上海教科实验中学数学几何图形初步同步单元检测(Word版 含答案)
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一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选(难)
1.如图 1,CE 平分∠ACD,AE 平分∠BAC,且∠EAC+∠ACE=90°.
(1)请判断 AB 与 CD 的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,若∠E=90°且AB 与CD 的位置关系保持不变,当直角顶点E 移动时,写出∠BAE 与∠ECD 的数量关系,并说明理由;
(3)如图 3,P 为线段 AC 上一定点,点 Q 为直线 CD 上一动点,且 AB 与 CD 的位置关系保持不变,当点 Q 在射线 CD 上运动时(不与点 C 重合),∠PQD,∠APQ 与∠ BAC 有何数量关系?写出结论,并说明理由.
【答案】(1),理由如下:
CE 平分,AE 平分,
;
(2),理由如下:
如图,延长AE交CD于点F,则
由三角形的外角性质得:
;
(3),理由如下:
,即
由三角形的外角性质得:
又,即
即.
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义、平行线的判定即可得;(2)根据平行线的性质(两直线平行,内错角相等)、三角形的外角性质即可得;(3)根据平行线的性质(两直线平行,同旁内角互补)、三角形的外角性质、邻补角的定义即可得.
2.
(1)问题发现:如图 1,已知点 F,G 分别在直线 AB,CD 上,且 AB∥CD,若∠BFE=40°,∠CGE=130°,则∠GEF 的度数为________;
(2)拓展探究:∠GEF,∠BFE,∠CGE 之间有怎样的数量关系?写出结论并给出证明;答:∠GEF=▲ .
证明:过点 E 作 EH∥AB,
∴∠FEH=∠BFE(▲),
∵AB∥CD,EH∥AB,(辅助线的作法)
∴EH∥CD(▲),
∴∠HEG=180°-∠CGE(▲),
∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=▲ .
(3)深入探究:如图 2,∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P,试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系,请直接写出你的结论.
【答案】(1)90°
(2)解:∠GEF=∠BFE+180°−∠CGE,
证明:过点 E 作 EH∥AB,
∴∠FEH=∠BFE(两直线平行,内错角相等),
∵AB∥CD,EH∥AB,(辅助线的作法)
∴EH∥CD(平行线的迁移性),
∴∠HEG=180°-∠CGE(两直线平行,同旁内角互补),
∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE+180°−∠CGE ,
故答案为:∠BFE+180°−∠CGE;两直线平行,内错角相等;平行线的迁移性;两直线平行,同旁内角互补;∠BFE+180°−∠CGE;
(3)解:∠GPQ+∠GEF=90°,
理由是:如图2,∵FQ平分∠BFE,GP平分∠CGE,
∴∠BFQ=∠BFE,∠CGP=∠CGE,
在△PMF中,∠GPQ=∠GMF−∠PFM=∠CGP−∠BFQ,
∴∠GPQ+∠GEF=∠CGE− ∠BFE+∠GEF= ×180°=90°.
即∠GPQ+∠GEF=90°.
【解析】【解答】(1)解:如图1,过E作EH∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EH,
∴∠HEF=∠BFE=40°,∠HEG+∠CGE=180°,
∵∠CGE=130°,
∴∠HEG=50°,
∴∠GEF=∠HEF+∠HEG=40°+50°=90°;
故答案为:90°;
【分析】(1)如图1,过E作EH∥AB,根据平行线的性质可得∠HEF=∠BFE=40 ,∠HEG=50 ,相加可得结论;(2)由①知:∠HEF=∠BFE,∠HEG+∠CGE=180°,则∠HEG=180°−∠CGE,两式相加可得∠GEF=∠BFE+180°−∠CGE;(3)如图2,根据角平
分线的定义得:∠BFQ=∠BFE,∠CGP=∠CGE,由三角形的外角的性质得:∠GPQ=
∠GMF−∠PFM=∠CGP−∠BFQ,计算∠GPQ+∠GEF并结合②的结论可得结果.
3.如图,点C在∠AOB的边OA上,过点C的直线DE∥OB,CF平分∠ACD,CG⊥CF于C.
(1)若∠O=40°,求∠ECF的度数;
(2)试说明CG平分∠OCD;
(3)当∠O为多少度时,CD平分∠OCF?并说明理由.
【答案】(1)解:∵DE//OB ,∴∠O=∠ACE,(两直线平行,同位角相等)
∵∠O =40°,
∴∠ACE =40°,∵∠ACD+∠ACE= (平角定义)∴∠ACD=
又∵CF平分∠ACD ,
∴ (角平分线定义)
∴∠ECF=
(2)证明:∵CG⊥CF,
∴ .
∴
又∵)
∴
∵
∴ (等角的余角相等)
即CG平分∠OCD
(3)解:结论:当∠O=60°时,CD平分∠OCF .
当∠O=60°时
∵DE//OB,
∴∠DCO=∠O=60°.
∴∠ACD=120°.
又∵CF平分∠ACD
∴∠DCF=60°,
∴
即CD平分∠OCF
【解析】【分析】(1)根据平行线“两直线平行,同位角相等”,求得∠ACE=40°,根据平角的定义以及CF平分∠ACD ,可得到∠ACF=70°,然后求出∠ECF的度数;
(2)根据∠DCG+∠DCF=90°,∠GCO+∠FCA=90°,以及∠ACF=∠DCF,可得到∠GCO =∠GCD,即可证明CG平分∠OCD;
(3)根据两直线平行,内错角相等得出∠DCO=∠O=60°,根据角平分线可得到∠DCF=60°,以此可得∠DCO=∠DCF,即CD平分∠OCF.
4.如图①,△ABC的角平分线BD,CE相交于点P.
(1)如果∠A=80∘,求∠BPC= ________.
(2)如图②,过点P作直线MN∥BC,分别交AB和AC于点M和N,试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示)________.
(3)将直线MN绕点P旋转。
(i)当直线MN与AB,AC的交点仍分别在线段AB和AC上时,如图③,试探索∠MPB,∠NPC,∠A三者之间的数量关系,并说明你的理由。
(ii)当直线MN与AB的交点仍在线段AB上,而与AC的交点在AC的延长线上时,如图④,试