高一下学期期中考试数学试卷第一部分选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若a ，b ，c ∈R ，a b >，则下列不等式成立的是（ ） A.11a b< B.22a b > C.a c b c >D.2211a bc c >++2.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4A π=，23C π=，c =，则a =（ ）B. C. D.3.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3625a a +=，540S =，则数列{}n a 的公差d =（ ） A.4B.3C.2D.14.已知圆C （C 为圆心，且C 在第一象限）经过()0,0A ，()2,0B ，且ABC △为直角三角形，则圆C 的方程为（ ）A.()()22114x y -+-= B.((222x y +=C.()()22125x y -+-=D.()()22112x y -+-=5.在ABC △中，三条边分别为a ，b ，c ，若4a =，5b =，6c =，则三角形的形状（ ） A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定6.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线sin 0bx y B c --=与sin sin 0x A ay C ++=的位置关系是（ ） A.平行 B.重合C.垂直D.相交但不垂直7.在ABC △中，D 是AC 边上一点，AB BD ⊥，30A ∠=︒，45C ∠=︒，312CD -=，则AB 的值为（ ）3 6368.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1432a a ⋅=，2312a a +=，则下列说法错误的是（ ） A.2q = B.数列{}2n S +是等比数列C.8510S =D.数列{}lg n a 是公差为2的等差数列9.函数()log 41a y x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中m ，n 均大于0，则12m n+的最小值为（ ） A.2B.6C.56+D.1010.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为222x y +≤，若将军从点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A.2517217D.3211.若直线0x y m +-=与曲线()22y x x =-+没有公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A.32,4⎡⎤⎣⎦B.((),324,-∞+∞C.3⎡⎣D.((),12,-∞+∞12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a >，且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-，不等式21211n a t at n +<+-+（*n N ∈）恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A.(][),22,-∞-+∞ B.(][),21,-∞-+∞C.(][),12,-∞-+∞D.[]2,2-第二部分非选择题（90分）二.填空题13.在等比数列{}n a 中，已知1232a a a ++=，2344a a a ++=，则8910a a a ++=______. 14.已知圆C 的方程为224x y +=，则过点()2,1P 且与圆C 相切的直线l 的方程______.15.若ABC △的两边长分别为2和3，其夹角的余弦为23，则其外接圆的面积为______. 16.给出以下三个结论：①若数列{}n a 的前n 项和为31nn S =+（*n ∈N ），则其通项公式为123n n a -=⋅（*n ∈N ）；②锐角三角形ABC 中，sin cos A B >；③若正实数x ，y 满足244x y xy ++=，且不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭. 其中正确的是______（把你认为正确的序号全部写上） 二、解答题17.（10分）根据条件求下列圆的方程：（1）求经过()6,5A ，()0,1B 两点，并且圆心在直线31090x y ++=上的圆的方程；（22y x =上，被直线0x y -=截得的弦长为的圆方程.18.（12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且cos 2a b C -=. （1）求B ∠的值； （2）若4a =，cos 10C =，求ABC △的面积.19.（12分）已知不等式()210x a x a -++≤的解集为A . （1）若2a =，求集合A ；（2）若集合A 是集合{}42x x -≤≤的真子集，求实数a 的取值范围.20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-（*n ∈N ）.数列{}n b 是首项为1a ，公差不为零的等差数列，且1b ，3b ，11b 成等比数列. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式. （2）若n n nb c a =，数列{}n c 的前项和为n T ，若对于任意*n ∈N 不等式n T m <恒成立，求实数m 的取值范围.21.（12分）某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：[)[)3221805040,120,1443120080000,144,5002x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.（Ⅰ）当[]200,300x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？22.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知以点()21,C a a -（0a >）为圆心的圆过原点O ，不过圆心C 的直线20x y m ++=（m ∈R ）与圆C 交于M ，N 两点，且点26,55F ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点. （Ⅰ）求m 的值和圆C 的方程；（Ⅱ）若Q 是直线2y =-上的动点，直线QA ，QB 分别切圆C 于A ，B 两点，求证：直线AB 恒过定点； （Ⅲ）若过点()0,P t （01t ≤<）的直线L 与圆C 交于D ，E 两点，对于每一个确定的t ，当CDE △的面积最大时，记直线l 的斜率的平方为u ，试用含t 的代数式表示u ，并求u 的最大值.数学答案1.若a ，b ，c ∈R ，a b >，则下列不等式成立的是（ D ） A.11a b< B.22a b > C.a c b c >D.2211a bc c >++ 2.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4A π=，23C π=，33c =，则a =（ C ） A.2B.22C.32D.423.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3625a a +=，540S =，则数列{}n a 的公差d =（ B ） A.4B.3C.2D.14.已知圆C （C 为圆心，且C 在第一象限）经过()0,0A ，()2,0B ，且ABC △为直角三角形，则圆C 的方程为（ D ） A.()()22114x y -+-= B.()()22222x y -+-=C.()()22125x y -+-=D.()()22112x y -+-=5.在ABC △中，三条边分别为a ，b ，c ，若4a =，5b =，6c =，则三角形的形状（ A ） A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定6.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线sin 0bx y B c --=与sin sin 0x A ay C ++=的位置关系是（ C ） A.平行 B.重合C.垂直D.相交但不垂直7.在ABC △中，D 是AC 边上一点，AB BD ⊥，30A ∠=︒，45C ∠=︒，312CD -=，则AB 的值为（ C ）A.2B.28.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1432a a ⋅=，2312a a +=，则下列说法错误的是（ D ） A.2q = B.数列{}2n S +是等比数列C.8510S =D.数列{}lg n a 是公差为2的等差数列9.函数()log 41a y x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中m ，n 均大于0，则12m n+的最小值为（ C ）A.2B.6C.5+D.10【分析】因为直线横过定点A ，设(),A x y ，则41x +=，即3x =-，所以1y =-.又知道A 在直线上，得到m ，n 满足的关系，代入即可.【解答】解：设A 点坐标为(),x y ，依题意41x +=，即3x =-，所以1y =-，即A 点坐标为()3,1--，又知道A 点在直线10mx my ++=上，所以310m n --+=，即31mn n +=，所以()121263555m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当m =，2n =时，等号成立，故选：C. 10.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为222x y +≤，若将军从点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ B ）A.D.3【解析】解：设点A 关于直线4x y +=的对称点(),A a b '，设军营所在区域为的圆心为C ，根据题意，A C 'A '的坐标，A A'的中点为3,22a b+⎛⎫⎪⎝⎭，直线AA'的斜率为1，故直线AA'为3y x=-，由34223a bb a+⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，联立得故4a=，1b=，所以224117A C'=+=，故2172A C'-=-，故选：B.11.若直线0x y m+-=与曲线()22y x x=--+没有公共点，则实数m的取值范围是（ D ）A.32,4⎡⎤-⎣⎦ B.()(),324,-∞-+∞C.32,32⎡⎤-+⎣⎦ D.()(),122,-∞-+∞【解析】解：由()22y x x=--+等价变形得：()()22121x y++-=（2y≤），曲线()22y x x=--+表示以()1,2-为圆心，半径为1的下半圆，作出曲线()22y x x=--+，以及直线0x y m+-=，由直线和圆()()22121x y++-=相切，即1212md-+-==，解得12m=-或12m=+（舍去），当直线通过()0,2时，020m+-=，即2m=，可得12m<-或2m>时，直线0x y m+-=与曲线()22y x x=--+没有公共点，故选：D.12.已知正项数列{}n a的前n项和为n S, 11a>，且2632n n nS a a=++.若对于任意实数[]2,2a∈-，不等式21211n a t at n +<+-+（*n N ∈）恒成立，则实数t 的取值范围为（ A ） A.(][),22,-∞-+∞ B.(][),21,-∞-+∞C.(][),12,-∞-+∞D.[]2,2-【解答】解：由2632n n n S a a =++， 当1n =时，2111632a a a =++.解得12a =，当2n ≥时，2111632n n n S a a ---=++，两式相减得()2211633n n n n n a a a a a --=+-+，整理得()()1130n n n n a a a a --+--=，由0n a >，所以10n n a a -+>，所以13n n a a --=，所以数列{}n a 是以2为首项，3为公差的等差数列，所以()1231132n a n n +=++-=+，所以132133111n a n n n n ++==-<+++， 因此原不等式转化为2213t at +-≥对于任意的[]2,2a ∈-，*n N ∈恒成立，化为：2240t at +-≥，设()224f a t at =+-，[]2,2a ∈-，可得()20f ≥且()20f -≥，即有222020t t t t ⎧+-≥⎪⎨--≥⎪⎩，即1221t t t t ≥≤-⎧⎨≥≤-⎩或或，可得2t ≥或2t ≤-，则实数t 的取值范围是(][),22,-∞-+∞故选：A.二.填空题13.在等比数列{}n a 中，已知1232a a a ++=，2344a a a ++=，则8910a a a ++=256.14.已知圆C 的方程为224x y +=，则过点()2,1P 且与圆C 相切的直线l 的方程2x =和34100x y +-=.15.若ABC △的两边长分别为2和3，其夹角的余弦为23，则其外接圆的面积为94π. 16.给出以下三个结论：①若数列{}n a 的前n 项和为31nn S =+（*n ∈N ），则其通项公式为123n n a -=⋅（*n ∈N ）；②锐角三角形ABC 中，sin cos A B >；③若正实数x ，y 满足244x y xy ++=，且不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭. 其中正确的是②③（把你认为正确的序号全部写上）16.对于①，数列{}n a 的前n 项和为31nn S =+（*n ∈N ），1131n n S --∴=+（2n ≥），1113323n n n n n n a S S ---∴=-=-=⋅（2n ≥），又114a S ==，∴通项公式为123,24,1n n n a n -⎧⋅≥=⎨=⎩，①错误；②正确对于③，正实数x ，y 满足244x y xy ++=，可得244x y xy +=-，∴不等式()222234x y a a xy +++≥恒成立，即()2442234xy a a xy -++≥恒成立， 变形可得()222214234xy a a a +≥-+恒成立，即2221721a a xy a -+≥+恒成立，0x >，0y >，2x y ∴+≥4244xy x y ∴=++≥+即2220-≥≥2≤-可得2xy ≥，要使2221721a a xy a -+≥+恒成立，只需22217221a a a -+≥+恒成立，化简可得22150a a +-≥，即()()3250a a +-≥，解得3a ≤-或52a ≥， ∴实数a 的取值范围是(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，③正确.综上，正确的命题是②③.二、解答题17.（10分）根据条件求下列圆的方程：（1）求经过()6,5A ，()0,1B 两点，并且圆心在直线31090x y ++=上的圆的方程；（22y x =上，被直线0x y -=截得的弦长为的圆方程.【解析】解：（1）()6,5A ，()0,1B 两点中点为()3,3，由题意知线段AB 的垂直平分线方程为32150x y +-=，∴由3215031090x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得73x y =⎧⎨=-⎩，圆心()7,3C -，半径r AC == ∴所求圆的方程为()()227365x y -++=；（2）设圆的方程为()()2210x a y b -+-=，圆心(),C a b 在直线2y x =上，2b a ∴=.由圆被直线0x y -=截得的弦长为将y x =代入()()2210x a y b -+-=，得()22222100x a b x a b -+++-=，设直线y x =交圆C 于()11,A x y ，()22,B x y ，则AB === 所以()21212416x x x x +-=，12x x a b +=+，2212102a b x x +-=， ()()22221016a b a b ∴+-+-=，即2a b -=±，又2b a =，24a b =⎧∴⎨=⎩或24a b =-⎧⎨=-⎩， ∴所求圆的方程为()()222410x y -+-=或()()222410x y +++=.18.（12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos 2a b C -=. （1）求B ∠的值；（2）若4a =，cos C =，求ABC △的面积.【解答】解：（1）法一：由正弦定理得sin sin cos 2A C B C -=，()sin sin cos 2B C C B C +-=，sin cos cos sin sin cos 2B C B C C B C +-=，即cos sin 02B C C -=，sin cos 2C B C ∴=； sin 0C ≠，cos 2B ∴=， ()0,B π∈，4B π∴= （1）法二：由余弦定理得22222a b c a b ab+--=⋅化简得222b ac =+，222cos 22c a b B ac +-∴== ()0,B π∈，4B π∴=（2）由cos 10C =，得sin 10C == ABC △中，()4sin sin sin cos cos sin 2102105A B C B C B C =+=+=+= 由正弦定理sin sin b a B A=，得4 sin 4sin 225a b B A =⋅=⨯=，11sin 4122210ABC S ab C ==⨯⨯=△ 19.（12分）已知不等式()210x a x a -++≤的解集为A .（1）若2a =，求集合A ；（2）若集合A 是集合{}42x x -≤≤的真子集，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}12x x ≤≤；（2）[]4,2.（1）由题意，当2a =时，不等式()210x a x a -++≤，即2320x x -+≤， 即()()120x x --≤，解得12x ≤≤，所以集合{}12A x x =≤≤（2）由()210x a x a -++≤，可得()()10x x a --≤，当1a <时，不等式()()10x x a --≤的解集为{}1x a x ≤≤由集合A 是集合{}42x x -≤≤的真子集可得4a ≥-，所以41a -≤<，当1a =时，不等式()()10x x a --≤的解集为{}1x x =满足题意.当1a >时，不等式()()10x x a --≤的解集为{}1x x a ≤≤，由集合A 是集合{}42x x -≤≤的真子集，可得2a ≤，所以12a <≤，综上可得：42a -≤≤，即实数a 的取值范围为[]4,2-20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-（*n ∈N ）.数列{}n b 是首项为1a ，公差不为零的等差数列，且1b ，3b ，11b 成等比数列.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式.（2）若n n nb c a =，数列{}n c 的前项和为n T ，若对于任意*n ∈N 不等式n T m <恒成立，求实数m 的取值范围.【解答】解：（1）22n n S a =-（*n ∈N ），可得11122a S a ==-，解得12a =， 2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，即为12n n a a -=，可得数列{}n a 为首项和公比均为2的等比数列，即有2nn a =，*n ∈N ； 数列{}n b 是首项为1a ，公差d 不为零的等差数列，且1b ，3b ，11b 成等比数列.可得21113b b b =，即为()()2221022d d +=+，解得3d =， 又12b =，可得31n b n =-，*n ∈N ； （2）()1312nn n n b c n a ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭ ()11112583124162n n T n ⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪⎝⎭ ()11111125831248322n n T n +⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪⎝⎭ 两式相减可得()1111111331241622n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1111114213311212n n n +-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+⋅--⋅ ⎪⎝⎭-， 化简可得()15352nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭， 即有5n T <，m 大于等于5.21.（12分）某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：[)[)3221805040,120,1443120080000,144,5002x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.（Ⅰ）当[]200,300x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【解答】解：（Ⅰ）当[)200,300x ∈时，该项目获利为S ，则()22112002008000040022S x x x x ⎛⎫=--+=-- ⎪⎝⎭， ∴当[)200,300x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利当300x =时，S 取得最大值5000-，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；（Ⅱ）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：[)[)21805040,120,1443180000200,144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩ 当[)120,144x ∈）时，()211202403y x x =-+所以当120x =时，y x取得最小值240； 当[)144,500x ∈时，1800002002002002y x x x =+-≥= 当且仅当1800002x x =，即400x =时，y x取得最小值200. 因为240200>，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.22.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知以点()21,C a a -（0a >）为圆心的圆过原点O ，不过圆心C 的直线20x y m ++=（m ∈R ）与圆C 交于M ，N 两点，且点F 26,55F ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点. （Ⅰ）求m 的值和圆C 的方程；（Ⅱ）若Q 是直线2y =-上的动点，直线QA ，QB 分别切圆C 于A ，B 两点，求证：直线AB 恒过定点； （Ⅲ）若过点()0,P t （01t ≤<）的直线L 与圆C 交于D ，E 两点，对于每一个确定的t ，当CDE △的面积最大时，记直线l 的斜率的平方为u ，试用含t 的代数式表示u ，并求u 的最大值. 【解答】（Ⅰ）解：由题意，26152215CF a k a -==--，即2210a a --=，解得1a =（0a >）. ∴圆心坐标为()0,1，半径为1，由圆心到直线20x y m ++=的距离d ===0m =或2m =-， 点26,55F ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线20x y m ++=上， 2m ∴=-.故2m =-，圆C 的方程为()2211x y +-=； （Ⅱ）证明：设(),2Q t -，则QC 的中点坐标为1,22t ⎛⎫-⎪⎝⎭， 以QC 为直径的圆的方程为22219224t t x y +⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2220x y tx y +-+-=.联立()22221120x y x y tx y ⎧+-=⎪⎨+-+-=⎪⎩，可得AB 所在直线方程为：320tx y -+=. ∴直线AB 恒过定点20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）解：由题意可设直线l 的方程为y kx t =+，CDE △的面积为S ， 则11sin sin 22S CD CE DCE DCE =⋅⋅∠=∠， ∴当sin DCE ∠最大时，S 取得最大值. 要使sin 2DCE π∠=，只需点C 到直线l的距离等于2，2=，整理得：()222110k t =--≥，解得12t ≤-.①当0,12t ⎡∈-⎢⎣⎦时，sin DCE ∠最大值是1，此时22241k t t =-+，即2241u t t =-+.②当1t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，,2DCE ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭. sin y x ∴=是,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的减函数，.当ACB ∠最小时，sin ACB ∠最大. 过C 作CF DE ⊥于F ，则12DCF DCE ∠=∠，∴当ACD ∠最大时，ACB ∠最小. sin CD CAD CA ∠=，且0,2CAD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭， ∴当CD 最大时，sin CAD ∠取得最大值，即CAD ∠最大. CD CP ≤，∴当CP l ⊥时，CD 取得最大值CP .∴当ABC △的面积最大时，直线l 的斜率0k =，0u ∴=.综上所述，2241,20,12t t t u t ⎧⎡-+∈⎪⎢⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪∈- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩当0,12t ⎡∈-⎢⎣⎦时，0t =时u 取得最大值1；当12t ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，0u =. 所以u 的最大值是1.。
