∴BD =…………………………………………………………………………………5分 20、〔1〕证明：连结CD ，∵BC 为⊙O 旳直径，∠ACB =90°， ∴AC 是⊙O 旳切线. 又∵DE 与⊙O 相切，∴ED =EC .……………………………1分 ∴∠1=∠3.∵BC 为⊙O 旳直径， ∴∠BDC =90°.∵∠1+∠2=∠3+∠A =90°, ∴∠A =∠2. ∴ED =EA .∴AE=CE.………………………………………………………………………………………2分〔2〕解：∵AE∴AC=2AE=在Rt△ACD中，2CD==.…………………………………………………3分∴sin A==∵∠3+∠4=∠3+∠A=90°,∴∠A=∠4.∴sin4sin A∠==∴DF=…………………………………………………………………………………4分∵DG⊥BC于点F，∴DG=2DF、……………………………………………………………………………5分21、解：⑴作CD⊥x轴于D，∴CD∥BO、∵OA=2OB，∴OB=2、∴()0,2B∵点B是AC旳中点，∴O是AD∴OD=OA=4，CD=2OB=4、∴点C旳坐标为()4,4-⑵设反比例函数旳【解析】式为(ky kx=∴4416k=-⨯=-、∴所求反比例函数旳【解析】式为16yx=-、……………………………………………………4分设一次函数为()0y ax b a=+≠，∵A〔4,0〕，C()4,4-，∴0444a b a b =+⎧⎨=-+⎩解得：122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩、 ∴所求一次函数旳【解析】式为122y x =-+、…………………………………………………5分 22、解：〔1〕S △ABD ：S △ABC =1：2；………………………………………………………1分 〔2〕如图，作OM ⊥BC 于M ，作AN ⊥BC 于N ， ∴OM ∥AN 、∴△OMD ∽△AND 、……………………………………2分 ∴OD OMAD AN=、 ∵AD =nOD ；∴1OD AD n= ∵1212BOC ABC BC OM S OM S AN BC AN ∆∆⋅==⋅， ∴1BOC ABC S OD S AD n∆∆==、……………………………………………………………………3分 〔3〕…………………………………………………………………4分 1OD OE OFAD CE BF++=、………………………………………………………………5分【五】解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分〕 23、解:〔1〕证明：()()241433k k k ∆=+-+()221k =-.……………………………………………………………………………………1分∵二次函数有两个不重合旳零点 ∴1210.2k k -≠≠即…………………………………………………………………………2分 ∵0k ≠ ∴当0k ≠且12k ≠时，二次函数有两个不重合旳零点、…………………………………3分 〔2〕解方程得：x =,∴3x =或11x k=+、…………………………………………………………………………4分 ∵函数旳两个零点差不多上整数，k 是整数， ∴1k是整数、 ∴1k =±、……………………………………………………………………………………5分〔3〕∵k <0， ∴1k =-、∴23y x x =-+，43y x =+、∵函数旳两个零点分别是A ，B 〔点A 在点B 旳左侧〕， ∴()0,0A ，()3,0B 、∴平移后旳点为()',0A n -，()'3,0B n -、 平移后旳【解析】式为43y x n =++、∴430n n -++=解得1n =，………………………………………………………6分()2330n n -++=解得5n =、∴15n ≤≤、……………………………………………………………………………………7分 24、解：〔1〕∵抛物线()220y ax bx a =+-≠过点A ，B ，∴2016420a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线旳【解析】式为：213222y x x =-- (1)分∴C ()0,2-、……………………………………………………………………………………2分 〔2〕方法一：∵12AO OC OC OB == ∴∠ACO =∠OBC 、∴∠ACO +∠OCB =90°，即∠ACB =90°，∴()0,2P -、…………………………………………………………………………………3分 由抛物线旳对称性可知，()'3,2P -∴当﹣1＜m ＜0或3＜m ＜4时，∠APB 为钝角、…………………………………………5分 方法二：以AB 为直径作圆M ，与y 轴交于点P .那么抛物线在圆内旳部分，能是∠APB 为钝角，∴M 〔32，0〕，⊙M在Rt △OMP 中，∴OP =∴()0,2P -以下同方法一.(3)在Rt △OBC 中，tan 第一种情况：过A 作AP ∴∠PAB =∠ABC .过P 作PQ ⊥AB 于Q ， ∴tan tan PAB ∠=∠∵P 〔m ，n 〕, ∴PQ=n ，AQ=m +1∴()112n m =+. ∴(21312222m m --=解得0, 5.m m ==∴()5,3P 第二种情况：方法一：点P 关于x 轴旳对称点旳坐标为()''5,3P - ∴直线AP ″旳【解析】式为1122y x =-- ∴2132221122y x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得121213,02x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩∴()'3,2P -方法二：假设∠P ’AB =∠过P ’作P ’Q ’⊥AB 于Q ∴tan 'tan P AB ∠=∠∵P 〔m ，n 〕,∴P ’Q ’=﹣n ，AQ ’=m +1∴()112n m =-+. ∴()213121222m m m --=-+. 解得'0,' 3.m m ==∴()'3,2P -………………………………………7分 ∴()()5,33,2P -或25、解：〔1〕①60°、…………………………………………………………………………1分 ②AD=BE 、……………………………………………………………………………………2分 〔2〕∠AEB =90°，AE =BE +2CM 、 理由：如图2，∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形， ∴CA=CB ，CD=CE ，∠ACB =∠DCE =90°、 ∴∠ACD =∠BCE 、 在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE 、……………………………………………………………………………3分 ∴AD =BE ，∠ADC =∠BEC 、 ∵△DCE 为等腰直角三角形， ∴∠CDE =∠CED =45°、∵点A ，D ，E 在同一直线上， ∴∠ADC =135°、 ∴∠BEC =135°、∴∠AEB =∠BEC ﹣∠CED =90°、……………………………………………………………4分 ∵CD=CE ，CM ⊥DE ， ∴DM=ME 、∵∠DCE =90°， ∴DM=ME=CM 、∴AE =AD +DE =BE +2CM 、……………………………………………………………………5分 〔3〕方法一：∵CD∴BD =2、第一种情况：当点P 在BD 上方时 ∵PD =1，∠BPD =90° ∴∠PBD =30°、∴∠PBA =∠PDA =15°、 在BP 上截取BE=PD ， ∴△ABE ≌△ADP 、∴AE=AP，∠PAD=∠EAB∵∠BAE+∠EAD=90°，∴∠PAD+∠EAD=90°、即∠EAP=90°、…………………………………6分过A作AH⊥BP于H，由〔2〕可知，BP=DP+2AH.∴AH=12.…………………………………7分第二种情况：当点P在BD下方时同理可得：BP’=2AH’﹣P’D、∴AH=12.…………………………………………………………………………………8分方法二：∵PD=1，∴点P在以点D为圆心，1为半径旳圆上、∵∠BPD=90°，∴点P在以BD为直径旳圆上、∴点P是这两圆旳交点、①当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP于H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①、∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°，CD，∴BD=2、∵DP=1，∴BP∵A、P、D、B四点共圆，∴∠APB=∠ADB=45°、∴△PAE是等腰直角三角形、…………………………………………………………………6分又∵△BAD是等腰直角三角形，AH⊥BP，∴由〔2〕中旳结论可得：BP=2AH+PD、∴AH=12、…………………………………7分②当点P在如图3②所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP于H，过点A作AE⊥AP，交PB旳延长线于点E，如图3②、同理可得：BP=2AH﹣PD、∴AH=12、……………………………………8分综上所述：点A到BP旳距离为12或12、E'以上【答案】仅供参考，其它解法按相应步骤给分！。

初三数学期末复习资料石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷第Ⅰ卷（共32分）一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上．1．若两个相似三角形的相似比为1∶4，则它们的面积比为A ．1∶2B ．2:1C ．1∶4D ．1∶16 2．已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC =4，则tan B 的值是A ．43 B ．34 C ．35D3．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ．若AB =4，OC =2， 则半径OB 的长为A ．4B. 22 C ． 52 D ．54．已知点（x ，y ）是反比例函数6yx=（x >0）图象上的一点，则当0<x <2时，下列关系成立的是A ．3=yB ．3<yC ．3>yD ．不能确定5．分别写有数字1，2，2，3，5的五张卡片，除数字不同外其它均相同，从中任意抽取一张，那么抽到无理数的概率是 A ．51B ．52C ．53 D ．54 6．在同一平面直角坐标系内，将函数245y x x =++的图象沿x 轴方向向右平移3个单位长度后得到的图象顶点坐标是 A ．(2,4)-B ．(2,4)C ．(1,1)-D ．(1,1)7．如图，AB 为⊙O 的直径，EF 切⊙O 于点D ，过点B 作BH ⊥EF 于点H ，交⊙O 于点C ，连接BD ．若∠ABH =50°，则∠ABD 的度数是A ．50°B ．40°C ．30°D ．25°第7题 第8题8．如图，矩形ABCD 中，BC =4，AB =3，E 为边AD 上一点，DE =1，动点P 、Q 同时从点C 出发，点P 沿CB 运动到点B 时停止，点Q 沿折线CD —DE —EB 运动到点B 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P 、Q 同时出发t 秒时，△CPQ 的面积为y cm 2．则y 与t 的函数关系图象大致是第3题BACB A第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）9．已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是 ． 10．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD =2BD第10题11．如图，⊙M 的圆心为M （－2,2），半径为2，直线AB 过点A （0，-2）, B （2,0）,则⊙M 关于y 轴对称的⊙'M 与直线AB 的位置关系是 ．12．已知，在x 轴上有两点A （a ,0），B （b , 0）（其中b <a <0），分别过点A ，点B 作x 轴的垂线，交抛物线23x y =于点C ，点D ．直线OC 交直线BD 于点E ，直线OD 交直线AC 于点F ．若将点E ，点F 的纵坐标分别记为E y ,F y ，则E y F y （用“>”、 “<” 或“=”连接）． 三、解答题（本题共8道小题，每小题5分，共40分） 13．计算：()0345tan 30cos 212π--︒+︒+．14．已知：抛物线的解析式为)1)(4(2-+-=x x y ．（1）求抛物线与y 轴的交点坐标；（2）写出这个抛物线的对称轴方程； （3）求出抛物线在x 轴上方的部分所对应的自变量x 的取值范围．15．已知：如图，在△ABC 中，30=∠ABC ，105=∠BAC ，4=AB cm ，求AC 的长．16．现有4根小木棒，长度分别为：2，3，4，5 (单位：cm)，从中任意取出3根．（1）列出所选的3根小木棒的所有可能情况；（2）如果用这3根小木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率．17．如图，⊙C 经过坐标原点O ，并与两坐标轴相交于A 、D 两点，已知∠点D 的坐标为)2,0(，求点A 的坐标及圆心C 的坐标．18．已知：如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =的图象交于)3,1(-A 、),3(n B 两点，连接OA 、OB ．（1）求两个函数的解析式； （2）求△ABO 的面积．ED C B A19．我们知道：15角可以看做是60角与45角的差．请借助有一个内角是60的直角三角形和等腰直角三角形构造出一个图形并借助它求出15sin 的值 (要求画出构造的图形) ．20．已知：△ABC 中，102=AB ，4=AC ，26=BC ．（1）如图1，点M 为AC 的中点，在线段BC 上取点N ，使△CMN 与△ABC 相似，求线段MN 的长； （2）如图2,，是由81个边长为1的小正方形组成的9×9正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，试直接写出在所给的网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并在图2中画出其中的一个（不需证明）．四、解答题（本题共3道小题，每小题6分，共18分）21．某种产品的年产量不超过1 000 t ，该产品的年产量与费用之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图甲）；该产品的年销量与销售单价之间的函数图象是线段（如图乙），若生产的产品都能在当年销售完，问该产品年产量为多少吨时，所获得的毛利润最大．（毛利润=销售额-费用）2c bx x y ++-=2过A 、B 两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x 轴的直线t x =，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？图1 图2 t ）t ）D23．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，10==AC AB ，12=BC ，P 是劣弧BC的中点，过点P 作⊙O的切线交AB 延长线于点D ． （1）求证：BC DP //； （2）求DP 的长．五、解答题（本题共2道小题，每小题7分，共14分） 24．已知二次函数32++=bx ax y 图象的对称轴为直线1=x ． （1）用含a 的代数式表示b ；（2）若一次函数5+=kx y 的图象经过点)1,4(A 及这个二次函数图象的顶点，求二次函数32++=bx ax y 的解析式；（3）在（2）的条件下，若点)2,(t t P 在二次函数32++=bx ax y 图象上，则点P 叫做图象上的2倍点，求出这个二次函数图象上的所有2倍点的坐标．25．已知：抛物线1C ：622-+-=bx x y 与抛物线2C 关于原点对称，抛物线1C 与x 轴分别交于A （1,0），B （m,0）,顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ． （1）求m 的值；（2）求抛物线2C 的解析式；（3）若抛物线1C 与抛物线2C 同时以每秒1个单位的速度沿x 轴方向分别向左、向右运动，此时记A ，B ，C ，D ，M ，N 在某一时刻的新位置分别为'''''',,,,,N M D C B A ，当点'A 与点'D 重合时运动停止．在运动过程中，四边形''''N C M B 能否形成矩形？若能，求出此时运动时间t （秒）的值，若不能，说明理由．DCBA石景山区2012-2013学年度第一学期期末考试试卷初三数学参考答案阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）9．6； 10．9； 11．相交； 12．=． 三、解答题（本题共8道小题，每小题5分，共40分） 13.解：()0345tan 30cos 212π--︒+︒+.=1123232-+⨯+ ……………………4分 =33. ……………………5分 14.解：（1）令0=x 得8=y ，所以抛物线与y 轴的交点坐标为（0,8）；………1分（2）令0=y 得1=x 或4-=x ，所以对称轴方程为23-=x ； ………3分 （3）根据图象可知：抛物线在x 轴上方的部分所对应的自变量x 的取值范.14<<-x ………5分15．解：过点A 作BC AD ⊥，垂足为D . ………1分在Rt △ADB 中，30=∠ABC ，4=AB2sin ==∴B AB AD ， ………2分 60=∠BAD ………3分又 105=∠BAC 45=∠∴DAC ，………4分 222==∴AD AC . ………5分16.解：（1）所有可能情况：（2,3,4）、（2,3,5）、(2,4,5)、(3,4,5); ………4分 （2）能搭成三角形的情况有3种，所以，能搭成三角形的概率为43. .……5分 17. 解：连结D 、A ，过点C 分别作坐标轴的垂线段CF CE ,.………1分90=∠DOA DA ∴为⊙C 的直径 ………2分 30=∠OBA 30=∠∴ADO 又 2=DO 332=∴OA ∴点A 的坐标为)0,332(， OA CE OD CF //,// 且C 为DA 中点，111N33,1==∴CE CF ∴圆心C 的坐标为)1,33(. ………5分 18. 解:(1) 点)3,1(-A 在xmy =的图象上，∴3-=m 反比例函数的解析式为x y 3-=； ………1分又 点),3(n B 在xy 3-=的图象上，1-=∴n由题意,得⎩⎨⎧-=+-=+133b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==41b k ，∴一次函数的解析式为4-=x y ； ………3分(2)如图，作⊥AC y 轴，x AE ⊥轴，x BD ⊥轴.=--+=∆∆∆OBD OCA AEDB ACOE OAB S S S S S 梯形矩形 4. ………5分19. 解：如图，△ABC 为有一个内角为60的直角三角形，△ADC 为等腰直角三角形，所以15=∠DAB . ………1分作AB DE ⊥，垂足为E . ………2分 设1=DC ,则1=AC ，由勾股定理2=AD ，由∠60=BAC 可得2=AB ，3=BC ………3分 ∴13-=BD在Rt BED ∆中，30=∠B ∴ 213-=DE ………4分 在Rt DEA ∆中，426sin -==∠ADEDDAE∴即42615sin -=. ………5分 20.解： (1)如图：①当N 为BC 中点，AB MN // 此时△CMN ∽△CAB ,有21==AB MN CA CM ∵102=AB∴10=MN ； ………2分 ②当△1CMN ∽△CBA 时，有B CMN ∠=∠1∴AB MN BC CM 1=， 又 26=BC∴352=MN .………4分∴MN 的长为10或352（2）8个，如图（答案不唯一）. ………5分 (8个，两条对角线，每条对角线4个图形)E CBAD四、解答题（本题共3道小题，每小题6分，共18分） 21.解：设年产量（t ）与费用（万元）之间函数解析式为21ax y =，由题意可得a 210001000=，解得：10001=a ，即：100021x y =. ……1分设年销量（t ）与销售单价（万元/t ）之间的函数解析式为b kx y +=2，由题意，可得⎩⎨⎧+⋅=+=.030,100020b k b k 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=301001b k ，即：3010012+-=x y ………3分 设毛利润为y 万元，由题意，可得=y )301001(+-x x 10002x -（其中10000≤≤x ）………4分 =x x 301000112+-，因为10001115000>=x ，所以当10000≤≤x 时，y 随x 的增大而增大， 因而在1000=x 时，图象达到最高点，故当年产量为1000吨时，所获得的毛利润最大. ………………6分 22. 解：（1）易得A （0，2），B （4，0） ……………… 1分将x =0，y =2代入c bx x y ++-=2得2=c ………………2 分 将x =4，y =0，2=c 代入c bx x y ++-=2得到,27=b2272++-=∴x x y ……………… 3分 （2）由题意，易得217(,2),(,2)22M t t N t t t -+-++……………… 4分从而得到t t t t t MN 4)221(22722+-=+--++-=)40(<<t …… 5分当2=t 时，MN 有最大值4 . ………………6 分23.（1）证明：连结APAC AB = ∴弧AB =弧AC又 P 是劣弧BC 的中点，∴弧BP =弧CP ………………1分 ∴弧ABP =弧ACP ， ∴AP 为⊙O 的直径 又 DP 为⊙O 的切线，∴DP AP ⊥ ………………2分 作BC AM ⊥，垂足为M∴M 为BC 中点， ∴AM 必过圆心O ， 即：P O M A ,,,四点共线∴BC DP //. ………………3分（2）在Rt AMB ∆中，BC BM 21==6，8=∴AM ，43tan =∠BAM在Rt OMB ∆中，设r OB =，则由勾股定理得2226)8(+-=r r解得=r 425，225=AP ………………5分在Rt APD ∆中，DAP AP DP ∠⋅=tan =.87543225=⨯ ………………6分五、解答题（本题共2道小题，每小题7分，共14分） 24．解：（1）由题意，得12=-ab……………………………………1分 ∴a b 2-=且0≠a ． ……………………………………2分 （2）由直线5+=kx y 过点A （4,1）∴541+=k ，解得1-=k∴5+-=x y ……………………………………3分 设抛物线顶点坐标为（1，n ），代入5+-=x y 中，可得451=+-=n∴抛物线顶点坐标为（1，4）， ……………………………………4分 代入322+-=ax ax y 中，可得1-=a∴抛物线的解析式为322++-=x x y ．…………………………………５分 （3）∵点P （t ，2t ）在抛物线上∴3222++-=t t t …………………………………6分 解得3±=t∴这个抛物线上的2倍点有两个，分别是（32,3）和（32,3--）．…………………………………7分25．解： （1）∵抛物线622-+-=bx x y 过点 A （1,0）∴620-+-=b …………………………………1分 ∴8=b∴抛物线1C 的解析式为 2)2(268222+--=-+-=x x x y ∴)2,2(M令0=y ，则06822=-+-x x 解这个方程，得3,121==x x∴3=m ……………………………………2分 （2）由题意，抛物线2C 过点C （-3,0）,D （-1,0）,N （-2，-2）∴抛物线2C 的解析式为 6822)2(222++=-+=x x x y …………3分 （3）过点'M 作H M '⊥x 轴于点H ， …………………………………4分 若四边形''''N C M B 是矩形，则''OM OB =由题意，设'M )2,2(t -，'B )0,3(t -，则H )0,2(t - ………………5分 在Rt △OH M '中，2222'''OB OM H M OH ==+∴222)3(2)2(-=+-t t …………………………………6分解得21=t ∴21=t 秒时，四边形''''N C M B 是矩形．………………………………7分。

石景山区2024年初三统一练习数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。

2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。

3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．2x≥10．22x y y+−()()11．212．1x= 13．>14．1−15．2516．2643；三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20－21题，每题6分，第22－23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分）17．解：原式2252=−+−…………………………4分7=．…………………………5分18．解：原不等式组为4178523x xxx−<+−>⎧⎪⎨⎪⎩，①.②解不等式①，得3x>−．…………………………2分解不等式②，得1x>．…………………………4分∴原不等式组的解集为1x>．…………………………5分19．解：原式22923x x xx −=⋅+()()23323x x x xx +−=⋅+()()()232x x −=． ………………………… 3分∵2360x x −−=，∴236x x −=． ………………………… 4分 ∴原式3=． ………………………… 5分20．（1）证明：∵AE 平分BAD ∠，∴12∠=∠． ∵AD BC ∥， ∴32∠=∠． ∴31∠=∠． ∴BE AB =． 又∵AD AB =， ∴BE AD =．∴四边形ABED 是平行四边形． 又∵AD AB =，∴□ABED 是菱形． ………………………… 3分（2）解：在Rt BCD △中，90C ∠=°，cos 43BC BD∠==，∴433BC BD ===．∵四边形ABED 是菱形，∴12AE BD BF BD ⊥==，．在Rt BFE △中，cos 43BF BE∠==， ∴3BE =．∴1EC BC BE =−=． ………………………… 6分CDEBAF431221．解：设这户居民2023年的用水量为x立方米．…………………………1分∵5180900⨯=，518072601801460⨯+⨯−=()，90010401460<<，∴180260x<<．根据题意列方程，得518071801040x⨯+−=()．…………………………4分解这个方程，得200x=． (5)分答：这户居民2023年的用水量为200立方米． (6)分22．解：（1）∵函数0y k x b k=+≠()的图象过点03A(，)和21B−(，)，∴321bk b=−+=⎧⎨⎩，.解得13kb==⎧⎨⎩，.∴该函数的解析式为3y x=+． (2)分∵函数3y x=+的图象与过点05(，)且平行于x轴的直线交于点C，∴点C的纵坐标为5．令5y=，得2x=．∴点C的坐标为25(，)． (3)分（2）512m≤≤．…………………………5分23．解：（1）m的值为178，n的值为179；…………………………2分（2）甲组；…………………………3分（3）177cm176cm，．…………………………5分24．（1）证明：∵AB是O⊙的直径，CD AB⊥，∴AD AC=．又∵CF AC=，∴CF AC AD==．∴AF CD=．∴AF CD=．…………………………3分（2）解：连接OC，连接OF，如图．设O⊙的半径为x．∵AB是O⊙的直径，∴90AFB∠=°．∵CF CA=，∴112AOF∠=∠．又∵122AOF∠=∠，∴12∠=∠．又∵90CEO AFB∠=∠=°，∴CEO△∽AFB△．∴CO OE AB BF=．即262x xx=−．解得5x=．∴3OE OA AE=−=，8BE AB AE=−=．∴4CE=．∵AB是O⊙的直径，CD AB⊥，∴4DE CE==．在Rt DEB△中，BD==．…………………………6分25．解：（1）如图； ……… 2分（2）答案不唯一，如3.3，5.98；……… 4分（3）答案不唯一，如2.3．……… 5分26．解：（1）由题意，得22m t −+=−()，即22m t +=． ………………………… 2分（2）231y y y <<．理由如下：令0y =，得2220x m x m −++=()． ∴122x x m ==，．∴抛物线与x 轴的两个交点为20(，)，0m (，)． ∵抛物线与x 轴的一个交点为00x (，)，其中002x <<， ∴02m <<． ∵22m t +=，∴12t <<．∴21t −<−<−，213t <+<．设点1A t y −(，)关于抛物线的对称轴x t =的对称点为1A n y '(，)． ∵点1A t y −(，)在抛物线上， ∴点1A n y '(，)也在抛物线上． 由n t t t −=−−()，得3n t =． ∴336t <<．∴13t t t <+<．∵抛物线的解析式为222y x m x m =−++()， ∴此抛物线开口向上．当x t ≥时，y 随x 的增大而增大．∵点2B t y (，)，31C t y +(，)，13A t y '(，)在抛物线上，且13t t t <+<， ∴231y y y <<． ………………………… 6分27．（1）证明：延长AD 交BC 于点G ，连接CD ，如图1．∵60BD BC DBC =∠=，°， ∴DBC △是等边三角形． ∴60DC DB BC DCB ==∠=，°． ∴点D 在线段BC 的垂直平分线上． ∵AB AC =，∴点A 在线段BC 的垂直平分线上． ∴AG BC ⊥．∴90AGC GAE ∠=∠=°．∴EA BC ∥． ………………………… 2分（2）依题意补全图2，如图．数量关系：2MF MD DE =+．证明：延长FD 交AE 的延长线于点N ，连接CD ，如图2．∵DC BC =，CF BC =， ∴CF CD =． ∴11302F FDC ∠=∠=∠=°．∵EA BC ∥， ∴30N F ∠=∠=°． 又∵AMN CMF ∠=∠，AM CM =，∴AMN △≌CMF △． ∴MF MN =．在Rt EAD △中，AE AD =，可得2DE AD =．1N EADCBMF图2G E DCB A 图1在Rt NAD △中，30N ∠=°，可得2DN AD =．∴DN =．∵MN MD DN MD =+=，∴MF MD =． ………………………… 7分28．解：（1）13C C ，； ………………………… 2分（2）①3(； ………………………… 4分②030α<<°°或3090α<°≤°或150180α<°≤°；3AQ ≥． … 7分。

2022-2023学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）1．（2分）如果2x＝5y（y≠0），那么的值是（）A．B．C．D．2．（2分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°．若，BC＝4，则AB的长为（）A．2B．C．D．63．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝140°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．70°D．140°4．（2分）如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，AE与对角线BD交于点F．若AB＝5，BE＝3，则为（）A．B．C．D．5．（2分）将抛物线y＝（x﹣1）2+3向上平移2个单位长度，平移后的抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2+5B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x+1）2+3D．y＝（x﹣3）2+3 6．（2分）若圆的半径为9，则120°的圆心角所对的弧长为（）A．3B．6C．3πD．6π7．（2分）若二次函数y＝x2+2x﹣m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m≥﹣1C．m＜1D．m≤18．（2分）如图，线段AB＝10cm，点P在线段AB上（不与点A，B重合），以AP为边作正方形APCD．设AP＝xcm，BP＝ycm，正方形APCD的面积为Scm2，则y与x，S与x 满足的函数关系分别为（）A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）如图，在△ABC中，M，N分别为AB，AC的中点，若△AMN的面积是1，则△ABC的面积是．10．（2分）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在AB边上，点E在AC边上且AD＜AE．只需添加一个条件即可证明△ABC∽△AED，这个条件可以是（写出一个即可）．11．（2分）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点．若∠APB＝60°，OA＝2，则PB 的长为．12．（2分）抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴为直线．13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点（1，y1），（4，y2）在反比例函数的图象上，则y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．14．（2分）如图，线段AB，CD分别表示甲、乙建筑物的高，AB⊥MN于点B，CD⊥MN 于点D，两座建筑物间的距离BD为35m．若甲建筑物的高AB为20m，在点A处测得点C的仰角α为45°，则乙建筑物的高CD为m．15．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝100°．若点D为⊙O上一点（不与点A，C重合），则∠ADC的度数为．16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下面四个结论中，①a＜0②当x＞﹣2时，y随x的增大而增大③点B的坐标为（3，0）④若点M（﹣1，y1），N（5，y2）在函数的图象上，则y1＞y2所有正确结论的序号是．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）如图，A是直线MN上一点，∠BAC＝90°，过点B作BD⊥MN于点D，过点C作CE⊥MN于点E．（1）求证：△ADB∽△CEA；（2）若，AD＝AE＝2，求CE的长．19．（5分）已知：如图1，P为⊙O上一点．求作：直线PQ，使得PQ与⊙O相切．作法：如图2，①连接OP；②以点P为圆心，OP长为半径作弧，与⊙O的一个交点为A，作射线OA；③以点A为圆心，OP长为半径作圆，交射线OA于点Q（不与点O重合）；④作直线PQ．直线PQ就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接P A．由作法可知AP＝AO＝AQ，∴点P在以OQ为直径的⊙A上．∴∠OPQ＝°（）（填推理的依据）．∴OP⊥PQ．又∵OP是⊙O的半径，∴PQ是⊙O的切线（）（填推理的依据）．20．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下，请解答：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），顶点为C．（l）直接写出点B，点C的坐标；（2）画出这个二次函数的图象；（3）若点P（0，n），Q（m，n）在此二次函数的图象上，则m的值为．22．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，，BC＝10，求AC的长．23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点A（﹣1，﹣6），一次函数y2＝kx﹣1（k≠0）的图象与y轴交于点B．（1）求反比例函数的表达式并直接写出点B的坐标；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，都有y1＜y2，直接写出k的取值范围．24．（6分）为了在校运动会的推铅球项目中取得更好的成绩，小石积极训练，铅球被推出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从铅球出手（点A处）到落地的过程中，铅球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．小石进行了两次训练．（1）第一次训练时，铅球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m012345678竖直高度y/m 1.6 2.1 2.4 2.5 2.4 2.1 1.60.90根据上述数据，求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），并直接写出小石此次训练的成绩（铅球落地点的水平距离）；（2）第二次训练时，小石推出的铅球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣3.1）2+2.55．记小石第一次训练的成绩为d1，第二次训练的成绩为d2，则d1 d2（填“＞”，“＝”或“＜”）．25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点且，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接CD，若，AB＝15，求CD的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m）在抛物线y＝ax2+c（a＞0）上，抛物线与x轴有两个交点B（x1，0），C（x2，0），其中x1＜x2．（1）当a＝1，m＝﹣3c时，求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点D（x1+3，n）在抛物线上，若m＞n＞0，求x1的取值范围．27．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，以点A为中心，将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接DE，BE．（1）求∠DEB的度数；（2）过点B作BF⊥DE于点F，连接CF，依题意补全图形，用等式表示线段DE与CF 的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”．（1）如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），则d＝．在点P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC的“关联点”是；（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为（1，1）．若直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围；（3）已知点M（1，0），．图形W是以T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T，若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围．2022-2023学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）1．【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答．【解答】解：∵2x＝5y（y≠0），∴＝，故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．2．【分析】利用锐角三角函数关系得出答案即可．【解答】解：∵，BC＝4，∴sin A＝，∴＝，解得：AB＝6．故选：D．【点评】此题主要考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数关系是解题关键．3．【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝∠AOB，再求出答案即可．【解答】解：∵点A、B、C都在⊙O上，∴∠ACB＝∠AOB＝×140°＝70°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，注意：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4．【分析】由菱形的性质得AD∥EB，DA＝AB＝5，则△DAF∽△BEF，所以＝＝，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，BE＝3，∴AD∥BC，DA＝AB＝5，∵AD∥EB，∴△DAF∽△BEF，∴＝＝，故选：D．【点评】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，由AD∥EB证明△DAF∽△BEF是解题的关键．5．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+3向上平移2个单位长度，平移后的抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2+3+2，即y＝（x﹣1）2+5，故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6．【分析】直接利用扇形的弧长公式计算即可得出结论．【解答】解：由题意知，r＝9，n＝120，∴l＝＝＝6π，故选：D．【点评】此题主要考查了扇形的弧长公式，解本题的关键是熟记扇形的弧长公式．7．【分析】根据判别式Δ≥0即可求解．【解答】解：∵若二次函数y＝x2+2x﹣m的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，∴22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m≥0，∴m≥﹣1．故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，理解函数图象与x轴交点的判断方法是求解本题的关键．8．【分析】根据正方形的面积公式可得：S＝x2，则S与x满足的函数关系是二次函数关系，再根据AB＝10cm可得：y＝﹣x+10，成一次函数关系．【解答】解：由题意得：S＝x2，x+y＝10，∴y＝﹣x+10，∴y与x，S与x满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系．故选：A．【点评】本题考查了二次函数和一次函数的定义，掌握正方形面积公式和线段的和差是解本题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】根据三角形中位线定理得到MN∥BC，MN＝BC，得到△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵M、N分别是边AB、AC的中点，∴MN∥BC，MN＝BC，∴△AMN∽△ABC，∴＝，∴S△ABC＝4S△ADE＝4×1＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理的应用，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．【分析】利用相似三角形的判定可求解．【解答】解：添加∠1＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故答案为：∠1＝∠C（答案不唯一）．【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．11．【分析】连接OP，根据切线的中线得到OB⊥PB，根据含30°角的直角三角形的性质求出OP，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：如图，连接OP，∵P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠APB＝60°，∴OB⊥PB，∠OPB＝30°，∴OP＝2OB＝4，∴PB＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理、切线长定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．12．【分析】把解析式化为顶点式可求得答案．【解答】解：∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4∴对称轴是直线x＝3，故答案为：x＝3．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．13．【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．【解答】解：∵k＞0，∴反比例函数y＝（k＞0）的图象在一、三象限，∵4＞1＞0，∴点A（1，y1），B（4，y2）在第一象限，y随x的增大而减小，∴y1＞y2，故答案为：＞．【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．14．【分析】根据题意可得：AB＝DE＝20m，AE＝BD＝35m，∠CAE＝45°，∠AEC＝90°，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE＝35m，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：AB＝DE＝20m，AE＝BD＝35m，∠CAE＝45°，∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，CE＝AE•tan45°＝35（m），∴CD＝DE+CE＝20+35＝55（m），∴乙建筑物的高CD为55m，故答案为：55．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．15．【分析】分两种情况讨论，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可求出答案．【解答】解：当点D为优弧AC上一点时，如图，则∠B+∠D＝180°，∵∠ABC＝100°，∴∠D＝80°；当点D为劣弧AC上一点时，如图，则∠D＝∠B＝100°，∠ADC的度数为80°或100°．故答案为：80°或100°．【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，关键是分类讨论．16．【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，故①正确；∵抛物线对称轴是直线x＝1，∴当﹣2＜x＜1时，y随x的增大而增大，故②错误；∵A（﹣2，0），对称轴是直线x＝1，∴B（4，0），故③错误；∵1﹣（﹣1）＝2＜5﹣1＝4，∴y1＞y2，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查二次函数图与系数的关系，二次函数的性质，关键是利用函数的图象和性质解答．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】利用特殊角的三角函数值，算术平方根，乘方运算，绝对值的定义计算．【解答】解：＝2×﹣2﹣1+﹣1＝﹣2﹣1+﹣1＝﹣2．【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，算术平方根，乘方运算，绝对值的定义．18．【分析】（1）由BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，得∠ADB＝∠CEA＝90°，而∠BAC ＝90°，则∠B＝∠EAC＝90°﹣∠BAD，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ADB∽△CEA；（2）由勾股定理求得BD＝＝1，由△ADB∽△CEA，得＝，其中AD ＝AE＝2，即可求得CE＝4．【解答】（1）证明：∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠B＝∠EAC＝90°﹣∠BAD，∴△ADB∽△CEA．（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝，AD＝AE＝2，∴BD＝＝＝1，∵△ADB∽△CEA，∴＝，∴CE＝＝＝4，∴CE的长是4．【点评】此题重点考查同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，根据同角的余角相等证明∠B＝∠EAC＝90°﹣∠BAD是解题的关键．19．【分析】（1）根据作法画图；（2）根据题中的证明过程填写理由．【解答】（1）解：如图：直线PQ即为所求；（2）证明：连接P A，由作法可知AP＝AO＝AQ，∴点P在以OQ为直径的⊙A上．∴∠OPQ＝90°（直径所对的圆周角等于90°），∴OP⊥PQ．又∵OP是⊙O的半径，∴PQ是⊙O的切线（过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线），故答案为：90，直径所对的圆周角等于90°，过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．【点评】本题考查了作图和切线的判断，熟记圆中的有关定理是解题的关键．20．【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．【解答】解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，答：直径AB的长为26寸．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．21．【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可以求得该函数与x轴的交点，将题目中的函数解析式化为顶点式即可直接写出该函数的顶点坐标；（2）先求出抛物线与y轴的交点（0，3），再根据对称性求出（0，3）关于对称轴对称点的坐标，再用五点作图法做出函数图象；（3）根据图像即可求出m的值．【解答】解：（1）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得x1＝3，x2＝1，∴A（1，0），B（3，0）；∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，顶点C坐标是（2，﹣1）；（2）令x＝0，则y＝3，∴抛物线与y轴的交点为（0，3），∵抛物线对称轴为直线x＝2，∴和（0，3）关于对称轴对称的点坐标为（4，3），函数图象如图所示：（3）由（2）可知，m＝4，n＝3，故答案为：4．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．22．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据已知可设AD＝x，则BD＝4x，再在Rt △ADC中，利用锐角三角函数的定义可得CD＝x，从而根据BC＝10，列出关于x的方程，进行计算可求出CD的长，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，tan B＝＝，∴设AD＝x，则BD＝4x，在Rt△ADC中，∠C＝60°，∴CD＝＝＝x，∵BC＝10，∴BD+CD＝10，∴4x+x＝10，解得：x＝2，∴CD＝2，在Rt△ADC中，AC＝＝＝4，∴AC的长为4．【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．【分析】（1）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，由一次函数解析式即可求得点B的坐标；（2）根据点（2，3）结合图象即可求得．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（﹣1，﹣6），∴m＝﹣1×（﹣6）＝6，∴反比例函数表达式为：y＝．在直线y2＝kx﹣1（k≠0）中，令x＝0，则y＝﹣1，∴B（0，﹣1）；（2）把x＝2代入y＝得，y＝3，把（2，3）代入y2＝kx﹣1得，3＝2k﹣1，解得k＝2，∵当x＞2时，对于x的每一个值，都有y1＜y2，∴k≥2．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．24．【分析】（1）用待定系数法误差函数关系式，观察表格可得训练成绩；（2）求出d2，结合（1）比较可得答案．【解答】解：（1）把（0，1.6），（1，2.1），（8，0）代入y＝a（x﹣h）2+k得：，解得，∴y＝﹣0.1（x﹣3）2+2.5，由表格可知，当y＝0时，x＝8，∴小石此次训练的成绩为8m；（2）在y＝﹣0.09（x﹣3.1）2+2.55中，令y＝0得：﹣0.09（x﹣3.1）2+2.55＝0，解得x＝3.1+≈8.42或x＝3.1﹣（小于0，舍去），∴d1＝8，d2≈8.42，∴d1＜d2，故答案为：＜．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．25．【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠CAD＝∠BAD，证明OD∥AE，根据平行线的性质得到OD⊥DE，根据切线的判定定理证明即可；（2）根据圆内接四边形的性质得到∠ECD＝∠ABD，根据余弦的定义求出BD，进而求出CD．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵＝，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AE，∵AE⊥DE，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵四边形CABD为⊙O的内接四边形，∴∠ACD+∠ABD＝180°，∵∠ACD+∠ECD＝180°，∴∠ECD＝∠ABD，∴cos∠ABD＝＝，∵AB＝15，∴BD＝3，∵＝，∴CD＝BD＝3．【点评】本题考查的是切线的判定、圆周角定理、解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．26．【分析】（1）直接将a＝1，m＝﹣3c，A（﹣2，m）代入抛物线解析式求解即可；（2）利用二次函数的图象和性质求解即可．【解答】解：（1）当a＝1，m＝﹣3c，将点A（﹣2，m）代入得：﹣3c＝4+c，解得：c＝﹣1，故抛物线的解析式为：y＝x2﹣1，顶点坐标为（0，﹣1）；（2）∵B（x1，0），C（x2，0）是抛物线y＝ax2+c（a＞0）与x轴的两个交点，x1＜x2，∴ax+c＝0，x1＝﹣x2，∵点A（﹣2，m）在抛物线上，∴A'（2，m）在抛物线上，∵点D（x+3，n）在抛物线上，∴a（x+3）2+c＝n，∴ax+6ax1+9a+c＝n，∴n＝6ax1+9a，∵n＞0，∴6ax1+9a＞0，a＞0，∴x1＞﹣，又∵a＞0时，y随x的增大而增大，m＞n＞0，∴x1+3＜2，∴x1＜﹣1，∴﹣＜x1＜﹣1．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质的运用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．27．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，可得∠AED＝＝45°﹣α，∠AEB＝＝90°﹣α，故∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝45°；（2）根据题意补全图形，过C作CG⊥CF交FD延长线于G，证明△BCF≌△DCG（AAS），得BF＝DG，CF＝CG，有FG＝CF，由∠DEB＝45°得△BEF是等腰直角三角形，可得EF＝DG，即得DE＝FG，故DE＝CF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，∴∠EAB＝α，AB＝AE，∴AE＝AD，∠EAD＝90°+α，∴∠AED＝＝45°﹣α，∵AE＝AB，∠EAB＝α，∴∠AEB＝＝90°﹣α，∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝（90°﹣α）﹣（45°﹣α）＝45°；（2）补全图形如下，线段DE与CF的数量关系为DE＝CF，证明：过C作CG⊥CF交FD延长线于G，∵BF⊥DE，∴∠BFC+∠CFD＝90°，∵CG⊥CF，∴∠CFD+∠G＝90°，∴∠BFC＝∠G，∵∠BCD＝∠FCG＝90°，∴∠BCF＝∠DCG，∵BC＝CD，∴△BCF≌△DCG（AAS），∴BF＝DG，CF＝CG，∴△FCG是等腰直角三角形，∴FG＝CF，由（2）知，∠DEB＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BF，∴EF＝DG，∴EF+FD＝DG+FD，即DE＝FG，∴DE＝CF．【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．28．【分析】（1）根据所给的定义，对每一个点进行判断即可；（2）由题意可得d＝DF＝2，过O点作OM垂直直线y＝x+b，交于点M，当ME＝2时，ON＝6，则﹣6≤b≤6时，直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”；（3）由题意可得d＝2，当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于点L，交圆于点K，当KL＝2时，TM＝2，此时T（﹣2，0），当T点在x轴正半轴上时，当TM＝3时，此时T（4，0），则﹣2≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”．【解答】解：（1）∵四边形AOBC是矩形，点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），∴OC＝5，∴d＝5，∵P1（﹣1，0），∴P1O＝1，∴P1不是矩形AOBC的“关联点”；∵P2（2，8），∴P2到AC的距离为5，∴P2是矩形AOBC的“关联点”；∵P3（3，1），∴P3到OB的距离为1，∴P3不是矩形AOBC的“关联点”；∵，∴P4O＝5，∴P4是矩形AOBC的“关联点”；故答案为：P2，P4；（2）∵D（1，1），四边形DEFG是正方形，∴d＝DF＝2，过O点作OM垂直直线y＝x+b，交于点M，当ME＝2时，OM＝3，∵∠MNO＝45°，∴ON＝6，∴﹣6≤b≤6时，直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”；（3）∵⊙T是T（t，0）为圆心，1为半径的圆，∴d＝2，当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于点L，交圆于点K，当KL＝2时，TL＝3，∵M（1，0），，∴ON＝，OM＝1，∴tan∠OMN＝，∴∠OMN＝60°，∴TM＝＝2，此时T（﹣2，0），当T点在x轴正半轴上时，当TM＝3时，此时T（4，0），∴﹣2≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”．【点评】本题考查圆的综合应用，弄清定义，能够根据定义，结合矩形的性质，圆的性质，属性结合解题是关键．。

石景山区2019—2019学年度第一学期期末考试试卷初三数学考 生 须 知1．本试卷共8页．全卷共五道大题，25道小题． 2．本试卷满分120分，考试时间120分钟．3．在试卷密封线内准确填写区（县）名称、学校、姓名和准考证号． 4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（共32分）一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上．1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC =3，则sin A 的值是A ．34B ．43 C ．54 D ．53 2．如图，A ，B ，C 都是⊙O 上的点，若∠ABC =110°，则∠AOC 的度数为A ．70°B ．110°C ．135°D ．140°3．如图，平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AC 与BE 交于点F ．则 △EFC 与△BFA 的面积比为 A ．2:1B ． 1∶2C ．1∶4D ．1∶84．将抛物线22x y =向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是A ．()212+=x yB ．()212-=x yC ．122-=x yD ．122+=x y5．将762++=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式，h ，k 的值分别为A ．3，2-B ．3-，2-C ．3，16-D ．3-，16-6．如图，为测学校旗杆的高度，在距旗杆10米的A 处，测得旗杆顶部B 的 仰角为α，则旗杆的高度BC 为A ．αtan 10B ．αtan 10C ． αsin 10D ．αsin 10第1题 第2题 第3题FE DC BAOCABCBA第6题 第7题C AB7．已知：二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列说法中正确的是A ．0>++c b aB ．0>abC ．02=+a bD ．当0y >时，13x -<<8．如图，正方形ABCD 的边长为a ，动点P 从点A 出发，沿折线A →B →D →C 的路径运动，到达点C 时运动停止．设点P 运动的路程长为x ，AP 长为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A BC D 第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）9．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的弧长为 ．（结果保留π）10.写出一个反比例函数()0ky k x=≠，使它的图象在各自象限内，y 的值随x 值 的增大而减小，这个函数的表达式为 .11. 如图，△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 在AC 上且AD ＝2，如果要在AB 上找一点E ，使△ADE 与△ABC 相似，那么AE ＝ ．12．二次函数23x y =的图象如图，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3…A n 在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…， B n 在二次函数位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，C 3，…， C n 在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A 0B 1A 1C 1，四边形A 1B 2A 2C 2，四边形A 2B 3A 3C 3，…，四边形A n-1B n A n C n 都是菱形，∠A 0B 1A 1=∠A 1B 2A 2=∠A 2B 3A 3…=∠A n-1B n A n =120°.则A 1的坐标为 ；A CD BPDA BCa x yO ()21a +()22a +2aaxyO a2aa ()21a +()22a+2axyO a()21a +()22a+a a()21a +()22a +2ax yO a菱形A n-1B n A n C n 的边长为 .三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 13．计算：︒+︒⋅︒-45sin 260cos 30tan 8．14．已知：二次函数()k x k x y 32322-++-=（1）若二次函数的图象过点()0,3A ，求此二次函数图象的对称轴； （2）若二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求此时k 的值．15．如图，⊙O 与割线AC 交于点B ，C ，割线AD 过圆心O ，且∠DAC =30°．若⊙O 的半径OB=5，AD =13，求弦BC 的长．16． 已知：如图，在△ABC 中，2=BC ，3=∆ABC S ，︒=∠135ABC ，求AC 和AB 的长．17．一次函数 22y x =+与反比例函数 (0)ky k x=≠的图象都过点()1,A m ，22y x =+的图象与x 轴交于点B ．（1）求点B 坐标及反比例函数的表达式；（2）()0,2C -是y 轴上一点，若四边形ABCD 是平行四边形，直接写出点D 的坐标，并判断D 点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．18． 已知：如图，△ABD 中，BD AC ⊥于C ，23=CD BC ，E 是AB 的中点，2tan =D ，1=CE ，求ECB ∠sin 和AD 的长．四、解答题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）19．甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．E ADCB黄色红色绿色BC AODCBA（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果； （2）试用概率说明游戏是否公平．20．体育测试时，九年级一名男生，双手扔实心球，已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A 点距离地面的高度为2m ，当球运行的水平距离为6m 时，达到最大高度5m 的B 处（如图），问该男生把实心球扔出多远？(结果保留根号)21．已知：如图，R t △AOB 中，︒=∠90O ，以OA 为半径作⊙O ，BC 切⊙O 于点C ，连接AC 交OB 于点P ． （1）求证：BP =BC ； （2）若31sin =∠PAO ，且PC =7， 求⊙O 的半径．22．阅读下面材料：小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D ，E 分别为CB ，CA 边上的点，且AE=BC ，BD=CE ，BE 与AD 的交点为P ，求∠APE 的度数；小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B 作BF//AD 且BF=AD ，连接EF ，AF ，从而构造出△AEF 与△CBE 全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：APE ∠的度数为___________________． 参考小乔同学思考问题的方法，解决问题：如图3，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，D 、E 分别为CB ，CA 上的点，且BC AE 21=，CE BD 21=，BE 与AD 交于点P ，在图3中画出符合题意的图形，并求出sin APE ∠的值．ABC图1 图2PDEA B CF PD EA BC图3BOACPBOAC五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知二次函数()2(4)425y t x t x --=+-在0x =与5x =的函数值相等． （1）求二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点 C ，一次函数y kx b =+经过B ，C 两点，求一次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，过动点()m D ,0作直线l //x 轴，其中2->m ．将二次函数图象在直线l下方的部分沿直线l 向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若直线y kx b =+与新图象M 恰有两个公共点，请直接写出m 的取值范围．24．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B =60°，D 为AB 的中点，∠EDF =90°，DE 交AC 于点G ，DF 经过点C ． （1）求∠ADE 的度数；（2） 如图2，将图1中的∠EDF 绕点D 顺时针方向旋转角α（︒<<︒600α），旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E 1DF 1，∠E 2DF 2 ， DE 1交直线AC 于点P ，DF 1交直线BC 于点Q ，DE 2交直线AC 于点M ，DF 2交直线BC 于点N ，求PMQN的值； （3）若图1中∠B =()︒<<︒9060ββ，（2）中的其余条件不变，判断PMQN的值是否为定值，如果是，请直接写出这个值（用含β的式子表示）；如果不是，请说明理由．25．如图1，平面直角坐标系xOy 中，点()0,4-D ，8OC =，若抛物线213y x =平移后经过C ，D 两点，得到图1中的抛物线W .（1）求抛物线W 的表达式及抛物线W 与x 轴另一个交点A 的坐标；（2）如图2，以OA ，OC 为边作矩形OABC ，连结OB ，若矩形OABC 从O 点出发沿射线OB图1FEGDBAC图2E 1F 1F 2E 2QMNPDBAC方向匀速运动，速度为每秒1个单位得到矩形''''O A B C ，求当点'O 落在抛物线W 上时矩形的运动时间；（3）在（2）的条件下，如图3，矩形从O 点出发的同时，点P 从'A 出发沿矩形的边C B B A ''→''以每秒25个单位的速度匀速运动，当点P 到达'C 时，矩形和点P 同时停止运动，设运动时间为t 秒.①请用含t 的代数式表示点P 的坐标； ②已知：点P 在边''A B 上运动时所经过的路径是一条线段，求点P 在边''A B 上运动多少秒时，点D 到CP 的距离最大.草稿纸草稿纸yxDCAO yxC'B'A'D B C A O O'yx PC'B'A'BDCAOO'yxC'B'A'D B C A O O'图1 图2 图3 备用图ABCDOE石景山区2018-2019学年度第一学期期末考试试卷初三数学参考答案阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案CDCBBACA二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分） 9．π2； 10．只要0>k 即可； 11．38或23； 12．()32,01A ；n 2． 三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 13.解：︒+︒⋅︒-45sin 260cos 30tan 8.=222213322⨯+⨯-……………………………4分 =6323-. ……………………………5分14.解：（1）将()0,3A 代入二次函数表达式，求得2=k ………………1分将2=k 代入得二次函数表达式为：6822-+-=x x y ……2分 配方得：()2222+--=x y∴二次函数图象的对称轴为2=x …………3分 （2）由题意得：0=∆ …………………………………4分求得32=k . ……………………………………………………………5分 15.解：过点O 作BC OE ⊥于点E ……1分∵AD 过圆心O ，AD =13，⊙O 的半径是5， ∴ AO =8 ………2分 ∵∠DAC =30°∴OE =4 ………3分 ∵OB =5, ∴ 勾股得BE =3………4分∴BC =2BE =6 ………5分16．解：过点A 作BC AD ⊥，交CB 的延长线于点D ………1分在△ABC 中，3=∆ABC S ，2=BC32==∴∆BCS AD ABC………2分 135=∠ABC 45=∠∴ABD∴232==AD AB ……… 3分 DC B A3==AD BD ……… 4分在Rt △ADC 中，5=CD ，3422=+=CD AD AC …5分17．解：（1）由题意: 令0y =,则1x =-∴()1,0B - ……………1分∵A 在直线22y x =+上∴()1,4A …………………2分∵()1,4A 在反比例函数 (0)ky k x=≠图象上 ∴4k =∴反比例函数的解析式为：4y x= ……………3分（2）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴()2,2D …………4分 ∴()2,2D 在反比例函数4y x=的图象上 ……5分 18． 解：∵BD AC ⊥，∴︒=∠=∠90ACD ACB ∵E 是AB 的中点，1=CE∴22==CE AB ……… 1分∵23=CD BC ∴设x BC 3=，x CD 2= 在R t △ACD 中，2tan =D ∴ 2=CDAC ，x AC 4= ………2分在R t △ACB 中由勾股定理x AB 5=，∴54sin sin ===∠AB AC B ECB ………3分由2=AB ，得52=x ………4分∴5545222==+=x CD AC AD ……5分四、解答题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 19．解：（1）……………….1分（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），EA DCB 开始红黄绿红黄绿红黄绿绿黄红（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿） ………2分 （2）()31==93P 甲获胜………………..3分 ()2=9P 乙获胜………………………4分P P >（甲获胜）（乙获胜）∴游戏不公平………………..5分20．解：（说明：根据建系方法的不同，对应给分）以地面所在直线为x 轴，过点A 与地面的垂线作为y 轴建立平面直角坐标系如图所示. …………………1分则()0,2A ，()6,5B设抛物线解析式为()()2650y a x a =-+≠， ∵()0,2A 在抛物线上 ∴ 代入得：112a =-∴()216512y x =--+ …………….3分令0y =∴15261-=x （舍），26215x =+ ……………. 4分 ∴1526+=OC答：该同学把实心球扔出1526+m. ……………… 5分21．(1)证明：连接OC ………………1分BC 是⊙O 切线90OCB ∴∠=︒90OCA BCA ∴∠+∠=︒OC OA =OCA OAC ∴∠=∠90O ∠=︒90OAC APO ∴∠+∠=︒ APO BPC ∠=∠90OAC BPC ∴∠+∠=︒ BPC BCA ∴∠=∠BC BP ∴= ………………2分(2) 延长AO 交⊙O 于点E ，连接CE 在Rt AOP ∆中1sin 3PAO ∠=∴ 设,3OP x AP x ==∴ 则22AO x = ………3分 PBOACyxA BCO数学试卷AO OE =， 22OE x ∴= 42AE x ∴=1sin 3PAO ∠=13CE AE ∴= 223AC AE ∴= 3722342x x +∴=………4分 解得：x=362AO ∴= ……………5分22．解：(1) ∠APE =45° ………1分(2) 过点B 作FB//AD 且FB=AD ，连结EF 和AF ∴四边形AFBD 是平行四边形，APE FBE ∠=∠，DB AF = ………2分∵AB 是⊙O 直径，∴∠C =90° ∴FAE BCE ∠=∠=90° ∵2CE BD =，2BC AE =， ∴2CE AF =，∴2CE BCAF EA== ∴△AEF ∽△CBE ……3分∴12EF BE =，∠1=∠3，又∵∠2+∠3=90° ∴∠1+∠2=90°，即∠FEB =90° ……4分 在Rt △BEF 中，∠FEB =90°∴1tan 2EF FBE BE ∠==又∵APE FBE ∠=∠∴5sin 5APE ∠=……5分 五、解答题（本题共3道小题，23、24每小题各7分，25题8分，共22分） 23．（1）由题意得 ()2(4)525544t t -⋅--⋅+=．……………………1分 解得 5t =．∴ 二次函数的解析式为：254y x x =-+．…………………2分（2）令0y =,解得4x =或1x = ……………………3分EPBO AC321F A O PD ECB∴()1,0A ， ()4,0B ，令0x =，则4y =∴()0,4C将B 、C 代入y kx b =+，解得1k =-，4b =一次函数的解析式为：4y x =-+ ……………………4分（3）212-<<-m 或04m << ……………………7分24．解：（1）∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点∴CD =DB ∴∠DCB =∠B ∵∠B =60°∴∠DCB =∠B=∠CDB =60° ∴∠CDA=120°∵∠EDC =90°∴∠ADE =30° ………………2分 （2）∵∠C =90°，∠MDN =90° ∴∠DMC +∠CND=180°∵∠DMC +∠PMD=180°， ∴∠CND =∠PMD 同理∠CPD =∠DQN∴△PMD ∽△QND ………4分 过点D 分别做DG ⊥AC 于G , DH ⊥BC 于H 可知DG ， DH 分别为△PMD 和△QND 的高∴PM DGQN DH =…………………5分 ∵DG ⊥AC 于G , DH ⊥BC 于H ∴DG ∥BC又∵D 为AC 中点 ∴G 为AC 中点 ∵∠C =90°，∴四边形CGDH 为矩形有CG =DH =AG Rt △AGD 中，31=AG DG E 1F 1F 2E 2H G QMNPD B ACFEGDBAC即33=QN PM ……………………6分 (3) 是定值，值为)90tan(β-︒………7分 25．解：（1）依题意得： )0,4(-D ,()0,8C -∴抛物线W 的解析式为：212833y x x =-- ………………………1分 另一交点为（6,0） ………………………………………2分（2）解法一：依题意:在运动过程中，经过t 秒后，点'O 的坐标为：34,55t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭………………………3分 将'O 代入212833y x x =-- 舍去负值得：203t =经过203秒'O 落在抛物线W 上 …………………………………………4分解法二：射线'OB 解析式为：43y x =-∴24312833y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得：4163x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩∴16'4,3O ⎛⎫-⎪⎝⎭……………………………3分 ∴221620'433OO ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴经过203秒'O 落在抛物线W 上 …………………………………4分 （3）① 设(),P x y(I)当020t ≤≤时，即点P 在''A B 边上，2'5A P t =，34'6,55A t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴365x t =+，65y t =- ……………………………5分(II)当2035t <≤时，即点P 在''B C 边上（不包含'B 点），2'85B P t =- ,34'6,855B t t ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ ，∴1145x t =+，485y t =-- ……………………6分 综上所述： ∴当020t ≤≤时，366,55P t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭当2035t <≤时，1414,855P t t ⎛⎫+--⎪⎝⎭②当点P 在''A B 运动时，020t ≤≤，点P 所经过的路径所在函数解析式为：212y x =-+ 又∵直线DC 解析式为:28y x =--∴DC ∥AP∴△DCP 面积为定值 ……………7分∴CP 取得最小值时，点D 到CP 的距离最大，如图，当CP ⊥AP 时，CP 取得最小值过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，∴∠PMC =90°∵366,55P t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴685CM t =-，365PM t =+ ∵∠DCO +∠PCM =90°， ∠CPM +∠PCM =90° ∴CPM DCO ∠=∠ ∴1tan tan 2CPM DCO ∠=∠= 在Rt △PMC 中，∠PMC =90° ∴2PM CM = ∴103t =检验：100203≤≤ ∴经过103秒时，点D 到CP 的距离最大 ………………8分yxMPD C AOy x PC'B'A'D BCAO O'。

北京市西城区2015届九年级上期末考试数学试题及答案九年级数学2018.1【一】选择题(此题共32分，每题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意旳、 1、二次函数2(+1)2y x =--旳最大值是A 、2-B 、1-C、1D 、22、如图，四边形ABCD内接于⊙O ，E为CD 延长线上一点，假如 ∠ADE =120°，那么∠B 等于 A 、130° B 、120° C 、80° D 、60°3、以下手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形旳是ABCD4、把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线A 、()231y x =+-B 、()233y x =++ C 、()231y x =--D 、()233y x =-+5、△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′旳位似比是1∶2，假如△ABC 旳面积是3，那么△A ′B ′C ′旳面积等于 A 、3B 、6C 、9D 、126、假如关于x 旳一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 旳取值范围是 A 、m ＞2B 、m ≥3C 、m ＜5D 、m ≤57、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠旳值是 A、512B 、513C 、1213 D 、1258、如图，在10×10旳网格中，每个小方格差不多上边长为1旳小正 方形，每个小正方形旳顶点称为格点、假如抛物线通过图中 旳三个格点，那么以这三个格点为顶点旳三角形称为该抛物 线旳“内接格点三角形”、设对称轴平行于y 轴旳抛物线与网 格对角线OM 旳两个交点为A ，B ，其顶点为C ，假如△ABC是该抛物线旳内接格点三角形，AB =，且点A ，B ，C旳横坐标A x ，B x ，C x 满足A x ＜B x ＜C x ，那么符合上述条件旳抛物线条数是 A 、7B 、8C 、14D 、16【二】填空题〔此题共16分，每题4分〕9、在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x=-旳图象上，AB ⊥x 轴于 点B ，那么△AOB 旳面积等于、10、如图，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转某个角度得到 △AB ′C ′，使AB ′∥CB ，CB ，AC ′旳延长线相交于点D ， 假如∠D =28°，那么BAC ∠=°、 11、如图，点D 为△ABC 外一点，AD 与BC 边旳交点为E ，AE=3，DE=5，BE =4，要使△BDE ∽△ACE ，且点B ，D 旳对应点 为A ，C ，那么线段CE 旳长应等于、12、在平面直角坐标系xOy 中，(,0)A m -，(,0)B m 〔其中0m >〕，点P 在以点(3,4)C 为圆心，半径等于2旳圆 上，假如动点P 满足90APB ∠=︒，〔1〕线段OP 旳长 等于〔用含m 旳代数式表示〕；〔2〕m 旳最小值 为、【三】解答题〔此题共30分，每题5分〕13、计算：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒、 14、解方程：2410x x -+=、15、如图，在⊙O 中，点P 在直径AB 旳延长线上，PC ，PD与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，连接CD 交AB 于点E 、假如⊙O 旳半径等于1tan 2CPO ∠=，求 弦CD 旳长、16、如图，正方形网格中旳每个小正方形旳边长差不多上1，每个小正方形旳顶点叫做格点、△ABC 旳三个顶点A ，B ，C 都在格点上，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°得到 △AB C ''、〔1〕在正方形网格中，画出△AB C ''；〔2〕计算线段AB 在旋转到AB '旳过程中所扫过区域旳面积、 〔结果保留π〕17、某商店以每件20元旳价格购进一批商品，假设每件商品售价a 元，那么每天可卖出(80010)a -件、假如商店打算要每天恰好盈利8000元，同时要使每天旳销售量尽量大，求每件商品旳售价是多少元、18、假如关于x 旳函数2(2)1y ax a x a =++++旳图象与x 轴只有一个公共点，求实数a 旳值、【四】解答题〔此题共20分，每题5分〕19、如图，小明同学在东西方向旳环海路A 处，测得海中灯塔P在它旳北偏东60°方向上，在A 旳正东400米旳B 处，测得 海中灯塔P 在它旳北偏东30°方向上、问：灯塔P 到环海路旳距离PC 取1.732，结果精确到1米〕20、如图，在正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中顶点E ，F ，G 分别在AB ，BC ，FD 上、 〔1〕求证：△EBF ∽△FCD ；〔2〕连接DH ，假如BC=12，BF =3，求tan HDG ∠旳值、21、如图，在⊙O 中，弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称、E 为半径OC 上一点，3OC OE =，连接AE 并延长交⊙O 于点F ，连接DF 交BC 于点M 、〔1〕请依题意补全图形；〔2〕求证：AOC DBC ∠=∠； 〔3〕求BMBC旳值、 22、抛物线C ：2=23y x x +-.〔1〕补全表中，两点旳坐标，并在所给旳平面直角坐标系中画出抛物线C ； 〔2〕将抛物线C 上每一点旳横坐标变为原来旳2倍，纵坐标变为原来旳12，可证明得到旳曲线仍是 抛物线，〔记为1C 〕，且抛物线1C 旳顶点是抛物 线C 旳顶点旳对应点，求抛物线1C 对应旳函数表达式.【五】解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分〕23、如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1(,2)2A ，(3,)B n 在反比例函数my x=〔m 为常数〕旳图象G 上，连接AO 并延长与图象G 旳另一个交点为点C ，过点A 旳直线l 与x 轴旳交点为点(1,0)D ，过点C 作CE ∥x 轴交直线l 于点E 、〔1〕求m 旳值及直线l 对应旳函数表达式； 〔2〕求点E 旳坐标；〔3〕求证：BAE ACB ∠=∠、24、如图，等边三角形ABC 旳边长为4，直线l 通过点A 并与AC 垂直、当点P 在直线l上运动到某一位置〔点P 不与点A 重合〕时，连接PC ，并将△ACP 绕点C 按逆时针方向旋转60︒得到△BCQ ，记点P 旳对应点为Q ，线段PA 旳长为m 〔0m >〕、 （1） ①QBC ∠=︒；②如图1，当点P 与点B 在直线AC 旳同侧，且3m =时，点Q 到直线l 旳距离等于； （2） 当旋转后旳点Q 恰好落在直线l 上时，点P ，Q 旳位置分别记为0P ，0Q 、在图2中画出现在旳线段0P C 及△0BCQ ，并直截了当写出相应m 旳值；〔3〕当点P 与点B 在直线AC 旳异侧，且△PAQ 时，求m 旳值、 25、如图1，关于平面上不大于90︒旳MON ∠，我们给出如下定义：假设点P 在MON ∠旳内部或边界上，作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，那么称PE PF +为点P 相关于MON ∠旳“点角距离”，记为(),d P MON ∠、如图2，在平面直角坐标系xOy 中，关于xOy ∠，点P 为第一象限内或两条坐标轴正 半轴上旳动点，且满足(),d P xOy ∠=5，点P 运动形成旳图形记为图形G 、 〔1〕满足条件旳其中一个点P 旳坐标是，图形G 与坐标轴围成图形旳面积等于； 〔2〕设图形G 与x 轴旳公共点为点A ，(3,4)B ，(4,1)M ，求(),d M AOB ∠旳值；〔3〕假如抛物线212y x bx c =-++通过〔2〕中旳A ，B 两点，点Q 在A ，B 两点之间旳抛物线上〔点Q 可与A ，B 两点重合〕，求当(),d Q AOB ∠取最大值时，点Q旳坐标、北京市西城区2018-2018学年度第一学期期末九年级数学试卷参考【答案】及评分标准2018.1【一】选择题〔此题共32分，每题4分〕【二】填空题〔此题共16分，每题4分〕 9、3、10.28、11.415、12.〔1〕m ；〔2〕3. 【三】解答题〔此题共30分，每题5分〕13、解：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒232=-⎝⎭3分 121.2=…………………………………………………………………………………5分 14、解：2410x x -+=、∵1a =，4b =-，1c =，………………………………………………………1分∴224(4)41112b ac -=--⨯⨯=、………………………………………………2分∴x ==………………………………………………3分422±== ∴原方程旳解是12x =+22x =5分15、解：连接OC 、〔如图1〕∵PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，∴OC ⊥PC ，………………………………………………………………………1分 PC =PD ，∠OPC=∠OPD 、∴CD ⊥OP ，CD =2CE 、…………………………2分∵21tan =∠CPO ， ∴1tan tan 2OCE CPO ∠=∠=、……………3分 设OE=k ，那么CE=2k ，OC =、〔0k >〕 ∵⊙O 旳半径等于=3k =、∴CE=6、…………………………………………………………………………4分 ∴CD =2CE=12、…………………………………………………………………5分16、〔1〕画图见图2、……………………………2分 〔2〕由图可知△ABC 是直角三角形，AC=4，BC=3，因此AB=5、……………………3分线段AB 在旋转到AB '旳过程中所扫过区域是一个扇形，且它旳圆心角为90°，半径为5、………………………………………4分 ∴221125ππ5π444AB B S AB '=⨯=⨯=扇形、 ……………………………………5分因此线段AB 在旋转到AB '旳过程中所扫过区域旳面积为25π4、 17、解：依照题意，得(20)(80010)8000a a --=、〔20≤a ≤80〕……………………1分整理，得210024000a a -+=、可得(40)(60)0a a --=、解方程，得140a =，260a =、……………………………………………………3分 当140a =时，800108001040400a -=-⨯=〔件〕、 当260a =时，800108001060200a -=-⨯=〔件〕、因为要使每天旳销售量尽量大，因此40a =、…………………………………4分 答：商店打算要每天恰好盈利8000元，同时要使每天旳销售量尽量大，每件商品旳售价应是40元、………………………………………………………………………5分 18、解：〔1〕当0a =时，函数21y x =+旳图象与x 轴只有一个公共点成立、…………1分 〔2〕当a ≠0时，函数2(2)1y ax a x a =++++是关于x 旳二次函数、∵它旳图象与x 轴只有一个公共点，∴关于x 旳方程2(2)10ax a x a ++++=有两个相等旳实数根、………2分∴2(2)4(1)0a a a ∆=+-+=、………………………………………………3分整理，得2340a -=、解得a =、……………………………………………………………5分 综上，0a =或a =、 【四】解答题〔此题共20分，每题5分〕19、解：如图3，由题意，可得∠PAC =30°，∠PBC =60°、 …………………………………………2分∴30APB PBC PAC ∠=∠-∠=︒、∴∠PAC=∠APB 、∴PB =AB =400、……………………………3分在Rt △PBC 中，∠PCB =90°，∠PBC =60°，PB =400，∴sin 400346.4PC PB PBC =⋅∠==≈346〔米〕、………………4分 答：灯塔P 到环海路旳距离PC 约等于346米、……………………………………5分 20、〔1〕证明：如图4、∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，∴∠B =∠C =90°，∠EFG =90°，BC =CD ，GH=EF=FG 、又∵点F 在BC 上，点G 在FD 上，∴∠DFC +∠EFB =90°，∠DFC +∠FDC =90°， ∴∠EFB =∠FDC 、……………………1分 ∴△EBF ∽△FCD 、……………………2分〔2〕解：∵BF =3，BC =CD =12，∴CF =9，15DF 、由〔1〕得BE CFBF CD=、 ∴399124BF CF BE CD ⨯⨯===、……………………………………………3分∴154GH FG EF ==、……………………………………4分454DG DF FG =-=、 ∴1tan 3GH HDG DG ∠==、…………………………………………………5分21、〔1〕补全图形见图5、…………………………………………1分 〔2〕证明：∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称，∴∠DBC =2∠ABC 、……………………………2分 又∵2AOC ABC ∠=∠，∴AOC DBC ∠=∠、……………………………3分〔3〕解：∵，∴∠A =∠D 、又∵AOC DBC∠=∠，∴△AOE ∽△DBM∴OE BMOA BD=、 ∵3OC OE =，OA=OC ， ∴13BM OE OE BD OA OC ===、 ∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称， ∴BC =BD 、BF=BF∴13BM BM BC BD ==、…………………………………………………………5分 22、解：〔1〕(1,4)A --，(3,0)B -、………………………………………………………2分画图象见图6、………………………………………………………………3分〔2〕由题意得变换后旳抛物线1C 旳相关点旳坐标如下表所示：设抛物线1C 对应旳函数表达式为2(2)2y a x =+-、〔a ≠0〕 ∵抛物线1C 与y 轴交点旳坐标为(0, 1.5)-，∴3422a -=-、 解得18a =、∴221113(2)28822y x x x =+-=+-、………5分∴抛物线1C 对应旳函数表达式为2113822y x x =+-说明：其他正确解法相应给分、【五】解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分〕 23、解：〔1〕∵点1(,2)2A 在反比例函数my x=〔m 为常数〕旳图象G 上， ∴1212m =⨯=、………………………………………………………………1分 ∴反比例函数m y x =〔m 为常数〕对应旳函数表达式是1y x=、设直线l 对应旳函数表达式为y kx b =+〔k ，b 为常数，k ≠0〕、∵直线l 通过点1(,2)2A ，(1,0)D ，∴12,20.k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得4,4.k b =-⎧⎨=⎩∴直线l 对应旳函数表达式为44y x =-+、………………………………2分 〔2〕由反比例函数图象旳中心对称性可知点C 旳坐标为1(,2)2C --、…………3分 ∵CE ∥x 轴交直线l 于点E ， ∴E C y y =、∴点E 旳坐标为3(,2)2E -、…………………………………………………4分〔3〕如图7，作AF ⊥CE 于点F ，与过点B 旳y 轴旳垂线交于点G ，BG 交AE 于点M ，作CH ⊥BG 于点H ，那么BH ∥CE ，BCE CBH ∠=∠、 ∵1(,2)2A ，1(,2)2C --，3(,2)2E -，∴点F 旳坐标为1(,2)2F -、∴CF =EF 、 ∴AC =AE 、∴∠ACE =∠AEC 、…………………………5分∵点(3,)B n 在图象G 上，∴13n =，∴1(3,)3B ，11(,)23G ，11(,)23H -、在Rt △ABG 中，1223tan 1332AG ABH BG -∠===-， 在Rt △BCH 中，1223tan 1332CH CBH BH +∠===+， ∴ABH CBH ∠=∠、…………………………………………………………6分 ∴BCE ABH ∠=∠、∵BAE AMH ABH AEC ABH ∠=∠-∠=∠-∠，ACB ACE BCE ∠=∠-∠， ∴∠BAE =∠ACB 、……………………………………………………………7分24、解：〔1〕①QBC ∠=90︒；………………………………………………………………1分②m =3时，点Q 到直线l 旳距离等于、………………………………2分 〔2〕所画图形见图8、…………………………3分m =4分 〔3〕作BG ⊥AC 于点G ，过点Q 作直线l 旳垂线交l∵CA ⊥直线l ，∴∠CAP =90︒、易证四边形ADFG 为矩形、∵等边三角形ABC 旳边长为4，∴∠ACB =60︒，122DF AG CG AC ====，1302CBG CBA ∠=∠=︒、 ∵将△ACP 绕点C 按逆时针方向旋转60︒得到△BCQ ，∴△ACP ≌△BCQ 、∴AP =BQ =m ，∠PAC =∠QBC =90︒、 ∴∠QBF =60︒、在Rt △QBF 中，∠QFB =90︒，∠QBF =60︒，BQ=m ，∴QF =、……………………………………………………………5分 要使△PAQ 存在，那么点P 不能与点A ，0P 重合，因此点P 旳位置分为以下两种情况：① 如图9，当点P 在〔2〕中旳线段0P A 上〔点P 不与点A ，0P 重合〕时，可得0m <<Q 在直线l 旳下方、∴2DQ DF QF =-=、∵1APQ S APDQ ∆=⋅=∴1(2)2m =、240m -+=、 解得1m=或2m=经检验，m =0m <<7分② 如图10，当点P 在〔2〕中旳线段0AP 旳延长线上〔点P 不与点A ，0P 重合〕时，可得m >Q 在直线l 旳上方、 ∴22DQ QF DF =-=-、∵12APQS AP DQ ∆=⋅=∴.12)2m -=、 整理，得2330m --=、解得m 〔舍负〕、 经检验，m =在3m >8分综上所述，m =32132+时，△PAQ 、25、解：〔1〕满足条件旳其中一个点P 旳坐标是(5,0)；…………………………………1分 〔说明：点(,)P x y 旳坐标满足5x y +=，0≤x ≤5，0≤y ≤5均可〕 图形G 与坐标轴围成图形旳面积等于252、…………………………………2分 〔2〕如图11，作ME ⊥OB 于点E ，MF ⊥x 轴于点F ，那么MF =1，作MD ∥x 轴，交OB于点D ，作BK ⊥x 轴于点K 、由点B 旳坐标为(3,4)B ，可求得直线OB 对应旳函数关系式为43y x =、 ∴点D 旳坐标为3(,1)4D ，313444DM =-=、 ∴OB =5，4sin 5BK AOB OB ∠==， 4sin sin 5MDE AOB ∠=∠=、 ∴13413sin 455ME DM MDE =⋅∠=⨯=、 ………………………………………3分 ∴1318(,)155d M AOB ME MF ∠=+=+=、 ………………………………………4分〔3〕∵抛物线212y x bx c =-++通过(5,0)A ，(3,4)B 两点， ∴221055,21433.2b c b c ⎧=-⨯++⎪⎪⎨⎪=-⨯++⎪⎩解得2,5.2b c =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴抛物线对应旳函数关系式为215222y x x =-++、………………………5分 如图12，作QG ⊥OB 于点G ，QH ⊥x 轴于点H 、作QN ∥x 轴，交OB 于点N 、设点Q 旳坐标为(,)Q m n ，其中3≤m ≤5， 那么215222QH n m m ==-++、同〔2〕得4sin sin 5QNG AOB ∠=∠=、 ∴点N 旳坐标为3(,)4N n n ，34NQ m n =-、 ∴43sin ()54QG NQ QNG m n =⋅∠=-4355m n =-、 ∴4342(,)5555d Q AOB QG QH m n n m n ∠=+=-+=+ 24215(2)5522m m m =+-++ 218155m m =-++ 2121(4)55m =--+、 ∴当4m =〔在3≤m ≤5范围内〕时，(),d Q AOB ∠取得最大值〔215〕、 …………………………………………………………6分现在点Q 旳坐标为5(4,)2、…………………………………………………7分。

D. 16石景山区2015—2016学年第一学期初二期末试卷数学学校 ________________ 姓名 _____________ 准考证号 _______________一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.• • 1. 4的平方根是（ ） A. ±2 B ・ 2C ・-22.下列图形中是轴对称图形的为（）*心区A ・B ・3.下列事件中，属于随机事件的是（）A.袋中只有5个黄球，摸出•个球是白球B. 从分别写有2, 4, 6的三张卡片中随机抽出•张，卡片上的数字能被2整除C. 用长度分别是2cm, 3cm, 6cm 的细木条首尾相连组成一个三角形D. 任意买•张电影票，座位号是偶数4.若代数式有意义，则X 的取值范围是（）A ・ X> 1B ・ X 1C ・ XHlD ・ xWl5. 在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别•从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（ ） 1112 A. —B. —C. —D.—62336•在丄，一屈，兀，2.016016016-, 苗这五个数中，无理数有（ ）个D.A. 1 B・2 C・3 D・47.化简——-X—1「严果是（>A・X+\ B.1 c. X—1X D・X+1x — l8.如图，RlZkACB 中，ZACB = 90。

•ZA = 15°,A3的垂直平分线与AC交于点D,与AB交于点连接•若AQ = 14,则BC的长为（）A・4 B・5 C・6 D・7AC 上，乙的度数为（ ）A. 10° B ・15°C. 20°D. 25°10・如图1是我国古围成的.若AC = 6, BC = 5, 将四个直角三角形中边长为6的 直角边分二、填空题11.若分式匚二^的值为0,则兀=x + 39.如图1,已知三角形纸片ABC. AB = AC, ZC = 65°.将其折叠，如图2,使点A 与点3重合，折痕为££>,点E, D 分别在A3,第10题图116.对于两个非零的实数"，b,'是义运算※如下:例如：3^4=1-12・若实数a,力满足（a + JJF + JS 二［ = 0,则乞=___________b 13. 如图，BC = EF , Z1 = ZF •请你添加一个适当的条件 _______________ ,使得△ ABC^DEF （只需填一个答案即可）.47 7n ）r nr14. 计算：一一^―•—=・m nr /r15・我国传统数学重要箸作《九章算术》内容十分丰富，全书采用问 题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题， 其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有 证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术.《九章算术》中记载“今有竹爲一丈，末折抵地，去本三尺•问：折者高几何？ ” 译文：一根竹子，原爲一丈.虫伤有病，一阵风将竹子 折斷，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部 3尺远•问：原处还有多商的竹子？ （1丈二10尺） 答：原处的竹子还有 尺髙. 若2探（2x — l ） = l,则x 的值为 ________第15题三、解答题（本题共52分，第17题3分；第18题4分；第19-27题，每小题5分）解答应写出文字说明.演算步骤或证明过程.18.计算：V18-4J1-2(>/2-1). 19・解方程：--------22.如图，(1) 作ZCAB 的角平分线AP,交CD 于点M. (要求：尺规作图，并保留作图痕迹，不写作法)23. 中秋节期间，某商场设立了一个可以自由转17. 计算：|2 —若|一返+ (-丄尸. 2动的转盘，转盘被分成三个而积相等的扇形，三个 扇形区域里分別标有“10元”、“20元”、“30元” 的字样(如图).规肚：同一天内，顾客在本商场 每消费满100元，就可以转动转盘一次，商场根据 转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券. 某顾客当天消费240元，转了两次转盘. (1)该顾客最多可得 ________ 元购物券；(2)用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于40元的槪率.24・如图建立了一个由小正方形组成的网格(每个小正方形的边长为1)・r(1)在图1中，画出AABC关于直线/对称的△4'B'C'；(2)在图2中，点£>, E为格点(小正方形的顶点)，则线段DE =若点F也是格点且使得厶DEF是等腰三角形，标出所有的点F.25.列方程解应用题：为治理雾霾保护环境，某地政府il•划对辖区内60km:的丄地进行绿化.为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化而积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务. 求原计划平均每月的緑化面积.26.已知：A ABC 中，ZA = 30°> AB = 6, BC = 2®求：AC的长.27.等边AABC的边长为4, D是射线BC上任一点，线段AQ绕点D顺时针旋转60。

北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷九年级数学 2015. 1一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果ADE =120°，那么∠B 等于（ ） A ．130°B ．120°C ．80°D ．60°3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 4．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，如果△ABC 的面 积是3，那么△A ′B ′C ′的面积等于A ．3B ．6C ．9D ．12 6．如果关于x 的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是A ．m ＞2B ．m ≥3C ．m ＜5D ．m ≤57．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是 A ．512B ．513 C ．1213D ．1258．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y 轴的抛物线与网格对角线OM 的两个交点为A ，B ，其顶点为C ，如果△ABC 是该抛物线的内接格点三角形，AB =，且点A ，B ，C 的横坐标A x ，B x ，C x 满足A x ＜B x ＜C x ，那么符合上述条件的抛物线条数是（ ） A ．7 B ．8 C ．14 D ．16二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x=-错误！未找到引用源。

北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如果3=4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=2，则tanA的值为（）A．B．2C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为（）A．B．C．D．5．如果在二次函数的表达式y=a2+b+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．6．若二次函数y=2+2+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m＞1且m≠0D．m＜1且m≠07．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象，其中原函数图象上的两点A（1，m）、B（4，n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为（）A．B．C．D．8．如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为．10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．若∠ADE=∠C，AB=6，AC=4，AD=2，则EC= ．11．如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm ．若点C 、D 是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是 cm 2．12．“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC 的坡度达到1：1.2，那么立柱AC 的长为 米．13．如图，一次函数y 1=+b 的图象与反比例函数y 2=的图象相交于点A 和点B ．当y 1＞y 2＞0时，的取值范围是 ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于 ．15．如图，在平面直角坐标系Oy 中，△ABC 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：．16．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草．下面是小美的设计（如图2）．作法：（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C，分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C，交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2．则．请回答，成立的理由是：①；②．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．18．（5分）用配方法求二次函数y=2﹣10+3的顶点坐标．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a=2，sin，求b和c．20．（5分）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．21．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）22．（5分）在平面直角坐标系Oy中，一次函数y=+b的图象与轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是．23．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．24．（5分）二次函数y=2﹣2m+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤≤1时，求y的取值范围．25．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．26．（7分）在平面直角坐标系Oy中，抛物线y=﹣2+m+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．27．（7分）在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ 交射线DC于点E，连接BP．（1）当点P在线段AC上时，如图1．①依题意补全图1；②若EQ=BP，则∠PBE的度数为，并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）28．（8分）在平面直角坐标系Oy中，点P的坐标为（1，y1），点Q的坐标为（2，y2），且1≠2，y 1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为°；（2）若点C的坐标为，点D在直线y=4上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为，点N在双曲线y=﹣上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相的取值范围．关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标N北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如果3=4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质，可得答案．【解答】解：A、由比例的性质，得4=3y与3=4y不一致，故A不符合题意；B、由比例的性质，得y=12与3=4y不一致，故B不符合题意；C、由比例的性质，得4=3y与3=4y不一致，故C不符合题意；D、由比例的性质，得3=4y与3=4y一致，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=2，则tanA的值为（）A．B．2C．D．【分析】本题需先根据已知条件，得出BC的长，再根据正切公式即可求出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AB=，AC=2，∴BC=1，∴tanA==．故选：A．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据在直角三角形中，正切等于对边比邻边这个公式计算是本题的关键．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°【分析】根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题．【解答】解：∵∠AOD=2∠ACD，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为（）A．B．C．D．【分析】连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长．【解答】解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=OC=2，∵OC⊥AB，∴D为AB的中点，则AB=2AD=2=2=4．故选：B．【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解本题的关键．5．如果在二次函数的表达式y=a2+b+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由a＞0，b＜0，c＜0，推出﹣＞0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断．【解答】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．若二次函数y=2+2+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m＞1且m≠0D．m＜1且m≠0【分析】由抛物线与坐标轴有三个交点可得出：方程2+2+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，利用根的判别式△＞0可求出m的取值范围，此题得解．【解答】解：∵二次函数y=2+2+m的图象与坐标轴有3个交点，∴方程2+2+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，∴△=22﹣4m＞0，∴m＜1．∴m＜1且m≠0．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点以及根的判别式，利用根的判别式△＞0找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．7．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象，其中原函数图象上的两点A（1，m）、B（4，n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为（）A．B．C．D．【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分），得出AA′=2，然后根据平移规律即可求解．【解答】解：∵函数y=（﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=2，∴A（1，1），B（4，2），过A作AC∥轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC=4﹣1=3，∵曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=6，∴AA′=2，即将函数y=（﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=（﹣2）2+3．故选：B ．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题关键．8．如图，点M 为▱ABCD 的边AB 上一动点，过点M 作直线l 垂直于AB ，且直线l 与▱ABCD 的另一边交于点N ．当点M 从A→B 匀速运动时，设点M 的运动时间为t ，△AMN 的面积为S ，能大致反映S 与t 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】当点N 在AD 上时，可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当点N 在DC 上时，MN 长度不变，可得后半段函数图象为一条线段． 【解答】解：设∠A=α，点M 运动的速度为a ，则AM=at ， 当点N 在AD 上时，MN=tanα×AM=tanα•at，此时S=×at ×tanα•at=tanα×a 2t 2，∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分， 当点N 在DC 上时，MN 长度不变，此时S=×at ×MN=a ×MN ×t ， ∴后半段函数图象为一条线段， 故选：C ．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为4：9 ．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：因为两个相似三角形的周长比为2：3，所以这两个相似三角形的相似比为2：3，所以这两个相似三角形的面积比为4：9；故答案为：4：9．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．若∠ADE=∠C，AB=6，AC=4，AD=2，则EC= 1 ．【分析】只要证明△ADE∽△ACB，推出=，求出AE即可解决问题；【解答】解；∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB，∴=，∴=，∴AE=3，∴EC=AC﹣AE=4﹣3=1，故答案为1．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．11．如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm．若点C、D是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是cm2．【分析】由题意可知C 、D 是弧AB 的三等分点，通过平移可把阴影部分都集中到一个小扇形中，可发现阴影部分正好是扇形AOB 的，先求出扇形AOB 的面积再求阴影部分的面积或者直接求圆心角是20度，半径是3的扇形的面积皆可．【解答】解：S 扇形OAB =，S 阴影=S 扇形OAB =×π=π．故答案为：【点评】此题考查扇形的面积问题，通过平移的知识把小块的阴影部分集中成一个规则的图形﹣﹣扇形，再求算扇形的面积即可．利用平移或割补把不规则图形变成规则图形求面积是常用的方法．12．“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC 的坡度达到1：1.2，那么立柱AC 的长为 2.5 米．【分析】由坡度的概念得出=，根据AB=3可得AC 的长度．【解答】解：根据题意知=，∵AB=3，∴=，解得：AC=2.5， 故答案为：2.5．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义．13．如图，一次函数y 1=+b 的图象与反比例函数y 2=的图象相交于点A 和点B ．当y 1＞y 2＞0时，的取值范围是 ﹣2＜＜﹣0.5 ．【分析】根据一次函数与反比例函数交点纵坐标，结合图象确定出所求的范围即可． 【解答】解：根据图象得：当y 1＞y 2＞0时，的取值范围是﹣2＜＜﹣0.5， 故答案为：﹣2＜＜﹣0.5【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，弄清数形结合思想是解本题的关键．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于 5．【分析】连接CD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD ，求出圆的半径的长，再利用勾股定理列式进行计算即可得解． 【解答】解：如图，∵∠C=90°，点D 为AB 的中点， ∴AB=2CD=10， ∴CD=5， ∴BC=CD=5，在Rt △ABC 中，AC===5．故答案为：5．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，求出圆的半径的长是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系Oy中，△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．【分析】根据对应点C与点F的位置，结合两三角形在网格结构中的位置解答．【解答】解：△ABC向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°即可得到△DEF，所以，过程为：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．故答案为：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．【点评】本题考查了几何变换的类型，平移、旋转，准确识图是解题的关键．16．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草．下面是小美的设计（如图2）．作法：（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C，分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C，交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2．则．请回答，成立的理由是：①平行线分线段成比例定理；②等底共高．【分析】根据平行线分线段成比例定理和等底共高求解可得．【解答】解：由BB1=B1B2=B2B3且B1C1∥B2C2∥B3C，依据平行线分线段成比例定理知BC1=C1C2=C2C，再由△ABC1，△AC1C2与△AC2C等底共高知，故答案为：①平行线分线段成比例定理；②等底共高．【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理和等底共高的两三角形面积关系．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=3×﹣（）2+﹣2×=﹣+2﹣=．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18．（5分）用配方法求二次函数y=2﹣10+3的顶点坐标．【分析】把解析式化为顶点式即可．【解答】解：∵y=2﹣10+3=（﹣5）2﹣22，∴二次函数的顶点坐标为（5，﹣22）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（﹣h）2+中，顶点坐标为（h，），对称轴为=h．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a=2，sin，求b和c．【分析】先根据sinA=知c==6，再根据勾股定理求解可得．【解答】解：如图，∵a=2，sin，∴c===6，则b===4．【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦函数的定义及勾股定理．20．（5分）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．【分析】（1）根据题意画出树状图，即可解决问题；（2）根据树状图，利用概率公式即可求得小红获胜的概率，由概率相等，即可判定这个游戏公平；【解答】解：（1）树状图如右：则小红获胜的概率： =，小丁获胜的概率： =，所以这个游戏比较公平．【点评】本题考查的是用列表法与树状图法求事件的概率，解题的关键是学会正确画出树状图，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．．21．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】作AH⊥BN于H，设AH=m，根据正切的概念表示出CH、BH，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：如图，作AH⊥BN于H，设AH=m，∵∠ACN=45°，∴CH=AH=m，∵tanB=，∴BH=，则BH﹣CH=BC，即﹣=100，解得=50（+1）．答：这座山的高度为50（+1）m；【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．22．（5分）在平面直角坐标系Oy中，一次函数y=+b的图象与轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是（﹣2，0）或（6，0）．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用三角形的面积公式求出PA的长即可解决问题；【解答】解：（1）∵一次函数y=+b的图象与轴交于点A（2，0），∴2+b=0，∴b=﹣2，∴y=﹣2，当=3时，y=1，∴B（3，1），代入y=中，得到=3，∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵△PAB的面积是2，∴•PA•1=2，∴PA=4，∴P（﹣2，0）或（6，0）．【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．【分析】（1）由平行四边形的性质知CD∥AB，即∠DAF=∠CDE，再由CE⊥AD、DF⊥BA知∠AFD=∠DEC=90°，据此可得；（2）根据△ADF∽△DCE知=，据此求得DC=9，再根据平行四边形的性质可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠DAF=∠CDE，又∵CE⊥AD、DF⊥BA，∴∠AFD=∠DEC=90°，∴△ADF∽△DCE；（2）∵AD=6、且E为AD的中点，∴DE=3，∵△ADF∽△DCE，∴=，即=，解得：DC=9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质．24．（5分）二次函数y=2﹣2m+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤≤1时，求y的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称性和待定系数法求解即可；（2）根据二次函数的性质可得．【解答】解：（1）把点（1，﹣2）代入y=2﹣2m+5m中，可得：1﹣2m+5m=﹣2，解得：m=﹣1，所以二次函数y=2﹣2m+5m的对称轴是=﹣，（2）∵y=2+2﹣5=（+1）2﹣6，∴当=﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当=﹣4时y=3，当=﹣1时y=﹣6，∴当﹣4≤≤1时，﹣6≤y≤3．【点评】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．25．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠ACD=∠ABC，进而得出答案；（2）首先得出DC的长，即可得出FC的长，再利用已知得出BC的长，结合勾股定理求出答案．【解答】（1）证明：连接DC，∵AC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°，∵⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，∴∠BCA=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ABC ， ∴∠ABC=∠AED ；（2）解：连接BF ，∵在Rt △ADC 中，AD=，tan ∠AED=，∴tan ∠ACD==，∴DC=AD=，∴AC==8， ∵AF=6，∴CF=AC ﹣AF=8﹣6=2， ∵∠ABC=∠AED ，∴tan ∠ABC==，∴=，解得：BD=，故BC=6，则BF==2．【点评】此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识，正确得出∠ACD=∠ABC 是解题关键．26．（7分）在平面直角坐标系Oy 中，抛物线y=﹣2+m+n 经过点A （﹣1，0）和B （0，3）． （1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与轴的正半轴交于点C ，连接BC ．设抛物线的顶点P 关于直线y=t 的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分别求出点Q落在直线BC和轴上时的t的值即可判断；【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣2+m+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣2+2+3．（2）如图，易知抛物线的顶点坐标为（1，4）．观察图象可知当点P关于直线y=t的对称点为点Q中直线BC上时，t=3，当点P关于直线y=t的对称点为点Q在轴上时，t=2，∴满足条件的t的值为2＜t＜3．【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型．27．（7分）在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ 交射线DC于点E，连接BP．（1）当点P在线段AC上时，如图1．①依题意补全图1；②若EQ=BP，则∠PBE的度数为45°，并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）【分析】（1）①作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP；②依据题意得到DP=EP，再根据四边形内角和求得∠BPE=90°，根据BP=EP，即可得到∠PBE=45°；（2）连接PD，PE，依据△CPD≌△CPB，可得DP=BP，∠1=∠2，根据DP=EP，可得∠3=∠1，进而得到∠PEB=45°，∠3=∠4=22.5°，△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE长．【解答】解：（1）①作图如下：②如图，连接PD，PE，易证△CPD≌△CPB，∴DP=BP，∠CDP=∠CBP，∵P、Q关于直线CD对称，∴EQ=EP，∵EQ=BP，∴DP=EP，∴∠CDP=∠DEP，∵∠CEP+∠DEP=180°，∴∠CEP+∠CBP=180°，∵∠BCD=90°，∴∠BPE=90°，∵BP=EP，∴∠PBE=45°，故答案为：45°；（2）思路：如图，连接PD，PE，易证△CPD≌△CPB，∴DP=BP，∠1=∠2，∵P、Q关于直线CD对称，∴EQ=EP，∠3=∠4，∵EQ=BP，∴DP=EP，∴∠3=∠1，∴∠3=∠2，∴∠5=∠BCE=90°，∵BP=EP，∴∠PEB=45°，∴∠3=∠4=22.5°，在△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE长．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合运用，解决本题的关键是熟记全等三角形的性质定理和判定定理．28．（8分）在平面直角坐标系Oy中，点P的坐标为（1，y1），点Q的坐标为（2，y2），且1≠2，y 1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为120 °；（2）若点C的坐标为，点D在直线y=4上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为，点N在双曲线y=﹣上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标N的取值范围．【分析】（1）画出图形求出∠BAO的度数即可解决问题；（2）利用等边三角形的性质求出点D坐标即可解决问题；（3）因为点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，推出直线MN与轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y=﹣+b，当直线与⊙O相切于点M时，求出直线MN的解析式，利用方程组求出点N的坐标，观察图象即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵A的坐标为（0，1），点B的坐标为，∴点A，B的“相关等腰三角形”△ABC的当C（，0）或（﹣2，1），∵tan∠BAO==，∴∠BAO=∠CAO=60°，∴∠BAC=∠ABC′=120°，故答案为120．（2）如图2中，设直线y=4交y轴于F（0，4），∵C（0，），∴CF=3，∵且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，∴∠CDF=∠CD′F=60°，∴DF=FD′=3•tan30°=3，∴D（3，4），D′（﹣3，4），∴直线CD的解析式为y=+，或y=﹣+．（3）如图3中，∵点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，∴直线MN与轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y=﹣+b，当直线与⊙O相切于点M时，易知b=±2，∴直线MN的解析式为y=﹣+2或y=﹣﹣2，由，解得或，∴N（﹣1，3），N′（3，1），由解得或，∴N1（﹣3，1），N2（1，﹣3），观察图象可知满足条件的点N的横坐标的取值范围为：﹣3≤N ≤﹣1或1≤N≤3．【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、“相关等腰三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。