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线性代数第二章练习题

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一、单项选择题
1．设A，B是两个n阶方阵，若AB=O则必有（ ）
A．A=O且B=O B．A=O或B=O
C．|A|=0且|B|=0 D．|A|=0或|B|=0
2．设A，B都是n阶方阵，且|A|＝－2，|B|＝1，则|ATB-1|＝（ ）

A．－2 B．－21

C．21 D．2

3．设A为2阶可逆矩阵，且已知（2A）-1=4321，则A=（ ）

A．24321 B．432121
C．214321 D．1432121
4.设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，m≠n, 则下列矩阵中为n阶矩阵的是（ ）
A.BTAT B.ATBT
C.ABA D.BAB
5．已知A2+A+E=0，则矩阵A-1=( )
A．A+E B．A-E
C．-A-E D．-A+E

6 .设矩阵A=312101214，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ）
A. –6 B. 6
C. 2 D. –2

7．设A为三阶矩阵，|A|=a≠0，则其伴随矩阵A*的行列式|A*|=（ ）
A．a B．a2
C．a3 D．a4
8.下列等式中，正确的是（ ）

A.2001002001021 B. 1233693456456

C.1051002 D.120120035035
9．设n阶方阵A，B，C满足ABC=E，则必有（ ）
A．ACB=E B．CBA=E
C．BAC=E D．BCA=E

10.设矩阵,A333222111cbacbacba,B333111222cbacbacba,P100001010则必有（ ）
A.PA=B B.P2A=B
C.AP=B D.AP2=B
二、填空题

1．设矩阵A=4321，则行列式|ATA|=____________.

2．设A=（1，3，-1），B=（2，1），则ATB=__________.
3. 已知矩阵方程XA=B，其中A=1201，B=0111，则X=___________.

4．设A，B为3阶方阵，且|A|=9，|B|=3，则|-2AB-1|=_____________.
5．设A=1101，k为正整数，则Ak= ．
三、计算题

1.设A=714131，B为3阶矩阵，且它们满足A-1B=6E+B，求B.

2.设A=120340121，B=223410.求（1）ABT；（2）|4A|.
3．设A=321011330且AB=A+2B，求B。
4．设矩阵653032001A，求.*1A

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第二章习题课线性代数

第二章习题课线性代数


a x1 b x 3 1, c d 0, x3 x1 则有 a x 2 b x 4 0, c x 2 d x 4 1.
23
a x1 b x 3 1, c d 0, x3 x1 则有 a x 2 b x 4 0, c x 2 d x 4 1.
2
解
n1 1 1 原式 n 1
1

n1 1
1 1 n 1
2
17
n1 1 1 n 1
2
1 1

n1
n1 1 1 n 1 1
方阵的行列式：
满足:
k 1
a1 A a0 E
1 AT A;
2 A n A;
3 AB A B
7
一些特殊的矩阵: 转置矩阵: 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的 A 的转置矩阵,记 A . 新矩阵,叫做
满足：1 A
T

T
A;
T T T T
a
k 1
s
பைடு நூலகம்ik
b kj
( i 1,2, , m; j 1,2, n)
5
乘法满足 ( AB )C A( BC );
( AB ) (A) B A(B ), (其中为数);
A( B C ) AB AC , ( B C ) A BA CA;
E m Amn Amn Amn E n .
第二章 矩阵及其运算 习题课
主要内容 典型例题
1
第二章
一. 矩阵概念
矩阵
第二章-线性代数(第四版)习题答案

第二章-线性代数(第四版)习题答案

y1 2 2 1 2 1 −1 x1 −7 −4 3 2 9 y1
y2 = 3 3 y2
5 3
x2 = 6 3 x3
−7 y2 . y3 −4
即
y1 = −7x1 − 4x2 + 9x3 , y2 = 6x1 + 3x2 − 7x3 , y = 3x + 2x − 4x . 3 1 2 3
由数学归纳法知: Ak =
8 ．设 A = 0
解: 方法一. 首先计算
1 = 0 0 λ λ3 0 λn 猜测: An = 0 0 nλn−1 λn 0
同理得 y2 = 6x1 + 3x2 − 7x3 , y3 = 3x1 + 2x2 − 4x3 .
2 . 已知两个线性变换 x1 = 2y1 + y3 , x2 = −2y1 + 3y2 + 2y3 , x = 4y + y + 5y , 3 1 2 3 y1 = −3z1 + z2 , y 2 = 2 z1 + z3 , y = −z + 3z , 3 2 3
1 0 (6) 0 0
1 3 (1) AB = BA 吗?
5. 设A=
1
2
,B=
1 1
0 2
, 问:
(2) (A + B )2 = A2 + 2AB + B 2 吗? (3) (A + B )(A − B ) = A2 − B 2 吗?
解: (1) 因为
AB = 3 4 4 6 , BA = 1 2 3 8 ,
《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答

《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答


An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算
线性代数第2章习题课

线性代数第2章习题课


一般地， 注：一般地，对于 n 阶方阵 A 有 A = A
.
1 0 0 例6. 设 A = 2 2 0 ，则 (A* )-1 = 3 4 5
A/10
.
第一章
16
知识点6： 知识点 ：矩阵的秩
k 1 1 1 k 1 1 1 k
例7. 设 A =
p.100 习题 习题27
第一章
7
分块矩阵的乘法
p.100 习题31 用分块矩阵乘法求下列矩阵的乘积： 习题31 用分块矩阵乘法求下列矩阵的乘积：
1 −2 0 0 1 −1 1 1 1 0 = A1 (1) A 0 3 2 0 −1 3
A2 B1 B2 A1 B1 = A B A4 O B4 3 1
A1B2 + A2 B4 A3 B2 + A4 B4
p.100 习题32 习题32
第一章
8
知识点2： 知识点 ：转置与对称矩阵
例1. 设 A, B 均为 n 阶对称阵，则下列矩阵中不对称的是 B . 阶对称阵，
(A ) = A
* * n− 2
( A T )T = A
( A −1 ) −1 = A
三种运算符任意两个 任意两个可交换顺序 注：AT , A−1, A* 三种运算符任意两个可交换顺序
第一章
A P102 49
2
二、方阵的逆矩阵
1.方阵可逆的判定 1.方阵可逆的判定: 方阵可逆的判定: n 阶方阵 A 可逆 |A|≠0. A 是非奇异矩阵 . AB=I ( 或 BA =I ). A 与 In 相似， 相似， 即存在可逆阵P 即存在可逆阵 、Q，使得 ，使得PAQ= In. A 可以表示为若干初等矩阵的乘积 . r(A) = n . A 是满秩矩阵 .