求定积分的四种方法

总结定积分的求解方法定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个闭区间上的积分运算。

在实际问题中，我们经常需要求解定积分，因此掌握定积分的求解方法是非常重要的。

一、基本思想定积分的基本思想是将区间分割成若干个小区间，然后对每个小区间进行近似计算，最后将这些近似值相加得到最终结果。

具体而言，定积分可以通过以下几种方法来求解。

二、几何意义定积分的几何意义是曲线与坐标轴所围成的面积。

当函数为正时，定积分表示曲线所在区间上方的面积；当函数为负时，定积分表示曲线所在区间下方的面积。

因此，定积分可以用来求解曲线所围成的面积问题。

三、定积分的求解方法1. 利用定积分的定义公式根据定积分的定义公式，可以直接计算出定积分的值。

定积分的定义公式为：∫[a,b] f(x)dx = lim(n→∞) ∑[i=1,n] f(xi)Δx其中，[a,b]表示积分区间，f(x)表示被积函数，dx表示微元，xi表示小区间的中点，Δx表示小区间的长度。

通过将区间进行分割，计算每个小区间上的函数值与长度的乘积，再将这些乘积相加，即可得到定积分的近似值。

2. 利用定积分的性质定积分具有一些重要的性质，利用这些性质可以简化定积分的求解过程。

常见的定积分性质有：（1）线性性质：∫[a,b] (f(x)+g(x))dx = ∫[a,b] f(x)dx + ∫[a,b] g(x)dx（2）积分区间的可加性：∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx（3）定积分的换元法：∫[a,b] f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a),g(b)] f(u)du通过利用这些性质，我们可以将复杂的定积分转化为简单的定积分，从而简化计算过程。

3. 利用定积分的常用公式对于一些常见的函数，存在一些常用的定积分公式，可以直接使用这些公式来求解定积分。

例如，对于幂函数，可以使用幂函数的积分公式来求解；对于三角函数，可以使用三角函数的积分公式来求解。

一些特殊定积分的解题技巧特殊定积分一直是高数中难点之一，需要掌握一些解题技巧。

本文将介绍一些特殊定积分的解题技巧，希望对大家有所帮助。

1. 分部积分法分部积分法是解决不定积分的一种基本方法。

它的表示式为：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx其中u(x)和v(x)是两个可导函数。

对于特殊定积分，我们可以使用分部积分法进行求解。

例如：∫e^xsinxdx设u(x) = sinx，v(x) = e^x，则有：∫e^xsinxdx = -e^xcosx + ∫e^xcosxdx类似的，当积分项中含有指数函数和三角函数等组合时，也可以使用分部积分法进行求解。

2. 特殊换元法特殊换元法是特殊定积分中常用的一种方法，它的原理是通过某种巧妙的方法将原积分式子变形，使得它更容易被求解。

例如：我们可以将该积分表达式变形为：然后，我们设u = cosx，得到：∫(1-cos^2x)sinxdx = -∫(1-u^2)du = u^3/3 - u + C = cos^3x/3 - cosx + C3. 把定积分变为连续分数求和有些特殊定积分无法通过上述两种方法求解。

此时，可以将定积分化为连续分数求和的形式，然后再逐一求积分。

例如：∫(1+x)/(1+x^2)^2dx我们可以通过部分分式分解得到：(1+x)/(1+x^2)^2 = 1/(1+x^2) - x^2/(1+x^2)^2然后，令t = x^2，积分式变为：继续将积分式不断化简，得到：4. 利用对称性有些定积分具有对称性，可以通过利用对称性进行求解。

例如：∫0^πsinx/(sinx + cosx)dx由于sinx和cosx具有对称性，在积分区间[0,π/2]上，我们有：因此，积分式可以化为：将两式相加，得到：通过以上四种技巧，相信大家对特殊定积分的解题有了更深刻的理解。

希望大家能够掌握这些技巧，更好地应对高数中的难点与挑战。

定积分的近似计算方法定积分近似计算方法指的是利用数值计算方法来估算给定函数在一定区间上的积分值。

这些方法常常用于当函数在该区间内无法求得解析式时，或者解析式难以求得的情况下。

下面将介绍常用的数值积分近似计算方法。

一、矩形法矩形法即将积分区间等分为若干小区间，然后在每个小区间中选择一个代表点，将函数在该点的函数值作为近似积分的值。

具体可以分为左矩形法、右矩形法和中矩形法。

1.左矩形法左矩形法即取每个小区间的左端点作为代表点，近似积分的值为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx * [f(a) +f(a+Δx) + … + f(a+(n-1)Δx)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。

2.右矩形法右矩形法即取每个小区间的右端点作为代表点，近似积分的值为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx * [f(a+Δx) + f(a+2Δx) + … +f(a+nΔx)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。

3.中矩形法中矩形法即取每个小区间的中点作为代表点，近似积分的值为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx * [f(a+Δx/2) + f(a+3Δx/2) + … +f(a+(2n-1)Δx/2)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。

二、梯形法梯形法是通过将积分区间上的曲线拟合为多个梯形来近似计算定积分的方法。

将积分区间[a,b]等分为n个小区间，然后在每个小区间上用两个端点处的函数值拟合成一个梯形，然后将这些梯形的面积加起来即可得到近似的定积分的值。

具体计算公式为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx/2 * [f(a) + 2f(a+Δx) + 2f(a+2Δx)+ … + 2f(a+(n-1)Δx) + f(b)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。

三、辛普森法辛普森法是通过将积分区间上的曲线拟合为多个二次多项式的方法。

将积分区间[a,b]等分为n个小区间，每两个相邻区间拟合成一个二次多项式。

积分学四大公式积分学四大公式是数学中非常重要的一部分，它们是求解积分的基础公式，也是数学中的基础知识。

在本文中，我们将详细介绍积分学四大公式的概念、应用和推导过程。

一、定积分的定义定积分是积分学中最基本的概念之一，它是对函数在一定区间内的面积进行求解。

定积分的定义如下：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则[a,b]上f(x)的定积分为：∫a^b f(x)dx其中，dx表示自变量x的微小增量，f(x)表示函数在x处的函数值。

二、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是积分学中最重要的公式之一，它将定积分与原函数联系起来，使得我们可以通过求解原函数来求解定积分。

牛顿-莱布尼茨公式的表达式如下：∫a^b f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的原函数。

三、换元积分法换元积分法是积分学中常用的一种方法，它通过变量代换的方式将积分式子转化为更容易求解的形式。

换元积分法的公式如下：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du其中，u=g(x)。

四、分部积分法分部积分法是积分学中常用的一种方法，它通过将积分式子分解为两个函数的乘积，然后对其中一个函数求导，对另一个函数求积分，最后将两个结果相乘得到原积分式子的解。

分部积分法的公式如下：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx其中，u(x)和v(x)是两个可导函数。

以上就是积分学四大公式的概念、应用和推导过程。

这些公式是积分学中最基本的知识，掌握它们对于学习高等数学和物理学等学科都非常重要。

在实际应用中，我们可以根据具体问题选择不同的公式进行求解，以达到最优的效果。

求取一元定积分和不定积分的6种方法声明：本文章为原创文章，首发于“湖心亭记”其实一元定积分的解法有几种，跳来跳去。

所以做题的时候如果想养成习惯，可以避开所有没有观察到的点。

========================================首先说明求解一元定积分的几种方法：1、奇函数和偶函数法要特别注意的是，奇函数在对称区间的定积分是0，根本不用找。

例1： \[\int_{ - 1}^1 x dx= 0\] 。

解析：显然x在[-1,1]区间内为奇函数，故不用算就知道积分为0。

2、定积分的几何意义法这类题目的特点是，一眼就能看出是圆方程；要么被积函数看似简单，但对原函数进行积分是非常困难的。

匹配后发现，被积函数其实就是我们学过的常见曲线方程(一般来说是圆方程)。

然后我们就可以利用定积分的几何意义，按照常用的方法求面积了。

例2： \[\int_{ - 3}^3 {\sqrt {9 - {x^2}} } dx =\frac{{9\pi }}{2}\]解析：很明显能直接看出被积函数就是一个半圆：x2+y2=9（y>=0），因此积分值为圆面积的一半，非常易求。

例3： \[\int_0^4 {\sqrt {4x - {x^2}} } dx = 2\pi \]解析：这道题如果按照换元法或者分部法是很难积出原函数的。

而且一眼也看不出来被积函数是圆的方程。

但是经过配凑，发现确实是圆的方程。

令 \[y = \sqrt {4x - {x^2}} \] 得到y2+x2-4x=0，进而配凑成y2+(x-2)2=4（y>0），很明显这就是一个以（2,0）为圆心，2为半径的圆。

积分值为圆的面积的一半，非常易求。

小结下：几何意义法下的题目的被积函数一般为一个根号式，式子下含有\[ - {x^2}\]项，因此碰到这样子的可以优先考虑几何意义法。

3、第一类换元法和第二类换元法第一类换元法或者可以称之为整体配凑法，如下：\[\int {f\left( {\varphi \left( x \right)} \right)dx} = k\int {f\left( {\varphi \left( x \right)}\right)d\varphi \left( x \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} } \]例4： \[\int {\sin 2xdx = \frac{1}{2}\int {\sin 2xd2x = - \frac{1}{2}\cos 2x} } \]第二类换元法，可以称之为直接换元，如下：\[\int {f\left( x \right)dx = \int {f\left( {\phi\left( t \right)} \right)d\phi \left( t \right) = \int {g\left( t \right)dt{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (x{\rm{ = }}\phi \left( {\rm{t}}\right))} } } \]也就是说将f(x)换成了比较容易积出来的g(t)，当然最后别忘记将t回代成x。

定积分计算方法总结定积分是微积分中的重要概念之一，也是计算与物理、经济、工程等领域中的许多实际问题时常用到的方法。

本文将对定积分的计算方法进行总结，包括基本的方法、常用的变换、一些特殊的技巧等。

一、基本的定积分计算方法定积分的计算可以通过求解不定积分的方法进行。

不定积分是定积分的逆运算，即通过求解导数为被积函数的函数，然后在积分区间上进行计算。

在计算不定积分时，可以利用基本积分公式进行运算。

常见的基本积分公式包括：幂函数积分公式、三角函数积分公式、指数函数积分公式等。

熟练掌握这些基本的积分公式对于定积分的计算非常有帮助。

另外，还可以通过换元积分法、分部积分法等方法进行计算。

换元积分法是将被积函数中的自变量进行变换，以便简化积分的计算。

分部积分法则是通过对被积函数进行分解，将积分转化为两个函数之积的积分。

二、常用的定积分变换在定积分的计算中，常常需要进行变量替换或区间转化，以便于计算或简化问题。

一种常用的变换是变量替换法。

通过将积分中的自变量进行替换，可以将原本复杂的积分转化为更简单的形式。

常见的变量替换包括：三角函数替换、指数函数替换、倒数替换等。

这些替换方法可以根据问题的需求，适时选择。

另外，还有区间转化的方法。

在求解定积分时，有时需要将原本的积分区间进行转化。

这种转化可以将积分的计算变得更加简便，也有助于利用基本积分公式进行计算。

常见的区间转化方法包括：对称性转化、变量代换转化等。

三、特殊的定积分计算技巧在定积分的计算中，还存在一些特殊的技巧可以加快计算的速度，提高效率。

一种常见的技巧是分割区间法。

当被积函数在积分区间上具有不同的特性时，可以将区间进行分割，对不同的子区间采取不同的计算方法。

这样可以减少对复杂函数进行计算的难度，提高计算的准确性。

另外，还有用和差化积、凑微分等技巧。

和差化积是通过将被积函数进行展开重新组合，以简化积分的计算。

凑微分则是通过对被积函数进行一些巧妙的变换，以便进行积分。

【知识要点】一、曲边梯形的定义分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限三、定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点()f x [,]a b 上任取]一点 i x 11()n n i i i a f x x n==∆=∑在区间上的定积分.记为：， ()f x [,]a b ()b a S f x dx =⎰其中是积分号，是积分上限，是积分下限，是被积函数，是积分变量，是积分区间，⎰b a ()f x x [,]a b 是被积式. ()f x dx说明：（1）定积分是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即无限()ba f x dx ⎰n S 趋近的常数（时）记为，而不是．S n →+∞()ba f x dx ⎰n S （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③n [],a b []1,i i i x x ξ-∈求和：；④取极限：1()n i i b a f n ξ=-∑()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰四、定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1（定积分的线性性质）； ()()()b baa kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数性质2（定积分的线性性质）； 1212[()()]()()b b ba a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰a =x 0<x 1<x 2<L <x i -1<x i <L <x n =b b -a n f (ξi )b -将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，每个小区间长度为D x （D x =），在每个小区间[x i -1,x i (i =1,2,L ,n )，作和式：S n =∑如果D x 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式S n 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数求定积分的方法我们把由直线x =a ,x =b ,y =0和曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形.二、曲边梯形的面积的求法性质3（定积分对积分区间的 ()()()()b c ba a c f x dx f x dx f x dx a cb =+<<⎰⎰⎰其中可加性） 五、定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由[],a b ()f x ()0f x ≥()b a f x dx ⎰直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.,(),0x a x b a b y ==≠=()y f x =（2）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由[],a b ()f x ()0f x ≤()b a f x dx ⎰直线和曲线所围成的曲边梯形的面积的相反数.,(),0x a x b a b y ==≠=()y f x =（3）从几何上看，如果在区间上函数连续，且函数的图像有一部分在轴上方，[],a b ()f x ()y f x =x 有一部分在轴下方，那么定积分表示轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积. x ()ba f x dx ⎰x （4）图中阴影部分的面积S= 12[()()]b a f x f x dx -⎰六、微积分基本定理一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么，()f x [,]a b ()()F x f x '=()()()ba f x dx Fb F a =-⎰这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式.为了方便，我们常把记成，()()F b F a -()b a F x 即.()()()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰ 计算定积分的关键是找到满足的函数.()()F x f x '=()F x 七、公式（1） （2） （3） 1()cx c =1(sin )cos x x =1(cos )sin x x -=( 4) (5)； (6) 11()(1)1n n m x mx n n +=≠-+(ln )a a x x '=x x e e =')(（7） （8） 1(sin 2)cos 22x x ¢=1(ln(x 1))1x ¢+=+ 八、求定积分的方法(1)代数法： 利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求. 学科@网【方法讲评】 方法一微积分基本原理求解（代数法） 使用情景比较容易找到原函数. 解题步骤先利用定积分的性质化简函数，再利用微积分基本原理求解. 【例1】 定积分的值为____________. 11(||1)x dx --ò【点评】本题要先利用定积分的性质化简，再利用微积分基本原理求解.【反馈检测1】 ．220sin 2x dx π=⎰【反馈检测2】若)(x f 在上可导,3)2('2)(2++=x f x x f ,则 ( )R 30()f x dx =⎰A ． B ． C ． D ．1618-24-54 方法二数形结合利用面积求（几何法） 使用情景不容易找到原函数. 解题步骤先利用定积分的性质化简函数，再利用微积分基本原理求解.【例2】计算的结果为（ ）. 10(1dx +⎰A ．1 B ． C ． D ．4π14π+12π+【解析】先利用定积分的几何意义求：令，即 dx x ⎰-1021)10(12≤≤-=x x y 表示单位圆的（如图），即是圆面积，即；所以 )0,10(122≥≤≤=+y x y x 41dx x ⎰-1021414π=.10(1dx +⎰411110210π+=-+⎰⎰dx x dx【点评】（1）本题中函数的原函数不是很容易找到，所以先利用定积分的性质化简原式，1y =再利用数形结合分析解答.（2）利用数形结合分析解答时，主要变量的范围，不要扩大了变量的范围，导致扩大了平面区域.，即表示单位圆的（如图），不是右)10(12≤≤-=x x y )0,10(122≥≤≤=+y x y x 41半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想，它要求我们在每一步的变形和推理时，都必须注意等价变换.【反馈检测3】313)___________dx +=⎰高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第18讲：求定积分的方法参考答案【反馈检测1答案】 142π-【反馈检测1详细解析】 ⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2020202022cos 212cos 212sin ππππdx x dx dx x dx x 2140214|sin 21|22020-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=ππππx x 【反馈检测2答案】 18-【反馈检测3答案】 263π++【反馈检测3详细解析】由于+．313)dx +=ò1⎰313dx ⎰其中值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在从1到3部分与轴所围成的图形1⎰x x 的面积的大小，即图中阴影部分的面积．故其值是S △ACQ +S 扇形ABQ +S △BDQ = 211121212623ππ⨯+⨯⨯+⨯=+又=6，∴ ． 313dx ⎰313)dx +=ò263π故答案为：． 263π++。

定积分计算方法总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
定积分计算方法总结
一、不定积分计算方法
1.凑微分法
2.裂项法
3.变量代换法
1)三角代换
2)根幂代换
3)倒代换
4.配方后积分
5.有理化
6.和差化积法
7.分部积分法（反、对、幂、指、三）
8.降幂法
二、定积分的计算方法
1.利用函数奇偶性
2.利用函数周期性
3.参考不定积分计算方法
三、定积分与极限
1.积和式极限
2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3.洛必达法则
4.等价无穷小
四、定积分的估值及其不等式的应用
1.不计算积分，比较积分值的大小
1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有
f(x)>=g(x),则>=dx
2)利用被积函数所满足的不等式比较之
a)
b)当0<x<兀/2时，2/兀<<1
2.估计具体函数定积分的值
积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最
大值为M，最小值为m则
M(b-a)<=<=M(b-a)
3.具体函数的定积分不等式证法
1)积分估值定理
2)放缩法
3)柯西积分不等式
4.抽象函数的定积分不等式的证法
1)拉格朗日中值定理和导数的有界性
2)积分中值定理
3)常数变易法
4)利用泰勒公式展开法
五、变限积分的导数方法。

定积分基本计算公式定积分是微积分中的一种重要的概念。

它是对连续函数在一定区间上的积分运算，可以用于计算曲线下的面积、曲线的弧长、曲线的平均值等。

在求定积分时，可以使用一些基本的计算公式来简化运算过程。

下面将介绍一些定积分基本计算公式。

1.基本积分公式(1) 常数积分：∫kdx=kx+C (k为常数，C为常数)(2) 幂函数积分：∫x^ndx=1/(n+1)·x^(n+1)+C (n≠-1，C为常数)(3) 指数函数积分：∫e^xdx=e^x+C (C为常数)(4) 对数函数积分：∫1/xdx=ln，x，+C (C为常数)(5)三角函数积分：∫sinxdx=-cosx+C (C为常数)∫cosxdx=sinx+C (C为常数)∫sec^2xdx=tanx+C (C为常数)∫csc^2xdx=-cotx+C (C为常数)2.基本定积分公式(1)以x为变量的定积分：∫kdx=kx (其中k为常数)∫x^ndx=1/(n+1)·x^(n+1) (其中n≠-1)∫e^xdx=e^x∫1/xdx=ln，x∫sinxdx=-cosx∫cosxdx=sinx∫sec^2xdx=tanx∫csc^2xdx=-cotx∫secx·tanxdx=secx (其中x≠π/2+kπ，k为整数)∫cscx·cotxdx=-cscx (其中x≠kπ，k为整数)(2)基本函数的定积分：∫sin(ax+b)dx=-1/a·cos(ax+b)+C (C为常数)∫cos(ax+b)dx=1/a·sin(ax+b)+C (C为常数)∫e^(ax+b)dx=1/a·e^(ax+b)+C (C为常数)(3)积分的线性性质：若f(x)和g(x)都是可积函数，k为常数，则有：∫(kf(x)+g(x))dx=k∫f(x)dx+∫g(x)dx3.牛顿-莱布尼茨公式若函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，即F'(x)=f(x)，则有：∫f(x)dx=F(x)+C (C为常数)4.分部积分法若函数u(x)和v(x)都是可导函数，则有：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx5.代换法当计算定积分过程中，可以进行变量代换，将原来的积分变为更简单的形式。

定积分计算方法总结
一、不定积分计算方法
1.凑微分法
2.裂项法
3.变量代换法
1)三角代换
2)根幂代换
3)倒代换
4.配方后积分
5.有理化
6.和差化积法
7.分部积分法（反、对、幂、指、三）
8.降幂法
二、定积分的计算方法
1.利用函数奇偶性
2.利用函数周期性
3.参考不定积分计算方法
三、定积分与极限
1.积和式极限
2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3.洛必达法则
4.等价无穷小
四、定积分的估值及其不等式的应用
1.不计算积分，比较积分值的大小
1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有
f(x)>=g(x),则>=dx
2)利用被积函数所满足的不等式比较之
a)
b)当0<x<兀/2时，2/兀<<1
2.估计具体函数定积分的值
积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最
大值为M，最小值为m则
M(b-a)<=<=M(b-a)
3.具体函数的定积分不等式证法
1)积分估值定理
2)放缩法
3)柯西积分不等式
4.抽象函数的定积分不等式的证法
1)拉格朗日中值定理和导数的有界性
2)积分中值定理
3)常数变易法
4)利用泰勒公式展开法
五、变限积分的导数方法。

定积分计算方法总结
一、不定积分计算方法
1.凑微分法
2.裂项法
3.变量代换法
1)三角代换
2)根幂代换
3)倒代换
4.配方后积分
5.有理化
6.和差化积法
7.分部积分法(反、对、幂、指、三）
8.降幂法
二、定积分的计算方法
1.利用函数奇偶性
2.利用函数周期性
3.参考不定积分计算方法
三、定积分与极限
1.积和式极限
2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3.洛必达法则
4.等价无穷小
四、定积分的估值及其不等式的应用
1.不计算积分,比较积分值的大小
1)比较定理:若在同一区间［a,b］上，总有f
（x）>=g（x)，则〉=dx
2)利用被积函数所满足的不等式比较之
a)当0〈x〈兀/2时,2/兀〈〈1
2.估计具体函数定积分的值
积分估值定理：设f（x）在［a,b］上连续,且其
最大值为M，最小值为m则
M(b-a)<=<=M(b-a）
3.具体函数的定积分不等式证法
1)积分估值定理
2)放缩法
3)柯西积分不等式
4.抽象函数的定积分不等式的证法
1)拉格朗日中值定理和导数的有界性
2)积分中值定理
3)常数变易法
4)利用泰勒公式展开法
五、变限积分的导数方法。

课程教育研究 Course Education Ressearch 2015年7月 下旬刊 考索·探微215· ·极端发展，越来越多的学生选择一些热门专业、就业形势较好的专业，而另外一些专业学生数逐渐萎缩，导致高校专业结构发展的不平衡。

三、完善大学生转专业制度的相应措施转专业的因素繁多复杂，成为许多高校的“心病”。

为了提高学生的兴趣和综合能力，减少不足和弊端，需要高校进行多方面教育体制改革。

1.端正专业学习态度，拓展知识面。

随着社会快速发展，对学生多学科综合知识有很高的要求；2.加强学生的专业观教育。

很多大学生特别是大一新生对专业的认识是相当模糊的，成为转专业的一个重要因素。

高校应多做宣传，让冷门专业的学生对所学专业有更深刻的认识，激发学生潜在的专业兴趣及学习热情。

3.高校建立辅修、双学位的培养模式。

有能力的学生可以根据兴趣爱好申请辅修专业，也可以根据实际情况选择第二专业学习。

该方式同样可以拓宽学生的专业视野，争取最大限度地挖掘学生的学习兴趣及专业潜能。

4.提升教学质量，激励学习热情。

高校应加强教师之间的交流，取长补短，相互促进，并定期组织教师进行执教能力方面的再教育，激励学生的学习热情。

5.增设交叉学科和边缘学科，增大选修课的跨学科范围，打通同类学科之间的课程，进行统一的基础课教育；6.制定合理的转专业制度。

首先在条件允许的情况下高校可将转专业比重提高；其次对于仍然达不到转专业申请条件但确实有特长的学生，可以特殊对待；第三加强对转专业工作的管理，每学年在规定的时间内完成学生转专业工作，便于转专业学生的教学安排和学籍变更管理；加强对转专业后学生学习新专业的指导和反馈，根据转专业学生的学习、就业等情况进一步完善转专业制度。

总之，大学生转专业是一项复杂的工作，学校应结合现有的教学资源，公平公开的开展转专业工作，最大限度地满足学生的兴趣和需要，最终全面实现自主选择专业制度。

定积分计算方法总结
一、不定积分计算方法
1.凑微分法
2.裂项法
3.变量代换法
1)三角代换
2)根幂代换
3)倒代换
4.配方后积分
5.有理化
6.和差化积法
7.分部积分法（反、对、幂、指、三）
8.降幂法
二、定积分的计算方法
1.利用函数奇偶性
2.利用函数周期性
3.参考不定积分计算方法
三、定积分与极限
1.积和式极限
2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3.洛必达法则
4.等价无穷小
四、定积分的估值及其不等式的应用
1.不计算积分，比较积分值的大小
1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有
f(x)>=g(x),则>=dx
a)利用被积函数所满足的不等式比较之
b)当0<x<兀/2时，2/兀<<1
2.估计具体函数定积分的值
积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其
最大值为M，最小值为m则
M(b-a)<=<=M(b-a)
3.具体函数的定积分不等式证法
1)积分估值定理
2)放缩法
4.柯西积分不等式
5.
抽象函数的定积分不等式的证法
1)拉格朗日中值定理和导数的有界性
2)积分中值定理
3)常数变易法
4)利用泰勒公式展开法
变限积分的导数方法
十你想过普通的生活，就会遇到普通的挫折。

你想过最好的生活，就一定会遇上最强的伤害。

定积分的计算方法与技巧定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线下方的面积、质量、体积等问题。

在实际应用中，掌握定积分的计算方法和技巧是非常重要的。

本文将介绍几种常见的定积分计算方法和一些实用的技巧。

一、基本定积分的计算基本定积分是指像多项式函数、指数函数、对数函数等这类基本函数的积分。

对于这种类型的函数，我们可以直接利用积分的基本性质进行计算。

1. 多项式函数的定积分对于多项式函数，我们可以利用幂重要性质进行积分计算。

具体来说，我们只需要按照原来多项式的基本形式，将每一项的次数加1，并且除以新的次数，即可得到原多项式函数的不定积分。

例如，要计算函数f(x)=3x^2+4x+1 的定积分∫f(x)dx，我们只需要按照下列步骤进行计算：i) 将每一项次数加1并除以新的次数：f(x)=3x^3/3+4x^2/2+xii) 化简简化后的函数：f(x)=x^3+2x^2+xiii) 最后对得到的简化函数积分：∫f(x)dx=(1/4)x^4+(2/3)x^3+1/2x^2+C2. 指数函数的定积分对于指数函数，我们可以运用特定的计算规则来求解。

例如，e^x 的不定积分为自身，e^x 的定积分同样为自身：∫e^xdx = e^x + C3. 对数函数的定积分对于对数函数，我们可以利用换元积分法来求解。

例如，lnx 的不定积分为xlnx-x，lnx 的定积分可以通过换元积分法计算得到：∫lnxdx = xlnx - x + C二、常用计算技巧除了基本定积分的计算方法，还有一些常用的计算技巧可以帮助我们更快地求解定积分。

1. 利用对称性对称性是一个有用的技巧，它可以帮助我们简化积分的计算。

当函数在某个区间上是对称的时候，我们可以利用对称性将积分区间缩小一半。

这样一来，我们只需要计算一半的积分，然后乘以2即可得到整个区间上的定积分。

2. 利用换元积分法换元积分法是另一个常用的技巧，它可以帮助我们将一个复杂的积分转化成一个简单的积分。

定积分计算方法总结
一、不定积分计算方法
1.凑微分法
2.裂项法
3.变量代换法
1)三角代换
2)根幂代换
3)倒代换
4.配方后积分
5.有理化
6.和差化积法
7.分部积分法（反、对、幂、指、三）
8.降幂法
二、定积分的计算方法
1.利用函数奇偶性
2.利用函数周期性
3.参考不定积分计算方法
三、定积分与极限
1.积和式极限
2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3.洛必达法则
4.等价无穷小
四、定积分的估值及其不等式的应用
1.不计算积分，比较积分值的大小
1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),
则>=dx
a)利用被积函数所满足的不等式比较之
当0<x<兀/2时，2/兀<<1
2.估计具体函数定积分的值
积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则
M(b-a)<=<=M(b-a)
3.具体函数的定积分不等式证法
1)积分估值定理
2)放缩法
4.柯西积分不等式
抽象函数的定积分不等式的证法
1)拉格朗日中值定理和导数的有界性
2)积分中值定理
3)常数变易法
4)利用泰勒公式展开法
变限积分的导数方法
世上没有一件工作不辛苦，没有一处人事不复杂。

不要随意发脾气，谁都不欠你的。

定积分求解方法总结
定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解曲线所围成的面积或者曲线下方
的区域的面积。

在求解定积分时，我们可以采用多种方法来得到准确的结果。

首先，最常用的方法是使用基本积分公式。

这些基本积分公式包括多项式函数、三角函数和指数函数的积分公式。

通过熟练掌握这些公式，我们可以将原函数转化为定积分的形式，并进行积分运算。

其次，我们可以利用换元法来求解定积分。

换元法是一种将变量变换为新的变
量的方法，从而简化积分运算的技巧。

通过选择适当的变换，我们可以将复杂的被积函数转化为简单的形式，从而更容易求解定积分。

另外，分部积分法也是解决定积分问题的一种常用方法。

当被积函数是乘积形
式时，我们可以通过分部积分法将问题转化为求解两个函数的积分的形式。

这种方法可以将原来的积分式子进行分解，从而得到更简单的形式，进而求解定积分。

还有一种方法是使用几何意义来理解定积分。

定积分可以看做是曲线下方区域
的面积，通过将区域划分为一系列无穷小的矩形，我们可以估计曲线下方的面积，并通过求和的方法得到准确的结果。

总之，求解定积分的方法有很多种，我们可以根据具体的问题选择合适的方法。

通过熟悉基本积分公式、掌握换元法、分部积分法以及理解几何意义，我们可以准确地求解各种形式的定积分。

这些方法不仅在理论上具有重要意义，也在实际问题的求解中起到关键的作用。

简述用定义计算定积分的四个步骤
计算定积分的四个步骤如下：
1. 确定积分区间：确定要计算的函数在哪个区间上进行积分。

2. 分割区间：将积分区间分割成多个小区间，即确定一个或多个子区间。

3. 建立和式：对每个子区间内的函数进行积分，并将所有子区间的积分结果相加，得到一个和式。

4. 取极限：随着子区间数量无限增加，子区间的长度趋近于零，将和式取极限，得到定积分的值。

需要注意的是，以上步骤仅适用于可积函数，即函数在积分区间上连续且有界。

对于不可积的函数，如瑕积分，需要使用其他方法进行计算。