外接球与内切八大模型—老师专用

外接球八大模型及公式外接球其实就是一个外接球体，它是三维空间中最完美的几何体形状。

设计者们把它分解成八大模型和公式，用来解决各种几何问题。

据说，外接球体是宇宙中最完整的物质，也可以说是天然的几何体，比如地球，在宇宙中的球状星体就都是外接球的形状。

本文将主要介绍外接球八大模型及公式，了解外接球如何帮助我们解决几何问题。

外接球八大模型及公式1.球：具有三个半径r1，r2，r3，以及半长轴a和半短轴b，其公式为：(x2/a2) + (y2/b2) + (z2/c2) = 12.锥（截锥）：具有半径r和圆锥的高h，公式为：(x2 + y2)/r2 + z2/h2 = 13.曲线：是一种二维曲线，由位置向量表示，其公式为：x2/a2 - y2/b2 = 14.筒：是一种三维的曲线，具有圆柱体的高h和半径r，公式为： (x2 + y2)/r2 = h5.锥：具有半径r和圆锥的高h，公式为：(x2 + y2)/r2 - z2/h2 = 16.物线：是一种二维曲线，由位置向量表示，其公式为：x2/a2 - y2/b2 = 17.柱：具有半径r和圆柱体的高h，公式为：x2 + y2/r2 = h8.台：是一种三维曲线，具有圆柱体的高h和半径r1，r2，其公式为：(x2 + y2)/r1 - (x2 + y2)/r2 = h应用外接球八大模型及公式在几何学中应用十分广泛，可以解决各种几何问题。

比如，我们可以用它来计算宇宙中的星球距离，并且可以计算物体的体积，在建筑、机械、测绘、地理等学科中也有重要的应用。

例如，当我们在计算一个圆锥体的体积时，可以通过以下公式来计算：V = (1/3)*π*r*h在这个公式中，π是圆周率，r半径，h圆锥体的高，V圆锥体的体积。

另一个例子是计算球锥的表面积，可以使用以下公式：S = 2*π*r*h + 2*π*r2结论外接球八大模型及公式是用来解决各种几何问题的理论模型，它们可以用来计算宇宙中的星球距离，以及物体的体积和表面积等。

立体几何中的外接球与内切球---模型类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）类型二、垂面模型1（顶点的射影在底面顶点上）1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C cB b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=类型二、垂面模型2（顶点的射影为底面三角形的外心）题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点图2图3图7-1图7-2图5解题步骤： 第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线； 第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆。

类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直，一个面为直角三角形）1．题设：如图9-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径） 解题步骤：第1步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=； 第2步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R 2．如图9-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径） 21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=3．如图9-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点解题步骤： 第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线； 第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R图8-1图8-2图8-3图9-1图9-2图9-3图9-44．如图9-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）解题步骤： 第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ； 第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 212111==（h AA=1也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)2(r hR +=⇒R =题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图解题步骤：第一步：先画出如图所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心1H 和2H ； 第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,； 第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：22121OC CH OH =+类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，图11⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=++=，补充：abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=- 第三步：根据墙角模型，22222222z y x c b a R ++=++=，82222z y x R ++=，8222z y x R ++=，求出R ，例如，正四面体的外接球半径可用此法。

立体几何专题：外接球问题中常见的8种模型1.知识梳理一、墙角模型适用范围：3组或3条棱两两垂直；可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合直接用公式(2R )2=a 2+b 2+c 2，即2R =a 2+b 2+c 2，求出R【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑二、麻花模型适用范围：对棱相等相等的三棱锥对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。

推导过程：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，(AB =CD ，AD =BC ，AC =BD )第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a ,b ,c ，AD =BC =x ，AB =CD =y ，AC =BD =z ，列方程组，a 2+b 2=x 2b 2+c 2=y 2c 2+a 2=z 2⇒(2R )2=a 2+b 2+c 2=x 2+y 2+z 22，补充：V A −BCD =abc −16abc ×4=13abc 第三步：根据墙角模型，2R =a 2+b 2+c 2=x 2+y 2+z 22，R 2=x 2+y 2+z 28，R =x 2+y 2+z 28，求出R .三、垂面模型适用范围：有一条棱垂直于底面的棱锥。

推导过程：第一步：将ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ,连接PD ,则PD 必过球心O .第二步：O 1为ABC 的外心，所以OO 1⊥平面ABC ，算出小圆O 1的半径O 1D =r(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理a sin A =b sin B=csin C =2r ,OO 1=12PA .第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(1)(2R )2=PA 2+(2r )2⇔2R =PA 2+(2r )2；(2)R 2=r 2+OO 21⇔R =r 2+OO 21.公式：R 2=r 2+h 24四、切瓜模型适用范围：有两个平面互相垂直的棱锥推导过程：分别在两个互相垂直的平面上取外心O 1、O 2过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心0，取B C 的中点为E ，连接OO 1、OO 2、O 2E 、O 1E 为矩形由勾股可得|OC |2=|O 2C |2+|OO 2|2=|O 2C |2+|O 1C |2-|CE |2∴R 2=r 21+r 22-l 24公式：R 2=r 21+r 22-l 24五、斗笠模型适用于：顶点的投影在底面的外心上的棱锥推导过程：取底面的外心01，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h ，在h 上取一点作为球心0，根据勾股定理R 2=(h -R )2+r 2⇔R =r 2+h 22h公式：R =r 2+h 22h六、矩形模型适用范围：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径推导过程：图中两个直角三角形ΔPAB 和ΔQAB ，其中∠APB =∠AQB =90°，求外接圆半径取斜边AB 的中点O ，连接OP ,OQ ，则OP =12AB =OA =OB =OQ 所以O 点即为球心，然后在ΔPOQ 中解出半径R 公式：R 2=l22(l 为斜边长度)七、折叠模型适用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠.推导过程：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，设折叠的二面角∠A EC =α,CE =A E =h .如图，作左图的二面角剖面图如右图：H 1和H 2分别为△BCD ,△A BD 外心，分别过这两个外心做这两个平面的垂线且垂线相交于球心O CH 1=r =BD 2sin ∠BCD,EH 1=h -r ,OH 1=(h -r )tanα2由勾股定理可得：R 2=OC 2=OH 21+CH 21=r 2+(h -r )2tan 2α2.公式：R 2=r 2+(h -r )2tan 2α2八、鳄鱼模型适用范围：所有二面角构成的棱锥，普通三棱锥方法：找两面外接圆圆心到交线的距离m ,n ，找二面角α，找面面交线长度l 推导过程：取二面角两平面的外心分别为O 1,O 2并过两外心作这两个面的垂线，两垂线相交于球心O ，取二面角两平面的交线中点为E ，则O ,O 1,E ,O 2四点共圆，由正弦定理得：OE =2r =O 1O 2sin α①在ΔO 1O 2E 中，由余弦定理得：O 1O 2 2=O 1E 2+O 2E 2-2O 1E O 2E cos α②由勾股定理得：OD 2=O 1O 2+O 1D 2③由①②③整理得：OD2=O 1O 2+O 1D 2=OE 2-O 1E 2+O 1D 2=O 1O 2sin α2-O 1E 2+O 1D 2=O 1E2+O 2E 2-2O 1E O 2E cos αsin 2α-O 1E 2+O 1D 2=O1E2+O2E2-2O1EO2Ecosαsin2α-O1E2+O1B2记O1E=m,O2E=n,AB=l,则R2=m2+n2-2mn cosαsin2α+l22公式：R2=m2+n2-2mn cosαsin2α+l222.常考题型3.题型精析题型一:墙角模型1(2023·高一单元测试)三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD，DC⊥BD，2AD=BD=DC=2，则该三棱锥的外接球表面积为()A.3π2B.9π2C.9πD.36π1.(2022秋·陕西西安·高一统考期末)在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑A-BCD中，满足AB⊥平面BCD，且AB=BD=5，BC=3，CD=4，则此鳖臑外接球的表面积为()A.25πB.50πC.100πD.200π2.(2023·高一课时练习)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4．则该阳马的外接球的表面积为()A.1252π3B.50πC.100πD.500π33.(2023·广西南宁·统考二模)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥AD ，AB =BD =2，已知动点E 从C 点出发，沿外表面经过棱AD 上一点到点B 的最短距离为10，则该棱锥的外接球的体积为.4.(2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习)已知四棱锥P -ABCD 的外接球O 的表面积为64π，PA ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，PA =4，设点M 在球O 的表面上运动，则四棱锥M -ABCD 体积的最大值为.题型二:麻花模型1(2023春·广东梅州·高二统考期中)已知三棱锥S -ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，且SA =BC =2，SB =AC =7，SC =AB =5，则球O 的体积是()A.83π B.3223π C.423π D.823π1.(2022春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中)在△ABC 中，AB =AC =2，cos A =34，将△ABC 绕BC 旋转至△BCD 的位置，使得AD =2，如图所示，则三棱锥D -ABC 外接球的体积为．2.(2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习)如图，在△ABC 中，AB =25,BC =210,AC =213，D ，E ，F 分别为三边中点，将△BDE ,△ADF ,△CEF 分别沿DE ,EF ,DF 向上折起，使A ，B ，C 重合为点P ，则三棱锥P -DEF 的外接球表面积为()A.72π B.7143π C.14π D.56π3.(2023·江西·统考模拟预测)在三棱锥P -ABC 中，已知PA =BC =213,AC =BP =41,CP =AB =61，则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为()A.77πB.64πC.108πD.72π4.(2022·全国·高三专题练习)已知四面体ABCD 的棱长满足AB =AC =BD =CD =2，BC =AD =1，现将四面体ABCD 放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD 可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为．题型三:垂面模型1(2023·高一单元测试)在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA =6，BC =3，∠CAB =π6，则三棱锥P -ABC 的外接球半径为()A.3B.23C.32D.61.(2023·全国·高一专题练习)已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，△ABC 为等边三角形且边长为3，AD ⊥平面ABC ，AD =2，则球O 的表面积为()A.4πB.8πC.16πD.32π2.(2020春·天津宁河·高一校考期末)在三棱锥P -ABC 中，AP =2,AB =3,PA ⊥面ABC ，且在△ABC 中，C =60°，则该三棱锥外接球的表面积为()A.20π3B.8πC.10πD.12π3.(2023·全国·高一专题练习)已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，△ABC 为等边三角形且其面积为334，AD ⊥平面ABC ，AD =2，则球O 的表面积为()A.πB.2πC.4πD.8π4.(2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，BC =2，PC 与平面PAB 所成的角为30o ，则该四棱锥外接球的体积为()A.433π B.43πC.823πD.833π题型四:切瓜模型1(2023·贵州贵阳·校联考模拟预测)在三棱锥A -BCD 中，已知AC ⊥BC ,AC =BC =2,AD =BD =6，且平面ABD ⊥平面ABC ，则三棱锥A -BCD 的外接球表面积为()A.8πB.9πC.10πD.12π1.(2023·四川达州·统考二模)三棱锥A -BCD 的所有顶点都在球O 的表面上，平面ABD ⊥平面BCD ，AB =AD =6，AB ⊥AD ，∠BDC =2∠DBC =60°，则球O 的体积为()A.43πB.32π3C.49π3D.323π2.(2023春·陕西西安·高一长安一中校考期中)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB =BC =AA 1=4，点P 为B 1C 1的中点，则四面体PABC 的外接球的体积为()A..41416π B.41413π C.41412π D.4141π3.(2022·高一单元测试)四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的表面上，△PAD 是等边三角形，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，若AB =2，BC =3，则球O 的表面积为()A.12πB.16πC.20πD.32π4.(2021·高一课时练习)在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，∠DPA =π2，AD =23，AB =2，PA =PD ，则四棱锥P -ABCD 的外接球的体积为()A.163π B.323π C.643π D.16π5.(2023春·全国·高一专题练习)在四棱锥P-ABCD中，ABCD是边长为2的正方形，AP=PD=10，平面PAD⊥平面ABCD，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为()A.4πB.8πC.136π9D.68π3题型五:斗笠模型1(2023·全国·高一专题练习)正四面体S-ABC内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为()A.64B.33C.263D.31.(2022·高一专题练习)已知正四棱锥P-ABCD(底面四边形ABCD是正方形，顶点P在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为50 3，则此球的体积为()A.18πB.86πC.36πD.323π2.(2022·全国·高一专题练习)某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为1的球，则该四棱锥的表面积最小值是()A.16B.8C.32D.243.(2022春·安徽·高三校联考阶段练习)在三棱锥P-ABC中，侧棱PA=PB=PC=10，∠BAC=π4，BC=22，则此三棱锥外接球的表面积为．题型六:矩形模型1(2022春·全国·高一期末)已知三棱锥A-BCD中，CD=22，BC=AC=BD=AD=2，则此几何体外接球的表面积为()A.2π3B.2π C.82π3D.8π1.(2022春·广东惠州·高一校考期中)在矩形ABCD中，AB=6,BC=8，现将△ABC沿对角线AC翻折，得到四面体DABC，则该四面体外接球的体积为()A.1963π B.10003π C.4003π D.5003π2.(2022春·河北沧州·高一校考阶段练习)矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体A-BCD的体积的最大时，则此四面体外接球的表面积值为()A.25πB.30πC.36πD.100π3.(2022春·四川成都·高一统考期末)在矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，将△ABC 沿对角线AC 折起，则三棱锥B -ACD 的外接球的表面积为()A.36πB.64πC.100πD.与二面角B -AC -D 的大小有关题型七:折叠模型1(2022春·陕西西安·高一长安一中校考期末)已知菱形ABCD 的边长为3，∠ABC =60°，沿对角线AC 折成一个四面体，使平面ACD 垂直平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的体积为()．A.5152π B.6πC.515πD.12π1.已知等边△ABC 的边长为2，将其沿边AB 旋转到如图所示的位置，且二面角C -AB -C 为60°，则三棱锥C -ABC 外接球的半径为2.(2023·广西南宁·统考二模)蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点A ,B ,C ,D 满足AB =BC =CD =DA =DB =433cm ，AC =23cm ，则该“鞠”的表面积为cm 2.3.(2022秋·福建泉州·高三校考开学考试)在三棱锥S -ABC 中，SA =SB =AC =BC =2,SC =1，二面角S -AB -C 的大小为60°，则三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为.4.(2022秋·山东德州·高二统考期中)已知在三棱锥中，S -ABC 中，BA ⊥BC ，BA =BC =2，SA =SC =22，二面角B -AC -S 的大小为5π6，则三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为()A.56π3B.58π3C.105π4D.124π9题型八:鳄鱼模型1(2022春·四川成都·高一树德中学校考期末)已知在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA =SC=22，二面角B-AC-S的大小为2π3，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为()A.124π9B.105π4C.105π9D.104π91.(2023春·全国·高一专题练习)如图，在三棱锥P-ABC，△PAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且CB=22，AB=AC=6，二面角P-AC-B的大小为120°，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为()A.5103π B.10π C.9π D.4+23π2.(2023·陕西榆林·统考三模)在三棱锥A-BCD中，AB⊥BC,BC⊥CD,CD=2AB=2BC= 4，二面角A-BC-D为60°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为()A.16πB.24πC.18πD.20π3.(2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习)如图1，四边形ABCD中，AB=AD =2，CB=CD=2，AB⊥AD，将△ABD沿BD翻折至△PBD，使二面角P-BD-C的正切值等于2，如图2，四面体PBCD的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A.4πB.6πC.8πD.9π4.(2023·江西南昌·校联考模拟预测)在平面四边形ABCD中，AD=CD=3，∠ADC=∠ACB =90°，∠ABC=60°，现将△ADC沿着AC折起，得到三棱锥D-ABC，若二面角D-AC-B的平面角为135°，则三棱锥D-ABC的外接球表面积为.5.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)在三棱锥P-ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=2，△PAC为正三角形，且二面角P-AC-B的平面角为π6，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为．。

八个有趣模型------------ 搞定空间几何体的外接球与内切球文：付雨楼、段永建类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式求出R(2R)2 a2 b2 c2，即2R a2b2c2，例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为表面积是（C ）A. 16 B . 20 C . 24 D . 32（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为• 3，则其外接球的表面积是9解：（1）V a2h 16，a 2，4R2 a2 a2 h2 4 4 16 24，S 24，选C;（2）4R2 3 3 3 9，S 4 R2 9（3）在正三棱锥S ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM MN,若侧棱SA 2.3,则正三棱锥S ABC外接球的表面积是 _____________ 。

36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。

证明如下：如图（3）-1 ,取AB, BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H4，体积为16，则这个球的是底面正三角形ABC的中心，SH 平面ABC，SH ABAC BC，AD BD，CD AB，AB 平面SCD，AB SC，同理：BC SA，AC SB，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3) -2，AMMN，,SB//MN，AMSB，AC SB，SB平面SAC，SB SA，SB SC，SB SA，BC SA，S (3)题-1图5解析：(4)在 ABC 中，BC 2 AC 2 AB 2 2ABBC cos120BC方，ABC的外接球直径为2r汙CAC2、7(5)三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b, c (a,b,c)，则ab 12 bc 8 ， abc ac 624， a 4，c 2，(2R )2a 2b 2c 2 29，S 4 R 2 29 ，(6) (2R)2 a 2 b 2c 23， R 2类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面) 1.题设：如图5， PA 平面ABC(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是(6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为SA 平面 SBC , SA SC ,故三棱锥S ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2(2、3)2(2.3)2(2.3)236，即 4R 236 ,正三棱锥S ABC 外接球的表面积是36(4 ) 在四面体S ABC 中SA 平面ABCBAC 120 ,SA AC2,AB 1,则该四面体的外接球的表面积为( D ) A.11B.7C-3D.40 3C(2R)2 (2r)2 SA 2 (2440，S 40，选 D33解题步骤: 第一步：将 ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心0；第二步：0勺为ABC 的外心，所以00j 平面ABC ，算出小圆01的半径QD r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径(2R)2 PA 2 (2r)22R ...PA 2 (2r)2 ； ② R 2 r 2 00-2R v r 2 00-22.题设：如图 6，7，8，P 的射影是 ABC 的外心 三棱锥P ABC 的 三条侧棱相等 三棱锥PABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点P 点也 是圆锥的顶点解题步骤： 第一步：确定球心〈0的位置，取 ABC 的外心01，则P,0, 01三点共线； 第二步：先算出小圆0-的半径A0- r ，再算出棱锥的高P0- h (也是圆锥的高)； 第三步：勾股定理：0A 201A 2 0102方法二：小圆直径参与构造大圆。

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球欧阳引擎（2021.01.01）文：付雨楼、段永建今天给大家带来8个求解立体几何内切球与外接球半径的模型，本文最开始源自付雨楼老师分享的模型，教研QQ 群(群号：545423319)成员段永建老师进一步作图编辑优化分享。

类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R例 1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）A ．π16B ．π20C ．π24D ．π32（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是π9解：（1）162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ；（2）933342=++=R ，ππ942==R S（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是。

π36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。

证明如下：如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ， ∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ D ）π11.A π7.B π310.C π340.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的(3)题-1AC(3)题-2AC体积为解析：（4）在ABC ∆中，7120cos 2222=⋅⋅-+= BC AB AB AC BC ，7=BC ，ABC ∆的外接球直径为372237sin 2==∠=BAC BC r ， ∴3404)372()2()2(2222=+=+=SA r R ，340π=S ，选D（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（+∈R c b a ,,），则⎪⎩⎪⎨⎧===6812ac bc ab ，∴24=abc ，∴3=a ，4=b ，2=c ，29)2(2222=++=c b a R ，ππ2942==R S ，（6）3)2(2222=++=c b a R ，432=R ，23=R πππ2383334343=⋅==R V ，类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，图5ADPO 1OCBAPB得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点 解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R方法二：小圆直径参与构造大圆。

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径,三棱锥与长方体的外接球相同）图2图3方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。

解：引理：正三棱锥的对棱互垂直，证明如下：如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥， BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥，∴⊥SA 平面S B C ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互垂直，36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ，∴外接球的表面积是π36(3)题-1A(3)题-2A（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ ）π11.A π7.B π310.C π340.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图上右所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r CcB b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；图5②2122OO r R +=⇔212OO r R +=2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔ 三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点图6图7-1图7-2图8图8-1图8-2图8-3解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线； 第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R .方法二：小圆直径参与构造大圆。

微专题 立体几何3空间几何体的外接球与内切球——八个模型一些提速的小结论：1.设正三角形边长为a ，则其高h =，外接圆半径r a =，面积2S =；2.设正四面体棱长为a ，则其高h =，外接球半径R =外，内切球半径4h R ==内，体积312V a =，正四面体相对棱的距离为2d =模型一 墙角模型模型解读：类似于三角形有且仅有唯一一个外接圆，将三角形补成平行四边形，则该平行四边形外接圆与三角形外接圆是同一个外接圆；三菱锥有且仅有一个外接球，特殊情况下，将其补成一个长方体，则该长方体与三棱锥有共同的外接球。

根据对称性，长方体体对角线即为外接球的直径。

模型公式：2222)2(c b a R ++=或2222c b a R ++=； 秒杀公式：()222S a b c π=++，()222222V ab c a b c π=++++适用情况：几何体中有三条两两垂直的棱时（非必要条件，见图3）。

（柱体适应模型1）c abCP A Babc 图2PCBAabc 图3CBPAa bc PCO 2BA典型例题例1、已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32例2、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 9π 例3、若三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 29π跟踪练习1、已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为2、若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ A ） A.3B.6C.36D.93、（2018宝鸡模拟）已知底面边长为12的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ D ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π4、（广东省汕头市达濠华桥中学2017-2018学年期末）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑， PA ⊥平面ABC ， 2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ C ）A. 8πB. 12πC. 20πD. 24π5、（2020·安徽高三（理））已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形，若此正三角形的边长为a ，则这个球的表面积为（ D ）． A ．234a πB ．23a πC ．26a πD ．232a π6、（2020延安高考模拟）刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ B ）A ．B ．C ．D ．7、（2020菏泽高三模拟）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（ C ） A ．B ．C ．D ．8、（2020届·厦门市五月质量检测理6）某三棱锥的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（ B ） A.9π B.27π C.81π D.108π9、已知一个三棱锥的三视图如图，其中俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为2，则该三棱锥的体积为（C ）（A ）2 （B ）43 （C ）23（D ）2210、（2017云南第二次统一检测）已知体积为6的长方体的八个顶点都在球O 的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为343O 的体积等于（ A ） A ．323π B ．73π C ．332πD ．1172π11、（2017江西赣州模拟）在四面体SABC 中，SA ⊥平面ABC ，∠ABC =90°，SA =AC =2，AB =1，则该四 面体的外接球的表面积为 . 8π提升练习1、在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥，若侧棱3SA =三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。

空间几何体的外接球与内切球九大模型模型一墙角模型【方法总结】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2．)，秒杀公式：R2＝a2＋b2＋c24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例题选讲】[例](1)已知三棱锥A－BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC＝3，BC＝2，CD＝5，则球O的表面积为()A．12πB．7πC．9πD．8π答案A解析由AC⊥平面BCD，BC⊥CD知三棱锥A－BCD可构造以AC，BC，CD为三条棱的长方体，设球O的半径为R，则有(2R)2＝AC2＋BC2＋CD2＝3＋4＋5＝12，所以S球＝4πR2＝12π，故选A．(2)若三棱锥ABCS-的三条侧棱两两垂直，且2=SA，4==SCSB，则该三棱锥的外接球半径为()．A．3B．6C．36D．9答案A解析616164)2(2=++=R，3=R，故选A．(3)已知S，A，B，C，是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝2，则球O的表面积等于()．A．4πB．3πC．2πD．π答案解析由已知，222211(2)2R=++=，244S Rπ∴==球π．(4)在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是棱SC，BC的中点，且AM MN⊥，若侧棱SA=S－ABC外接球的表面积是________．答案π36解析 MNAM⊥，MNSB//，∴SBAM⊥， SBAC⊥，∴⊥SB平面SAC ，∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥，∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，222(2)(2R ∴=+2+36=，即3642=R ，∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36．(5)(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为()．A ．68πB ．64πC ．6πD ．6π答案D 解析解法一：, PA PB PC ABC == △为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥ 平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一部分，2R =，即344π2338R V R π=∴==⨯=，故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，, E F 分别为, PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC △为边长为2的等边三角形，CF ∴=，又90CEF ∠=︒，1 2CE AE PA x ∴===，AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯作PD AC ⊥于D ，PA PC = ，D ∴为AC 的中点，cos E ∠12AD AC PA x==，2243142x x x x +-+∴=，221212 2x x x ∴+=∴==，，PA PB PC ∴===，又2AB BC AC ===，, , PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==，R ∴=，34433V R ππ∴==⨯8=，故选D ．(6)已知二面角α－l －β的大小为π3，点P ∈α，点P 在β内的正投影为点A ，过点A 作AB ⊥l ，垂足为点B ，点C ∈l ，BC ＝22，PA ＝23，点D ∈β，且四边形ABCD 满足∠BCD ＋∠DAB ＝π．若四面体PACD 的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．答案86π解析∵∠BCD ＋∠DAB ＝π，∴A ，B ，C ，D 四点共圆，直径为AC ，∵PA ⊥平面β，AB ⊥l ，∴易得PB ⊥l ，即∠PBA 为二面角α－l －β的平面角，即∠PBA ＝π3，∵PA ＝23，∴BA ＝2，∵BC ＝22，∴AC＝23．设球的半径为R ，则23－R 2－(3)2＝R 2－(3)2，∴R ＝6，V ＝4π3(6)3＝86π．模型二对棱相等模型【方法总结】对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即2R =(长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c )．秒杀公式：R 2＝x 2＋y 2＋z 28(三棱锥的三组对棱长分别为x 、y 、z )．可求出球的半径从而解决问题．【例题选讲】[例](1)正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为________．答案解析这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，32=R ，23=R ，ππ2383334=⋅=V ．(2)在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为__．答案292π解析构造长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,，则922=+b a ，422=+c b ，1622=+a c ∴291649)(2222=++=++c b a ，291649)(2222=++=++c b a ，229222=++c b a ，22942=R ，π229=S ．(3)在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的体积为____．答案6解析依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，且其外接球的半径为R ，2＋b 2＝62，2＋c 2＝52，2＋a 2＝52，得a 2＋b 2＋c 2＝43，即(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2＝43，易知2R =，即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为3436R π=．(4)在正四面体A BCD -中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +，则该正四面体的外接球的体积是()A B ．6πC D ．32π答案A解析将侧面ABC ∆和ACD ∆展成平面图形，如图所示：设正四面体的棱长为a ，则BP PE +的最小值为2BE ==，2a ∴=．在正四面体A BCD -的边长为2，外接球的半径42R ==，外接球的体积343V R π==．(5)已知三棱锥A BCD -，三组对棱两两相等，且1AB CD ==，AD BC ==，若三棱锥A BCD -的外接球表面积为92π．则AC =________．答案解析将四面体A BCD -放置于长方体中， 四面体A BCD -的顶点为长方体八个顶点中的四个，∴长方体的外接球就是四面体A BCD -的外接球，1AB CD == ，AD BC ==，且三组对棱两两相等，∴设AC BD x ==，得长方体的对角线长为=，可得外接球的直径2R =以R =， 三棱锥A BCD -的外接球表面积为92π，2942R ππ∴=，解得4R =，324=，解之得x =AC BD ==模型三汉堡模型【方法总结】汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝2h ，2224h R r ∴=+．【例题选讲】[例](1)(2013辽宁)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为()．A ．3172B ．210C ．132D ．310答案C 解析如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M ．又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝522＋62＝132．另解过C 点作AB 的平行线，过B 点作AC 的平行线，交点为D ，同理过C 1作A 1B 1的平行线，过B 1作A 1C 1的平行线，交点为D 1，连接DD 1，则ABCD －A 1B 1C 1D 1恰好成为球的一个内接长方体，故球的半径r 132=．故选C ．(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()．A ．2a πB ．273a πC ．2113a πD ．237a π答案B 解析222222274312a a R OB OE BE a ==+=+=，22743S a a ππ∴==．故选B ．(3)(2009全国Ⅰ)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于()．A ．10πB ．20πC ．30πD ．40π答案B解析如图，先由余弦定理求出BC ＝23，再由正弦定理求出r ＝AO 1＝2，外接球的直径R ＝12＋22＝5，所以该球的表面积为4πR 2＝20π．故选B ．(4)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于()A ．4πB ．16π3C ．32π3D ．16π答案D解析由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心，于是，球的半径r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝12＋（3）2＝2．故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π．故选D ．(5)若一个圆柱的表面积为12π，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为()A ．12)π-B ．C ．3)πD ．16π答案A解析设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则22212r rh πππ+=，则6h r r=-．设该圆柱的外接球的半径为R ，则22222221659()()333244h R r r r r r r =+=+-=+--=- ，当且仅当22594r r =，即4365r =时，等号成立．故该圆柱的外接球的表面积的最小值为43)12)ππ-=．模型四垂面模型【方法总结】垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O 的位置是△CBD的外心O 1与△AB 2D 2的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝2h ，2224h R r ∴=+．【例题选讲】[例](1)已知在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，且∠ACB ＝30°，AC ＝2AB ＝23，SA ＝1．则该三棱锥的外接球的体积为()A ．13813πB ．13πC ．136πD ．13136π答案D解析∵∠ACB ＝30°，AC ＝2AB ＝23，∴△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，其外接圆半径r ＝AC2＝3，则三棱锥外接球即为以△ABC 为底面，以SA 为高的三棱柱的外接球，∴三棱锥外接球的半径R 满足R ＝132，故三棱锥外接球的体积V ＝43πR 3＝13136π．故选D ．第(1)小题图第(2)小题图1第(2)小题图2(2)三棱锥P －ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝PC ＝AC ＝2，AB ＝4，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为()A ．23πB ．234πC ．64πD ．643π答案D解析如图1，设O 为三棱锥外接球的球心，O 1为正△PAC 的中心，则OO 1＝12AB ＝2．2AO 1＝2sinπ3＝433，AO 1＝233，R 2＝OA 2＝O 1A 2＋O 1O 2＝43＋4＝163，故几何体外接球的表面积S ＝4πR 2＝643．另解：如图2，设O ′为正△PAC 的中心，D 为Rt △ABC 斜边的中点，H 为AC 中点．由平面PAC ⊥平面ABC ，则O ′H ⊥平面ABC ．作O ′O ∥HD ，OD ∥O ′H ，则交点O 为三棱锥外接球的球心，连接OP ，又O ′P ＝23＝23×32×2＝233，OO ′＝DH ＝12AB ＝2．∴R 2＝OP 2＝O ′P 2＋O ′O 2＝43＋4＝163．故几何体外接球的表面积S ＝4πR 2＝643π．(3)在三棱锥S －ABC 中，侧棱SA ⊥底面ABC ，AB ＝5，BC ＝8，∠ABC ＝60°，SA ＝25，则该三棱锥的外接球的表面积为()A ．643πB ．256πC ．4363πD ．2048327π答案B解析由题意知，AB ＝5，BC ＝8，∠ABC ＝60°，则在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2×AB ×BC ×cos ∠ABC ，解得AC ＝7，设△ABC 的外接圆半径为r ，则△ABC 的外接圆直径2r ＝ACsin ∠ABC ＝732，∴r ＝73，又∵侧棱SA ⊥底面ABC ，∴三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离h ＝12SA ＝5，则外接球的半径R ＝732＋(5)2＝643，则该三棱锥的外接球的表面积为S ＝4πR 2＝2563π.(4)在三棱锥P －ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝120˚，PA ＝AB ＝AC ＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A ．103πB ．18πC ．20πD ．93π答案C解析如图1，先由余弦定理求出BC ＝23，再由正弦定理求出r ＝AO 1＝2，外接球的直径R ＝12＋22＝5，所以该球的表面积为4πR 2＝20π．第(3)小题图第(4)小题图1第(4)小题图2另解如图2，该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥P －ABC ，PA ＝AB ＝AC ＝2，所以该三棱锥的外接球即该六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R ＝42＋22＝25⇒R ＝5，所以该球的表面积为4πR 2＝20π．(5)在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=︒，2AC =，1AB =，设D 为BC 中点，且直线PD与平面ABC 所成角的余弦值为5，则该三棱锥外接球的表面积为________．答案373π解析在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，2AC =，1AB =，由余弦定理得：22BC AC =+22cos AB AC BC BAC -⋅⋅∠，即22221221cos1207BC =+-⨯⨯⨯︒=，解得：BC =．设ABC ∆的外接圆半径为r ，由正弦定理得2sin BC r BAC ===∠解得：r ==；且222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==，又D 为BC 中点，在ABD ∆中，122BD BC ==，1AB =，cos 7ABD ∠=．由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-∠ ，即：22231()212274AD =+-⨯⨯=，解得2AD =．又因为PA ⊥平面ABC ，所以PDA ∠为直线PD 与平面ABC 所成角，由cos 5PDA ∠=，得sin 5PDA ∠=，tan 2PDA ∠=，所以在Rt PAD ∆中，tan 22PA AD PDA =∠== ．设三棱锥P ABC -的外接球半径为R ，所以R =，三棱锥P ABC -外接球表面积为23743S R ππ==．模型五切瓜模型【方法总结】切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC ⊥平面BCD ，如类型Ⅰ，△ABC 与△BCD 都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC 是等边三角形，△BCD 是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC 与△BCD 都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC 与△BCD 的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O 即为球心．类型Ⅳ，△ABC 与△BCD 都一般三角形，解决方法是过△BCD 的外心O 1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A －BCD 的高为h ，外接球的半径为R ，球心为O ．△BCD 的外心为O 1，O 1到BD 的距离为d ，O 与O 1的距离为m 2＝r 2＋m 2，2＝d 2＋(h －m )2，解得R ．可用秒杀公式：R 2＝r 12＋r 22－l 24(其中r 1、r 2为两个面的外接圆的半径，l 为两个面的交线的长)【例题选讲】[例](1)已知在三棱锥P －ABC 中，V P ­ABC ＝433，∠APC ＝π4，∠BPC ＝π3，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P －ABC 外接球的体积为________．答案32π3解析如图，取PC 的中点O ，连接AO ，BO ，设PC ＝2R ，则OA ＝OB＝OC ＝OP ＝R ，∴O 是三棱锥P －ABC 外接球的球心，易知，PB ＝R ，BC ＝3R ，∵∠APC ＝π4，PA ⊥AC ，O 为PC 的中点，∴AO ⊥PC ，又平面PAC ⊥平面PBC ，且平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，∴AO ⊥平面PBC ，∴V P ­ABC ＝V A ­PBC ＝13×12×PB ×BC ×AO ＝13×12×R ×3R ×R＝433，解得R ＝2，∴三棱锥P －ABC 外接球的体积V ＝43πR 3＝32π3．(2)如图，已知平面四边形ABCD 满足AB ＝AD ＝2，∠A ＝60˚，∠C ＝90˚，将△ABD 沿对角线BD 翻折，使平面ABD ⊥平面CBD ，则四面体ABCD 外接球的体积为__．答案323π27解析在四面体ABCD 中，∵AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝60˚，∴△ABD为正三角形，设BD 的中点为M ，连接AM ，则AM ⊥BD ，又平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ∩平面CBD ＝BD ，∴AM ⊥平面CBD ．∵△CBD 为直角三角形，∴其外接圆的圆心是斜边BD 的中点M ，由球的性质知，四面体ABCD 外接球的球心必在线段AM 上，又△ABD 为正三角形，∴球心是△ABD 的中心，则外接球的半径为23×2×32＝233，∴四面体ABCD 外接球的体积为43×π×(233)3＝323π27．(3)已知三棱锥A －BCD 中，△ABD 与△BCD 是边长为2的等边三角形且二面角A －BD －C 为直二面角，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为()A ．10π3B ．5πC ．6πD ．20π3答案D解析如图，取BD 中点M ，连接AM ，CM ，取△ABD ，△CBD 的中心即AM ，CM 的三等分点P ，Q ，过P 作平面ABD 的垂线，过Q 作平面CBD 的垂线，两垂线相交于点O ，则点O 为外接球的球心，如图，其中OQ ＝33，CQ ＝233，连接OC ，则外接球的半径R ＝OC ＝153，表面积为4πR 2＝20π3，故选D ．(4)已知ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，3BC =，PB =PC =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为________．答案10π解析由题意知BC 的中点O 为ABC ∆外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面ABC 内．根据球的性质，球心一定在垂线l 上， 球心1O 一定在平面PBC 内，且球心1O 也是PBC ∆外接圆的圆心．在PBC ∆中，由余弦定理得222cos 22PB BC PC PBC PB BC +-∠==，sin 2PBC ∴∠=，由正弦定理得：2sin PCR PBC=∠，解得2R =，∴三棱锥的外接球的表面积2410R ππ==．(5)已知等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝2，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，沿DE 将△ABC 折成直二面角(如图)，则四棱锥A －DECB 的外接球的表面积为________．答案10π解析取DE 的中点M ，BC 的中点N ，连接MN (图略)，由题意知，MN ⊥平面ADE ，因为△ADE是等腰直角三角形，所以△ADE 的外接圆的圆心是点M ，四棱锥A －DECB 的外接球的球心在直线MN 上，又等腰梯形DECB 的外接圆的圆心在MN 上，所以四棱锥A －DECB 的外接球的球心就是等腰梯形DECB 的外接圆的圆心．连接BE ，易知△BEC 是钝角三角形，所以等腰梯形DECB 的外接圆的圆心在等腰梯形DECB 的外部．设四棱锥A －DECB 的外接球的半径为R ，球心到BC 的距离为d 2＝d 2＋(2)2，2＝(d ＋222＋(22)2，解得R 2＝52，故四棱锥A －DECB 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝10π．模型六斗笠模型【方法总结】圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R ＝h 2＋r 22h(其中h 为几何体的高，r 为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)【例题选讲】[例](1)一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60︒，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥外接球的表面积为________．答案272π解析设60ASB BSC CSA ∠=∠=∠=︒，则SA SB SC AB AC BC =====．设AB x =，则底面圆的直径为2sin 60x r ==︒，该圆锥的侧面积为12x π=，解得3x =，高OS =．r ∴=．设圆锥外接球的半径为R ，所以222)R r R -+=，解得R =，则外接球的表面积为22742R ππ=．(2)(2020·全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为()A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π答案A解析设⊙O 1的半径为r ，球的半径为R ，依题意，得πr 2＝4π，∴r ＝2．由正弦定理可得ABsin 60°＝2r ，∴AB ＝2r sin 60°＝23．∴OO 1＝AB ＝23．根据球的截面性质，得OO 1⊥平面ABC ，∴OO 1⊥O 1A ，R ＝OA ＝OO 21＋O 1A 2＝OO 21＋r2＝4，∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝64π．故选A ．(3)在三棱锥P ABC -中，PA PB =26, 4PC AC AB ====，且AC AB ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为________．答案36π解析设顶点P 在底面中的射影为1O ，由于PA PB PC ==，所以111O A O B O C ==，即点1O 是底面ABC ∆的外心，又AC AB ⊥，所以1O 为BC 的中点，因为PA PB = 4PC AC AB ====，所以11 4BC AO PO ===，设外接球的球心为O ，半径为R ，则O 必在1PO 上，=-14O O R ，在∆1Rt O OA中，()(2224R R -+=，解得3R =，所以22436S R ππ==．(4)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A ．81π4B ．16πC ．9πD ．27π4答案A解析如图所示，设球半径为R ，底面中心为O ′且球心为O ，∵正四棱锥P ­ABCD 中AB ＝2，∴AO ′＝2，∵PO ′＝4，∴在Rt △AOO ′中，AO 2＝AO ′2＋OO ′2，∴R 2＝(2)2＋(4－R )2，解得R ＝94，∴该球的表面积为4πR 2＝4π×942＝81π4.(5)如图所示，在正四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，cos ∠PEF ＝22，若A ，B ，C ，D ，P 在同一球面上，则此球的体积为________．答案36π解析由题意，得底面ABCD 是边长为4的正方形，cos ∠PEF ＝22，故高PO 1为2．易知正四棱锥P －ABCD 的外接球的球心在它的高PO 1上，记球心为O ，则AO 1＝22，PO ＝AO ＝R ，PO 1＝2，OO 1＝2－R 或OO 1＝R －2(此时O 在PO 1的延长线上)，在直角△AO 1O 中，R 2＝AO 21＋OO 21＝(22)2＋(2－R )2，解得R ＝3，所以球的体积为V ＝43πR 3＝4π3×33＝36π．(6)在三棱锥P ABC -中，2PA PB PC ===，1AB AC ==，3BC =棱锥外接球的体积为()A ．43πB ．823πC ．3πD ．323π答案A解析由PA PB PC ===P 作PG ⊥平面ABC ，垂足为G ，则G 为三角形ABC 的外心，在ABC ∆中，由1AB AC ==，BC =，可得120BAC ∠=︒，则由正弦定理可得：2AG =，即1AG =．1PG ∴==．取PA 中点H ，作HO PA ⊥交PG 于O ，则O 为该三棱锥外接球的球心．由PHO PGA ∆∆∽，可得PH PG PO PA =，则211PH PA PO PG === ．可知O 与G 重合，即该棱锥外接球半径为1．∴该三棱锥外接球的体积为43π．模型七已知球心或球半径模型【例题选讲】[例](1)(2017·全国Ⅰ)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．答案36π解析如图，连接AO ，OB ，∵SC 为球O 的直径，∴点O 为SC 的中点，∵SA ＝AC ，SB ＝BC ，∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，∴AO ⊥平面SCB ，设球O 的半径为R ，则OA ＝OB ＝R ，SC ＝2R ．∴V S ­ABC ＝V A ­SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×SC ×AO ，即9＝13×R ×R ，解得R ＝3，∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π．(2)已知三棱锥A －BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AB 为球O 的直径，若该三棱锥的体积为3，BC ＝3，BD ＝3，∠CBD ＝90˚，则球O 的体积为________．答案32π3解析设A 到平面BCD 的距离为h ，∵三棱锥的体积为3，BC ＝3，BD ＝3，∠CBD ＝90˚，∴13×12×3×3×h ＝3，∴h ＝2，∴球心O 到平面BCD 的距离为1．设CD 的中点为E ，连接OE ，则由球的截面性质可得OE ⊥平面CBD ，∵△BCD 外接圆的直径CD ＝23，∴球O 的半径OD ＝2，∴球O 的体积为32π3．(3)(2012全国Ⅰ)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为()A ．26B ．36C ．23D ．22答案A解析由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍．在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示，S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝12－332＝63，∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26．故选A ．(4)(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°．以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．答案2π2解析如图，设B 1C1的中点为E ，球面与棱BB 1，CC 1的交点分别为P ，Q ，连接DB ，D 1B 1，D 1P ，D 1E ，EP ，EQ ，由∠BAD ＝60°，AB ＝AD ，知△ABD 为等边三角形，∴D 1B 1＝DB ＝2，∴△D 1B 1C 1为等边三角形，则D 1E ＝3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1，∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r ，则r ＝R 2球－D 1E 2＝5－3＝2．又由题意可得EP ＝EQ ＝2，∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ ．又D 1P ＝5，∴B 1P ＝D 1P 2－D 1B 21＝1，同理C 1Q ＝1，∴P ，Q 分别为BB 1，CC 1的中点，∴∠PEQ ＝π2，知 PQ的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2．(5)三棱锥S －ABC 的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，则三棱锥S －ABC 的体积最大时，点S 到平面ABC 的距离为()A ．2＋3B ．2－3C ．3D ．2答案C 解析如图，设三棱锥S －ABC 底面三角形ABC 的外心为G ，三棱锥外接球的球心为O ，要使三棱锥S －ABC 的体积最大，则O 在SG 上，由底面三角形的边长为3，可得AG ＝32sin60°＝3．连接OA ，在Rt △OGA 中，由勾股定理求得OG ＝OA 2－GA 2＝22－（3）2＝1．∴点S 到平面ABC 的距离为OS ＋OG ＝2＋1＝3．故选C ．模型八最值模型【方法总结】最值问题的解法有两种方法：一种是几何法，即在运动变化过程中得到最值，从而转化为定值问题求解．另一种是代数方法，即建立目标函数，从而求目标函数的最值．【例题选讲】[例](1)已知三棱锥P －ABC 的顶点P ，A ，B ，C 在球O 的球面上，△ABC 是边长为3的等边三角形，如果球O 的表面积为36π，那么P 到平面ABC 距离的最大值为________．答案3＋22解析依题意，边长是3的等边△ABC 的外接圆半径r ＝12·3sin 60°＝1.∵球O 的表面积为36π＝4πR 2，∴球O 的半径R ＝3，∴球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝22，∴球面上的点P 到平面ABC 距离的最大值为R ＋d ＝3＋22．(2)在四面体ABCD 中，AB ＝1，BC ＝CD ＝3，AC ＝2，当四面体ABCD 的体积最大时，其外接球的表面积为()A ．2πB ．3πC ．6πD ．8π答案C 解析∵AB ＝1，BC ＝3，AC ＝2，由勾股定理可得AB 2＋AC 2＝BC 2，所以△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆直径为BC ＝3，当CD ⊥平面ABC 时，四面体ABCD 的体积取最大值，此时，其外接球的直径为2R ＝BC 2＋CD 2＝6，因此，四面体ABCD 的外接球的表面积为4πR 2＝π×(2R )2＝6π．故选C ．(3)已知四棱锥S －ABCD 的所有顶点在同一球面上，底面ABCD 是正方形且球心O 在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16＋163，则球O 的体积等于()A ．42π3B ．162π3C ．322π3D ．642π3答案D解析由题意得，当四棱锥的体积取得最大值时，该四棱锥为正四棱锥．因为该四棱锥的表面积等于16＋163，设球O 的半径为R ，则AC ＝2R ，SO ＝R ，如图，所以该四棱锥的底面边长AB ＝2R ，则有(2R )2＋4×12×2R ×16＋163，解得R ＝22，所以球O 的体积是43πR 3＝6423π．故选D ．(4)三棱锥A －BCD 内接于半径为5的球O 中，AB ＝CD ＝4，则三棱锥A －BCD 的体积的最大值为()A ．43B ．83C ．163D ．323答案C解析如图，过CD 作平面ECD ，使AB ⊥平面ECD ，交AB 于点E ，设点E 到CD 的距离为EF ，当球心在EF 上时，EF 最大，此时E ，F 分别为AB ，CD 的中点，且球心O 为EF 的中点，所以EF ＝2，所以V max ＝13×12×4×2×4＝163，故选C ．(5)已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为_．答案8解析设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为r ，由题意知4πr 2＝12π，所以r 2＝3，又2a 2＋h 2＝(2r )2＝12，所以a 2＝6－h 22，所以正四棱柱的体积V ＝a 2h ，则V ′＝6－32h 2，由V ′>0，得0<h <2，由V ′<0，得h >2，所以当h ＝2时，正四棱柱的体积最大，V max ＝8．模型九内切球模型【方法总结】以三棱锥P －ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P －ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P －ABC ＝V O －ABC ＋V O －P AB ＋V O －P AC ＋V O －PBC ⇒V P －ABC ＝13S △ABC ·r ＋13S △P AB ·r ＋13S △P AC ·r ＋13S △r ＝13S △ABC ＋S △P AB ＋S △P AC ＋S △PBC )·r ；第三步：解出r ＝3V P －ABC S O －ABC ＋S O －P AB ＋S O －P AC ＋S O －PBC ＝3VS 表．秒杀公式(万能公式)：r ＝3VS 表【例题选讲】[例](1)已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为________．答案354π解析由题意可知，该三棱锥为正四面体，如图所示．AE ＝AB ·sin 60°＝62，AO ＝23AE ＝63，DO ＝AD 2－AO 2＝233，三棱锥的体积V D ­ABC ＝13S △ABC ·DO ＝13，设内切球的半径为r ，则V D ­ABC ＝13r (S △ABC ＋S △ABD ＋S △BCD ＋S △ACD )＝13，r ＝36，V 内切球＝43πr 3＝354π．(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．答案23π解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r ．作出圆锥的轴截面PAB ，如图所示，则△PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB 中，PA ＝PB ＝3，D 为AB 的中点，AB ＝2，E 为切点，则PD ＝22，△PEO ∽△PDB ，故PO PB ＝OEDB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22，故内切球的体积为43π223＝23π．(3)阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为()A ．4πB ．16πC ．36πD ．64π3答案C解析设该圆柱的底面半径为R ，则圆柱的高为2R ，则圆柱的表面积S ＝S 底＋S 侧＝2×πR 2＋2·π·R ·2R ＝54π，解得R 2＝9，即R ＝3．∴圆柱的体积为V ＝πR 2×2R ＝54π，∴该圆柱的内切球的体积为23×54π＝36π．故选C ．(4)已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为________．答案33＋32解析以PA ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱，作长方体，由PA ＝PB ＝PC ＝2，可知此长方体即为正方体．设外接球的半径为R ，则R ＝4＋4＋42＝3，设内切球的半径为r ，则内切球的球心到四个面的距离均为r ，由13(S △ACP ＋S △APB＋S △PCB ＋S △ABC )·r ＝13·S △PCB ·AP ，解得r ＝23＋3，所以Rr ＝323＋3＝33＋32．(5)正四面体的外接球和内切球上各有一个动点P 、Q ，若线段PQ ，则这个四面体的棱长为________．答案4解析设这个四面体的棱长为a ，则它的外接球与内切球的球心重合，且半径R =外，r =内，依题意得4123a a +=，4a ∴=．。

求外接球的半径的八种模型介绍在几何学中，求解外接球的半径是一个常见的问题。

外接球是指完全包含一个立体形状的球，这个球的半径与这个形状的属性有关。

在这篇文章中，我们将讨论求解外接球半径的八种模型。

模型1：立方体立方体是指所有边长相等的长方体。

通过立方体的对角线长度可以求得外接球的半径。

半径 R = d / 2，其中 d 为立方体的对角线长度。

这公式也适用于正四面体。

模型2：正六面体正六面体的外接球半径 R 可以通过下列公式计算：R = √3s/2，其中 s 为正六面体边长。

这个公式也同样适用于正八面体和正十二面体。

模型3：正方体十二面体正方体十二面体可以看作是一个立方体的扩展形态。

可以使用下列公式计算外接球的半径：R = s√2/2，其中 s 为正方体十二面体的边长。

同样的公式也可以用于正八面体。

模型4：跨踞立方体所谓跨踞立方体是指一个立方体围绕着对角线进行了旋转。

这个形状的外接球半径可以使用下列公式计算：R = √3s，其中 s 为跨踞立方体的边长。

模型5：圆锥圆锥的外接球半径可以使用下列公式计算：R = √(h² + r²)，其中 h 是圆锥的高度，r 是底面的半径。

这个公式也适用于棱锥。

模型6：圆柱圆柱的外接球半径可以使用下列公式计算：R = √(h² + r²)，其中 h 为圆柱的高度，r 是底面的半径。

这个公式同样适用于棱柱。

模型7：三棱锥三棱锥是一个底面为三角形，侧面为三角形和三条棱的多面体。

外接球半径可以使用下列公式计算：R = abc/√(a＋b＋c)×(b＋c−a)×(c＋a−b)×(a＋b−c)其中 a、b、c 分别为三角形各边的边长。

模型8：平面多边形平面多边形的外接球半径可以使用下列公式计算：R = abc / 4 K，其中 a、b、c 分别为多边形的各边的边长，K 为多边形的面积。

总结通过这八种模型，我们可以求解出不同形状下的外接球半径。

空间几何体的外接球与内切球九大模型模型一墙角模型【方法总结】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2．)，秒杀公式：R 2＝a 2＋b 2＋c 24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例题选讲】[例](1)已知三棱锥A －BCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AC ＝3，BC ＝2，CD ＝5，则球O 的表面积为()A ．12πB ．7πC ．9πD ．8π答案A解析由AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD 知三棱锥A －BCD 可构造以AC ，BC ，CD 为三条棱的长方体，设球O 的半径为R ，则有(2R )2＝AC 2＋BC 2＋CD 2＝3＋4＋5＝12，所以S 球＝4πR 2＝12π，故选A ．(2)若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为()．A ．3B ．6C ．36D ．9答案A解析616164)2(2=++=R ，3=R ，故选A ．(3)已知S ，A ，B ，C ，是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O 的表面积等于()．A ．4πB ．3πC ．2πD ．π答案解析由已知，222211(2)2R =++=，244S R π∴==球π．(4)在正三棱锥S －ABC 中，M ，N 分别是棱SC ，BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S －ABC 外接球的表面积是________．答案π36解析 MN AM ⊥，MN SB //，∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ，∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥，∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，222(2)(23)(23)R ∴=+2(23)+36=，即3642=R ，∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36．(5)(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为()．A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π答案D 解析解法一：, PA PB PC ABC == △为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥ 平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体的一部分，2222R =++，6=，即364466,π62338R V R ππ=∴==⨯=，故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，, E F 分别为, PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC △为边长为2的等边三角形，3CF ∴=，又90CEF ∠=︒，213, 2CE x AE PA x ∴=-==，AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯作PD AC ⊥于D ，PA PC = ，D ∴为AC 的中点，cos E ∠12AD AC PA x==，2243142x x x x +-+∴=，2212212 22x x x ∴+=∴==，，，2PA PB PC ∴===，又2AB BC AC ===，, , PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=，62R ∴=，34433V R ππ∴==⨯668=6π=，故选D ．(6)已知二面角α－l －β的大小为π3，点P ∈α，点P 在β内的正投影为点A ，过点A 作AB ⊥l ，垂足为点B ，点C ∈l ，BC ＝22，PA ＝23，点D ∈β，且四边形ABCD 满足∠BCD ＋∠DAB ＝π．若四面体PACD 的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．答案86π解析∵∠BCD ＋∠DAB ＝π，∴A ，B ，C ，D 四点共圆，直径为AC ，∵PA ⊥平面β，AB ⊥l ，∴易得PB ⊥l ，即∠PBA 为二面角α－l －β的平面角，即∠PBA ＝π3，∵PA ＝23，∴BA ＝2，∵BC ＝22，∴AC＝23．设球的半径为R ，则23－R 2－(3)2＝R 2－(3)2，∴R ＝6，V ＝4π3(6)3＝86π．模型二对棱相等模型【方法总结】对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即2222R a b c =++(长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c )．秒杀公式：R 2＝x 2＋y 2＋z 28(三棱锥的三组对棱长分别为x 、y 、z )．可求出球的半径从而解决问题．【例题选讲】[例](1)正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为________．答案32π解析这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，32=R ，23=R ，ππ2383334=⋅=V ．(2)在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为__．答案292π解析构造长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,，则922=+b a ，422=+c b ，1622=+a c ∴291649)(2222=++=++c b a ，291649)(2222=++=++c b a ，229222=++c b a ，22942=R ，π229=S ．(3)在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的体积为____．答案43436π解析依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，且其外接球的半径为R ，则a 2＋b 2＝62，b 2＋c 2＝52，c 2＋a 2＝52，得a 2＋b 2＋c 2＝43，即(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2＝43，易知432R =，即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为34434336R ππ=．(4)在正四面体A BCD -中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +的最小值为7，则该正四面体的外接球的体积是()A ．6πB ．6πC ．3632πD ．32π答案A解析将侧面ABC ∆和ACD ∆展成平面图形，如图所示：设正四面体的棱长为a ，则BP PE +的最小值为22172cos1207422a BE a a a a =+-︒== ，2a ∴=．在正四面体A BCD -的边长为2，外接球的半径6642R a ==，外接球的体积3463V R ππ==．(5)已知三棱锥A BCD -，三组对棱两两相等，且1AB CD ==，3AD BC ==，若三棱锥A BCD -的外接球表面积为92π．则AC =________．答案5解析将四面体A BCD -放置于长方体中， 四面体A BCD -的顶点为长方体八个顶点中的四个，∴长方体的外接球就是四面体A BCD -的外接球，1AB CD == ，3AD BC ==，且三组对棱两两相等，∴设AC BD x ==，得长方体的对角线长为222211[1(3)](4)22x x ++=+，可得外接球的直径212(4)2R x =+，所以22(4)4x R +=， 三棱锥A BCD -的外接球表面积为92π，2942R ππ∴=，解得324R =，即22(4)3244x +=，解之得5x =，因即5AC BD ==．模型三汉堡模型【方法总结】汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝2h ，2224h R r ∴=+．【例题选讲】[例](1)(2013辽宁)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为()．A ．3172B ．210C ．132D ．310答案C 解析如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M ．又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝522＋62＝132．另解过C 点作AB 的平行线，过B 点作AC 的平行线，交点为D ，同理过C 1作A 1B 1的平行线，过B 1作A 1C 1的平行线，交点为D 1，连接DD 1，则ABCD －A 1B 1C 1D 1恰好成为球的一个内接长方体，故球的半径r ＝22234121322++=．故选C ．(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()．A ．2a πB ．273a πC ．2113a πD ．237a π答案B 解析222222274312a a R OB OE BE a ==+=+=，22743S a a ππ∴==．故选B ．(3)(2009全国Ⅰ)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于()．A ．10πB ．20πC ．30πD ．40π答案B解析如图，先由余弦定理求出BC ＝23，再由正弦定理求出r ＝AO 1＝2，外接球的直径R ＝12＋22＝5，所以该球的表面积为4πR 2＝20π．故选B ．(4)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于()A ．4πB ．16π3C ．32π3D ．16π答案D解析由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心，于是，球的半径r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝12＋（3）2＝2．故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π．故选D ．(5)若一个圆柱的表面积为12π，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为()A ．(12512)π-B ．123πC ．(1233)π+D ．16π答案A解析设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则22212r rh πππ+=，则6h r r=-．设该圆柱的外接球的半径为R ，则222222222165959()()3233532444h R r r r r r r r r =+=+-=+--=- ，当且仅当22594r r =，即4365r =时，等号成立．故该圆柱的外接球的表面积的最小值为4(353)(12512)ππ-=-．模型四垂面模型【方法总结】垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O 的位置是△CBD的外心O 1与△AB 2D 2的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝2h ，2224h R r ∴=+．【例题选讲】[例](1)已知在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，且∠ACB ＝30°，AC ＝2AB ＝23，SA ＝1．则该三棱锥的外接球的体积为()A ．13813πB ．13πC ．136πD ．13136π答案D解析∵∠ACB ＝30°，AC ＝2AB ＝23，∴△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，其外接圆半径r ＝AC2＝3，则三棱锥外接球即为以△ABC 为底面，以SA 为高的三棱柱的外接球，∴三棱锥外接球的半径R 满足R ＝r 2＋SA 22＝132，故三棱锥外接球的体积V ＝43πR 3＝13136π．故选D ．第(1)小题图第(2)小题图1第(2)小题图2(2)三棱锥P －ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝PC ＝AC ＝2，AB ＝4，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为()A ．23πB ．234πC ．64πD ．643π答案D解析如图1，设O 为三棱锥外接球的球心，O 1为正△PAC 的中心，则OO 1＝12AB ＝2．2AO 1＝2sinπ3＝433，AO 1＝233，R 2＝OA 2＝O 1A 2＋O 1O 2＝43＋4＝163，故几何体外接球的表面积S ＝4πR 2＝643π．另解：如图2，设O ′为正△PAC 的中心，D 为Rt △ABC 斜边的中点，H 为AC 中点．由平面PAC ⊥平面ABC ，则O ′H ⊥平面ABC ．作O ′O ∥HD ，OD ∥O ′H ，则交点O 为三棱锥外接球的球心，连接OP ，又O ′P ＝23PH ＝23×32×2＝233，OO ′＝DH ＝12AB ＝2．∴R 2＝OP 2＝O ′P 2＋O ′O 2＝43＋4＝163．故几何体外接球的表面积S ＝4πR 2＝643π．(3)在三棱锥S －ABC 中，侧棱SA ⊥底面ABC ，AB ＝5，BC ＝8，∠ABC ＝60°，SA ＝25，则该三棱锥的外接球的表面积为()A ．643πB ．2563πC ．4363πD ．2048327π答案B解析由题意知，AB ＝5，BC ＝8，∠ABC ＝60°，则在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2×AB ×BC ×cos ∠ABC ，解得AC ＝7，设△ABC 的外接圆半径为r ，则△ABC 的外接圆直径2r ＝ACsin ∠ABC ＝732，∴r ＝73，又∵侧棱SA ⊥底面ABC ，∴三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离h ＝12SA ＝5，则外接球的半径R ＝732＋(5)2＝643，则该三棱锥的外接球的表面积为S ＝4πR 2＝2563π.(4)在三棱锥P －ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝120˚，PA ＝AB ＝AC ＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A ．103πB ．18πC ．20πD ．93π答案C解析如图1，先由余弦定理求出BC ＝23，再由正弦定理求出r ＝AO 1＝2，外接球的直径R ＝12＋22＝5，所以该球的表面积为4πR 2＝20π．第(3)小题图第(4)小题图1第(4)小题图2另解如图2，该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥P －ABC ，PA ＝AB ＝AC ＝2，所以该三棱锥的外接球即该六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R ＝42＋22＝25⇒R ＝5，所以该球的表面积为4πR 2＝20π．(5)在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=︒，2AC =，1AB =，设D 为BC 中点，且直线PD 与平面ABC 所成角的余弦值为55，则该三棱锥外接球的表面积为________．答案373π解析在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，2AC =，1AB =，由余弦定理得：22BC AC =+22cos AB AC BC BAC -⋅⋅∠，即22221221cos1207BC =+-⨯⨯⨯︒=，解得：7BC =．设ABC ∆的外接圆半径为r ，由正弦定理得7272sin sin1203BC r BAC ===∠︒解得：72133r ==；且222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠=2221(7)2277217+-==⨯⨯，又D 为BC 中点，在ABD ∆中，1722BD BC ==，1AB =，27cos 7ABD ∠=．由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-∠ ，即：222772731()212274AD =+-⨯⨯⨯=，解得32AD =．又因为PA ⊥平面ABC ，所以PDA ∠为直线PD 与平面ABC 所成角，由5cos 5PDA ∠=，得25sin 5PDA ∠=，tan 2PDA ∠=，所以在Rt PAD ∆中，3tan 232PA AD PDA =∠== ．设三棱锥P ABC -的外接球半径为R ，所以222232137()()()22312PA R r =+=+=，三棱锥P ABC -外接球表面积为23743S R ππ==．模型五切瓜模型【方法总结】切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC ⊥平面BCD ，如类型Ⅰ，△ABC 与△BCD 都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC 是等边三角形，△BCD 是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC 与△BCD 都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC 与△BCD 的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O 即为球心．类型Ⅳ，△ABC 与△BCD 都一般三角形，解决方法是过△BCD 的外心O 1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A －BCD 的高为h ，外接球的半径为R ，球心为O ．△BCD 的外心为O 1，O 1到BD 的距离为d ，O 与O 1的距离为m ，则R 2＝r 2＋m 2，R 2＝d 2＋(h －m )2，解得R ．可用秒杀公式：R 2＝r 12＋r 22－l 24(其中r 1、r 2为两个面的外接圆的半径，l 为两个面的交线的长)【例题选讲】[例](1)已知在三棱锥P －ABC 中，V P ­ABC ＝433，∠APC ＝π4，∠BPC ＝π3，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P －ABC 外接球的体积为________．答案32π3解析如图，取PC 的中点O ，连接AO ，BO ，设PC ＝2R ，则OA ＝OB＝OC ＝OP ＝R ，∴O 是三棱锥P －ABC 外接球的球心，易知，PB ＝R ，BC ＝3R ，∵∠APC ＝π4，PA ⊥AC ，O 为PC 的中点，∴AO ⊥PC ，又平面PAC ⊥平面PBC ，且平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，∴AO ⊥平面PBC ，∴V P ­ABC ＝V A ­PBC ＝13×12×PB ×BC ×AO ＝13×12×R ×3R ×R＝433，解得R ＝2，∴三棱锥P －ABC 外接球的体积V ＝43πR 3＝32π3．(2)如图，已知平面四边形ABCD 满足AB ＝AD ＝2，∠A ＝60˚，∠C ＝90˚，将△ABD 沿对角线BD 翻折，使平面ABD ⊥平面CBD ，则四面体ABCD 外接球的体积为__．答案323π27解析在四面体ABCD 中，∵AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝60˚，∴△ABD为正三角形，设BD 的中点为M ，连接AM ，则AM ⊥BD ，又平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ∩平面CBD ＝BD ，∴AM ⊥平面CBD ．∵△CBD 为直角三角形，∴其外接圆的圆心是斜边BD 的中点M ，由球的性质知，四面体ABCD 外接球的球心必在线段AM 上，又△ABD 为正三角形，∴球心是△ABD 的中心，则外接球的半径为23×2×32＝233，∴四面体ABCD 外接球的体积为43×π×(233)3＝323π27．(3)已知三棱锥A －BCD 中，△ABD 与△BCD 是边长为2的等边三角形且二面角A －BD －C 为直二面角，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为()A ．10π3B ．5πC ．6πD ．20π3答案D解析如图，取BD 中点M ，连接AM ，CM ，取△ABD ，△CBD 的中心即AM ，CM 的三等分点P ，Q ，过P 作平面ABD 的垂线，过Q 作平面CBD 的垂线，两垂线相交于点O ，则点O 为外接球的球心，如图，其中OQ ＝33，CQ ＝233，连接OC ，则外接球的半径R ＝OC ＝153，表面积为4πR 2＝20π3，故选D ．(4)已知ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，3BC =，22PB =，5PC =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为________．答案10π解析由题意知BC 的中点O 为ABC ∆外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面ABC 内．根据球的性质，球心一定在垂线l 上， 球心1O 一定在平面PBC 内，且球心1O 也是PBC ∆外接圆的圆心．在PBC ∆中，由余弦定理得2222cos 22PB BC PC PBC PB BC +-∠==，2sin 2PBC ∴∠=，由正弦定理得：2sin PCR PBC=∠，解得102R =，∴三棱锥的外接球的表面积2410R ππ==．(5)已知等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝2，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，沿DE 将△ABC 折成直二面角(如图)，则四棱锥A －DECB 的外接球的表面积为________．答案10π解析取DE 的中点M ，BC 的中点N ，连接MN (图略)，由题意知，MN ⊥平面ADE ，因为△ADE是等腰直角三角形，所以△ADE 的外接圆的圆心是点M ，四棱锥A －DECB 的外接球的球心在直线MN 上，又等腰梯形DECB 的外接圆的圆心在MN 上，所以四棱锥A －DECB 的外接球的球心就是等腰梯形DECB 的外接圆的圆心．连接BE ，易知△BEC 是钝角三角形，所以等腰梯形DECB 的外接圆的圆心在等腰梯形DECB 的外部．设四棱锥A －DECB 的外接球的半径为R ，球心到BC 的距离为d ，则R 2＝d 2＋(2)2，R 2＝(d ＋22)2＋(22)2，解得R 2＝52，故四棱锥A －DECB 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝10π．模型六斗笠模型【方法总结】圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R ＝h 2＋r 22h(其中h 为几何体的高，r 为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)【例题选讲】[例](1)一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60︒，若该圆锥的侧面积为33π，则该圆锥外接球的表面积为________．答案272π解析设60ASB BSC CSA ∠=∠=∠=︒，则SA SB SC AB AC BC =====．设AB x =，则底面圆的直径为22sin 603x x r ==︒，该圆锥的侧面积为123323xx ππ= ，解得3x =，高223(3)6OS =-．333r ∴=．设圆锥外接球的半径为R ，所以222(6)R r R -+=，解得36R =，则外接球的表面积为22742R ππ=．(2)(2020·全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为()A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π答案A解析设⊙O 1的半径为r ，球的半径为R ，依题意，得πr 2＝4π，∴r ＝2．由正弦定理可得ABsin 60°＝2r ，∴AB ＝2r sin 60°＝23．∴OO 1＝AB ＝23．根据球的截面性质，得OO 1⊥平面ABC ，∴OO 1⊥O 1A ，R ＝OA ＝OO 21＋O 1A 2＝OO 21＋r2＝4，∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝64π．故选A ．(3)在三棱锥P ABC -中，PA PB =26, 4PC AC AB ====，且AC AB ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为________．答案36π解析设顶点P 在底面中的射影为1O ，由于PA PB PC ==，所以111O A O B O C ==，即点1O 是底面ABC ∆的外心，又AC AB ⊥，所以1O 为BC 的中点，因为PA PB =26, 4PC AC AB ====，所以1142, 22, 4BC AO PO ===，设外接球的球心为O ，半径为R ，则O 必在1PO 上，=-14O O R ，在∆1Rt O OA中，()()222422R R -+=，解得3R =，所以22436S R ππ==．(4)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A ．81π4B ．16πC ．9πD ．27π4答案A解析如图所示，设球半径为R ，底面中心为O ′且球心为O ，∵正四棱锥P ­ABCD 中AB ＝2，∴AO ′＝2，∵PO ′＝4，∴在Rt △AOO ′中，AO 2＝AO ′2＋OO ′2，∴R 2＝(2)2＋(4－R )2，解得R ＝94，∴该球的表面积为4πR 2＝4π×942＝81π4.(5)如图所示，在正四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，cos ∠PEF ＝22，若A ，B ，C ，D ，P 在同一球面上，则此球的体积为________．答案36π解析由题意，得底面ABCD 是边长为4的正方形，cos ∠PEF ＝22，故高PO 1为2．易知正四棱锥P －ABCD 的外接球的球心在它的高PO 1上，记球心为O ，则AO 1＝22，PO ＝AO ＝R ，PO 1＝2，OO 1＝2－R 或OO 1＝R －2(此时O 在PO 1的延长线上)，在直角△AO 1O 中，R 2＝AO 21＋OO 21＝(22)2＋(2－R )2，解得R ＝3，所以球的体积为V ＝43πR 3＝4π3×33＝36π．(6)在三棱锥P ABC -中，2PA PB PC ===，1AB AC ==，3BC =，则该三棱锥外接球的体积为()A ．43πB ．823πC ．43πD ．323π答案A解析由2PA PB PC ===，过P 作PG ⊥平面ABC ，垂足为G ，则G 为三角形ABC 的外心，在ABC ∆中，由1AB AC ==，3BC =，可得120BAC ∠=︒，则由正弦定理可得：32sin120AG =︒，即1AG =．221PG PA AG ∴=-=．取PA 中点H ，作HO PA ⊥交PG 于O ，则O 为该三棱锥外接球的球心．由PHO PGA ∆∆∽，可得PH PG PO PA =，则22211PH PA PO PG ⨯=== ．可知O 与G 重合，即该棱锥外接球半径为1．∴该三棱锥外接球的体积为43π．模型七已知球心或球半径模型【例题选讲】[例](1)(2017·全国Ⅰ)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．答案36π解析如图，连接AO ，OB ，∵SC 为球O 的直径，∴点O 为SC 的中点，∵SA ＝AC ，SB ＝BC ，∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，∴AO ⊥平面SCB ，设球O 的半径为R ，则OA ＝OB ＝R ，SC ＝2R ．∴V S ­ABC ＝V A ­SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×12×SC ×OB ×AO ，即9＝13×12×2R ×R ×R ，解得R ＝3，∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π．(2)已知三棱锥A －BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AB 为球O 的直径，若该三棱锥的体积为3，BC ＝3，BD ＝3，∠CBD ＝90˚，则球O 的体积为________．答案32π3解析设A 到平面BCD 的距离为h ，∵三棱锥的体积为3，BC ＝3，BD ＝3，∠CBD ＝90˚，∴13×12×3×3×h ＝3，∴h ＝2，∴球心O 到平面BCD 的距离为1．设CD 的中点为E ，连接OE ，则由球的截面性质可得OE ⊥平面CBD ，∵△BCD 外接圆的直径CD ＝23，∴球O 的半径OD ＝2，∴球O 的体积为32π3．(3)(2012全国Ⅰ)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为()A ．26B ．36C ．23D ．22答案A解析由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍．在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示，S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝12－332＝63，∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26．故选A ．(4)(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°．以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．答案2π2解析如图，设B 1C 1的中点为E ，球面与棱BB 1，CC 1的交点分别为P ，Q ，连接DB ，D 1B 1，D 1P ，D 1E ，EP ，EQ ，由∠BAD ＝60°，AB ＝AD ，知△ABD 为等边三角形，∴D 1B 1＝DB ＝2，∴△D 1B 1C 1为等边三角形，则D 1E ＝3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1，∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r ，则r ＝R 2球－D 1E 2＝5－3＝2．又由题意可得EP ＝EQ ＝2，∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ ．又D 1P ＝5，∴B 1P ＝D 1P 2－D 1B 21＝1，同理C 1Q ＝1，∴P ，Q 分别为BB 1，CC 1的中点，∴∠PEQ ＝π2，知 PQ的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2．(5)三棱锥S －ABC 的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，则三棱锥S －ABC 的体积最大时，点S 到平面ABC 的距离为()A ．2＋3B ．2－3C ．3D ．2答案C 解析如图，设三棱锥S －ABC 底面三角形ABC 的外心为G ，三棱锥外接球的球心为O ，要使三棱锥S －ABC 的体积最大，则O 在SG 上，由底面三角形的边长为3，可得AG ＝32sin60°＝3．连接OA ，在Rt △OGA 中，由勾股定理求得OG ＝OA 2－GA 2＝22－（3）2＝1．∴点S 到平面ABC 的距离为OS ＋OG ＝2＋1＝3．故选C ．模型八最值模型【方法总结】最值问题的解法有两种方法：一种是几何法，即在运动变化过程中得到最值，从而转化为定值问题求解．另一种是代数方法，即建立目标函数，从而求目标函数的最值．【例题选讲】[例](1)已知三棱锥P －ABC 的顶点P ，A ，B ，C 在球O 的球面上，△ABC 是边长为3的等边三角形，如果球O 的表面积为36π，那么P 到平面ABC 距离的最大值为________．答案3＋22解析依题意，边长是3的等边△ABC 的外接圆半径r ＝12·3sin 60°＝1.∵球O 的表面积为36π＝4πR 2，∴球O 的半径R ＝3，∴球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝22，∴球面上的点P 到平面ABC 距离的最大值为R ＋d ＝3＋22．(2)在四面体ABCD 中，AB ＝1，BC ＝CD ＝3，AC ＝2，当四面体ABCD 的体积最大时，其外接球的表面积为()A ．2πB ．3πC ．6πD ．8π答案C 解析∵AB ＝1，BC ＝3，AC ＝2，由勾股定理可得AB 2＋AC 2＝BC 2，所以△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆直径为BC ＝3，当CD ⊥平面ABC 时，四面体ABCD 的体积取最大值，此时，其外接球的直径为2R ＝BC 2＋CD 2＝6，因此，四面体ABCD 的外接球的表面积为4πR 2＝π×(2R )2＝6π．故选C ．(3)已知四棱锥S －ABCD 的所有顶点在同一球面上，底面ABCD 是正方形且球心O 在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16＋163，则球O 的体积等于()A ．42π3B ．162π3C ．322π3D ．642π3答案D解析由题意得，当四棱锥的体积取得最大值时，该四棱锥为正四棱锥．因为该四棱锥的表面积等于16＋163，设球O 的半径为R ，则AC ＝2R ，SO ＝R ，如图，所以该四棱锥的底面边长AB ＝2R ，则有(2R )2＋4×12×2R ×16＋163，解得R ＝22，所以球O 的体积是43πR 3＝6423π．故选D ．(4)三棱锥A －BCD 内接于半径为5的球O 中，AB ＝CD ＝4，则三棱锥A －BCD 的体积的最大值为()A ．43B ．83C ．163D ．323答案C解析如图，过CD 作平面ECD ，使AB ⊥平面ECD ，交AB 于点E ，设点E 到CD 的距离为EF ，当球心在EF 上时，EF 最大，此时E ，F 分别为AB ，CD 的中点，且球心O 为EF 的中点，所以EF ＝2，所以V max ＝13×12×4×2×4＝163，故选C ．(5)已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为_．答案8解析设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为r ，由题意知4πr 2＝12π，所以r 2＝3，又2a 2＋h 2＝(2r )2＝12，所以a 2＝6－h 22，所以正四棱柱的体积V ＝a 2h ＝6－h 22h ，则V ′＝6－32h 2，由V ′>0，得0<h <2，由V ′<0，得h >2，所以当h ＝2时，正四棱柱的体积最大，V max ＝8．模型九内切球模型【方法总结】以三棱锥P －ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P －ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P －ABC ＝V O －ABC ＋V O －P AB ＋V O －P AC ＋V O －PBC ⇒V P －ABC ＝13S △ABC ·r ＋13S △P AB ·r ＋13S △P AC ·r ＋13S △PBC ·r ＝13(S △ABC ＋S △P AB ＋S △P AC ＋S △PBC )·r ；第三步：解出r ＝3V P －ABC S O －ABC ＋S O －P AB ＋S O －P AC ＋S O －PBC ＝3VS 表．秒杀公式(万能公式)：r ＝3VS 表【例题选讲】[例](1)已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为________．答案354π解析由题意可知，该三棱锥为正四面体，如图所示．AE ＝AB ·sin 60°＝62，AO ＝23AE ＝63，DO ＝AD 2－AO 2＝233，三棱锥的体积V D ­ABC ＝13S △ABC ·DO ＝13，设内切球的半径为r ，则V D ­ABC ＝13r (S △ABC ＋S △ABD ＋S △BCD ＋S △ACD )＝13，r ＝36，V 内切球＝43πr 3＝354π．(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．答案23π解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r ．作出圆锥的轴截面PAB ，如图所示，则△PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB 中，PA ＝PB ＝3，D 为AB 的中点，AB ＝2，E 为切点，则PD ＝22，△PEO ∽△PDB ，故PO PB ＝OEDB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22，故内切球的体积为43π223＝23π．(3)阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为()A ．4πB ．16πC ．36πD ．64π3答案C解析设该圆柱的底面半径为R ，则圆柱的高为2R ，则圆柱的表面积S ＝S 底＋S 侧＝2×πR 2＋2·π·R ·2R ＝54π，解得R 2＝9，即R ＝3．∴圆柱的体积为V ＝πR 2×2R ＝54π，∴该圆柱的内切球的体积为23×54π＝36π．故选C ．(4)已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为________．答案33＋32解析以PA ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱，作长方体，由PA ＝PB ＝PC ＝2，可知此长方体即为正方体．设外接球的半径为R ，则R ＝4＋4＋42＝3，设内切球的半径为r ，则内切球的球心到四个面的距离均为r ，由13(S △ACP ＋S △APB＋S △PCB ＋S △ABC )·r ＝13·S △PCB ·AP ，解得r ＝23＋3，所以Rr ＝323＋3＝33＋32．(5)正四面体的外接球和内切球上各有一个动点P 、Q ，若线段PQ 长度的最大值为463，则这个四面体的棱长为________．答案4解析设这个四面体的棱长为a ，则它的外接球与内切球的球心重合，且半径64R a =外，612r =内，依题意得6664123a a +=，4a ∴=．。