“构造函数”,巧求参数范围
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专题二 “构造函数”，巧求参数范围
函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中求参数范围问题，构造函数，例题说法，高效训练.
【典型例题】
第一招 参变分离，构造函数
例1.【2019届高三第一次全国大联考】若函数恰有三个零点，则的取值范围为( )
A． B．（） C． D．（）
【答案】D
【解析】
当时，为减函数，令易得，所以只需有两个零点，令则问题可转化为函数的图象与的图象有两个交点.求导可得，令，即，可解得；令，即，可解得，所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，由此可知当时，函数取得最小值，即．在同一坐标系中作出函数与的简图如图所示，
根据图可得故选D.
第二招 根据方程做差，构造函数
例2.【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数（为自然对数的底数），.
（1）当时，求函数的极小值；
（2）若当时，关于的方程有且只有一个实数解，求的取值范围.
【答案】（1）0（2）
【解析】
（1）当时，，，
令 则 列表如下：
1
单调递减 极小值 单调递增 所以.
（2）设，
，
设，，
由得， ，，在单调递增，
即在单调递增，，
①当，即时，时，，在单调递增,
又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解，符合题意.
②当，即时，由（1）可知，
所以，又
故，当时，，单调递减，又，
故当时，，
在内，关于的方程有一个实数解1.
又时，，单调递增，
且，令， ,,故在单调递增，又
在单调递增，故，故，
又，由零点存在定理可知，，
故在内，关于的方程有一个实数解.
又在内，关于的方程有一个实数解1，不合题意.
综上，.
第三招 求导转化，构造函数
例3.【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟】已知函数.
（1）设，求函数的单调区间；
（2）若函数在其定义域内有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间.（2）
【解析】
（1）
函数的定义域为， 令，则
令，得；令，得
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以
所以对任意恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）（法一）：的定义域为，
所以“函数在其定义域内有两个零点”等价于“方程在区间内有两个不同的实数根”即方程在区间内有两个不同的实数根
故上述问题可以转化为函数与函数的图像在上有两个不同的交点，如图
若令过原点且与函数图像相切的直线斜率为，由图可得
令切点 由，得，所以
又，所以，解得：
于是，所以
故实数的取值范围是
（法二）的定义域为，
，
当时，，
所以在单调递增，所以在不会有两个零点，不合题意，
当时，令，得，
在上，，在上单调递增，
在上，，在上单调递减，
所以，
又时，， 时，，
要使有两个零点，则有
即
所以
所以，即实数的取值范围为.
第四招 换元转化，构造函数
例4．【四川省高中2019届高三二诊】已知．
求的极值；
若有两个不同解，求实数的取值范围．
【答案】（1）有极小值，为；无极大值；（2）
【解析】
的定义域是，
，
令，解得：，
令，解得：， 故在递减，在递增，
故时，；
记，，则，
故可转化成，即：，
令，，
令，解得：，
令，解得：，
故在递增，在递减，
且时，，时，
故，
由，，的性质有：
，和有两个不同交点，，且，
，各有一解，即有2个不同解， ，和仅有1个交点，且，
有2个不同的解，即有两个不同解，
取其它值时，最多1个解，
综上，的范围是
【规律与方法】
构造函数的几种常用的构造技巧：
1.通过作差构造函数：作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论．当然，适合用这个方法解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负．
2.利用“换元法”构造函数，换元的目的是简化函数的形式．
3.先分离参数再构造函数，将方程变形为m=h(x)，构造函数h(x)，研究h(x)的性质来确定实数m的取值范围．
4.根据导函数的结构，构造函数.
【提升训练】
1．【福建省2019届备考关键问题指导适应性练习（四)】已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 易知当≤0时，方程只有一个解，
所以>0．令，
，
令得，
为函数的极小值点，
又关于的方程=在区间内有两个实数解，
所以，解得，
故选A.
2．【河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟】设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵函数，有且只有一个零点， ∴方程，，有且只有一个实数根，
令g（x）=，
则g′（x）=，当时，g′（x）0，当时，g′（x）0，
∴g（x）在上单调递增，在上单调递减，当x=时，g（x）取得极大值g（）=，
又g（0）= g（）=0，∴若方程，，有且只有一个实数根，则a=
故选B.
3. 【山东省济宁市2019届高三第一次模拟】已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( )
A．(3，4) B．(4，5) C．(5，6) D．(6．7)
【答案】C
【解析】
由xlnx+（3﹣a）x+a＝0，得，
令f（x）（x＞1），则f′（x）．
令g（x）＝x﹣lnx﹣4，则g′（x）＝10，
∴g（x）在（1，+∞）上为增函数， ∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g（6）＝2﹣ln6＞0，
∴存在唯一x0∈（5，6），使得g（x0）＝0，
∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．
则f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．
∴f（x）min＝f（x0）．
∵﹣4＝0，∴，
则∈（5，6）．
∴a所在的区间是（5，6）．
故选：C
4．【天津市和平区2019届高三下学期第一次调查】已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解,则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
关于的方程恰有三个不相等的实数解，
即方程恰有三个不相等的实数解，
即与有三个不同的交点. 令，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
且当时，，
当时，，，
当时，，
据此绘制函数的图像如图所示，
结合函数图像可知，满足题意时的取值范围是 .
本题选择C选项. 5．【安徽省合肥市2019届高三第二次检测】设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
设，
则，
在上递减，在上递增，
，且时，，
有三个零点等价于与的图象有三个交点，
画出的图象，如图，
由图可得，时，与的图象有三个交点，
此时，函数有三个零点， 实数的取值范围是，故选D.
6.【江西省南昌市2019届高三第一次模拟】已知函数（为自然对数的底数），，直线是曲线在处的切线.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）是否存在，使得在上有唯一零点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在k=0或2.
【解析】
（Ⅰ），
由已知，有，即，解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则
令，则恒成立，
所以在上单调递减，又因为，，
所以存在唯一的，使得，且当时，，即，
当时，，即. 所以在上单调递增，在上单调递减.
又因为当时，，，，，
所以存在或，使得在上有唯一零点.
7．【山东省青岛市2019届高三3月一模】已知函数，，为自然对数的底数.
（1）当时，证明：函数只有一个零点；
（2）若函数存在两个不同的极值点，，求实数的取值范围.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）由题知：，
令，，
当，，所以在上单调递减.
因为，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，故只有一个零点.
（2）由（1）知：不合题意，
当时，因为，；，；
又因为，所以； 又因为，
因为函数，，，
所以，即，
所以存在，满足，
所以，；，；，；
此时存在两个极值点，0，符合题意.
当时，因为，；，；所以；
所以，即在上单调递减，
所以无极值点，不合题意.
综上可得：.
8.【陕西省咸阳市2019年高考模拟检测（二)】已知函数.
（1）当，求证；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
（1）证明：当时，，
