D
B
A C
α
空间中的夹角
福建屏南一中李家有QQ52331550
空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1、异面直线所成的角
（1）异面直线所成的角的范围是]
2
,0(
π
。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：
①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；
②证明作出的角即为所求的角；
③利用解三角形来求角。简称为“作，证，求”
2、线面夹角
直线与平面所成的角的范围是]
2
,0[
π
。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因
为角度不用问你也知道）
①找过斜线上一点与平面垂直的直线；
②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；
③把该角置于三角形中计算。
也是简称为“作，证，求”
注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角
中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，
则有θβ
≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。在右图的解释为BAD CAD
∠>∠））
2.1确定点的射影位置有以下几种方法：
①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；
②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；
已知：如图，BAC
∠在一个平面α内，
,,
PN AC PM AB PN PM
⊥⊥且＝（就是点P到角
两边的距离相等）过P作POα
⊥（说明点O为P点
在面α内的射影）
求证：OAN OAM
∠∠
＝
（OAN OAM
∠∠
＝，所以AO为BAC
∠的角
平分线，所以点O会在BAC
∠的角平分线上）
证明：PA＝PA，PN＝PM，
90
PNA PMA
∠∠︒
＝＝
PNA PMA
∴∆≅∆（斜边直角边定理）
AN AM
∴＝①
(PO NO MO PN PM α⊥⎫
⇒=⎬⎭
斜线长相等推射影长相等）
＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫
⎪
⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭
＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。
③如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；
已知：如图，BAC ∠在一个平面α内
PAN PAM ∠∠＝（斜线AP 与BAC ∠的两边AB AC ，所成角相等）
PO α⊥
求证：OAM OAN ∠∠＝（说明点O 在角MAC 的角平分线上。）
证明：在AB 上取点M ，在AC 上取点N ，使AN AM ＝（这步是关键，为我们自已所作的辅助线点，线）
A A N
PAN PAM PN PM ⎫⎪
⇒≅⇒⎬⎪∠∠⎭
M ＝AP ＝AP ＝PAN ＝PAM (PO NO MO PN PM α⊥⎫
⇒=⎬⎭
斜线长相等推射影长相等）
＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫
⎪
⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭
＝＝＝＝，所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。
④两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；（这是两面垂直的性质）
⑤利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：
a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；
已知：如图，三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ，
PO ABC ⊥面 求证：O 点为ABC ∆的外心（即证OA ＝OB ＝OC ） （注：外心为三角形的外接圆的圆心，也是三边中垂线的交
点）
b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；
已知：如图，PF AB PD BC PE AC ⊥⊥⊥，， PF PD PE ＝＝ PO ABC ⊥面 求证：O 为ABC ∆的内心
（注：内心为三角形的内切圆的圆心，也为三角形的三个内角的角平分线的交点）
证明：连结BO ，CO
易证DBO FBO DBO FBO ∆≅∆⇒∠∠＝
所以BO 为角DBF 的角平分线，即点O 在角DBF 的角平分线上。同理可证点O 为角DCE 的角平分线，所以O 为两内角平分线交点，从而为内心。
c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； AE BC CD AB ⊥⊥，
已知：如图，PA BC PB CA ⊥⊥， PO ABC ⊥面 求证：（1）PC AD ⊥（就是三棱锥中有两组对棱垂直，则可以推出第三组对夫棱垂直）（所以，条件中各组对棱垂直，实际是有多了一组）
（2）点O 为三角形ABC 的垂心
（注：垂心为三角形的三高交点，O 为垂心，相当于证明 AE BC CD AB ⊥⊥，，两高交点即可）
3、二面角
（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法
①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；
②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；边是最常用的方法
③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
备注：还有一个投影法求二面角，高考不作要求， 所以此处略去。
