已知函数性质求参数范围

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已知函数性质求参数范围

1．若函数lnfxkxx在区间1,单调递增，则k的取值范围是（）

A. ,2 B. ,1 C. 2, D. 1,

2．已知可导函数fx的导函数为fx，若对任意的xR，都有2fxfx，且2019fx为奇函数，则不等式20172xfxe的解集为（）

A. ,0 B. 0, C. 21,e D. 21,e

3．已知定义在实数集R上的函数fx满足13f，且fx的导数fx在R上恒有2fxxR，则不等式21fxx的解集为（）

A. 1, B. ,1 C. 1,1 D. ,11,

4．若函数2lnfxmxxmx在区间0,内单调递增，则实数m的取值范围为（）

A. 0,8 B. 0,8 C. ,08, D. ,08,

5．已知函数1ln(0)xfxxaax（12分）

（1）若函数fx在1,上为增函数，求实数a的取值范围；

（2）当1a时，求fx在1,22上的最大值和最小值.

6．已知函数lnxafxaRx.

（1）若曲线yfx在点1,1f处的切线与直线10xy平行，求a的值；

（2）在（1）条件下，求函数fx的单调区间和极值；

7．已知函数2ln2afxxxx（aR）．

（Ⅰ）若0x，恒有fxx成立，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若函数gxfxx有两个相异极值点1x，2x，求证：12112lnlnaexx．

8．已知函数f(x)＝lnx＋1x＋ax(a是实数)，g(x)＝221xx＋1. 2

(1)当a＝2时，求函数f(x)在定义域上的最值；

(2)若函数f(x)在[1，＋∞)上是单调函数，求a的取值范围；

(3)是否存在正实数a满足：对于任意x1∈[1,2]，总存在x2∈[1,2]，使得f(x1)＝g(x2)成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

9．已知函数22ln21Rfxxaxxaa .

（1）若2a，求曲线yfx在点1,1f处的切线方程；

（2）若0fx对任意在1,x恒成立，求实数a的取值范围.

10．已知函数2lnaafxxaRxx.

（1）若1a，求函数fx的极值；

（2）若fx在1,内为单调增函数，求实数a的取值范围；

（3）对于nN，求证：22221111ln11121311nn.

11．已知函数22lnafxxaxx，其中实数0a．

（1）若0a，求函数fx在1,5x上的最值；

（2）若0a，讨论函数fx的单调性．

12．已知函数2xfxexa，xR，曲线yfx的图象在点0,0f处的切线方程为ybx.

（1）求函数yfx的解析式；

（2）当xR时，求证：2fxxx；

（3）若fxkx对任意的0,x恒成立，求实数k的取值范围.

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参考答案

1．D

【解析】对fx求导得1fxkx，由于fx在1,上单调递增，所以10fxkx对于任意的1,x都成立，即1kx对于任意的1,x都成立，于是max1kx，又在1,上，1x无限趋近于1，所以1k。

故本题正确答案为D。

2．B

【解析】令2xfxgxe，则20xfxfxgxe，因为2019fx为奇函数，所以02019,02017fg，因此不等式20172xfxe等价于201700gxgx，选B.

点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如fxfx构造xfxgxe，0fxfx构造xgxefx，xfxfx构造fxgxx，0xfxfx构造gxxfx等

3．A

【解析】令21gxfxx，2gxfx<0，所以g(x)在R上单调调减，又g(1)=0,所以g(x)<0的解集为1,，选A.

4．A

【解析】很明显0m，且'20mfxxmx恒成立，即：

min2,2mmmxmxxx

由均值不等式的结论：222mxmx，

据此有：28mm，解得：08m.

本题选择A选项.

5．(Ⅰ）见解析;（Ⅱ）63;（Ⅲ）12．

【解析】试题分析：（1）求出函数的导函数f′（x），令f′（x）0恒成立，通过变量分离求最值即可；（2）当a=1时，可求得f（x）、f′（x），由f′（x）=0，得x=1，求出函数的极值、端点处函数值，然后进行比较即可.

试题解析：

（1）由已知得，依题意得对任意恒成立 4

即对任意恒成立，而

所以a的取值范围为1,+

（2）当时，，令，得，

当时，可得下表，若时，

x 12 1,12

1 1,2 2

fx - 0 +

fx

故是函数在区间上的唯一的极小值，也是最小值， 即，而， 由于， 则 【思路点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题： ①根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； ②若0fx就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min0fx，若0fx恒成立，转化为max0fx;

③若fxgx恒成立，可转化为minmaxfxgx.

6．（1）0（2）单调递增区间是0,e，单调递减区间是,e，在xe处取得极大值，为1e

【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得11f,解得a的值；（2）求出导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,确定函数单调区间及极值 5

试题解析：解：（1）函数0,fxxx的定义域为

所以21ln.xafxx又曲线1,1yfxf在点处的切线与直线10xy平行，所以111,0.faa即

（2）令0,fxxe得

当x变化时，,fxfx的变化情况如下表：

+ 0 —

极大值

由表可知：fx的单调递增区间是0,e，单调递减区间是,e

所以fxxe在处取得极大值，ln.efxfee极大值1e

7．（Ⅰ）22ae；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（1）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可，

（2）函数g（x）=f（x）-x有两个极值点x1、x2，即导函数g′（x）有两个不同的实数根x1、x2，对a进行分类讨论，令21xtx，构造函数φ（t），利用函数φ（t）的单调性证明不等式．

试题解析：

（Ⅰ）由0x，恒有fxx，即ln12axx，ln12xax对任意0x成立，

记ln1xHxx，22ln'xHxx，

当20,xe，'0Hx，Hx单调递增；

当2,xe，'0Hx，Hx单调递减，

Hx最大值为221Hee，

∴212ae，22ae．

（Ⅱ）函数gxfxx有两个相异的极值点1x，2x，

即'ln0gxxax有两个不同的实数根． 6

①当0a时，'gx单调递增，'gx不可能有两个不同的实根；

②当0a时，设lnhxxax，则1'axhxx，

当10xa时，'0hx，hx单调递增；

当1xa时，'0hx，hx单调递减，

∴1ln10haa，∴10ae，

不妨设210xx，∵12''0gxgx，

∴22ln0xax，11ln0xax，2121lnlnxxaxx，

先证12112lnlnxx，即证21212112lnln2xxxxxxxx，

即证2222121112121ln22xxxxxxxxxx，

令211xtx，即证11ln2ttt，设11ln2tttt，

则221'02ttt，函数t在1,单调递减，

∴10t，∴12112lnlnxx，又10ae，∴1ae，

∴12112lnlnaexx．

8．（1）f(x)在x＝12处取到最小值，最小值为3－ln 2；无最大值．（2）1,4∪[0，＋∞)．（3）不存在

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数在定义域上零点，最后判断端点值及导函数零点对应函数值的大小，确定最值.（2）即研究不等式0fx恒成立或0fx恒成立，利用变量分离得2max11,1axxx或2min11,1axxx，根据二次函数性质可得211104xx，即得a的取值范围；（3）即等价于研究fx的值域包含于gx值域是否成立，由（2）可得fx在[1,2]上是单调递增函数，即11,ln222fxaa，