江苏省扬州市19-20学年高一上学期期末数学试卷 (含答案解析)

江苏省扬州市19-20学年高一上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 集合𝐴={1,2，3}，𝐵={2,4，5}，则𝐴∪𝐵=( )

A. {2} B. {6}

C. {1,3，4，5，6} D. {1,2，3，4，5}

2. 与角−390°终边相同的最小正角是( )．

A. −30° B. 30° C. 60° D. 330°

3. 已知𝑓(𝑥)={𝑥−5(𝑥≥6),𝑓(𝑥+4)(𝑥<6)则𝑓(3)的值为( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4. 已知函数𝑓(𝑥)=(3𝑚2−2𝑚)𝑥𝑚是幂函数，若𝑓(𝑥)为增函数，则m等于( )

A. −13 B. −1 C. −13或1 D. 1

5.

函数的最小正周期为𝜋，则函数𝑓(𝑥)的单调递增区间为( )

A. (𝑘𝜋−𝜋6,𝑘𝜋+5𝜋6)(𝑘∈𝑍) B. [𝑘𝜋−𝜋6,𝑘𝜋+5𝜋6](𝑘∈𝑍)

C. (𝑘𝜋−5𝜋6,𝑘𝜋+𝜋6)(𝑘∈𝑍) D. [𝑘𝜋−5𝜋6,𝑘𝜋+𝜋6](𝑘∈𝑍)

6. 𝑎=log70.3，𝑏=0.37，𝑐=70.3，则( )

A. 𝑎<𝑐<𝑏 B. 𝑏<𝑐<𝑎 C. 𝑎<𝑏<𝑐 D. 𝑏<𝑎<𝑐

7. 已知弧长为𝜋𝑐𝑚的弧所对的圆心角为𝜋4，则这条弧所在的扇形面积为( )𝑐𝑚2

A. 𝜋 B. 4𝜋 C. 2𝜋 D. √2𝜋

8. 已知函数𝑓(𝑥)为奇函数，且当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=𝑥2−1𝑥，则𝑓(−2)=(

)

A. 72 B.

32

C. −72 D. −92

9. 计算sin𝜋12−√3cos𝜋12的值为( )

A. 0 B. −√2 C. 2 D. √2

10. 设函数𝑓(𝑥)={2𝑥,𝑥⩾3,𝑓(𝑥+1),𝑥<3,则𝑓(log26)的值为( )

A. 6 B. 9 C. 12 D. 15

11. 向量𝑎⃗ ，𝑏⃗ ，𝑐⃗ 在正方形网格中的位置如图所示，若𝑐⃗ =𝜆𝑎⃗ +𝜇𝑏⃗ (𝜆,𝜇∈𝑅)，则𝜆−𝜇=( )

A. −32

B.

−52 C. 4 D. 14

12. 设函数𝑦=𝑓(𝑥)的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意𝑥∈𝐷，都有𝑓(𝑥+𝑇)=𝑇·𝑓(𝑥)，则称函数𝑦=𝑓(𝑥)是“似周期函数”，非零常数T为函数𝑦=𝑓(𝑥)的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”𝑦=𝑓(𝑥)的“似周期”为−1，那么它是周期为2的周期函数；②函数𝑓(𝑥)=𝑥是“似周期函数”；③函数𝑓(𝑥)=2−𝑥是“似周期函数”；④如果函数𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥是“似周期函数”，那么“𝜔=𝑘𝜋，𝑘∈𝑍”.其中真命题的个数为( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设a，b是两个不共线的非零向量，记𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑎，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑡𝑏(𝑡∈𝑅)，𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =13(𝑎+𝑏)，那么当实数𝑡=_____时，A，B，C三点共线.

14. 如果tan(𝛼+𝛽)=25,tan(𝛽−𝜋4)=14,那么tan(𝛼+𝜋4)的值是______ ．

15. 已知物体初始温度是𝑇0(单位：℃)，经过t分钟后物体的温度是𝑇(单位：℃)，且满足𝑇=𝑇𝑎+(𝑇0−𝑇𝑎)·2−𝑘𝑡(𝑇𝑎(单位：℃)为室温，k是正常数).某浴场的热水是由附近发电厂供应，已知从发电厂出来的是95℃的热水，在15℃室温下，100分钟后降至25℃，则k的值为_________．

16. 已知函数𝑦=𝑓(𝑥)在R上为偶函数，当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=log3(𝑥+1)，若𝑓(𝑡)>𝑓(2−𝑡)，则实数t的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 若函数𝑓(𝑥)=√6𝑥+1−1的定义域为集合A，函数𝑔(𝑥)=lg(−𝑥2+2𝑥+3)的定义域为集合B．

(1)求𝐴∩(∁𝑅𝐵)；

(2)若集合𝐶={𝑥|2𝑚−1<𝑥<𝑚+1}，且𝐵∩𝐶=𝐶，求实数m的取值范围．

18. 已知角𝛼的终边经过点𝑃(4,−3)(1)求sin𝛼的值；

(2)求sin(𝜋2−𝛼)tan(𝜋+𝛼)sin(𝛼+𝜋)cos(3𝜋−𝛼)的值．

19. 在平面直角坐标系xOy中，已知点𝐴(1,0)，𝐵(2,5)，𝐶(−2,1)．

(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)在△𝐴𝐵𝐶中，设AD是边BC上的高线，求点D的坐标．

20. 某同学用“五点法”画函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0,|𝜑|<𝜋2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

𝜔𝑥+𝜑 0 𝜋2 𝜋 3𝜋2 2𝜋

x 𝜋6 2𝜋3

𝑓(𝑥) 0 3 0 −3 0

(1)求函数𝑓(𝑥)的解析式；

(2)若将函数𝑓(𝑥)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数𝑔(𝑥)的图象，求当𝑥∈[−𝜋3,𝜋3]时，函数𝑔(𝑥)的值域；

(3)若将𝑦=𝑓(𝑥)图象上所有点向左平移𝜃(𝜃>0)个单位长度，得到𝑦=ℎ(𝑥)的图象，若𝑦=ℎ(𝑥)图象的一个对称中心为(𝜋12,0)，求𝜃的最小值．

21. 已知定义域为R的函数𝑓(𝑥)=−2𝑥+𝑏2𝑥+1+2是奇函数；

(1)求实数b的值；

(2)判断并证明函数𝑓(𝑥)的单调性；

(3)若关于x的方程𝑓(𝑥)=𝑚在𝑥∈[0,1]上有解，求实数m的取值范围．

22. 已知二次函数𝑦=𝑓(𝑥)对任意𝑥∈𝑅，有𝑓(1+𝑥)=𝑓(1−𝑥)，函数𝑓(𝑥)的最小值为−3，且𝑓(−1)=5．

(1)求函数𝑓(𝑥)的解析式；

(2)若方程𝑓(𝑥)=𝑘𝑥−3在区间(0,2)上有两个不相等实数根，求k的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：D

解析：

本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

利用并集定义直接求解．

解：∵集合𝐴={1,2，3}，𝐵={2,4，5}，

∴𝐴∪𝐵={1,2，3，4，5}．

故选：D．

2.答案：D

解析：

本题考查的知识点是终边相同的角，属于基础题，

根据终边相同的角之间相差周角的整数倍，表示出与−390°的角终边相同的角𝛼的集合即可．

解：∵与−390°的角终边相同的角𝛼的集合为：

{𝛼|𝛼=−390°+𝑘⋅360°,𝑘∈𝑍}，

当𝑘=1时，𝛼=−30°

当𝑘=2时，𝛼=330°，

∴与角–390°终边相同的最小正角是330°．

故选D．

3.答案：A

解析：

本题主要考查分段函数求函数值，属于基础题．

根据自变量所在的范围，代入相应解析式，由此求得结果．

解：由题意得𝑓(3)=𝑓(3+4)=𝑓(7)=7−5=2，

故选A．

4.答案：D

解析：

本题考查幂函数的单调性以及幂函数的定义的应用，基本知识的考查，属于基础题．

直接利用幂函数的定义与性质求解即可．

解：幂函数𝑓(𝑥)=(3𝑚2−2𝑚)𝑥𝑚为增函数，

所以3𝑚2−2𝑚=1，并且𝑚>0，

解得𝑚=1.

故选D．

5.答案：A

解析：

本题主要考查正切函数的周期性和单调性，属于基础题．

根据正切函数的周期性求得𝜔，再利用正切函数的单调性求得函数𝑓(𝑥)的单调递增区间．

解：∵函数𝑓(𝑥)=tan(𝜔𝑥−𝜋3)(𝜔>0)的最小正周期为𝜋，

∴𝜋𝜔=𝜋，∴𝜔=1，∴𝑓(𝑥)=tan(𝑥−𝜋3)，

令𝑘𝜋−𝜋2<𝑥−𝜋3<𝑘𝜋+𝜋2，𝑘∈𝑍，解得𝑘𝜋−𝜋6<𝑥<𝑘𝜋+5𝜋6，𝑘∈𝑍，

则函数𝑓(𝑥)的单调递增区间为(𝑘𝜋−𝜋6,𝑘𝜋+5𝜋6)(𝑘∈𝑍)，

故选A．

6.答案：C

解析：解：∵𝑎=log70.370=1，

∴𝑎<𝑏<𝑐．

故选：C．

利用指数函数和对数函数的性质求解．

本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要注意对数函数和指数函数性质的合理运用．

7.答案：C

解析：

本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，要求熟练掌握相应的公式，是基础题．

根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．

解：∵弧长为𝜋𝑐𝑚的弧所对的圆心角为𝜋4，

∴半径𝑟=𝜋𝜋4=4，

∴这条弧所在的扇形面积为𝑆=12×𝜋×4=2𝜋𝑐𝑚2．

故选：C．

8.答案：C

解析：

根据题意，由函数的解析式可得𝑓(2)的值，结合函数的奇偶性可得𝑓(2)=−𝑓(−2)，即可得答案．

本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意利用奇函数的性质进行分析．

解：根据题意，当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=𝑥2−1𝑥，则𝑓(2)=4−12=72，

又由函数𝑓(𝑥)为奇函数，则𝑓(2)=−𝑓(−2)=−72；

故选：C．

9.答案：B

解析：

本题考查三角函数利用辅助角公式化简求值，根据辅助角公式直接化简求值即可，属基础题．

解：sin𝜋12−√3cos𝜋12=2(12sin𝜋12−√32cos𝜋12)

=2(sin𝜋6sin𝜋12−cos𝜋6cos𝜋12)=−2𝑐𝑜𝑠𝜋4=−√2．

故选B．

10.答案：C

解析：

本题考查分段函数求值，属于基础题．

根据解析式求值即可，注意对应的自变量的取值范围．