区间分析在中的应用非线性系统模型参数估计图文
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非线性系统分析-PPT课件可修改文字
k(x a) y 0
k(x a)
x a | x | a xa
死区特性对系统性能的影响： （1）由于死去的存在，增大了系统的稳态误差，降低了 系统的控制精度； （2）若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰 能力。 2．饱和特性
y
M
a k
0a
x
M
M
y
kx
M
x a | x | a xa
1
2
平面，相应的分析法称为相平面法；
相平面上的点称为相点；
由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称 为相平面轨迹，简称相轨迹；
不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族， 由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。
2.相轨迹方程和平衡点
考察二阶非线性时不变微分方程:
x f (x, x)
引入相平面的概念，将二阶微分方程改写成二 元一阶微分方程组:
此时两个状态变量对时间的变化率 都为零，系统的状态不再发生变化，即 系统到达了平衡状态，相应的状态点 （相点）称为系统的平衡点。平衡点处 有的斜率
dx 2 dx2 dt 0 dx1 dx1 0
dt
则上式不能唯一确定其斜率，相轨迹上斜 率不确定的点在数学上也称为奇点，故平 衡点即为奇点。
奇点处，由于相轨迹的斜率dx2／dx1为 不定值，可理解为有多条相轨迹在此交汇 或由此出发，即相轨迹可以在奇点处相交。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一 族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原 点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是 一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
无阻尼二阶线性系统的相轨迹
2、欠阻尼运动（01）
系统特征方程的根为一对具有负实部的共 轭复根,系统的零输入解为
区间估计ppt课件
极端值处理问题
剔除极端值
在数据分析前，对极端值进行识别和处理，如采用箱线图、Zscore等方法剔除异常值。
转换数据
对数据进行适当的转换，如对数转换、平方根转换等，使极端值的 影响减小。
使用稳健统计量
采用对极端值不敏感的稳健统计量进行区间估计，如中位数、截尾 均值等。
多重比较问题
控制比较次数
在实验设计和数据分析阶段，合理控制比较次数，避免不必要的 多重比较。
02
抽样分布与中心极限定理
抽样分布概念及类型
抽样分布概念
从总体中随机抽取一定数量的样本，统计量的分布称为抽样分布。
常见抽样分布类型
正态分布、t分布、F分布、卡方分布等。
中心极限定理内容及应用
中心极限定理内容
当样本量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的分布将近似于正态分布。
中心极限定理应用
在统计学中，中心极限定理是推断统计的理论基础，常用于区间估计、假设检验 等。
构造方法
根据样本均值、标准差和样本量，结 合正态分布或t分布的性质，可以构造 出总体均值的置信区间。
比例p置信区间构建方法
二项分布与比例估计
01
当总体服从二项分布时，样本比例是总体比例的一个良好估计
量。
置信区间的构造
02
利用样本比例、样本量和二项分布的性质，可以构造出总体比
例的置信区间。
注意事项
03
配对样本t检验原理及应用
原理
配对样本t检验是通过比较同一组样本在不同条件下的均值差异来检验两个总体均值是否存在显著差 异的方法。其原假设为两个总体均值相等，备择假设为两个总体均值不等或大于/小于另一个总体均 值。
应用
配对样本t检验适用于前后测量、两种处理方法等配对设计的数据分析。例如，在医学领域，可以通过 配对样本t检验来比较同一种药物在不同剂量下的疗效差异；在教育领域，可以通过配对样本t检验来 比较同一种教学方法在不同班级中的教学效果差异。
非线性系统分析 PPT课件
1 A
2 A
1 ( 2 )2 1 AA
1
(
1 A
)
2
第15页/共24页
7.3 非线性系统的描述函数法
通过描述函数，一个非线性环节就可以看作是一个线性环节，而非 线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用线性系统的频率 法对系统进行分析。这种利用描述函数对非线性系统分析的方法称为 描述函数法。但这种方法一般只能用于分析系统的稳定性和自振荡。
可以近似认为非线性环节的稳态输出中只包含有基波分量，即
y(t) A1 cos nt B1 sinnt Y1 sin(t 1)
式中：A1
Y1
1 2
0
A12
y (t ) B12 ,
costd (t),
1
arctg
A1 B1
1
B1
2
y(t ) sintd (t )
0
（2）描述函数的定义
③自激振荡的计算
对于稳定的自激振荡，其振幅和频率是确定并且是可以测量的，具 体的计算方法是：振幅可由 1 N(A) 曲线的自变量A来确定，振荡频率
y
2 1 k2
x 12
由串联后的等效非线性特性，对照表7-1的死区加饱和非线性特性， 可见，k 2,a 2, 1
第14页/共24页
于是，等效非线性特性的描述函数为
N ( A)
2k
arcsin
a A
arcsin
A
a A
1 ( a )2 AA
1
(
A
)
2
4
arcsin
2 A
arcsin第3页ຫໍສະໝຸດ 共24页三、典型非线性特性
（1）饱和特性
非参数估计(完整)PPT演示课件
P p xdx p xV R
Pˆ k N
pˆ x k / N
V
对p(x) 在小区域内的平均值的估计
9
概率密度估计
当样本数量N固定时，体积V的大小对估计的 效果影响很大。
过大则平滑过多，不够精确； 过小则可能导致在此区域内无样本点，k=0。
此方法的有效性取决于样本数量的多少，以 及区域体积选择的合适。
11
概率密度估计
理论结果：
设有一系列包含x 的区域R1，R2，…,Rn,…，对 R1采用1个样本进行估计，对R2用2 个，…， Rn 包含kn个样本。Vn为Rn的体积。
pn
x
kn / N Vn
为p(x)的第n次估计
12
概率密度估计
如果要求 pn x 能够收敛到p(x)，那么必须满足：
分布，而不必假设密度函数的形式已知。
2
主要内容
概率密度估计 Parzen窗估计 k-NN估计 最近邻分类器（NN） k-近邻分类器（k-NN）
3
概率密度估计
概率密度估计问题：
给定i.i.d.样本集： X x1, x2 , , xl
估计概率分布： p x
4
概率密度估计
10.0
h1 0.25
1.0
0.1
0.01
0.001 10.0
1.0
0.1
0.01
0.001 10.0
1.0
0.1
0.01
0.001 10.0
1.0
0.1
0.01
0.001 2 0 2
h1 1 2 0 2
h1 4 2 0 2 27
由图看出, PN(x)随N, h1的变化情况 ①当N＝1时， PN(x)是一个以第一个样本为中心的正
第7章 非线性模型参数估值
第7章 非线性模型参数估值7.1 引言数学模型是观测对象各影响因素相互关系的定量描述。
在获得实验数据并做了整理之后，就要建立数学模型。
这一工作在科学研究中有着十分重要的意义。
人们选用的模型函数可以是经验的，可以是半经验的，也可以是理论的。
模型函数选定之后，需要对其中的参数进行估值并确定该估值的可靠程度。
对于线性模型，待求参数可用线性最小二乘法求得，即用前一章中介绍的确定线性回归方程的方法。
对于非线性模型，通常是通过线性化处理而化为线性模型，用线性最小二乘法求出新的参数，从而再还原为原参数。
这种方法在处理经验模型时，简便易行，具有一定的实用价值。
但要注意到，这样做是使变换后的新变量y '的残差平方和(即剩余平方和)最小，这并不能保证做到使原变量y 的残差平方和也达最小值。
因此，得到的参数估计值就不一定是最佳的估计值。
可见在求理论模型的参数时，这种线性化的方法尚有其不足之处。
此外，还有些数学模型无法线性化，所以用线性化的方法是行不通的。
为此，需要一种对非线性模型通用的(不管是经验模型还是理论模型，不管这个模型能否线性化)，能够得到参数最佳估计值的参数估计方法。
在工程中，特别是在化学工程中的数学模型大多是非线性、多变量的。
设y ˆ为变量x 1，x 2，…，x p ，的函数，含有m 个参数b 1，b 2，…，b m ，则非线性模型的一般形式可表示为:=y ˆf （x 1，x 2，…，x p ；b 1，b 2，…，b m ） (7.1) 或写为 ),(ˆb x f y= (7.2) 式中x 为p 维自变量向量，b 为m 维参数向量。
设给出n 组观测数据x 1 ，x 2 ，… ，x n y 1 ，y 2 ，… ，y n我们的目的是由此给出模型式(7.2)中的参数b 的最佳估计值。
可以证明，这个最佳估计值就是最小二乘估计值。
按最小二乘法原理，b 应使Q 值为最小，即∑==-=ni i i yy Q 12min )ˆ( 或写成 ∑==-=ni i i f y Q 12min )],([b x (7.3)现在的问题是根据已知的数学模型和实验数据,求出使残差平方和最小,即目标函数式(7.3)取极小值时的模型参数向量b 。
参数的区间估计ppt课件
~
N(0,
1),
对给定的置信度 1- ,
令(u/2) 12, 查正态分布表可得 u/2 ,
12
m
n22
2
2
|U | u /2 X Y u /2
m 11 2X Y u /2
2
n
即得置信区间 (XYu/2 m 1 2, XYu/2 n 2 2)
(二) 两个正态总体置信区间的求法
设 X1, …, Xm分别是总体 X ~ N( 1 ,12)的样本, Y1, …, Yn分别 是总体 Y ~ N( 2 ,22)的样本, X─ , Y─ 分别是总体 X 和 Y 的样本均值,
Sn
置信区间为( X S t(n-1),X S t(n-1))
n2
n2
这里,t0.05 (5) 2.015, 代入得的90%的
置信区间为(2.106, 2.140)
ppt精选版
15
注:两种不同的条件,得到两种不同的结果.
其可靠性相同,而精度却不同,已知时的 估计精度比未知时的估计精度差.但一般
( 1 ) = 0 0 .1已 知 时 , 选 取
U= X N(0,1) 0 n
置信区间为(
X
0
Z ,X
0
Z)
n2
n2
这 里 ,Z0.05 1.645, n 6, 代 入 得 的 90%的
置 信 区 间 为 (2.056, 2.190)
ppt精选版
14
(2) 未知时,选取
T= X t(n-1)
z
/
2
<
a
<
X
1 n
z
/2}=1-
如 果 取 0.05有 Z /2 1.96,于 是 有
非线性系统分析方法PPT课件
相轨迹振荡远离原点，为 不稳定焦点
第30页/共52页
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
0
中心点
相轨迹为同心圆，该奇点为 中心点
第31页/共52页
••
•
x 2n x n2 x 0
j s
dx/dt x
s 平面
鞍点
系统特征根一正一负，相轨 迹先趋向于——然后远离原 点，称为鞍点
第32页/共52页
•
x
x 0
相平面
•
x/ 0
x 0
•
(0,10) x
x 0
相平面 (0,-10)
第24页/共52页
4. 相轨迹的奇点
➢定义：二阶系统
••
•
x f (x, x) 0
在相平面上满足
x 0
f
(x,Βιβλιοθήκη x)0➢在奇点上相轨迹的斜率不定，为
的点
•
•
d x f (x, x) 0
dx
•
x
0
由奇点可以引出不止一条相轨迹
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
第49页/共52页
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
•
相轨迹的等倾线方程 • f (x, x) x
第16页/共52页
•
• f (x, x)
x
第8章非线性系统分析PPT课件
奇点称为不稳定的节点。
• 此时相轨迹如右图所示。奇
点称为鞍点，该奇点是不稳
x定的2。nx n2x 0
-
24
特征根和奇点的对应关系
-
25
二、相轨迹作图法
1 等倾线法
设系统微分方程如 xf(x,x)
化为
dx dx
f (x, x) x
令
f
(x, x
x)
a
其中 a为某个常数
表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点
A1
x0 x0 2 1 2
A2
x0 x01 1 2
x(t) A 1 q 1 e q 1 tA 2 q 2 e q 2 t
-
22
（4）负阻尼运动
10
• 相轨迹图如右图所示，此时相
轨迹仍是对数螺旋线，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散 的。这种奇点称为 不稳定的 焦点 。
-
23
1
• 系统的相轨迹图如右图所示，
-
53
饱和特性及其输入-输出波形
-
54
三、间隙特性的描述函数
A / 1 1 2 K ( 2 X b 0 ) c / 21K ( t /o 2 X ( d st ) a s ir t n c1 K sb 1( ) X ic ns 2Xb(o )tt i d ( s b n ) tc ) t o ( d t ) s
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的 一种常见的非线性因素。
•数学表达式为
x2
Kx1 bsi
x2 0
g1nx
| |
x2
K x2
K
x1 x1
|b |b
间隙非线性特性
• 此时相轨迹如右图所示。奇
点称为鞍点，该奇点是不稳
x定的2。nx n2x 0
-
24
特征根和奇点的对应关系
-
25
二、相轨迹作图法
1 等倾线法
设系统微分方程如 xf(x,x)
化为
dx dx
f (x, x) x
令
f
(x, x
x)
a
其中 a为某个常数
表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点
A1
x0 x0 2 1 2
A2
x0 x01 1 2
x(t) A 1 q 1 e q 1 tA 2 q 2 e q 2 t
-
22
（4）负阻尼运动
10
• 相轨迹图如右图所示，此时相
轨迹仍是对数螺旋线，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散 的。这种奇点称为 不稳定的 焦点 。
-
23
1
• 系统的相轨迹图如右图所示，
-
53
饱和特性及其输入-输出波形
-
54
三、间隙特性的描述函数
A / 1 1 2 K ( 2 X b 0 ) c / 21K ( t /o 2 X ( d st ) a s ir t n c1 K sb 1( ) X ic ns 2Xb(o )tt i d ( s b n ) tc ) t o ( d t ) s
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的 一种常见的非线性因素。
•数学表达式为
x2
Kx1 bsi
x2 0
g1nx
| |
x2
K x2
K
x1 x1
|b |b
间隙非线性特性
自动控制原理第七章非线性系统ppt课件
7.1.3 非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无 法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
N ( A)
Y1 A
1
4M
A
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
2.饱和特性
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时，
饱和特性的输出波形如图7-10所示。
y
x
N
M
k 0a
x
yy
0 ψ1
π
2π
ωt
0 x
ψ1
π
A sin 1
x(t) Asint
则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级 数：
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) n1
若系统满足上述第二个条件，则有A0=0
An
1
2 y(t ) cos ntd t
0
Bn
1
2 y(t ) sin ntd t
0
由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn
参数的区间估计(1)ppt课件
应着重指出，由于置信限 与 均为统计量，所 以它们都是不依赖于未知参数 的随机变量，即 置信区间（ ， ）是一个随机区间．
当得到一个样本值之后，（ ， ）是一个确定的
区间．此区间要么包含 的真值，要么不包含 的
真值，二者必居其一．
因此，只有在一个样本值取出之前，关于置信 区间包含未知参数的概率的说法才有意义．
x
t
2
n
1
s n
1259
14.8．
即认为这一金属材料熔点的真值在（ 1244.2，
1273.8）内的可信程度为 95%．
2. 方差 2的置信区间
由§6.3 中（6.26）式知
2
n
1 S 2
2
~ 2 n 1，
且此分布与 2无关．
由 2 变量的上侧分位点的几何意义知，对于给
定的置信度1
，存在
的可信程度为 95%．
从（7.16）中的置信区间容易看出：对于固
定的样本容量 n，置信度1 越大，区间长度
2u 2 n 越大；相反地，要缩短区间长度，置信
度就得降低．对于给定的置信度1 ，要使区间
长度 2u 2 n 变小，只有增大样本容量n．这与 直观相一致，取样愈大，估计当然愈精确．
另外还需指出，对于给定的置信度1 和固 定的样本容量n，均值 的置信区间并不是唯一的．
寿命 y 980（h），标准差 s2 32（h）．设两个型号 灯泡的寿命都服从正态分布，且由生产过程值，两
个正态总体的方差相等．试求均值差 1 2的置信
度为 0.95 的置信区间．
解 根据实际情况，可认为来自不同正态总体的 两个样本是相互独立的．
又因两个总体的方差相等而未知，故可用
《非线性系统分析》PPT课件
0
M
x h2 h2 x h1
x h1
(7 4a)
.
当x 0:
M
y
0
M
x h1 h1 x h2
x h2
(7 4b)
19
图（b）所示继电特性的数学描述由 读者自行导出。
20
4、间隙特性
传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性 特性，齿轮传动是典型的间隙特性，图7-4（a） 表示齿轮传动原理，图7-4（b）表示主动轮位移 与从动轮位移的关系。设主动轮与从动轮间的最 大间隙为2b，那么当主动轮改变方向时，主动轮 最大要运动2b从动轮才能跟随运动。间隙特性类 似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对 控制系统的动态、稳态特性都不利。设齿轮传动 速比为，则图7-4间隙特性的数学描述为：
22相平面法是庞加莱poincare1885年首先提出的本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法两个变量构成的直角坐标系称为相平面方程组的解在相平面上的图象称为相轨这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统并形成了一种特定的相平面法它对弄清非线性系统的稳定性稳定域等基本属性解释极限环等特殊现象起到了直观形象的作23因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的所以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力
一点在 x x平面上绘出的曲线，表征了系统的
运动过程，这个曲线就是相轨迹。我们用一个二 阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。
26
例7-1 考虑二阶系统：
..
x ax 0 , a 0, x(t0 ) x0 ,
将它写成微分方程组：
dx
.
x
dt.
d x ax
dt
两式相除得到：
.
dx dx
参数的区间估计三
缺点
依赖于样本数据
区间估计的结果依赖于样本数据， 因此可能会受到样本波动的影响。
可能存在误导
如果样本量较小或者数据分布不 符合假设条件，那么置信区间可 能会产生误导，使得人们对参数 真值的范围产生错误的判断。
计算相对复杂
相比于点估计，区间估计的计算 相对复杂，需要更多的计算资源 和时间。
与其他方法的比较
选择
在实际应用中，通常会根据问题的具体要求和研究者的经 验来选择合适的置信水平，常用的置信水平有90%、95% 和99%等。
区间宽度
01
定义
区间宽度是指置信区间的上限与下限之差。
02
重要性
区间宽度反映了区间估计的精确程度，宽度越窄，说明估计的精度越高。
03
影响因素
样本量、总体分布、置信水平等因素都会影响区间宽度。在样本量一定
04
区间估计的优缺点
优点
提供了参数估计的范围
区间估计给出了参数的一个置信区间，这个区间包含了参数真值 的一个范围，从而提供了比点估计更多的信息。
置信水平可调整
通过调整置信水平，可以得到不同宽度的置信区间，以适应不同的 需求。
反映了估计的不确定性
置信区间反映了估计的不确定性，即参数真值落在某个范围内的概 率。
的情况下，置信水平越高，区间宽度越宽；总体分布越离散，区间宽度
也越宽。
无偏性
定义
无偏性是指对于总体参数的估计量，其期望值等于总体参数的真值。
重要性
无偏性是评价估计量优良性的一个重要标准，它保证了在多次重复抽样下，估计量的平均 值能够接近总体参数的真值。
检验方法
通常通过计算估计量的偏差（即估计量的期望值与总体参数真值之差）来判断其是否具有 无偏性。如果偏差为零，则该估计量是无偏的。
大学生课件_数学统计学：回归模型课件：第四节 非线性回归模型的参数估计
模型转化成多元线性回归模型。
例5(P49) 求某行业的总成本函数和边际成本函数
(Eviews实现)
*二、 不可线性化模型
一般采用高斯—牛顿迭代法进行估计，即将其展开 成泰勒级数之后，再利用迭代估计方法进行估计。
1．迭代估计法
（1）根据经济理论和所掌握的资料，先确定一组数 作为参数的初始估计值；
（2）将模型在点 取一阶近似值：
需要指出的是，上述迭代估计过程的收敛性及收敛速度 与参数初始值的选取密切相关。若选取的初始值与参数 真值比较接近，则收敛速度较快；反之，则收敛缓慢甚 至发散。因此，估计模型时最好依据参数的经济意义和 有关先验信息，设定好参数的初始值。
2．迭代估计法的EViews软件实现
利用EViews软件，可以很方便地使用高斯—牛顿迭代 法估计非线性回归模型。具体步骤为：
b
dy d ln
x
dy dx / x
y x /
x
=
y的增长幅度 x的增长速度
即x增加1%时，y 将增长0.01b个单位(增长100b%)。
指数函数模型 ln y a bx 中
b d ln y dy / y y / y = dx dx x
y的增长速度 x的增长幅度
整理得：
y
a0 (b0 c0 ) (x c0 )2
x
=
a
x x
b0 c0
b
a0 x c0
c
a0 (b0 x) (x c0 )2
V
（3）作变量变换，设
y
y
a0 (b0 c0 )x (x c0 )2
非线性模型的参数估计
非线性模型的参数估计沈云中同济大学测量系E-mail: yzshen@提要•概述•非线性模型•线性化问题•参数估计问题•估值精度的评定问题•几种特殊的非线性模型•结论概述均值µ 方差σ² 的观测值l ，其二次型l² 的期望值为：非线性模型的估值往往是有偏的！E(l²) = var(l ) + {E(l )}² = σ² + µ²l非线性观测模型的假设在准则参数估值是唯的x1、在准则下，参数估值是唯一的2、在观测值的误差范围内，参数估值是稳定的非线性模型参数估计的现状1、顾及二次项的估计1、顾及次项的估计2、参数估值可采用全局优化方法解算3估值的精度没有给出3、估值的精度没有给出非线性观测方程非线性观测方程：约束条件：(,)0l x f l e x e ++=()0x g x e +≤估计准则：()0x h x e +=min :l l xx xe Pe e P e +T T Lagrange 函数：P T T ()()(,,,,)2(,) 22l x ll xx x l x x x L e e λμκe Pe e P e λf l e x e μg x e κh x e =++++++++TTT观测方程的简化形式•待估参数没有先验信息(,)0l f l e x +=参数x 从初值x 0出发迭代计算•可表示成观测值的显式()l l e f x +=T()()min : ()()()x l f x P l f x =−−S非线性方程的线性化•非线性观测方程直到二解的展开式()13ˆˆˆ()()()()T f x f xf x x x f x x O δδδ=+++&&&⎡2ˆx x xδ=−21ˆ()ˆ()T T T i i T n f x x f x x x x x f x x x δδδδδδ&&&&×⎤∂⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∂∂⎣⎦22; T T T N TNx f xx f xfδδδδδδκκ&&&&&&==向fx x δδ切向分量法向分量顾及二次项的非线性估计•非线性估值的二次展开式非线性估值的次展开式1ˆ3xg l v g l g l v v g l v ′′′=+=+++TO •估值有偏()()()()()2l l l l ()1ˆ {}2l x x g D ′′=+⎡⎤⎣⎦i E tr •二次无偏估值()1ˆ 2l x x g D ′′=−⎡⎤⎣⎦)itr非线性模型的参数估计问题非线性模型的参数估计：1.局部极值点计算2.搜索更优极值点的区域Mountainshigher thanwhere I amwhere I am图引自徐培亮局部极值计算•BFGS 拟牛顿算法牛顿算(1)()k k k kα+=+xxd ()()d H x =−∇k k k S T T T=−−10()() k k k k k k k k k k kρρρ++=H E p q H E q p p p H E11)()k k +k Tk kρq p =()k =−p xx1)+∇k k ()()()()q xx =∇−k S S()k ()x ε∇<S 迭代停止条件：全局最优解算法•非线性、非凸目标函数的全局最优解步骤如下：1.由初值x 计算S(x ，寻找满足下面条件的可行集I xmin :()x S 0(0)20()()0x x −<S S 2.在某个子集I x i 内计算S (x )的局部极值S ﹡3. 寻找满足下面条件的更新可行集I x n()0, x x x∗−<∈S S I 4. 重复2与3步，直至更新的可行集为空集。
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第29卷第4期增刊 2008年4月仪器仪表学报Chinese Journal of Scientific lnstrumentV01.29No.4 Apr.2008区间分析在非线性系统模型参数估计中的应用杨卫锋曾芳玲(解放军电子工程学院合肥230037摘要在未知但有界(UB曲误差假设下,把非线性系统模型参数估计看成是一个集合逆变换问题,利用基于区间分析的SIVIA 算法可以得到参数成员集的近似但可靠的集估计,进一步计算便可得到待估参数的点估计.通过对谷氨酸菌体生长模型参数估计进行仿真,验证了该方法的有效性:通过与其他算法相比较,结果显示该方法还具有较强的鲁棒性和一定的适用性.关键词区间分析非线性系统参数估计未知但有界(UBB有界误差估计Application of Interval Analysis for Parameter EstimationofNonlinearSystemModelYang Weifeng Zeng Fangling(Electronic Engineering Institute P翻Hefei 230037ChinaAbstract The problem of the parameter estimation of nonlinear sy’stem modeI iS viewed鹌one of set inversion in the unknown・-but・-bounded(UBBcontext,and the approximate set of the membership set can be obtained by using the SIVIA(Set InverterVia Interval Analysisalgorithm which is based 01"1interval analysis.After further computation,the point estimation of the parameters to be estimated can also be obtained.The effectiveness of the SIVIA algorithm is tested by parameter estimation of glutamic acid bacterium growth model.It also shows that the approach is of a stronger robustness and a determinate applicability by comparing with the other methods. Key words interval analysis nonlinear system parameter estimation unknown・・but--bounded(UBB bounded.error estimation1引言在系统模型的参数估计中,经典的基于统计特性的参数估计方法都是假设系统中的不确定性(或误差服从一定的概率模型,然后根据不同的假设条件,相应的采用最大后验概率估计、最大似然估计、最小二乘估计等方法对参数进行估计.当系统误差的统计特性已知时,这种成熟的参数估计方法无疑是最好的选择,但实际上,由于观测误差、模型结构误差以及随机噪声等各种不确定因素的存在, 使得这种假设一般很难得以满足,另外,基于统计特性的参数估计方法还会受到其他因素困扰111,特别是当模型输出相对于参数是非线性时【21,这就使得这种经典的参数估计方法也还存在着一定的不足。
系统模型中,误差的界限通常比其统计特性更容易获得,且在某些情况下对数据的表示也更加合理.因此,基于未知但有界(unknown-but-bounded, UBB误差假设的有界误差估计或称为集员辨识【3'4】的方法则可以在某种程度上较好的弥补统计方法的不足.在UBB误差情况下,对非线性系统模型进行参数估计可以看成是一个集合逆变换(set第4期增刊杨卫锋等:区间分析在非线性系统模型参数估计中的应用inversion问题,借助基于区间分析(Interval Analysis, IA16,9]的SIVIA(Set Inverter Via Interval Analysis算法12,6-101,我们就可以得到待估参数的近似但可靠的估计集,经过进一步计算,即可得到待估参数的点估计。
当既可以得到误差的概率统计特性,又知道误差界限,我们可以把参数估计的统计估计方法和有界误差估计方法结合起来,各取所长,以得到更理想的参数估计结果。
2有界误差估计在UBB误差背景下,设实际观测数据 J,(f∈R‘,系统模型的未知参数向量P∈R”,模型的理论输出%(Bf∈R‘,输出误差为 e(p,,=Y(t--Ym(P,f,若设曼(,和虿(f分别为已知的可接受输出误差的下界和上界,则当且仅当 P(p,f∈E={P(rI兰O≤e(t≤虿O>时,我们称 P是可行的.设所有可行值P的集合即成员集为S, 用下式表示S=伽∈R“Iy(‘一Ym(P,‘ ,,、∈【旦(‘,虿(‘】,f=1,2,…,七著著=n{,∈gnk(弘‘∈陟以】}-n瓯(2 i=l i=l式中:眇(ff】=【y(,f一万(t,y(t一旦(,j】,y(‘ 为‘时刻的观测值,ym(p,‘为‘时刻的输出.由 (2式可以看出,随着样本容量的增多,S的包含范围将逐步缩小,当样本容量足够多时,S将收敛到系统模型的真实参数.表示S的方法很多,但多数的算法都是针对于线性参数系统的情况,即虼(弘f是P的线性函数, 这时S通常对应于一个比较简单的凸集,如超平行体、椭球体等,我们可以比较准确地表示它,但当 ym(p,,是P的非线性函数时,S可能是非凸集, 并且有可能是由若干个不连通的部分所构成的一个集合,此时,我们想要可靠地表示S,情况就要复杂的多.但不管J,,(p,,是,的线性函数与否,区间分析都可以为估计S的一个近似但可靠的集合提供有力的工具支持12声1∞.61在集合意义上,假设此(p,f的反函数为虼叫(,,f,则S也可用下式表示:S=儿_1(y(f一E=J■卅(y (3 其中Y=J,(f一曰为模型输出的先验可行集,(3显然是一个集合逆变换问题.在UBB误差情况下,把非线性系统模型参数估计看成是一个集合逆变换问题,利用基于区间分析的SIVIA算法,就可以得到待估参数的近似但可靠的估计集了。
3集合逆变换的区间分析方法使用区间分析进行非线性参数估计有两种方法:一是使用基于区间分析的区间全局优化算法【9l 优化某一目标函数来寻找最优参数:二是在UBB误差情况下,寻找所有与误差相容的不确定参数集 12,6-m1.本文利用L.Jaulin和E.Walter等人提出的 SIVIA算法进行非线性系统模型参数估计(使用区间分析进行线性系统模型参数估计详见文献 [11].对于(3式所示的集合逆变换问题。
利用 SIVIA算法总可以得到两个正规的子块石面路集 (regular subpavingtgl墨,S使得:S—cScS (4 i霞SIVIA算法的先验搜索域【鳓13S(为了保证【风】∈肛”肯定包含S,【风】可能非常大,模型输出的先验可行集l厂,用户预设的容差参数靠(当所考查的区间向量的宽度比晶小时,搜索结束,这样就可以防止算法无休止的搜索下去,SIVIA算法不同于传统的随机搜索方法,它采用二分法,递归地全面而系统地搜索【风】,在搜索的过程中,进行以下测试判断:・如果眇】。
(【纠,fc Y,那么肯定有【P】c S, 这时【p】是可行的,把【p】存放到墨和S中:・如果眇】。
(【纠,tNY=a,那么肯定有【p]ns=o,这时【p】是不可行的,则把【纠删除:・此外,【P】是不确定的,即它可能是可行的也可能是不可行的,此时,若它的宽度w(【p】比%第29卷仪器仪表学报大,那么对其二分,并对所产生的新区问向量重新进行测试判断,若w(【p】比岛小,那么就认为【p】满足要求,并把它存放到S中.由此,则基于区间分析的SIVIA算法可概括如下(初始化S#a,S:=g:SIVIA(in:Ym,Y,[p】,Co;inout:签,Sl if【J,】。
([p】nl,=g return;2if【y】。
(咖】cy,then{蓬≥sU【,】;S:=S U[p】;return;};3if以咖】<岛then{S:=SU[p】;return;}; 4SIVIA(in:%,Y,L【纠,So,s,S;SIVIA(in:虼,Y,R[p】,60,s,S.其中:L[p】=【Pl,磊】×…×【pi,(pi+歹;/2】X…×【P。
,瓦】,RIp】=【Pl,死】×…×【(pj+死/2,歹j】×…×【P。
,A】.有限次递推后,就可以得到ScScS,这就意味着未知集合S被包含在两个已知集合S和j 之中了,所以,只要我们求得S和露,也就可以近似得到S了.属于S但不属于S的所有区间向量所组成的子块石面路集称为不确定层,用心口j\S表示. 丛的宽度越窄,S逼近真实成员集的效果越好,反之就差.值得指出的是,利用SIVIA算法对非线性系统模型进行参数估计时,都是假设参数与误差是相容的,由于过于乐观地估计误差的界限或因为传感器在给定时间点故障以致假设不相容时,由(2式可以看出,利用SIVIA所得到的结果可能是个空集.这种情况下,为了得到问题的解集,可利用稳健非线性估计方法【ado]对其进行估计.由于用于估计的信息减少了,所以,对相同问题的估计结果,所得估计集的体积较前要稍大一点.当参数空间的维数比较高时,可将收缩算子(contractor191应用于SIVIA算法以减少计算的时间复杂度和空间复杂度,提高算法的速度和效率.62 4仿真试验本文以谷氨酸菌体生长模型参数估计为例,验证SIVIA算法的有效性.菌体种子接入发酵罐后,就在罐内按自然规律生长繁殖,在整个发酵期间,若无杂菌和噬菌体的侵袭,罐内外没有大规模菌体迁移,菌体在发酵罐内的自然生长繁殖过程可以用Verhulst方程来描述【12.15l:dYm(t/dt=%(f(1一ym(t/k,%(O=%o. 在工业生产的实际过程中,鉴于接入发酵罐中的菌体有一个适应环境的过程,菌体的增殖有一段时间的滞后‘,为此,将上式改写成:lYm(t=Ymo,0≤f≤『l【dyAt/dt=砜◇(1一虼(f/尼对上述的微分方程进行求解可得:虼(r=k/(1+exp(a-rxt,%o=k/(1+e8(5 式(5即可作为菌体在发酵罐内的生长模型.4.1仿真条件非线性系统模型虼(f=k/(1+exp(a-rx f, 其中k、a、r分别为待估计的模型参数,ym(t为模型输出,观测值,(f如表1所利协151.设实际观测数据与模型输出之间的误差 P(f:』如.Ym(t∈[-o.1,n1】,脚,...’7,待~ly(f一%(f∈【--0.05,0.05】,t=8,…,21~。