八年级下册数学讲义平行四边形

第十八章平行四边形

18.1 平行四边形

1．平行四边形的概念

定义：两组对边分别__________的四边形叫做平行四边形．

平行四边形的定义既是性质，又是判定．

（1）由定义知平行四边形的两组对边分别平行；

（2）由定义可以得出只要四边形中的两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形．

平行四边形的基本元素：边、角、对角线．

2．平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边相等；

（2）平行四边形的对角__________；

（3）平行四边形的对角线互相__________．

【归纳】(1）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了新的理论依据；

（2）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形中，相对的两个三角形全等，且四个三角形的面积相等，相邻两个三角形的周长差等于平行四边形相应的邻边之差；

（3)利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决．

3．两条平行线之间的距离

定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．性质：（1）两条平行线之间的距离处处__________；

（2）夹在两条平行线间的平行线段相等．

4．平行四边形的判定

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）一组对边平行且__________的四边形是平行四边形；

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

K—重点

【例2】如图，在平行四边形ABCD中，AE垂直于CD，E是垂足．如果∠B=55°，那么∠DAE的角度为

A．25°B．35°C．45°D．55°

【名师点睛】本题主要利用平行四边形对角相等解题．

【例3】在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是

A．2cm

C．1cm

【例4】如图，在ABCD中，AB=4，BC=5，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，且OE=1.5，则四边形EFCD的周长为

A．10B．12C．14D．16

三、两条平行线之间的距离

两条平行间的距离处处相等．

【例5】如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是

A．l1与l2之间的距离是线段FG的长度

B．CE=FG

C．线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离

D．AC=BD

四、平行四边形的判定

平行四边形的判定有：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；

⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

【例6】如图，四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列不能判断四边形ABCD是平行四边形的条件是

A．OA=OC，AD∥BC B．∠ABC=∠ADC，AD∥BC

C．AB=DC，AD=BC D．∠ABD=∠ADB，∠BAO=∠DCO

五、平行四边形性质与判定的综合

平行四边形的性质的条件和结论正好与判定的条件和结论相反，它们构成互逆的关系．

由平行四边形这一条件，得到边、角或对角线的关系，这是平行四边形的性质；反之，由边、角或对角线的关系，得到平行四边形的结论，这是平行四边形的判定．

【例7】如图，在ABCD中，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连接AF，CE.求证：四边形AECF为平行四边形．

六、三角形的中位线及其定理

利用三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系．

【例8】如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB 的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．

9．已知ABCD的对角线AC，BD的长分别为10，6，则AB长的范围是

A．AB>2B．AB<8C．2

10．平行四边形ABCD与等边三角形AEF按如图所示的方式摆放，如果∠B=45°，则∠BAE的大小是

A．75°B．80°C．100°D．120°

11．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD=∠ABD，DE平分∠ADB，下列说法：

①AB∥CD；②ED⊥CD；③∠DFC=∠ADC–∠DCE；④S△EDF=S△BCF，其中正确的结论是

A．①②③B．①②④

C．①③④D．①②③④

12．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PMN的面积；③△PAB的周长；④∠APB的大小；⑤直线MN，AB之间的距离．其中会随点P的移动而不改变的是

A．①②③B．①②⑤

C．②③④D．②④⑤

16．（2018·贵州黔东南、黔南、黔西南）如图在ABCD 中，已知AC =4

cm ，若△ACD 的周长为13

cm ，则ABCD 的周长为

A ．26 cm

B ．24 cm

C ．20 cm

D ．18 cm

17．（2018·甘肃兰州）如图，将ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若

，，则为

48ABD ∠=︒40CFD ∠=︒E ∠

A ．

B ．

C ．

D ．102︒112︒122︒92︒

18．（2018·黑龙江绥化）下列选项中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是

A ．，

B ．，AD B

C ∥AB CD

∥AB CD ∥AB CD =C ．，D ．，AD BC ∥AB DC =AB DC =AD BC

=19．（2018·内蒙古呼和浩特）顺次连接平面上A 、B 、C 、D 四点得到一个四边形，从

①AB ∥CD ②BC =AD ③∠A =∠C ④∠B =∠D 四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况共有

A ．5种

B ．4种

C ．3种

D ．1种

20．（2018·广西玉林）在四边形ABCD 中：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ；③AB =CD ；④AD =BC ，从以上选

择两个条件使四边形ABCD 为平行四边形的选法共有

A ．3种

B ．4种

C ．5种

D ．6种

21．（2018·四川德阳）如图，四边形是平行四边形，点为的中点，延长至点，使

AOEF B OE FO C ，连接、、，则在中3FO OC =AB AC BC ABC ∆::ABO AOC BOC S S S △△△