2.8 函数模型及综合应用(试题部分)——【2021 大一轮】

2.8函数模型及函数的综合应用探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数模型及函数的综合应用①了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用,了解函数与方程、不等式之间的联系,并能解决一些具体的实际问题2019北京,14函数的实际应用一元一次不等式★☆☆2015北京,8函数的图象2015北京文,8分析解读为了考查学生的综合能力与素养,高考加强了函数综合应用问题的考查力度,这一问题涉及的知识点较多,综合性也较强,属于中档以上的试题,题型以填空题和解答题为主,通常在如下方面考查:1.对函数实际应用问题的考查,这类问题多以社会实际生活为背景,设问新颖,要求学生掌握课本中的概念、公式、法则、定理等基础知识与方法.2.以课本知识为载体,把函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式求参数取值范围;利用分离参数法求函数值域,进而求参数的取值范围等.破考点练考向【考点集训】考点函数模型及函数的综合应用1.(2020届北京四中期中,9)某商场实行购物优惠活动,规定:(1)一次性消费不超过200元,则不予优惠;(2)一次性消费超过200元但不超过500元,则按9折优惠;(3)一次性消费超过500元,其中500元按9折给予优惠,超过500元的部分按8折给予优惠. 某人两次去购物,分别付款168元和423元,若他只去一次购买同样价格的商品,则应付款( )A.472.8元B.510.4元C.522.8元D.560.4元 答案 D2.(2018北京东城一模,14)动点P 从点A 出发,按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周,A,P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示,则动点P 所走的图形可能是( )答案 D3.(2019北京顺义期末,8)设函数f(x)的定义域为A,如果对于任意的x 1∈A,都存在x 2∈A,使得f(x 1)+f(x 2)=2m(其中m 为常数)成立,则称函数f(x)在A 上“与常数m 相关联”.给定函数①y=1x ;②y=x 3;③y=2x ;④y=ln x;⑤y=cos x+1,则在其定义域上“与常数1相关联”的所有函数是( )A.①②⑤B.①③C.②④⑤D.②④ 答案 C4.(2019 5·3原创冲刺卷一,11)设函数f(x)=2|x-1|+log 3(x-1)2,不等式f(ax)≤f(x+3)在x ∈(1,2]上恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,52] B.(-∞,2] C.[-1,52] D.[-32,52]答案D炼技法提能力【方法集训】方法函数模型的实际应用问题1.(2019北大附中模拟文,6)某电力公司在工程招标中根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分,按照综合得分的高低进行综合排序,综合排序高者中标.分值权重表如下:总分技术商务报价100%50%10%40%技术分、商务分是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的,报价分则相对灵活.报价分的评分方法:基准价的基准分是68分,若报价每高于基准价1%,则在基准分的基础上扣0.8分,最低得分为48分;若报价每低于基准价1%,则在基准分的基础上加0.8分,最高得分为80分;若报价低于基准价15%以上(不含15%),每再低1%,则在80分的基础上扣0.8分.在某次招标中,基准价为1000万元.甲、乙两公司的综合得分如下表:公司技术商务报价甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司的报价为1100万元,乙公司的报价为800万元,则甲,乙公司的综合得分分别是() A.73分,75.4分 B.73分,80分C.74.6分,76分D.74.6分,75.4分答案A2.(2020届北京铁二中10月月考,8)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=ae nt.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶L,则m的值为()中的水只有a4A.5B.8C.9D.10答案A3.(2020届北京人大附中统练七,6)有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从()年开始,快递业产生的包装垃圾将超过4000万吨.(参考数据:lg2≈0.301 0,lg3≈0.4771)()A.2020B.2021C.2022D.2023答案B【五年高考】A组自主命题·北京卷题组考点函数模型及函数的综合应用1.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案D2.(2015北京文,8,5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米) 2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升答案B3.(2019北京,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.答案 ①130 ②15B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点 函数模型及函数的综合应用1.(2019课标Ⅱ,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行.L 2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M 1,月球质量为M 2,地月距离为R,L 2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r 满足方程:M 1(R+r)2+M 2r2=(R+r)M 1R3.设α=rR .由于α的值很小,因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3,则r 的近似值为( )A.√M 2M 1R B.√M 22M 1R C.√3M2M 13R D.√M23M 13R答案 D2.(2019天津,8,5分)已知a ∈R.设函数f(x)={x 2-2ax +2a,x ≤1,x -alnx, x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立,则a 的取值范围为( )A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e] 答案 C3.(2018浙江,11,6分)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则{x +y +z =100,5x +3y +13z =100,当z=81时,x= ,y= .答案 8;11C 组 教师专用题组考点 函数模型及函数的综合应用1.(2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p+q 2B.(p+1)(q+1)-12C.√pqD.√(p +1)(q +1)-1 答案 D2.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)={x 2-x +3,x ≤1,x +2x,x >1.设a ∈R,若关于x 的不等式f(x)≥|x2+a|在R 上恒成立,则a 的取值范围是( )A.[-4716,2] B.[-4716,3916] C.[-2√3,2] D.[-2√3,3916]答案 A3.(2019浙江,16,4分)已知a ∈R,函数f(x)=ax 3-x.若存在t ∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,则实数a 的最大值是 . 答案 434.(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(x ∈R),对函数y=g(x)(x ∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x ∈I),y=h(x)满足:对任意x ∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x, f(x))对称.若h(x)是g(x)=√4-x 2关于f(x)=3x+b 的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b 的取值范围是 . 答案 (2√10,+∞)5.(2017浙江,17,4分)已知a ∈R,函数f(x)=|x +4x -a|+a 在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是 . 答案 (-∞,92]6.(2014湖北,14,5分)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a, f(a)),(b,-f(b))的直线与x 轴的交点为(c,0),则称c 为a,b 关于函数f(x)的平均数,记为M f (a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得M f (a,b)=c=a+b 2,即M f (a,b)为a,b 的算术平均数.(1)当f(x)= (x>0)时,M f (a,b)为a,b 的几何平均数; (2)当f(x)= (x>0)时,M f (a,b)为a,b 的调和平均数2ab a+b.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 答案 (1)√x (2)x7.(2014四川,15,5分)以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x 3,φ2(x)=sin x 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A ”的充要条件是“∀b ∈R,∃a ∈D,f(a)=b ”; ②函数f(x)∈B 的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B; ④若函数f(x)=aln(x+2)+x x 2+1(x>-2,a ∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号) 答案 ①③④8.(2010北京,14,5分)如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动.设顶点P(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系式是y=f(x),则f(x)的最小正周期为 ;y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为 .说明:“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动.沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转,当顶点B 落在x 轴上时,再以顶点B 为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正方形PABC 可以沿x 轴负方向滚动.答案 4;π+19.(2016浙江,18,15分)已知a ≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x 2-2ax+4a-2},其中min{p,q}={p,p ≤q,q,p >q. (1)求使得等式F(x)=x 2-2ax+4a-2成立的x 的取值范围; (2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a). 解析 (1)由于a ≥3,故当x ≤1时,(x 2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x 2+2(a-1)(2-x)>0, 当x>1时,(x 2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x 2-2ax+4a-2成立的x 的取值范围为[2,2a]. (2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x 2-2ax+4a-2,则 f(x)min =f(1)=0,g(x)min =g(a)=-a 2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即m(a)={0,3≤a ≤2+√2,-a 2+4a -2,a >2+√2.(ii)当0≤x ≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0), f(2)}=2=F(2),当2≤x ≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}. 所以,M(a)={34-8a,3≤a <4,2,a ≥4.思路分析 (1)先分类讨论去掉绝对值符号,再利用作差法求解;(2)分段函数求最值的方法是分别求出各段上的最值,较大(小)的值就是这个函数的最大(小)值.评析本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.10.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l 1,l 2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N 为C 的两个端点,测得点M 到l 1,l 2的距离分别为5千米和40千米,点N 到l 1,l 2的距离分别为20千米和2.5千米,以l 2,l 1所在的直线分别为x,y 轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C 符合函数y=ax 2+b (其中a,b 为常数)模型. (1)求a,b 的值;(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式f(t),并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度.解析 (1)由题意知,点M,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=ax 2+b ,得{a25+b =40,a400+b=2.5,解得{a =1 000,b =0.(2)①由(1)知,y=1 000x (5≤x ≤20),则点P 的坐标为(t,1 000t ),设在点P 处的切线l 交x,y 轴分别于A,B 点,y'=-2 000x 3,则l 的方程为y-1 000t =-2 000t (x-t),由此得A (3t 2,0),B (0,3 000t ).故f(t)=√(3t 2)2+(3 000t 2)2=32√t 2+4×106t 4,t ∈[5,20].②设g(t)=t 2+4×106t 4,则g'(t)=2t-16×106t 5.令g'(t)=0,解得t=10√2.当t ∈(5,10√2)时,g'(t)<0,g(t)是减函数; 当t ∈(10√2,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数;从而,当t=10√2时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min =300,此时f(t)min =15√3. ∴当t=10√2时,公路l 的长度最短,最短长度为15√3千米.评析本题主要考查函数的概念、导数的几何意义及应用,考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.11.(2013江西,21,14分)设函数f(x)={1a x, 0≤x ≤a,11-a (1-x), a <x ≤1.a 为常数且a ∈(0,1).(1)当a=12时,求f (f (13));(2)若x 0满足f(f(x 0))=x 0,但f(x 0)≠x 0,则称x 0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x 1,x 2;(3)对于(2)中的x 1,x 2,设A(x 1, f(f(x 1))),B(x 2, f(f(x 2))),C(a 2,0),记△ABC 的面积为S(a),求S(a)在区间[13,12]上的最大值和最小值. 解析 (1)当a=12时, f (13)=23, f (f (13))=f (23)=2(1-23)=23. (2)f(f(x))={1a 2x,0≤x ≤a 2,1a(1-a)(a-x),a 2<x ≤a,1(1-a)2(x-a),a <x <a 2-a +1,1(1-x),a 2-a +1≤x ≤1.当0≤x ≤a 2时,由1a 2x=x 解得x=0,因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点; 当a 2<x ≤a 时,由1a(1-a)(a-x)=x 解得x=a-a 2+a+1∈(a 2,a),因f (a-a 2+a+1)=1a ·a-a 2+a+1=1-a 2+a+1≠a-a 2+a+1,故x=a-a 2+a+1为f(x)的二阶周期点; 当a<x<a 2-a+1时,由1(1-a)2(x-a)=x 解得x=12-a ∈(a,a 2-a+1),因f (12-a )=11-a ·(1-12-a )=12-a ,故x=12-a 不是f(x)的二阶周期点; 当a 2-a+1≤x ≤1时, 由1a(1-a)(1-x)=x 解得x=1-a 2+a+1∈(a 2-a+1,1),因f (1-a 2+a+1)=11-a ·(1-1-a 2+a+1) =a-a 2+a+1≠1-a 2+a+1,故x=1-a 2+a+1为f(x)的二阶周期点.因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x 1=a -a 2+a+1,x 2=1-a 2+a+1.(3)由(2)得A (a-a 2+a+1,a-a 2+a+1),B (1-a 2+a+1,1-a 2+a+1),则S(a)=12·a 2(1-a)-a 2+a+1, S'(a)=12·a(a 3-2a 2-2a+2)(-a 2+a+1)2,因为a ∈[13,12],a 2+a<1, 所以S'(a)=12·a(a 3-2a 2-2a+2)(-a 2+a+1)2=12·a[(a+1)(a -1)2+(1-a 2-a)](-a 2+a+1)2>0.或令g(a)=a 3-2a 2-2a+2,g'(a)=3a 2-4a-2 =3(a -2-√103)(a -2+√103),因a ∈(0,1),g'(a)<0,所以g(a)在区间[13,12]上的最小值为g (12)=58>0,故对于任意a ∈[13,12],g(a)=a 3-2a 2-2a+2>0,S'(a)=12·a(a 3-2a 2-2a+2)(-a 2+a+1)2>0.则S(a)在区间[13,12]上单调递增,故S(a)在区间[13,12]上的最小值为S (13)=133,最大值为S (12)=120.评析本题考查了函数的零点、值域,是一道信息创新题,只有准确地理解信息,并具有较强的运算能力和数据处理能力,才能正确解答此题.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2019中央民大附中月考文,7)已知某厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函x3+81x-234,则使该厂家获得最大年利润的年产量为()数关系式为y=-13A.9万件B.11万件C.12万件D.13万件答案A2.(2020届北京八一学校开学摸底,7)在股票买卖过程中,经常会用各种曲线来描述某一只股票的变化趋势,其中一种曲线是即时价格曲线y=f(x),一种曲线是平均价格曲线y=g(x).例如:f(2)=3表示某股票开始交易后2小时的即时价格为3元,g(2)=4表示某股票开始交易后2小时内所有成交股票的平均价格为4元.下列四个图象中,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x).其中可能正确的是()答案B3.(2019北京丰台二模,8)某码头有总质量为13.5吨的一批货箱,每个货箱质量都不超过0.35吨,任何情况下,都要一次运走这批货箱,则至少需要准备载重1.5吨的卡车()A.12辆B.11辆C.10辆D.9辆答案B4.(2020届北京牛栏山一中9月月考,8)在交通工程学中,常作如下定义:交通流量Q(辆/小时):单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数;车流速度V(千米/小时):单位时间内车流平均行驶过的距离;车流密度K(辆/千米):单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数.)(其中v0,k0是正数),则以下说法正确的是()一般地,V和K满足一个线性关系:V=v0(1-Kk0A.随着车流密度增大,车流速度增大B.随着车流密度增大,交通流量增大C.随着车流密度增大,交通流量先减小、后增大D.随着车流密度增大,交通流量先增大、后减小答案D5.(2019北京丰台二模文,8)某快递公司的四个快递点A,B,C,D呈环形分布(如图所示),每个快递点均已配备10辆快递车辆.因业务发展需要,需将A,B,C,D四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆,要求调整只能在相邻的两个快递点间进行,且每次只能调整1辆快递车辆,则()A.最少需要8次调整,相应的可行方案有1种B.最少需要8次调整,相应的可行方案有2种C.最少需要9次调整,相应的可行方案有1种D.最少需要9次调整,相应的可行方案有2种答案D6.(2019北京海淀期中,8)函数f(x)=x,g(x)=x2-x+3,若存在x1,x2,…,x n∈[0,92],使得f(x1)+f(x2)+…+f(x n-1)+g(x n)=g(x1)+g(x2)+…+g(x n-1)+f(x n),则n的最大值为()A.5B.6C.7D.8答案D7.(2020届北大附中周测,7)已知函数f(x)=cosπx,g(x)=e ax-a+12(a≠0),若∃x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是()A.[-12,0) B.[12,+∞)C.(-∞,0)∪[12,+∞) D.[-12,0)∪(0,12]答案B二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018北京东城二模,14)某种物质在时刻t(min)的浓度M(mg/L)与t的函数关系为M(t)=ar t+24(a,r为常数).在t=0min和t=1min时,测得该物质的浓度分别为124mg/L和64 mg/L,那么在t=4min时,该物质的浓度为mg/L;若该物质的浓度小于24.001mg/L,则最小整数t的值为.(参考数据:lg2≈0.3010)答案26.56;139.(2019北京牛栏山一中期中,13)已知函数f(x)=x-a(x+a)2,若对于定义域内的任意x1,都存在x2使得f(x1)>f(x2),则满足条件的实数a的取值范围是.答案a≥010.(2019北京西城二模文,14)因市场战略储备的需要,某公司从1月1日起每月1日购买相同金额的某种物资,连续购买了4次.由于市场变化,5月1日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易,且该公司在买卖的过程中没有亏本,那么下面三个折线图中反映了这种物资每份价格(单位:万元)的可能变化情况的是.(写出所有正确的图表序号)答案②③三、解答题(共25分)11.(2020届北京八一学校10月月考,18)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒(接缝处忽略不计),E、F 在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm 2)最大,试问x 应取何值?(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm 3)最大,试问x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.解析 (1)设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),则a=√2x,h=√2(30-x),0<x<30. ∴S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,∴当x=15时,包装盒的侧面积S 最大.(2)V=a 2h=2√2(-x 3+30x 2),∴V'=6√2x(20-x),令V'=0,得x=20,当x ∈(0,20)时,V'>0;当x ∈(20,30)时,V'<0.所以当x=20时,包装盒容积V 最大,此时,ℎa =12.故此时包装盒的高与底面边长的比值是12. 12.(2020届北京四中期中,19)近年来,某企业每年消耗电费约24万元,为了节能减排,决定将一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网.安装这种供电设备的工本费(万元)与太阳能电池板的面积(平方米)成正比,比例系数约为0.5,为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电模式.假设在此模式下,该企业每年消耗的电费C(万元)与太阳能电池板的面积x(平方米)之间的函数关系是C(x)=k 20x+100(x ≥0,k 为常数),记F 为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年消耗的总电费之和.(1)试解析C(0)的实际意义,并建立F 关于x 的函数关系式;(2)当x 为多少平方米时,F 取得最小值?最小值是多少万元?解析 本题考查函数的实际应用,考查学生运用数学知识分析与解决实际问题的能力,体现数学建模的核心素养.(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的电费,即未安装太阳能供电设备时该企业每年消耗的电费.由C(0)=k 100=24,得k=2 400.所以F=15×2 40020x+100+0.5x=1 800x+5+0.5x,x ≥0. (2)因为F=1 800x+5+0.5x=1 800x+5+0.5(x+5)-2.5≥2√1 800×0.5-2.5=57.5,当且仅当1 800x+5=0.5(x+5),即x=55时,取等号.所以当x 为55平方米时,F 取得最小值,最小值为57.5万元.。

2021年高考数学大一轮复习 2.9函数模型及其应用课时作业 理一、选择题1．下表显示出函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )A.C ．指数函数模型D ．对数函数模型解析：由表中数据知x ，y 满足关系y ＝13＋2(x －3)．故为一次函数模型． 答案：A2．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是( )A ．不能确定B ．①②同样省钱C ．②省钱D ．①省钱解析：方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元) 方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元) 因为210<211.6，故方法①省钱． 答案：D3．一个人以6 m/s 的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m 时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s 2的加速度匀加速开走，那么( )A ．人可在7 s 内追上汽车B ．人可在10 s 内追上汽车C ．人追不上汽车，其间距最少为5 mD ．人追不上汽车，其间距最少为7 m解析：设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7，当t ＝6时，d 取得最小值为7. 答案：D4．(xx·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B.p ＋1q ＋1－12C.pqD.p ＋1q ＋1－1解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝p ＋1q ＋1－1，故选D.答案：D5．如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到D 为止．在这个过程中，△APD 的面积S 随时间t 的变化关系用图象表示正确的是( )解析：根据动点的移动知，P 点在AB 上移动时，△APD 的面积S 是在增加，排除选项C ，P 点在BC 上移动时，△APD 的面积S 是不变化的，排除选项A ，因为CD >AB ，点P 是匀速前进，所以在CD 上移动的时间比在AB 上移动所用的时间多，所以排除选项D ，选B.答案：B6．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率．．．是－10ln2 (太贝克/年)，则M (60)＝( ) A ．5太贝克 B ．75ln 2太贝克 C ．150ln 2太贝克D ．150太贝克解析：由题意M ′(t )＝M 02－t30 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln2，M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln2＝－10ln2，∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150.故选D.答案：D 二、填空题7．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元．解析：设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108. 答案：1088．已知某驾驶员喝了m 升酒后，血液中酒精的含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x >1，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量应不超过0.02毫克/毫升．则此驾驶员至少要过________小时后才能开车．(精确到1小时)解析：驾驶员醉酒1小时血液中酒精含量为5－1＝0.2，要使酒精含量≤0.02毫克/毫升，则35⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≤0.02，∴x ≥log 330＝1＋log 310>1＋log 39＝3，故至少要4个小时后才能开车． 答案：49．汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用＝年均成本费用＋年均维修费)，设某种汽车的购车的总费用为50 000元；使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6 000元；前x 年的总维修费y 满足y ＝ax 2＋bx ，已知第一年的总维修费为1 000元，前两年的总维修费为3 000元，则这种汽车的最佳使用年限为________年．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1 000＝a ＋b3 000＝4a ＋2b ，解得：a ＝500，b ＝500，∴y ＝500x 2＋500x . 设年均消耗费用为S ，则 S ＝50 000＋500x 2＋500xx＋6 000＝50 000x＋500x ＋500＋6 000≥2×5 000＋500＋6 000＝16 500(元)，当且仅当50 000x＝500x ，即x ＝10时取“＝”． 答案：10 三、解答题10．某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：p ＝2(1－kt )(x －b )2，其中k ，b 均为常数．当关税税率t ＝75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．(1)试确定k ，b 的值．(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：q ＝2－x，当p ＝q 时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．解：(1)由已知，⇒⎩⎪⎨⎪⎧1－0.75k 5－b 2＝0，1－0.75k7－b2＝1.解得b ＝5，k ＝1.(2)当p ＝q 时，2(1－t )(x －5)2＝2－x，所以(1－t )(x －5)2＝－x ⇒t ＝1＋x x －52＝1＋1x ＋25x－10. 而f (x )＝x ＋25x在(0,4]上单调递减，所以当x ＝4时，f (x )有最小值414，故当x ＝4时，关税税率的最大值为500%.11．某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 解：(1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋400x －80 000＝－12(x －400)2，∴当x ∈[200,300]时，S <0， 因此该项目不会获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，当x ＝200时，S 取得最小值－20 000. ∴国家每月补偿数额的范围是[5 000,20 000]． (2)由题意可知，二氧化碳的每吨处理成本为 y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144，12x ＋80 000x －200，x ∈[144，500，①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，∴当x ＝120时，y x取得最小值240；②当x ∈[144,500)时，y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时，yx取得最小值200.∵200<240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．1．如图，正方形ABCD 的顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，顶点C ，D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ＝f (t )的图象大致是( )解析：f (t )增长的速度先快后慢，故选C. 答案：C2．(xx·陕西卷)如上图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝1125x 3－35x B ．y ＝2125x 3－45x C ．y ＝3125x 3－x D ．y ＝－3125x 3＋15x 解析：根据函数图象的特点，过点(0,0)，关于原点对称， 故可设函数y ＝ax 3＋cx ，又函数在(－5,2)处的切线平行于x 轴，∴y ′＝3ax 2＋c ，即3a ×25＋c ＝0，∴c ＝－75a ，观察选项中的系数关系，可知选A. 答案：A3．某商场xx 年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f (x )＝p ·q x(q >0，q ≠1)； ②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)； ③f (x )＝x 2＋px ＋q .能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x )＝________.解析：因为①②中函数要么单调递增，要么单调递减，不满足题意，③为二次函数且开口向上，即f (x )先减后增，满足题意，所以选③.由f (1)＝10，f (3)＝2，得1＋p ＋q ＝10,9＋3p ＋q ＝2，解得p ＝－8，q ＝17. 所以f (x )＝x 2－8x ＋17. 答案：③ x 2－8x ＋174．某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x (吨)与支付费用y (元)的函数关系； (2)该地一家庭记录了过去12个月的月用水量(x ∈N *)如下表：(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：解：(1)y 关于x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，4x －8，4<x ≤6，6x －20，x >6.(2)由(1)知：当x ＝3时，y ＝6； 当x ＝4时，y ＝8；当x ＝5时，y ＝12；当x＝6时，y＝16；当x＝7时，y＝22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为112(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)．(3)由(1)和题意知：当y≤12时，x≤5，所以“节约用水家庭”的频率为77100＝77%，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%.a20500 5014 倔g23179 5A8B 媋33448 82A8 芨32471 7ED7 绗22370 5762 坢21924 55A4 喤38806 9796 鞖JY%A。

2.9 函数模型及其应用A组基础题组1.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后来为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.2.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年的年产量保持不变,将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系用图象表示,正确的是( )答案 A 依题意,前3年年产量的增长速度越来越快,说明总产量C的增长速度越来越快,只有选项A中的图象符合要求,故选A.3.(2018临沂模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9 平方米,且高度不低于 米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x的范围为( )A.[2,4]B.[3,4]C.[2,5]D.[3,5]答案 B 根据题意知,9=(AD+BC)h,其中AD=BC+2·=BC+x,h=x,所以9=(2BC+x)·x,得BC=-,由-0得2≤x<6,所以y=BC+2x=+(2≤x<6),由+≤10.5,解得3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6),所以腰长x的范围是[3,4].4.加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟答案 B 由已知得60解得-0-∴p=-0.2t2+1.5t-2=--+6,∴当t==3.75时p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.5.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等,则该年5月份( )A.甲食堂的营业额较高B.乙食堂的营业额较高C.甲、乙两食堂的营业额相同D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案 A 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x(x>0),由题意可得 m+ a=m×( + )8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额y2=m×( + )4=(),因为-=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故5月份甲食堂的营业额较高.6.调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的重要原因,交通法规规定,驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量将上升到3mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小时50%的速度减少,则至少经过小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时)答案4解析设n小时后他可以驾驶机动车,由题意得3(1-0.5)n≤0.2,即2n≥15,故至少经过4小时他才可以驾驶机动车.7.A、B两艘船分别从东西方向上相距145km的甲、乙两地开出.A船从甲地自东向西行驶,B船从乙地自北向南行驶,A船的速度是40km/h,B船的速度是16km/h,经过h,A、B两艘船之间的距离最短.答案解析设经过xh,A、B两艘船之间的距离为ykm,由题意可得y=( - 0)( 6 )= (6 - 00 ),易知当x=-- 00=时,y取得最小值,即A、B两艘船之间的距离最短.68.(2018杭州八校联考)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比,且比例系数为k,除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/时时,每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里,则当这艘轮船的速度为海里/时时,总费用最小.答案40解析设每小时的总费用为y元,行驶10海里的总费用为W元,则y=kv2+96,又当v=10时 k× 02=6,解得k=0.06,所以y=0.06v2+96,又匀速行驶10海里所用的时间为 0小时,故W= 0y= 0(0.06v2+96)=0.6v+ 60≥20 6· 60=48,当且仅当0.6v= 60,即v=40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/时.9.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是小时.答案24解析依题意有192=e b,48=e22k+b=e22k·e b,所以e22k===,所以e11k=或-(舍去),于是该食品在33℃的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3·e b=× = (小时).10.某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元~0.75元之间(包含0.55元和0.75元),经测算,若电价调至x 元,则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x-0.4)(元)成反比.又当x=0.65时,y=0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)若每千瓦时电的成本为0.3元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年增加20%? [收益=用电量×(实际电价-成本价)] 解析 (1)因为y 与(x-0.4)成反比, 所以可设y=-0 (k ≠0),把x=0.65,y=0.8代入上式得0.8=0 6 -0,解得k=0.2,所以y=-0 =-,则y 与x 之间的函数关系式为y=-(0.55≤x ≤0.75).(2)根据题意,得-(x-0 )= ×(0 -0 )×( + 0%) 整理得x 2-1.1x+0.3=0.解得x 1=0.5,x 2=0.6,因为x 的取值范围是[0.55,0.75], 所以x=0.5不符合题意,舍去,则x=0.6,所以当电价调至0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年增加20%.11.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l 1,l 2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N 为C 的两个端点,测得点M 到l 1,l 2的距离分别为5千米和40千米,点N 到l 1,l 2的距离分别为20千米和2.5千米,以l 2,l 1所在的直线分别为x,y 轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C 符合函数y=(其中a,b 为常数)模型. (1)求a,b 的值;(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t. ①请写出公路l 长度的函数解析式f(t),并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度.解析 (1)由题意知,点M,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5). 将其分别代入y= ,得0 00解得000 0( )①由(1)知,y= 000(5≤x ≤20), 则点P 的坐标为000,y'=- 000,设在点P 处的切线l 交x,y 轴分别于A,B 点,l 的方程为y- 000=-000(x-t), 由此得A0 ,B 0000.故f(t)=000=06,t ∈[5,20]. ②设g(t)=t 2+ 06, 则g'(t)=2t-6 06.令g'(t)=0,解得t=10 .当t ∈(5,10 )时,g'(t)<0,g(t)是减函数; 当t ∈(10 ,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数. 从而,当t=10 时,函数g(t)有极小值,也是最小值, 所以g(t)min =300, 此时f(t)min =15 .答:当t=10 时,公路l 的长度最短,最短长度为15 千米.B 组 提升题组1.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.( )( )-C. D. ( )( )-1答案 D 设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x>0,所以x=( )( )-1,故选D.2.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x年后若人均一年占有y千克粮食,则y关于x的解析式为( )A.y=360 00 -B y= 60× 0 xC.y= 60 00 D.y=360 0答案 D 设该乡镇现在人口总量为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克,1年后,该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)千克,人口总量为 M(1+1.2%),则人均占有粮食 60( %)( %)千克,2年后,人均占有粮食60( %) ( %)千克,……,x年后,人均占有粮食 60( %)( %)千克,即所求解析式为y=360 0.3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80km/h的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80km/h.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案 D 对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5km,则A错;对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B 错;对于C选项:甲车以80km/h的速度行驶时,燃油效率为10km/L,则行驶1小时,消耗了汽油 0× ÷ 0= (L) 则C错;对于D选项:当行驶速度小于80km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.4.某公司为了实现1000万元销售利润的目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按照销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金不超过5万元,同时奖金不超过销售利润的25%,则下列函数最符合要求的是( )A.y=xB.y=lgx+1C.y=D.y=答案 B 由题意知,x∈[10,1000],符合公司要求的模型需同时满足:①函数为增函数;②函数的最大值不超过 ;③y≤x·25%.对于y=x,易知满足① 但当x>20时,y>5,不满足要求;对于y=,易知满足① 因为>5,故当x>4时,不满足要求;对于y=,易知满足① 但当x>25时,y>5,不满足要求;对于y=lgx+1,易知满足① 当x∈[10,1000]时,2≤y≤4,满足② 再证明lgx+1≤x·25%,即4lgx+4-x≤0,设F(x)=4lgx+4-x,则-1<0,x∈[10,1000],所以F(x)为减函数,f(x)max=F(10)=4lg10+4-10=-2<0,满足③ 故选B.F'(x)=5.(2019汤溪中学月考)某远程教育网推出两种上网学习卡收取佣金的方案:A方案是先收取20元学习佣金,再按上网学习的累计时间收取佣金,B方案是直接按上网学习的累计时间收取佣金.已知一个月的学习累计时间t(小时)与上网费用s(元)的函数关系如图所示,则当累计学习150小时时,这两种方案收取的佣金相差元.答案10解析设A方案对应的函数解析式为s 1=k1t+20,B方案对应的函数解析式为s2=k2t,当t=100时,100k1+20=100k2 ∴k2-k1=,当t=150时,150k2-150k1- 0= 0×-20=10.6.(2018辽宁抚顺模拟)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P(单位:万元)、种黄瓜的年收入Q(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值;(2)如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?解析( )∵甲大棚投入了50万元,∴乙大棚投入了150万元,∴f( 0)= 0+ 0+× 0+ 0= (2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,依题意得00- 0⇒20≤x≤180,故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).令t=,则t∈[2,6],f(t)=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,当t=8,即x=128时,f(x)max=282.所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大收益为282万元.。

第九节函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a、b为常数,且a≠0)反比例函数模型f(x)=ax+b(a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c (a,b,c为常数,且a≠0)指数函数模型f(x)=ba x+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)对数函数模型f(x)=blog a x+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)幂函数模型f(x)=ax n+b(a,b,n为常数,且a≠0)2.三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y=a x(a>1)y=log a x(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)上的增减性①增函数②增函数③增函数增长速度④越来越快⑤越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与⑥y轴平行随x增大逐渐表现为与⑦x轴平行随α值变化而不同值的比较存在一个x0,当x>x0时,有log a x<xα<a x3.解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:形如f(x)=x+ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型:(1)该函数在(-∞,-√a)和(√a,+∞)上单调递增,在[-√a,0)和(0,√a]上单调递减.(2)当x>0时,在x=√a处取最小值2√a,当x<0时,在x=-√a处取最大值-2√a.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.()(2)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b x+c(a>0,b>1)增长速度越来越快的形象比喻.()(3)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,三个函数的增长速度大小为g(x)>f(x)>h(x).()(4)函数y=2x的函数值在(0,+∞)上一定比y=x2的函数值大.()(5)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.()答案(1)✕(2)√(3)√(4)✕(5)√2.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:x0.500.992.013.98y -0.990.010.982.00则对x,y最适合的拟合函数是()A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2x答案D3.前两年某商品的价格每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是()A.减少7.84%B.增加7.84%C.减少9.5%D.不增不减答案A4.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为.答案35.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元;销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为万元.答案10246.某城市客运公司确定客票价格的方法:如果行程不超过100km,那么票价是0.5元/km,如果超过100km,那么超过100km的部分按0.4元/km定价,则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是.答案y={0.5x,0<x≤100 0.4x+10,x>100二次函数、分段函数模型典例1某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120√6t吨(0≤t≤24).(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?(2)当蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,则在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?解析(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨,则y=400+60t-120√6t,令√6t=x,则x2=6t,即y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,所以当x=6,即t=6时,y min =40,即从供水开始到第6小时时,蓄水池中的存水量最少,只有40吨. (2)由(1)及题意有400+10x 2-120x<80, 得x 2-12x+32<0,解得4<x<8, 即4<√6t <8,83<t<323,由323-83=8小时,得每天约有8小时供水紧张.典例2 已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)={10.8-130x 2,0<x ≤10,108x-1 0003x ,x >10.(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本)解析 (1)当0<x ≤10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x-x 330-10;当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98-1 0003x-2.7x.∴W={8.1x -x 330-10,0<x ≤10,98-1 0003x -2.7x,x >10.(2)①当0<x ≤10时,令W'=8.1-x 210=0,得x=9,可知当x ∈(0,9)时,W'>0,当x ∈(9,10]时,W'<0, ∴当x=9时,W 取极大值,即最大值, 且W max =8.1×9-130×93-10=38.6. ②当x>10时,W=98-(1 0003x+2.7x)≤98-2√1 0003x·2.7x =38,当且仅当1 0003x=2.7x,即x=1009时,W=38,故当x=1009时,W 取最大值38(当1 000x 取整数时,W 一定小于38).综合①②知,当x=9时,W 取最大值,故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大.1-1 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x 2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元.则该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,那么国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?解析 设该单位每月获利为S 元,则 S=100x-y=100x-(12x 2-200x +80 000) =-12x 2+300x-80 000 =-12(x-300)2-35 000,因为400≤x ≤600,所以当x=400时,S 有最大值-40 000.故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40 000元,才能不亏损.指数函数模型典例3 某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式;(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.解析 (1)由题图,设y=kt,0≤t ≤1, 当t=1时,由y=4,得k=4,则y=4t. 由(12)1-a=4,得a=3.所以y={4t,0≤t ≤1,(12)t -3,t >1.(2)由y ≥0.25得{0≤t ≤1,4t ≥0.25或{t >1,(12)t -3≥0.25,解得116≤t ≤5,故服药一次后治疗疾病有效的时间是5-116=7916(小时). 对数函数模型典例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v=a+blog 3Q10(其中a,b 是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.(1)求出a,b 的值;(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位? 解析 (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s,此时耗氧量为30个单位,则a+blog 33010=0,即a+b=0;当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s,则a+blog 39010=1, 整理得a+2b=1. 解方程组{a +b =0,a +2b =1,得{a =-1,b =1.(2)由(1)知,v=a+blog 3Q10=-1+log 3Q10. 所以要使飞行速度不低于2 m/s,则v ≥2,所以-1+log 3Q10≥2,即log 3Q10≥3,解得Q10≥27,即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要270个单位. 规律方法构建数学模型解决实际问题时,要正确理解题意,分清条件和结论,理清数量关系,将文字语言转化为数学语言,建立适当的函数模型,求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制. 3-1 (1)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b (e=2.718…为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是 ( ) A.16小时 B.20小时C.24小时D.28小时(2)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 答案 (1)C (2)D解析 (1)由已知得192=e b ,① 48=e 22k+b =e 22k ·e b ,②将①代入②得e 22k =14,则e 11k =12, 当x=33时,y=e 33k+b=e 33k ·e b=(12)3×192=24,所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时.故选C.(2)设第n(n ∈N *)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元. 根据题意得130(1+12%)n-1>200, 则lg[130(1+12%)n-1]>lg 200, ∴lg 130+(n-1)lg 1.12>lg 2+2, ∴2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12>lg 2+2, ∴0.11+(n-1)×0.05>0.30,解得n>245, 又∵n ∈N *,∴n ≥5,∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2021年.故选D.A 组 基础题组1.下列函数中,随x 的增大,y 的增大速度最快的是( ) A.y=0.001e x B.y=1 000ln x C.y=x 1 000 D.y=1 000·2x答案A2.用长度为24米的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3米B.4米C.6米D.12米答案 A 设隔墙的长为x(0<x<6)米,矩形的面积为y平方米,则y=x×24-4x2=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,所以当x=3时,y取得最大值.故选A.3.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()x 1.99234 5.15 6.126y 1.5174.04187.51218.01A.y=2x-2B.y=12(x2-1)C.y=log2xD.y=lo g12x答案B4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10m3的,按m元/m3收费;用水超过10m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为()A.13m3B.14m3C.18m3D.26m3答案A5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两邻边长x,y应为()A.x=15,y=12B.x=12,y=15C.x=14,y=10D.x=10,y=14答案 A 如图,由三角形相似得24-y 24-8=x 20,得x=54(24-y),所以S=xy=-54(y-12)2+180, 所以当y=12时,S 有最大值,此时x=15.检验符合题意.6.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少13,至少应过滤 次才能达到市场要求. (参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) 答案 8解析 设过滤n 次,则2%(1-13)n≤0.1%, 即(23)n≤120, 所以nlg 23≤-1-lg 2, 所以n ≥7.39,所以n=8.7.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速率v 的平方成正比,且比例系数为k,除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/小时时,每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里,当这艘轮船的速度为 海里/小时时,总费用最小. 答案 40解析 设每小时的总费用为y 元, 则y=kv 2+96,又当v=10时,k×102=6, 解得k=0.06,所以每小时的总费用y=0.06v 2+96,匀速行驶10海里所用的时间为10v 小时,故总费用W=10v y=10v (0.06v 2+96)=0.6v+960v≥2√0.6v ×960v=48,当且仅当0.6v=960v,即v=40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时.8.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿 千克.答案1909解析 前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b(k ≠0),将点(1,10)和(10,30)代入函数解析式得{10=k +b,30=10k +b,解得k=209,b=709,所以y=209x+709,则当x=6时,y=1909.9.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律可用表达式y=e kt (其中k 为常数,t 表示时间,单位:小时,y 表示病毒个数)表示,则经过5小时,1个病毒能繁殖为 个. 答案 1 024解析 当t=0.5时,y=2,所以2=e 12k ,所以k=2ln 2,所以y=e 2tln 2,当t=5时,y=e 10ln 2=210=1 024. 10.某产品原来的成本为1 000元/件,售价为1 200元/件,年销售量为1万件,由于市场饱和,顾客要求提高,公司计划投入资金进行产品升级.据市场调查,若投入x 万元,每件产品的成本将降低34x 元,在售价不变的情况下,年销售量将减少2x 万件,按上述方式进行产品升级和销售,扣除产品升级资金后的纯利润记为f(x)(单位:万元). (1)求f(x)的函数解析式;(2)求f(x)的最大值,以及f(x)取得最大值时x 的值. 解析 (1)依题意,产品升级后,每件的成本为(1 000-3x4)元,利润为(200+3x 4)元,年销售量为(1-2x )万件,则纯利润f(x)=(200+3x4)(1-2x )-x=198.5-400x-x 4.(2)f(x)=198.5-400x-x 4≤198.5-2×√400x×x4=178.5,当且仅当400x=x 4,即x=40时等号成立.所以f(x)取最大值时的x 的值为40.11.如图,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM,使点P 在边DE 上. (1)设MP=x 米,PN=y 米,将y 表示成x 的函数,并求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形BNPM 面积的最大值.解析(1)如图,作PQ⊥AF于Q,所以PQ=8-y,EQ=x-4,在△EDF中,EQPQ =EFFD,所以x-48-y=42,所以y=-12x+10,定义域为{x|4≤x≤8}.(2)设矩形BNPM的面积为S平方米,则S(x)=xy=x(10-x2)=-12(x-10)2+50,所以S(x)是关于x的二次函数,且其图象开口向下,对称轴为直线x=10,所以当x∈[4,8]时,S(x)单调递增,所以当x=8时,矩形BNPM的面积取得最大值,最大值为48平方米.B组提升题组1.我们定义函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”;定义y={x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”;例如[4.3]=4,[5]=5;{4.3}=5,{5}=5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过一小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推.若李刚停车时间为x小时,则李刚应付费为(单位:元)()A.2[x+1]B.2([x]+1)C.2{x}D.{2x}答案 C 如x=1时,应付费2元,而2[x+1]=4,2([x]+1)=4,排除A 、B;当x=0.5时,付费为2元,此时{2x}=1,排除D,故选C.2.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A.8 B.9 C.10D.11答案 C 设死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过n(n ∈N *)个“半衰期”后的含量为(12)n,由(12)n<11 000得n ≥10.所以,若探测不到碳14含量,则至少经过了10个“半衰期”.故选C. 3.某厂为巴西奥运会生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件,需另投入成本C(x)(万元).当年产量不足80千件时,C(x)=13x 2+10x;当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10 000x-1 450.每件商品售价为0.05万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解析 (1)由题意可得,当0<x<80时,L(x)=0.05×1 000x-(13x 2+10x +250),当x ≥80时, L(x)=0.05×1 000x-(51x +10 000x-1 450+250),即L(x)={-13x 2+40x -250,0<x <80,1 200-(x +10 000x ),x ≥80.(2)当0<x<80时,L(x)=-13(x-60)2+950, ∴当x=60时,L(x)取得最大值950. 当x ≥80时,L(x)=1 200-(x +10 000x)≤1 200-2√x ·10 000x=1 200-200=1 000,∴当且仅当x=10 000x,即x=100时,L(x)取得最大值1 000.综上所述,当x=100时,L(x)取得最大值1 000,即年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.4.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a(单位:万元)满足P=80+4√2a ,Q=14a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值;(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大? 解析 (1)由题意知甲大棚投入50万元, 则乙大棚投入150万元,故f(50)=80+4√2×50+14×150+120=277.5(万元). (2)f(x)=80+4√2x +14(200-x)+120=-14x+4√2x +250, 依题意得{x ≥20,200-x ≥20,解得20≤x ≤180,故f(x)=-14x+4√2x +250(20≤x ≤180). 令t=√x , 则t ∈[2√5,6√5],y=-14t 2+4√2t+250=-14(t-8√2)2+282,当t=8√2,即x=128时, f(x)取得最大值,f(x)max =282.所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大总收益为282万元.。

2.8函数模型及函数的综合应用挖命题【考情探究】分析解读为了考查学生的综合能力与素养,高考加强了函数综合应用问题的考查力度,这一问题一般涉及的知识点较多,综合性也较强,属于中档以上的试题,题型以填空题和解答题为主,在高考中分值为5分左右,通常在如下方面考查:1.对函数实际应用问题的考查,这类问题多以社会实际生活为背景,设问新颖,要求学生掌握课本中的概念、公式、法则、定理等基础知识与方法.2.以课本知识为载体,把函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式(组)求参数范围,利用分离参数法求函数值域,进而求字母的取值等.破考点【考点集训】考点函数模型及函数的综合应用1.(2017福建质检,5)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8B.9C.10D.11答案C2.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,12)定义在实数集R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x,则下列四个命题:①f(2018)=0;②函数f(x)的最小正周期为2;③当x∈[-2018,2018]时,方程f(x)=有2018个根;④方程f(x)=log5|x|有5个根.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C3.(2018福建闽侯第六中学模拟,15)已知f(x)是R上的减函数,A(3,-1),B(0,1)是其图象上的两个点,则不等式|f(1+ln x)|<1的解集是.答案炼技法【方法集训】方法函数的实际应用题1.(2018福建三明期末,14)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-T a=(T0-T a)·,其中T a称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡,放在24℃的房间中,如果咖啡降到40℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40℃降到32℃时,还需要分钟.答案102.(2017江西金溪一中等期中联考,19)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康有一定的危害,为了给消费者带来放心蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值;(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?解析(1)甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,∴f(50)=80+4+×150+120=277.5.(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,依题意,得⇒20≤x≤180,故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).令t=,则t∈[2,6],则y=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,当t=8,即x=128时,f(x)max=282.所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大总收益为282万元.过专题【五年高考】自主命题·省(区、市)卷题组1.(2016四川,5,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)()A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年答案B2.(2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A. B. C. D.-1答案D3.(2017山东,15,5分)若函数e x f(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.①f(x)=2-x②f(x)=3-x③f(x)=x3④f(x)=x2+2答案①④4.(2016浙江,18,15分)已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).解析(1)由于a≥3,故.当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即m(a)=(ii)当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.所以,M(a)=教师专用题组1.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案D2.(2014湖南,10,5分)已知函数f(x)=x2+e x-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是()A. B.(-∞,)C. D.答案B3.(2014辽宁,12,5分)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|<|x-y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,则k的最小值为()A. B. C. D.答案B4.(2017浙江,17,5分)已知a∈R,函数f(x)=+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是.答案5.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是小时.答案246.(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是.答案(2,+∞)7.(2014湖北,14,5分)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a, f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为M f(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得M f(a,b)=c=,即M f(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)=(x>0)时,M f(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)=(x>0)时,M f(a,b)为a,b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案(1)(2)x8.(2016江苏,19,16分)已知函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.解析(1)因为a=2,b=,所以f(x)=2x+2-x.①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,所以m≤对于x∈R恒成立.而=f(x)+≥2=4,且=4,所以m≤4,故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函数g(x)的唯一零点.因为g'(x)=a x ln a+b x ln b,又由0<a<1,b>1知ln a<0,ln b>0,所以g'(x)=0有唯一解x0=lo.令h(x)=g'(x),则h'(x)=(a x ln a+b x ln b)'=a x(ln a)2+b x(ln b)2,从而对任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数.于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x)<g'(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>g'(x0)=0.因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数.下证x0=0.若x0<0,则x0<<0,于是g<g(0)=0.又g(log a2)=+-2>-2=0,且函数g(x)在以和log a2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和log a2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0<a<1,所以log a2<0.又<0,所以x1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.若x0>0,同理可得,在和log b2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0.于是-=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.9.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=,得解得(2)①由(1)知,y=(5≤x≤20),则点P的坐标为,设在点P处的切线l交x轴,y轴分别于A,B点,易知y'=-,则l的方程为y-=-(x-t),由此得A,B.故f(t)==,t∈[5,20].②设g(t)=t2+,则g'(t)=2t-.令g'(t)=0,解得t=10.当t∈(5,10)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;当t∈(10,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数;从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,则f(t)min=15.答:当t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2019届湖北武汉示范高中高三联考,5)如图,点P在边长为1的正方形边上运动,M是CD 的中点,当点P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f(x)的图象的形状大致是()答案A2.(2017山西名校联考,12)设函数f(x)=-4x+2x+1-1,g(x)=lg(ax2-4x+1),若对任意x1∈R,都存在x2∈R,使f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为()A.(0,4]B.(-∞,4]C.(-4,0]D.[4,+∞)答案B3.(2018河北石家庄一模,12)已知M是函数f(x)=|2x-3|-8sinπx(x∈R)的所有零点之和,则M 的值为()A.3B.6C.9D.12答案D4.(2018河南郑州高中毕业班第二次质量预测,12)函数f(x)=,方程[f(x)]2-(m+1)f(x)+1-m=0有4个不相等的实根,则m的取值范围是()A. B.C. D.答案C二、填空题(共5分)5.(2019届吉林高三第一次调研测试,16)某工厂投资100万元开发新产品,第一年获利10万元,从第二年开始每年获利比上一年增加20%,从第n年开始,前n年获利总和超过投入的100万元,则n=.(参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771)答案7三、解答题(共25分)6.(2019届湖北、山东部分重点中学高三第一次联考,20)某地空气中出现污染,需喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算,每喷洒1个单位的去污剂,空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化的函数关系式近似为y=若多次喷洒,则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知,当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时,它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒1个单位的去污剂,则去污时间可达几天?(2)若第一次喷洒1个单位的去污剂,6天后再喷洒a个单位的去污剂,要使接下来的4天中能够持续有效去污,试求a的最小值.(精确到0.1)解析(1)依题意,令y≥4,则或解得0<x≤4或4<x≤7,∴0<x≤7,∴一次喷洒1个单位的去污剂,去污时间可达7天.(2)设从第一次喷洒起,经x(6<x≤10)天空气中的去污剂浓度为f(x),则f(x)=+a=-x+11a(6<x≤10),依题意f(x)≥4对一切x∈(6,10]恒成立,∴f(x)min≥4.易知f(x)在(6,10]上单调递减,∴f(x)min=f(10)=3+6a,∴3+6a≥4,∴a≥≈0.2,故a的最小值为0.2.方法总结解决应用问题的基本步骤:①审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系,恰当选择函数模型;②建模:将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言,利用数学知识建立相应的函数模型,将实际问题转化为数学问题;③求解:求解数学问题,得出数学结论;④还原:将利用数学知识和方法得出的结论还原为实际问题的答案.7.(2018湖北荆州一模,19)某市环保研究所对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)=+,x∈[0,24],其中a是与气象有关的参数,且a∈.(1)令t(x)=,x∈[0,24],求t(x)的最值;(2)若用每天的f(x)的最大值作为当天的综合污染指数,市政府规定:每天的综合污染指数不得超过2.试问目前市中心的综合污染指数是否超标?解析(1)由t(x)=,x∈[0,24],得t'(x)==,x∈[0,24],令t'(x)≥0,得(x+2)(x-2)≤0,则0≤x≤2,令t'(x)<0,得(x+2)(x-2)>0,则2<x≤24,∴t(x)在[0,2]上递增,在(2,24]上递减,又t(0)=0,t(2)=,t(24)=,∴t(x)min=t(0)=0;t(x)max=t(2)=.(2)令t=,则由x∈[0,24],得t∈,令g(t)=f(x)=t·|t-a|+,t∈,则g(t)=易知g(t)在和上递增,在上递减,且g=+,g=1-,g-g=+-,令+-≥0,得-1≤a≤;令+-<0,得0≤a<-1,∴f(x)max=∴f(x)max≤1,∴目前市中心的综合污染指数没有超标.。

1. 数学模型及数学建模数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学建模是把实际问题加以抽象概括,建立相应的模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.2. 常见的函数模型:①一次函数,②二次函数,③指(对)数函数,④其他函数.3. 解函数应用题时,要注意四个步骤:第一步:阅读理解.读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上,分析出已知什么、求什么,从中提炼出相应的数学问题.第二步:引入数学符号,建立数学模型.一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量,并用x,y和辅助变量表示各相关量,然后根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式,在此基础上将实际问题转化为一个函数问题,实现问题的数学化,即所谓建立数学模型.第三步:利用数学方法对得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果.第四步:将所得结果再转译成具体问题的解答.1. (必修1P31习题3改编)用长度为L(m)的篱笆围建一个一面靠墙的矩形鸡舍,如果挨着墙的边长为x(m),鸡舍面积为y(m2),请把y表示成x的函数:. [答案]y=-2x2+Lx,0<x<(第1题)2. (必修1P93复习题4改编)用边长为60的正方形铁皮做一个无盖的水箱,如图,先在铁皮四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成.若水箱底边的长为a,则水箱的容积大小为.(第2题)[答案]-a3+30a2,0<a<60[解析]由题意得底面积为a2,高为=30-a,所以水箱的容积为a2=-a3+30a2,其中0<a<60.3. (必修1P32习题12改编)某商品的单价为5 000元,若一次性购买超过5件,但不超过10件,则每件优惠500元;若一次性购买超过10件,则每件优惠1 000元.某单位购买x 件(x∈N*,x≤15),设最终的购买费用是f(x)(单位:元),则f(x)的解析式是.[答案]f(x)=4. (必修1P94复习题16改编)在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v m/s,燃料的质量M kg和火箭(除燃料外)的质量m kg的函数关系是v=2 000ln.当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭的最大速度可达12 km/s.[答案]e6-1[解析]由题意得2 000ln≤12 000,所以≤e6-1.5. (必修1P84练习3改编)某单位用3.2万元购买了一台实验仪器,假设这台仪器从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为(n∈N*)元.若使用这台仪器的日平均费用最少,则一共使用了天.[答案]800[解析]前n天共需要的维修保养费为+=n(n+99),则日平均费用y=++≥,当且仅当=,即n=800时取等号.L Wy-26250 668A 暊827228 6A5C 橜> 31246 7A0E 税33117 815D 腝L。

2021年高考数学一轮总复习 2-10 函数模型及其应用练习新人教A版一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(xx·南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过20 g，付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g需增加邮费0.80元(信的质量在100 g以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g，则他应付邮费( )A．3.20元B．2.90元C．2.80元D．2.40元解析由题意得20×3<72.5<20×4，则应付邮费0.80×4＝3.20(元)．故选A.答案A2．(xx·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.答案 D3．(xx·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位：m)的取值范围是( )A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]解析 如右图：过A 作AM ⊥BC 交M ，交DE 于N ；AM ＝40，由相似三角形得：DE BC ＝x40＝AD AB ＝AN AM ＝AN40，解得AN ＝x ，MN ＝40－x ，则阴影部分的面积为S ＝x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，故选C.答案 C4．国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为( )A ．2 800元B ．3 000元C ．3 800元D ．3 818元解析 设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 x ≤800，x －800×14% 800＜x ≤4 000，11%·x x ＞4 000.如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，∴(x －800)×14%＝420.∴x ＝3 800(元)． 答案 C5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元解析依题意可设在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(x≥0)．故当x＝10时，S max＝45.6(万元)．答案 B6．已知某食品厂生产100克饼干的总费用为1.80元，现该食品厂对饼干采用两种包装，其包装费及售价如下表所示：①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3包小包装比卖1包大包装盈利多；④卖1包大包装比卖3包小包装盈利多．所有正确的说法是( )A．①④ B．①③C．②③ D．②④解析1包小包装每元买饼干1003克，1包大包装每元可买饼干3008.4＞1003克，因此，买大包装实惠．卖3包小包装可盈利2.1元，卖1包大包装可盈利2.2元，因此，卖3包小包装比卖1包大包装盈利少．答案 D二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．解析方法1：设计算机价格平均每年下降p%，由题意，可得13＝(1－p %)3，∴p %＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313 .∴9年后的价格为8 100×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13 13 －19＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝300(元)． 方法2：9年后的价格为8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝300(元)．答案 3008．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ，x ＜A ，cA ，x ≥A ，(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是________．解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧cA＝15，c4＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝60，A ＝16.答案 60 169．(xx·湖北武昌调研)某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________； (2)最低种植成本是________(元/100 kg)．解析 根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c 且开口向上，对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120.代入数据⎩⎪⎨⎪⎧3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120.最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120·(－2.4)＋84＋14 000×0.01＝80.答案 (1)120 (2)80三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．(xx·成都诊断)某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万元，生产与销售均以百台计数，且每生产100台，还需增加可变成本1 000万元．若市场对该产品的年需求量为500台，每生产m 百台的实际销售收入(单位：万元)近似满足函数R (m )＝5 000m －500m 2(0≤m ≤5，m ∈N )．(1)试写出第一年的销售利润y (万元)关于年产量x (单位：百台，x ≤5，x ∈N *)的函数关系式；(说明：销售利润＝实际销售收入－成本)(2)因技术等原因，第一年的年生产量不能超过300台，若第一年人员的年支出费用u (x )(万元)与年产量x (百台)的关系满足u (x )＝500x ＋500(x ≤3，x ∈N *)，问年产量x 为多少百台时，工厂所得纯利润最大？解 (1)由题意得y ＝5 000x －500x 2－500－1 000x ， 即y ＝－500x 2＋4 000x －500(x ≤5，x ∈N *)． (2)记工厂所得纯利润为h (x )，则h (x )＝－500x 2＋4 000x －500－u (x )＝－500x 2＋3 500x －1 000，∵－500(x 2－7x )－1 000＝－500⎝ ⎛⎭⎪⎫x －722＋5 125(x ≤3，x ∈N *)，∴当x ＝3(百台)时，h (x )max ＝5 000(万元)．故当年生产量为300台时，厂家的纯利润最大，且最大值为5 000万元．11．(xx·日照模拟)据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如右图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解 (1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12， ∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2，当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上，可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650. 解得t 1＝30，t 2＝40. ∵20<t ≤35，∴t ＝30.∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．12．(xx·潍坊模拟)某工厂生产某种商品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)∵每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为(0.05×1 000x )万元，依题意得当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－51x －10 000x＋1 450－250＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x .则L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250 0<x <80，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元．当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000.此时，当x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．∵950<1 000，则当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1 000万元．333018215 舕 fWwrGz25795 64C3 擃 21861 5565 啥k24540 5FDC 応。

2021年领军高考数学（理）一轮必刷题函数模型及其应用（解析版）考点12函数模型及其应用1.一个城市的GDP连续两年增长。

如果第一年的增长率为p，第二年的增长率为Q，那么这两年该市GDP的平均年增长率为（）p+QA2c.pq【答案】d【分析】如果第一年年初的GDP为1，那么两年的GDP为（P+1）（Q+1）。

如果两年GDP的平均年增长率为x，那么（1+x）2=（P+1）（Q+1），解为x=（P+1）（Q+1）-1，所以选择D2、在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/l，记作[h])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/l，记作[oh])的乘积等于常数10－－14＋（p＋1）（q＋1）－1b．2d.（p＋1）（q＋1）－1.已知ph值的定义为ph＝－lg[h]，健康人体＋＋[h]血液的ph值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的－可以为(参考数据：lg2≈0.30，lg[oh]3≈0.48）a。

21c。

6【答案】c[分析]∵ [H] [OH]=10∵ 100.7－7.45＋－－14一b．31d。

10[h] ＋2＋，∴1014，∵7.35[哦][h]11＋－－14，lg(100.7)＝0.7>lg3>lg2，∴－＝101010[oh]＋＋＋－0.7＋－7.35，∴10－0.910>3>2，10111[h]1<3.水池有两个进水口和一个出水口。

每个出水口的进水和出水速度如图A和图B所示。

游泳池的蓄水能力如图C所示，每天从0点到6点给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()a．①c．①③b。

①②d。

①②③第1页共9页[答：]a1【分析】根据图a和图B，进水速度为出水速度，因此0:00到3:00没有出水口，3:00到4:00可能有一个进水口2口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.4.食品的保存时间y（单位：小时）和储存温度x（单位：℃）满足函数关系，y=ekxb（E=2.718…）是自然对数＋基数K，B是常数）。

课时跟踪检测(十二) 函数模型及其应用(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2021·苏锡常镇一调)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部份按每千米元收费；超过8 km时，超过部份按每千米元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费元，那么这次出租车行驶了________ km.2．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们别离要去第2至第12层，每层1人．因特殊缘故，电梯只许诺停1次，只可使1人如愿抵达，其余10人都要步行抵达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不中意度”增量为1，每向上步行1层的“不中意度”增量为2,10人的“不中意度”之和记为S.那么S最小时，电梯所停的楼层是________层．3.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如下图，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．假设鱼缸水深为h时的水的体积为v，那么函数v＝f(h)的大致图像可能是图中的________．4.如图，书的一页的面积为600 cm2，设计要求书面上方空出2 cm的边，下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文字部份的面积最大，这页书的长、宽应别离为________．5．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．假设一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，那么x的最小值是________．6．(2021·连云港模拟)某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具有以下三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1)请你分析该单位可否采纳函数模型y ＝(x2＋4x ＋8)作为报销方案；(2)假设该单位决定采纳函数模型y ＝x －2ln x ＋a(a 为常数)作为报销方案，请你确信整数a 的值(参考数据：ln 2≈，ln 10≈．7．(2021·苏北四市统考)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，计划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)假设该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f(x)的解析式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？8．(2021·南通一调)将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．(1)依照历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗历时25 h ，种植一捆沙棘树苗历时12h ．应如何分派A ，B 两组的人数，使植树活动持续时刻最短？(2)在按(1)分派的人数种植1 h 后发觉，每名志愿者种植一捆白杨树苗历时仍为25h ，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际历时23h ，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时刻．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2021·扬州期末)某工厂利用辐射对食物进行灭菌消毒，现预备在该厂周围建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处置，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂的距离有关．假设建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系式为p＝k3x＋5(0≤x≤8)，假设距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购买修路设备需5万元，铺设路面每千米本钱为6万元，设函数f(x)为建造宿舍与修路费用之和．(1)求f(x)的解析式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求出最小值．2.(2021·苏州一调)如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P，Q别离在边BC，CD上)，设∠PAB＝θ，tan θ＝t.(1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是不是为定值；(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最多为多少平方百米？3．(2021·徐州调研)徐州、苏州两地相距500 km，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100 km/h.已知货车每小时的运输本钱(以元为单位)由可变部份和固定部份组成：可变部份与速度v km/h的平方成正比，比例系数为；固定部份为a元(a>0)．(1)把全程运输本钱y元表示为速度v km/h的函数，并指出那个函数的概念域；(2)为了使全程运输本钱最小，汽车应以多大速度行驶？4．(2021·镇江质检)有一海湾，海岸线为近似半个椭圆(如图)，椭圆长轴端点别离为A，，B 间的距离为3 km，椭圆核心别离为C，，D间的距离为2 km，在C，D处别离有甲、乙两个油井，现预备在海岸线上建一度假村P，不考虑风向等因素阻碍，油井对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比(比例系数都为k1)，与距离的平方成反比(比例系数都为k2)，又知甲油井排出的废气浓度是乙油井的8倍．(1)设乙油井排出的废气浓度为a(a 为常数)，度假村P 距离甲油井x km ，度假村P 受到甲、乙两油井的污染程度和记为f(x)，求f(x)的解析式并求其概念域；(2)度假村P 距离甲油井多少时，甲、乙两油井对度假村的废气污染程度和最小？ 答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解析：当恰好行驶8 km 时，需要付费1＋8＋×5＝元，而此刻付出费用为元，因此用－＝，故多行1 km ，即实际行驶9 km.答案：92．解析：设所停的楼层为n 层，那么2≤n≤12，由题意得：S ＝2＋4＋…＋2(12－n)＋1＋2＋3＋…＋(n －2)＝12－n26－2n 2＋n －2[1＋n －2]2＝32n2－532n ＋157，其对称轴为n ＝536∈(8,9)，又n ∈N*且n 离9的距离较近． 答案：93．解析：当h ＝0时，v ＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H 2周围时，体积转变较快；h 小于H 2时，增加愈来愈快；h 大于H 2时，增加愈来愈慢． 答案：②4．解析：设长为a cm ，宽为b cm ，那么ab ＝600 cm ，那么中间文字部份的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b)≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486 cm2.答案：30 cm,20 cm5．解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，那么一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，依照题意有3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t ＝1＋x%，那么25t2＋25t －66≥0，解得t≥65或t ≤－115(舍去)， 故1＋x%≥65， 解得x≥20.答案：206．解：(1)y ＝(x2＋4x ＋8)在[2,10]上是增函数，知足条件①；当x ＝10时，y 有最大值，小于8，知足条件③；但当x ＝3时，y ＝2920<32，即y≥x 2不恒成立，不知足条件②， 故该函数模型不符合该单位报销方案．(2)关于函数模型y ＝x －2ln x ＋a ，设f(x)＝x －2ln x ＋a ，那么f′(x)＝1－2x ＝x －2x≥0. 因此f(x)在[2,10]上是增函数，知足条件①.由条件②得x －2ln x ＋a≥x 2， 即a≥2ln x－x 2在x ∈[2,10]上恒成立． 令g(x)＝2ln x －x 2， 那么g′(x)＝2x －12＝4－x 2x ，由g′(x)>0得x<4，因此g(x)在(2,4)上是增函数，在(4,10)上是减函数．因此a≥g(4)＝2ln 4－2＝4ln 2－2.由条件③得f(10)＝10－2ln 10＋a≤8，解得a≤2ln 10－2.另一方面，由x －2ln x ＋a≤x，得a≤2ln x 在x ∈[2,10]上恒成立，因此a≤2ln 2. 综上所述，a 的取值范围为[4ln 2－2,2ln 2]，因此知足条件的整数a 的值为1.7．解：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，因此写字楼从下到上各层的总建筑费用组成以800为首项，20为公差的等差数列，因此y ＝f(x)＝800x ＋x x －12×20＋9 000 ＝10x2＋790x ＋9 000(x ∈N*)．(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为g(x)＝f x 2 000x×10 000 ＝510x2＋790x ＋9 000x＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋900x ＋79≥50×(2900＋79)＝6 950， 当且仅当x ＝900x，即x ＝30时，等号成立． 因此要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为30层．8．解：(1)设A 组人数为x ，且0<x<52，x ∈N*，那么A 组植树活动所需时刻为f(x)＝150×25x＝60x ，B 组植树活动所需时刻为g(x)＝200×1252－x ＝10052－x. 令f(x)＝g(x)，即60x ＝10052－x， 解得x ＝392.因此A ，B 两组同时开始的植树活动所需时刻为F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ， x≤19，x ∈N*，10052－x ， x≥20，x ∈N*.而F(19)＝6019，F(20)＝258， 故F(19)>F(20)． 因此当A ，B 两组人数别离为20,32时，植树活动持续时刻最短．(2)A 组所需时刻为1＋150×25－20×120－6＝367， B 组所需时刻为1＋200×23－32×132＋6＝323， 因此植树活动所持续的时刻为367h. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)依照题意得100＝k3×1＋5， 因此k ＝800.故f(x)＝8003x ＋5＋5＋6x,0≤x≤8. (2)因为f(x)＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥2 8003x ＋5·23x ＋5－5＝75， 当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)，即x ＝5时取等号． 因此f(x)min ＝75.因此宿舍应建在离工厂5 km 处，可使总费用f(x)最小，最小为75万元．2．解：(1)由题意得BP ＝t ，CP ＝1－t,0≤t≤1.∠DAQ ＝45°－θ，DQ ＝tan(45°－θ)＝1－t 1＋t，CQ ＝1－1－t 1＋t ＝2t 1＋t， 因此PQ ＝CP2＋CQ2＝1－t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2＝1＋t21＋t . 因此l ＝CP ＋CQ ＋PQ ＝1－t ＋2t1＋t ＋1＋t21＋t ＝1－t ＋1＋t ＝2，是定值． (2)S ＝S 正方形ABCD －S △ABP －S △ADQ ＝1－12t －12·1－t 1＋t ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤121＋t ＋11＋t . 因为1＋t>0，因此S≤2－2121＋t ·11＋t ＝2－2，当且仅当12(1＋t)＝11＋t ，即t ＝2－1时取等号． 因此探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 最多为(2－2)平方百米．3．解：(1)由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所历时刻为500v，全程运输本钱为 y ＝a·500v ＋·500v ＝500a v＋5v. 故所求函数为y ＝500a v＋5v ，v ∈(0,100]． (2)由题意知a ，v 都为正数，故500a v＋5v≥100a ，当且仅当500a v ＝5v ，即v ＝10a 时，等号成立．①假设10a ≤100，即0<a≤100时，那么当v ＝10a 时，全程运输本钱y 最小； ②假设10a>100，即a>100时，那么当v ∈(0,100]时，有y′＝－500a v2＋5＝5v2－100a v2<0.因此函数y 在v ∈(0,100]上单调递减，也即当v ＝100时，全程运输本钱y 最小． 综上可知，为使全程运输本钱y 最小，当0<a≤100时，行驶速度应为v ＝10 a km/h ；当a>100时，行驶速度应为v ＝100 km/h.4．解：(1)由点P 在椭圆上知，PC ＋PD ＝3，即PC ＝x ，那么PD ＝3－x.因此度假村P 受乙油井污染程度为ak1k23－x 2，受甲油井污染程度为8ak1k2x2. 因此f(x)＝8ak1k2x2＋ak1k23－x 2，概念域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，52. (2)由(1)知f(x)＝8ak1k2x2＋ak1k23－x 2＝ak1k2⎝ ⎛⎭⎪⎫8x2＋1x2－6x ＋9. 故f′(x)＝ak1k2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16x3＋23－x x2－6x ＋92 ＝2ak1k2·x3－83－x 3x33－x 3＝18ak1k2·x －2x2－6x ＋12x33－x 3. 令f′(x)＝0，解得x ＝2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数． 故当x ＝2时，f(x)取得最小值．即度假村离甲油井2 km 时，甲乙两油井对度假村的污染程度和最小．。