3.3.2函数的奇偶性

高一数学目录一、函数与映射1.1 函数的概念1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的表示方法1.1.3 函数的定义域与值域1.2 映射的概念1.2.1 映射的定义1.2.2 映射与函数的关系二、函数的性质2.1 函数的单调性2.1.1 单调增函数与单调减函数2.1.2 单调性的判断方法2.2 函数的奇偶性2.2.1 奇函数与偶函数的定义2.2.2 奇偶性的判断与应用2.3 函数的周期性2.3.1 周期函数的定义2.3.2 周期函数的性质三、指数与对数3.1 指数函数3.1.1 指数函数的定义3.1.2 指数函数的性质3.2 对数函数3.2.1 对数函数的定义3.2.2 对数函数的性质3.3 指数与对数的运算3.3.1 指数运算规则3.3.2 对数运算规则四、三角函数4.1 三角函数的定义4.1.1 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义4.1.2 三角函数的周期性4.2 三角函数的图像与性质4.2.1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像4.2.2 三角函数的性质五、三角恒等变换5.1 三角函数的和差公式5.1.1 正弦和差公式5.1.2 余弦和差公式5.1.3 正切和差公式5.2 倍角公式与半角公式5.2.1 倍角公式5.2.2 半角公式六、平面向量6.1 向量的基本概念6.1.1 向量的定义6.1.2 向量的表示6.2 向量的运算6.2.1 向量的加法与减法6.2.2 向量的数乘6.3 向量的应用6.3.1 向量在几何中的应用6.3.2 向量在物理中的应用七、直线与方程7.1 直线的方程7.1.1 斜截式方程7.1.2 点斜式方程7.1.3 截距式方程7.1.4 一般式方程7.2 直线的性质7.2.1 直线的斜率7.2.2 直线的平行与垂直八、圆与方程8.1 圆的方程8.1.1 标准方程8.1.2 一般方程8.2 圆的性质8.2.1 圆心与半径8.2.2 圆的对称性8.3 圆与直线的位置关系8.3.1 相交8.3.2 相切8.3.3 相离。

人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第三章 3.3 探究函数x
x y 1+=的图象与性质教学设计
一、学情分析：
通过函数定义域、值域、单调性与奇偶性的学习，学生初步具备学习这类函数的基础和方法。

二、教学目标：
（1）以函数x
x y 1
+
=为载体，初步感受研究函数性质的基本过程与方法. （2）探究函数x
k
x y +=）（0>k 的图象与性质.
（3）体会由特殊到一般、数形结合等数学思想在数学研究中的应用.
（4）能够利用这类函数的性质求简单的值域问题，感受其在实际生活中的应用.
（5）直观感受函数(0,0)b
y ax a b x
=+≠≠的图象.
三、重点：函数1
y x x =+的图象与性质的探究.
难点：函数1
y x x
=+的单调区间的确定及单调性的证明.。

数学书人教版练习题答案以下是数学书人教版练习题的答案：
1. 第一章：数与式
1.1 单项式
1.2 多项式
1.3 整式加减
1.4 整式乘法
1.5 整式除法
1.6 因式分解
1.7 指数与对数
2. 第二章：方程与不等式
2.1 一元一次方程
2.2 二元一次方程组
2.3 一元二次方程
2.4 分式方程
2.5 无理方程
2.6 一元一次不等式
2.7 一元二次不等式
3. 第三章：函数
3.1 函数的概念
3.2 函数的表示法
3.3 函数的单调性
3.4 函数的奇偶性
3.5 反函数
3.6 指数函数
3.8 幂函数
3.9 三角函数
4. 第四章：解析几何
4.1 直线
4.2 圆
4.3 椭圆
4.4 双曲线
4.5 抛物线
4.6 参数方程
4.7 极坐标方程
5. 第五章：概率与统计
5.1 随机事件
5.2 概率的计算
5.3 离散型随机变量
5.4 连续型随机变量
5.5 抽样方法
5.6 数据的描述性统计 5.7 概率分布
6. 第六章：向量与空间几何 6.1 向量的概念
6.2 向量的运算
6.3 空间直线
6.4 空间平面
6.5 空间多面体
6.6 空间曲线
7. 第七章：复数
7.2 复数的运算
7.3 复数的几何意义
8. 第八章：数学建模
8.1 数学建模的概念
8.2 数学建模的方法
8.3 数学建模的应用
以上是人教版数学书各章节练习题的答案概览。

每个章节下的具体题目答案需根据题目内容进行详细解答。

3.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质(二)[学习目标] 1.掌握y ＝sin x 与y ＝cos x 的定义域，值域，最值、单调性、奇偶性等性质，并能解决相关问题.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．[知识链接]1．观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答 正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称． 2．上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？ 答 正弦函数是R 上的奇函数，余弦函数是R 上的偶函数．根据诱导公式得，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 均对一切x ∈R 恒成立．3．观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答 正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1. [预习导引]正弦函数、余弦函数的性质(下表中k ∈Z )： 函数 y ＝sin x y ＝cos x图象定义域 R R 值域 [－1,1][－1,1]对称轴x ＝k π＋π2x ＝k π对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 奇偶性 奇函数偶函数单调递增⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π[]－π＋2k π，2k π 单调递减⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π []2k π，π＋2k π最值在x ＝π2＋2k π时，y max ＝1；在x ＝－π2在x ＝2k π时，y max ＝1；在x ＝π＋2k π要点一 求正弦、余弦函数的单调区间例1 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间． 解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的递增区间， 即求sin z 的递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．规律方法 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．再将最终结果写成区间形式．跟踪演练1 求下列函数的单调递增区间：(1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ；(2)y ＝log 12cos x .解 (1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.令u ＝x －π6，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调递减区间，即2k π＋π2≤u ≤2k π＋32π(k ∈Z )，亦即2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )．亦即2k π＋23π≤x ≤2k π＋53π(k ∈Z )，故函数y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋23π，2k π＋53π(k ∈Z )．(2)由cos x >0，得2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z .∵0＜12<1，∴函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间即为u ＝cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )的递减区间，∴2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z .故函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )． 要点二 正弦、余弦函数的单调性的应用例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin196°与cos156°；(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 解 (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°， cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin16°<sin66°； 从而－sin16°>－sin66°，即sin196°>cos156°.(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4.∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<co s π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 规律方法 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪演练2 比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π； (2)cos870°与sin980°.解 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3，∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π. (2)cos870°＝cos(720°＋150°)＝cos150°，sin980°＝sin(720°＋260°)＝sin260°＝sin(90°＋170°)＝cos170°， ∵0°<150°<170°<180°，∴cos150°>cos170°，即cos870°>sin980°. 要点三 求正弦、余弦函数的最值(值域)例3 (1)求函数y ＝3－2sin x 取得最大值、最小值时的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．解 (1)∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，y 取得最大值5，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 取得最小值1，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z .(2)令t ＝sin x ，y ＝f (t )，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1. ∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1，∴1≤y ≤72，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72.规律方法 (1)形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的函数的最值或值域问题，利用正弦、余弦函数的有界性(－1≤sin x ，cos x ≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．跟踪演练3 已知0≤x ≤π2，求函数y ＝cos 2x －2a cos x 的最大值M (a )与最小值m (a )．解 设cos x ＝t ， ∵0≤x ≤π2，∴0≤t ≤1.∵y ＝t 2－2at ＝(t －a )2－a 2，∴当a <0时，M (a )＝1－2a ，m (a )＝0； 当0≤a ≤12时，M (a )＝1－2a ，m (a )＝－a 2；当12<a <1时，M (a )＝0，m (a )＝－a 2； 当a ≥1时，M (a )＝0，m (a )＝1－2a . 综上，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ， a ≤12，0，a >12，m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， a <0，－a 2，0≤a <1，1－2a ，a ≥1.要点四 三角函数的奇偶性 例4 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x .解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ，f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x ＞0，1＋sin x ＞0，得－1＜sin x ＜1.解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .∴f (x )的定义域关于原点对称． 又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x ) ∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1， ∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z .∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．规律方法 判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f (－x )与f (x )之间的关系． 跟踪演练4 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2·sin x ；(2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1. 解 (1)f (x )＝sin2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝ －sin2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12.∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z .∴f (x )既是奇函数又是偶函数.1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B ．[－π，0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，23πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，23π答案 D解析 由π2≤x ＋π6≤32π解得π3≤x ≤43π.故选D.2．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10 B ．sin3>sin2 C ．sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π D ．sin2>cos1 答案 D解析 ∵sin2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2>cos1，即sin2>cos1.故选D.3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1答案 B解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π.∴cos 23π≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤32.故选B. 4．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，又0<cos35°<1，∴c >b >a .1.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2 (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用求法：将y 表示成以sin x (或cos x )为元的复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围．一、基础达标1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin β B ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定答案 D3．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是( ) A ．－1B ．1 C ．－12D ．－5答案 C解析 由题意，得y ＝2sin 2x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12.4．对于下列四个命题：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10； ②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4； ③sin138°<sin143°；④tan40°＞sin40°. 其中正确命题的序号是( ) A ．①③B．①④ C ．②③D ．②④答案 B5．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下命题：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中正确命题的序号是________． 答案 ②③解析 易知②③成立，令φ＝π2，f (x )＝cos x 是偶函数，①④都不成立．6．若|x |≤π4，则函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是________．答案 12－22解析 由cos 2x ＝1－sin 2x ，故f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ，令sin x ＝t ，由|x |≤π4，由图象知t ∈[－22，22]，故函数化为y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54，当t ＝－22时，y min ＝12－22. 7．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )． (2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0.∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )．整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z )．所以函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z )．二、能力提升 8．函数y ＝2sin x的单调增区间是( )A ．[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z ) C ．[2k π－π，2k π](k ∈Z )D ．[2k π，2k π＋π](k ∈Z )答案 A解析 函数y ＝2x 为增函数，因此求函数y ＝2sin x 的单调增区间即求函数y ＝sin x 的单调增区间9．M ，N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( )A ．πB.2πC.3πD ．2π 答案 C解析 在同一坐标系中画出函数y ＝πsin x 与y ＝πcos x 的图象，如图所示，则|MN |的最小值为|PQ |.又P (π4，2π2)，Q (5π4，－2π2)， 故|PQ |＝π4－5π42＋2π2＋2π22＝3π.10．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________________．答案 sin3<sin1<sin2解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin1<sin(π－2)，即sin3<sin1<sin2.11．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上是增函数，求ω的取值范围．解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )， 得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω. ∴f (x )的单调递增区间是[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]，k ∈Z . 根据题意，得[－π3，π4]⊆[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －2π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是(0，32]． 12．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋52π；(2)f (x )＝2sin x －1；(3)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )． 解 (1)函数定义域为R ，且f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋52π＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，显然有f (－x )＝f (x )恒成立．∴函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋52π为偶函数． (2)由2sin x －1＞0，即sin x ＞12，得函数定义域为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π6，2k π＋56π(k ∈Z )，此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称．∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．(3)函数定义域为R . f (－x )＝lg(－sin x ＋1＋sin 2x )＝lg 1sin x ＋1＋sin 2x＝－lg ()sin x ＋1＋sin 2x ＝－f (x )，∴函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )为奇函数．三、探究与创新 13．设函数y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值． 解 由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )． ∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )， 同理函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )． 令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π， 即1615≤k ≤4730，又k ∈Z ，∴k 不存在． 令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1. ∴285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π， 这表明y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，22π3上是减函数，∴a 的最大值是22π3.。

初中数学函数思维导图(合集)(11页)页码：1/11封面初中数学函数思维导图合集副思维导图助力数学学习，掌握函数知识作者：[你的名字]日期：[填写日期]页码：2/11目录1. 引言2. 函数概念3. 函数类型3.1 线性函数3.2 二次函数3.3 反比例函数3.4 幂函数3.5 指数函数3.6 对数函数4. 函数性质4.1 单调性4.2 奇偶性4.3 周期性4.4 极值5. 函数图像6. 函数应用7. 函数解题技巧8. 常见函数问题页码：3/11引言数学函数是初中数学中的重要内容，它不仅是高中数学的基础，也是解决实际问题的重要工具。

掌握函数知识，对于提高数学成绩和解决实际问题具有重要意义。

本思维导图合集旨在帮助初中生系统地学习和掌握函数知识，提高数学思维能力和解题技巧。

页码：4/11函数概念线性函数：一次函数，形式为y=ax+b，其中a和b是常数。

二次函数：二次函数，形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数。

反比例函数：形式为y=k/x，其中k是常数。

幂函数：形式为y=ax^n，其中a和n是常数。

指数函数：形式为y=a^x，其中a是常数。

对数函数：形式为y=logax，其中a是常数。

页码：5/11函数类型线性函数：一次函数，形式为y=ax+b，其中a和b是常数。

它是一条直线，斜率为a，截距为b。

二次函数：二次函数，形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数。

它的图像是一个抛物线，开口向上或向下，取决于a的正负。

反比例函数：形式为y=k/x，其中k是常数。

它的图像是一个双曲线，随着x的增大，y的值逐渐减小。

幂函数：形式为y=ax^n，其中a和n是常数。

它的图像可以是直线、抛物线、双曲线等，取决于n的值。

指数函数：形式为y=a^x，其中a是常数。

它的图像是一个递增或递减的曲线，取决于a的正负。

对数函数：形式为y=logax，其中a是常数。

它的图像是一个递增或递减的曲线，取决于a的正负。

第2课时 对数函数y ＝log a x 的图象和性质的综合问题 学习目标 1.掌握对数型复合函数的单调性、最值、值域.2.会解简单的对数不等式.3.了解对数函数的综合应用．一、解对数不等式例1 解下列关于x 的不等式：()1177(1)log >log 4x x ；- (2)log a (2x －5)>log a (x －1)．解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}．(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4. 当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4. 综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <4. (学生)反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况进行讨论．(2)形如log a x >b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式(b ＝log a a b )，再借助y ＝log a x的单调性求解．(3)形如log f (x )a >log g (x )a (f (x )，g (x )>0且不等于1，a >0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．跟踪训练1 (1)已知log a 12>1，求a 的取值范围； (2)已知log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围．解 (1)由log a 12>1得log a 12>log a a . ①当a >1时，有a <12，此时无解． ②当0<a <1时，有12<a ，从而12<a <1. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)因为函数y ＝log 0.7x 在定义域(0，＋∞)上为减函数，由log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.即x 的取值范围是(1，＋∞)．二、对数型复合函数的值域 例2 求函数211221=log log 52y x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭在区间[2,4]上的最大值和最小值． 解 由12log y x =在区间[2,4]上单调递减知， 111222log 4log log 2x ≤≤，122log 1.x ≤≤--即12=log t x ，若设则－2≤t ≤－1，且y ＝t 2－12t ＋5.而y ＝t 2－12t ＋5的图象的对称轴为t ＝14， 且在区间⎝⎛⎦⎤－∞，14上单调递减， 而[－2，－1]⊆⎝⎛⎦⎤－∞，14. 所以当t ＝－2，即x ＝4时，此函数取得最大值，最大值为10；当t ＝－1，即x ＝2时，此函数取得最小值，最小值为132. 反思感悟 对数型复合函数的值域的求解技巧(1)形如y ＝log a f (x )的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．(2)形如y ＝f (log a x )的值域，常用换元法，结合其它函数的性质求解．跟踪训练2 求函数y ＝log 2(3＋2x －x 2)的定义域和值域．解 由3＋2x －x 2>0，得x 2－2x －3<0，∴－1<x <3，∴其定义域为(－1,3)，令u ＝3＋2x －x 2＝4－(x －1)2≤4，又y ＝log 2u 是增函数．∴y ≤log 24＝2，∴其值域为(－∞，2]．三、对数型复合函数的单调性例3 讨论函数f (x )＝log a (3x 2－2x －1)的单调性．解 由3x 2－2x －1>0得函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <－13. ①当a >1时，若x >1，则u ＝3x 2－2x －1为增函数，∴f (x )＝log a (3x 2－2x －1)为增函数；若x <－13，则u ＝3x 2－2x －1为减函数， ∴f (x )＝log a (3x 2－2x －1)为减函数，②当0<a <1时，若x >1，则f (x )＝log a (3x 2－2x －1)为减函数；若x <－13，则f (x )＝log a (3x 2－2x－1)为增函数．反思感悟 求形如y ＝log a f (x )的函数的单调区间的步骤(1)求出函数的定义域．(2)研究函数t ＝f (x )和函数y ＝log a t 在定义域上的单调性．(3)依据“同増异减”原则，求函数y ＝log a f (x )的单调区间．①当a >1时，y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性一致．②当0<a <1时，y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相反．跟踪训练3 已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上单调递减，求a 的取值范围．解 令u ＝2－ax ，则y ＝log a u .因为a >0，所以u ＝2－ax 递减，由题意知y ＝log a u 在[2－a ,2]内递增，所以a >1.又u ＝2－ax 在x ∈[0,1]上恒大于0，所以2－a >0，即a <2.综上，1<a <2.对数函数性质的综合应用典例 已知函数f (x )＝log 2x ＋1x －1. (1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调区间．解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，x －1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x －1<0.解得x >1或x <－1.所以此函数的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．所以函数的定义域关于原点对称．又f (－x )＝log 2－x ＋1－x －1＝log 2x －1x ＋1＝－log 2x ＋1x －1＝－f (x )． 所以f (x )为奇函数．(2)设x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则x 2＋1x 2－1－x 1＋1x 1－1＝2(x 1－x 2)(x 2－1)(x 1－1)<0， 所以x 2＋1x 2－1<x 1＋1x 1－1， 所以log 2x 2＋1x 2－1<log 2x 1＋1x 1－1，即f (x 2)<f (x 1)． 所以f (x )在(1，＋∞)上单调递减．同理，f (x )在(－∞，－1)上也单调递减．故f (x )＝log 2x ＋1x －1的单调递减区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)． [素养提升] 对数函数本身不具有奇偶性，但由对数函数复合而成的某些函数具有奇偶性．该类问题可借助逻辑推理，通过数学运算给予推导证明，从而培养逻辑推理、数学运算等核心素养．1．不等式log 2(x －1)>－1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >23 B ．{x |x >2}C ．{x |x >1}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32 答案 D解析 ∵log 2(x －1)>－1＝log 212，∴x －1>12，即x >32. 2．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)，x ∈(0，＋∞)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 A解析 根据题意，对数的底数大于1，对数函数单调递增，当x ∈(0，＋∞)时，3x >0，可得3x ＋1>1，那么函数f (x )＝log 2(3x ＋1)>log 21＝0，即log 2(3x ＋1)>0，故可知函数的值域为(0，＋∞)．3．函数f (x )＝lg|x |为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减答案 D解析 已知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，所以它是偶函数．当x >0时，|x |＝x ，即函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上单调递增．又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝lg|x |在区间(－∞，0)上单调递减．4．函数()12=log 12y x -的单调递增区间为______．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 令u ＝1－2x ，函数u ＝1－2x 在区间⎝⎛⎭⎫－∞，12内单调递减，而12=log y u 是减函数， 故函数()12=log 12y x -在⎝⎛⎭⎫－∞，12内单调递增． 5．不等式()112log 4+2>0x x +的解集为____________．答案 (－∞，log 2(2－1))解析 由()112log 4+2>0x x +，得4x ＋2x ＋1<1，即(2x )2＋2·2x <1，配方得(2x ＋1)2<2，所以2x <2－1，两边取以2为底的对数，得x <log 2(2－1)．1．知识清单：(1)利用对数函数的单调性解不等式．(2)求简单对数型复合函数的单调性、值域及最值问题．2．方法归纳：换元法，分类讨论．3．常见误区：求对数型复合函数的单调性易忽视定义域．1．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域是[0,1]，则函数f (x )值域为( )A ．[0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞) 答案 A解析 由于0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2，∴log 21≤log 2(x ＋1)≤log 22，即0≤log 2(x ＋1)≤1，故函数f (x )的值域为[0,1]．2．若log a 45<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫45，1B.⎝⎛⎭⎫45，＋∞C.⎝⎛⎭⎫0，45∪(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，45∪⎝⎛⎭⎫45，＋∞ 答案 C解析 log a 45<1＝log a a ，当0<a <1时，a <45，即0<a <45；当a >1时，a >45，即a >1.综上所述，a ∈⎝⎛⎭⎫0，45∪(1，＋∞)．3．函数()()212=log 1+2f x x x -的值域是( )A ．[－1,0)B ．[－1，＋∞)C ．(0,1)D ．[1，＋∞) 答案 B解析 令u ＝1＋2x －x 2，可得0<u ≤2， 因为12=log y u 在(0,2]上是单调递减的， 所以12log u ∈[－1，＋∞)．故()()212=log 1+2f x x x -的值域为[－1，＋∞)．4．设f (x )＝lg(10x ＋1)＋ax 是偶函数，那么a 的值为( )A ．1B ．－1C.12 D ．－12答案 D解析 方法一 ∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)，即lg(10－1＋1)－a ＝lg(10＋1)＋a ，∴a ＝－12.方法二 ∵f (x )为偶函数，∴对任意的实数x 都有f (－x )＝f (x )，即lg(10－x ＋1)－ax ＝lg(10x ＋1)＋ax ，整理得，lg(10－x ＋1)－lg(10x ＋1)＝2ax⇔lg10－x ＝2ax⇔102ax ＝10－x ，①如果①式对任意的实数x 恒成立，则2a ＝－1， 即a ＝－12.5．(多选)若函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则a ，b 的值可能是()A ．a ＝2，b ＝2B ．a ＝12，b ＝12C ．a ＝e ，b ＝－2D ．a ＝13，b ＝0 答案 BD 解析 令t ＝|x －b |，该函数在(－∞，b )上单调递减， 要使函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增， 则外层函数y ＝log a t 是定义域内的减函数，则0<a <1， 由t ＝|x －b |在(－∞，0)上恒大于0，则b ≥0， 故选BD.6．不等式()()1133log 5+<log 1x x -的解集为________ .答案 (－2,1)解析 因为函数13log y x =在定义域(0，＋∞)上是减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋x >1－x ，1－x >0，5＋x >0，解得－2<x <1.7．已知函数f (x )＝log 2a －x 1＋x为奇函数，则实数a 的值为________ . 答案 1解析 由奇函数得f (x )＝－f (－x )，log 2a －x 1＋x ＝－log 2a ＋x 1－x， a －x 1＋x ＝1－x a ＋x，a 2＝1， 因为a ≠－1，所以a ＝1.8．函数()212log +2y x =的最大值为____，单调递增区间是__________．答案 －1 (－∞，0)解析 函数y ＝x 2＋2在(－∞，0)上单调递减，∴函数()212log +2y x =在(－∞，0)上单调递增．∴当x ＝0时，函数y max ＝12log 2= 1.-9．已知1233log ,2x ≤≤--求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x 4的值域． 解 1233log ,2x ≤≤--∵ ∴－3≤－log 2x ≤－32， 即32≤log 2x ≤3. ∵f (x )＝log 2x 2log 2x 4＝(log 2x －log 22)(log 2x －log 24)＝(log 2x －1)(log 2x －2)． 令t ＝log 2x ，则32≤t ≤3， ∴f (x )＝g (t )＝(t －1)(t －2)＝⎝⎛⎭⎫t －322－14. ∵32≤t ≤3， ∴f (x )max ＝g (3)＝2，f (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝－14. ∴函数f (x )＝log 2x 2·log 2x 4的值域为⎣⎡⎦⎤－14，2. 10．已知f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(其中a >0且a ≠1)．(1)求f (x )＋g (x )的定义域；(2)判断f (x )＋g (x )的奇偶性并说明理由；(3)求使f (x )＋g (x )<0成立的x 的集合．解 (1)f (x )＋g (x )的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，1－x >0， ∴－1<x <1，∴定义域为(－1,1)．(2)f (x )＋g (x )为偶函数，设F (x )＝f (x )＋g (x )，则F (－x )＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x )＝F (x )，又因为F (x )的定义域为(－1,1)关于原点对称，所以f (x )＋g (x )为偶函数．(3)由f (x )＋g (x )<0得log a (x ＋1)＋log a (1－x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <1，log a (1－x 2)<0，当a >1时，⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，0<1－x 2<1，得x ∈(－1,0)∪(0,1)； 当0<a <1时，⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，1－x 2>1，解集为空集． 综上所述，当a >1时，使f (x )＋g (x )<0成立的x 的集合为(－1,0)∪(0,1)；当0<a <1时使f (x )＋g (x )<0成立的x 的集合为∅.11．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 答案 B解析 当a >1时，f (1)＋f (0)＝a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝12，与a >1矛盾； 当0<a <1时，f (0)＋f (1)＝1＋a ＋log a 2＝a ，log a 2＝－1，a ＝12. 12．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)答案 B解析 画出函数f (x )＝log a |x |的图象(图略)，可知该函数是偶函数．因为函数在(0，＋∞)上单调递增，所以f (1)<f (2)＝f (－2)<f (3)．13．已知f (x )＝lg 1＋x 1－x，x ∈(－1,1)，若f (a )＝12，则f (－a )＝________ . 答案 －12解析 ∵f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－lg 1＋x 1－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，即f (－a )＝－f (a )＝－12. 14．若函数f (x )＝log a x (其中a 为常数，且a >0，a ≠1)满足f (2)>f (3)，则f (2x －1)<f (2－x )的解集是________．答案 {x |1<x <2}解析 ∵f (2)>f (3)，∴f (x )＝log a x 是减函数，由f (2x －1)<f (2－x )，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1>0，2－x >0，2x －1>2－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >12，x <2，x >1，∴1<x <2.15．已知函数y ＝log 2(x 2－2kx ＋k )的值域为R ，则k 的取值范围是( )A ．0<k <1B ．0≤k <1C ．k ≤0或k ≥1D ．k ＝0或k ≥1答案 C解析 令t ＝x 2－2kx ＋k ，由y ＝log 2(x 2－2kx ＋k )的值域为R ，得函数t ＝x 2－2kx ＋k 的图象一定恒与x 轴有交点，所以Δ＝4k 2－4k ≥0，即k ≤0或k ≥1.16．已知函数f (x －1)＝lg x 2－x. (1)求函数f (x )的解析式；(2)判断f (x )的奇偶性；(3)解关于x 的不等式f (x )≥lg(3x ＋1)． 解 (1)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1，由题意知x 2－x>0，即0<x <2，则－1<t <1， 所以f (t )＝lg t ＋12－(t ＋1)＝lg t ＋11－t ，故f (x )＝lg x ＋11－x(－1<x <1)． (2)由(1)知，f (x )＝lg x ＋11－x(－1<x <1)， 所以f (－x )＝lg －x ＋11－(－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1 ＝－lg 1＋x 1－x＝－f (x )， 又f (x )的定义域为(－1,1)关于原点对称， 所以f (x )为奇函数．(3)原不等式可化为lg x ＋11－x ≥lg(3x ＋1)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋11－x ≥3x ＋1，3x ＋1>0，－1<x <1，解得－13<x ≤0或13≤x <1， 故原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－13，0∪⎣⎡⎭⎫13，1.。

深入了解《高中数学函数》听课评课记录1. 课程概述本次听课评课的内容为《高中数学函数》，授课教师通过生动的语言、清晰的板书以及合理的教学设计，引导学生进行了深入的和理解。

2. 教学目标授课教师明确指出了本节课的教学目标，即让学生掌握函数的基本概念、性质和应用，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3. 教学内容3.1 函数的基本概念授课教师从函数的定义入手，通过具体的例子和图示，让学生直观地理解了函数的概念。

同时，教师还介绍了函数的表示方法，包括解析式和图像两种方式。

3.2 函数的性质教师通过大量的实例和练，让学生掌握了函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。

同时，教师还引导学生通过观察函数图像来判断函数的性质，培养了学生的观察和分析能力。

3.3 函数的应用授课教师通过引入实际问题，让学生了解函数在现实生活中的应用。

例如，通过分析商品价格与销售量的关系，让学生运用函数模型来解决问题。

4. 教学方法授课教师采用了多种教学方法，包括讲解、示范、练、讨论等，使学生在不同的教学活动中都能得到有效的锻炼和提高。

5. 教学效果通过本节课的，学生们对函数的基本概念、性质和应用有了更深入的理解和掌握。

课堂上，学生们积极思考、提问，教学氛围活跃。

6. 建议为了进一步提高本节课的教学效果，建议在以下方面进行改进：1. 在讲解函数性质时，可以增加更多的实例和练，让学生更加深入地理解和掌握。

2. 在讲解函数应用时，可以引入更多的实际问题，让学生体验到函数在解决实际问题中的重要作用。

3. 在教学过程中，可以更多地鼓励学生进行自主和合作，培养学生的独立思考和团队协作能力。

以上就是本次《高中数学函数》听课评课的详细记录，希望通过这次评课，能够进一步提高教学质量，促进学生的全面发展。

苏教版-----------------------------------必修1----------------------------------- 第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2----------------------------------- 第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3----------------------------------- 第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4----------------------------------- 第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2二倍角的三角函数3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章解三角形1．1正弦定理1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用第2章数列2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n项和第3章不等式3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域 3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质 第3章 导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第1章 统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 第3章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义 第4章 框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点 第3章 空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积 3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章 导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值 1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理 第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 2．3数学归纳法第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章 计数原理 1．1两个基本原理 1．2排列 1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1----------------------------------- 1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2----------------------------------- 2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4----------------------------------- 4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5----------------------------------- 5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告。

1. 导数1.1 导数的定义导数是函数在某一点处的切线斜率，记作f’(x)。

对于函数 f(x)，其在 x 点的导数可以表示为：f’(x) = _{x 0}1.2 导数的计算法则（1）常数的导数为 0；（2）幂函数的导数：若幂函数为 f(x) = x^n，则其导数为f’(x) = nx^(n-1)；（3）乘积函数的导数：若乘积函数为 f(x) = u(x) * v(x)，则其导数为f’(x) = u’(x) * v(x) + u(x) * v’(x)；（4）商函数的导数：若商函数为 f(x) = u(x) / v(x)，则其导数为f’(x) = (u’(x) * v(x) - u(x) * v’(x)) / [v(x)]^2；（5）链式法则：若函数为 f(g(x))，则其导数为f’(g(x)) * g’(x)。

1.3 导数的应用（1）求函数的极值：设函数 f(x) 在某一点 x0 处导数为 0，且在 x0 左侧导数为正，在 x0 右侧导数为负，则 f(x0) 为极大值；反之，则为极小值。

（2）求函数的单调区间：设函数 f(x) 在某一点 x0 处导数为正，则 f(x) 在 x0 附近单调递增；反之，则为单调递减。

（3）求曲线的切线方程：设曲线在某一点 (x0, f(x0))，切线斜率为f’(x0)，则切线方程为 y - f(x0) = f’(x0)(x - x0)。

2. 极限2.1 极限的定义极限是指当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于某一确定的值。

设函数 f(x) 当 x 趋近于 a 时，其极限为 L，则表示为：_{x a} f(x) = L2.2 极限的计算法则c=c；（1）常数的极限：设常数为 c，则limx→a（2）幂函数的极限：设幂函数为 f(x) = x^n，若 n 为正整数，则limx→ax n=a n；若 n 为负整数，则limx→a x n=1a n；（3）乘积函数的极限：limx→a u(x)∗v(x)=limx→au(x)∗limx→av(x)；（4）商函数的极限：limx→a u(x)v(x)=limx→au(x)limx→av(x)；（5）极限的运算法则：limx→a (f(x)+g(x))=limx→af(x)+limx→ag(x)，limx→a(f(x)−g(x))=limx→a f(x)−limx→ag(x)，limx→a(f(x)∗g(x))=limx→af(x)∗limx→ag(x)，$_{3. 函数的性质3.1 函数的单调性函数的单调性指函数在定义域内，随着自变量的增加，函数值的变化趋势。

A 、 第三章 函数的概念和性质Ⅰ 教学要求（1）了解映射的概念.（2）理解函数的概念，了解函数的三种表示法，理解分段函数的定义及表示法.（3）理解函数的单调性和奇偶性.（4）了解反函数的概念，掌握简单函数的反函数的求法，了解函数)(x f y =的图像与它的反函数)(1x f y -=的图像之间的关系.（5）掌握一元二次函数的性质及其图像，掌握解一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.（6）会用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式.（7）了解函数的实际应用.Ⅱ 教材分析、教学建议和练习题解答现实世界中许多量之间有依赖关系，一个量变化时另一个量随着起变化，函数是研究各个量之间确定性依赖关系的数学模型，在工业革命时代，函数是数学中最基本的概念之一. 现在的世界已进入信息时代，计算机和互联网迅速普及，计算机科学和信息科学蓬勃发展. 由此促使了离散数学的地位日益上升，于是映射成了数学中最基本的概念之一.映射也是日常生活中许多现象的抽象.中学生学习映射的概念，至少有三方面的好处：作为现代社会的居民，能看懂信息时代的书报、电视；在日常生活中把事情做好；能更好理解函数的概念，反函数的概念.函数的图像是数形结合的基础，要让学生理解函数的图像的意义.本教材从函数的图像引出奇函数与偶函数的概念，既直观，同时又揭示了其本质. 本教材运用映射的观点阐述反函数的概念，给出反函数的求法，这与传统的方法不同.我们有创新，使得反函数概念的本质容易理解，使得反函数的求法严谨且易于掌握. 本章第三单元讲一元二次函数，这是在初中讲一元二次函数的基础上进一步讲清楚道理，运用第二单元函数的单调性和奇偶性的一般理论来具体地研究一元二次函数的性质和图像，既让学生学习如何运用理论研究具体函数的性质和图像，又使画函数图像的方法严谨、科学.待定系数法是数学中的一种重要方法，本章用一节介绍如何用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式.总之，本章首先介绍映射和函数的概念，然后讨论函数的一般性质，最后运用函数的单调性和奇偶性的一般理论研究一元二次函数，并且介绍了一元二次不等式的解法. 本章的重点是：映射的概念，函数的概念，函数的图像，函数的单调性、奇偶性；一元二次函数的性质和图像，一元二次函数的最大值或最小值；解一元二次不等式的图像法；待定系数法.本章的难点是：映射的概念，点M在函数的图像上的充分必要条件，反函数的概念，函数的实际应用.学好本章的关键是：了解映射的概念，理解函数的图像的意义.本章教学时间约需15课时，具体分配如下：3.1 映射1课时3.2 函数的定义及记号1课时3.3 函数的三种表示法1课时3.4 分段函数1课时3.5 函数的单调性1课时3.6 函数的奇偶性2课时3.7 函数的图像2课时3.8 反函数1课时3.9 一元二次函数的性质及其图像1课时3.10 用待定系数法求函数的解析式1课时3.11 函数的实际应用1课时本章小结2课时3.1 映射1. 集合的概念与映射的概念是现代数学中最基本的两个概念. 在信息时代，映射的概念比函数的概念更基本. 理解了映射的概念，就能更深刻地理解函数的概念.2. 在讲映射的定义时，要着重指出：有两个集合和一个对应法则，并且这个对应法则使第一个集合的每一个元素，都有第二个集合中唯一确定的元素与它对应.3. 设f是集合A到集合B的一个映射，则把A叫做定义域，把B叫做值域.许多教材没有给第二个集合起名字，有的教材把第二集合叫做陪域.4. 一个映射f：BA→由定义域、值域和对应法则组成，它们称为映射的三要素，因此两个映射相等的定义应当是：定义域相等，值域相等，对应法则相同.3.1的练习答案1.（1）不是；（2）是.2.（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是；（5）不是.3.（1）不是；（2）是；（3）是；（4）不是；（5）不是.4. 是3.2 函数的定义及记号1. 在现实世界中有不少变量之间有确定性的依赖关系，函数就是研究这种关系的有力工具. 研究各种各样的函数的性质是数学的重要内容之一.2. 函数的概念包含三个要素：定义域，值域和对应法则. 从而两个函数相等当且仅当它们的定义域相等，并且对应法则相同.3. 例1（1）求函数值，例如求3xx=xf在处的函数值，实质上就是求-x,253)(=-=3,2=-=x x 处的函数值，实质上就是求3,2=-=x x 时，代数式35-x 的值，因此12335)3(,133)2(5)2(=-⨯=-=--⨯=-f f .由于在初中一年级已经学过代数式求值，因此给学生讲：求函数值实质上就是求代数式的值，学生便容易学会.在上述例子中，不要给学生说：“35)(-=x x f 的对应法则是‘乘5减3’，因此求处的函数值就是在2)(-x f －2乘5减3，即133)2(5)2(-=--⨯=-f .”这种讲法会使学生感到求函数值难学，因为要把一个函数的对应法则用语言叙述是很啰嗦的，再由对应法则来求函数值，显然是增加了难度.3.2的练习答案1.（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.2. 是，定义域为{,,,,d c b a …，y ，z }，值域为{0，1，2，…，24，25}.3. f (1)=－37, f (2)=－34. 4. (1)31)2(;13-=+=b a a b . 5.（1）是；（2）是.6. (1) f (1)=1，g (1)=－1；(2) 1)]1([,3)]1([-==f g g f ； (3) 5496)]([,1639)13(22--=--=-x x x g f x x x f . 3.3 函数的三种表示法1. 函数的概念包含三个要素：定义域、值域和对应法则.目前中职阶段，值域通常取为实数集，因此表示一个函数就要指明它的定义域和对应法则.当函数f 的定义域A 是有限集时，可以用一张表格来表示函数，第一行写出A 的各个元素，第二行写出相应的函数值，这种表示函数的方法叫做列表法.2. 当f 的定义域A 是无限集或有限集时，通常要寻找一个或几个式子来表示对应法则，即用一个或几个等式来表示函数，这种方法叫做公式法. 这一个或几个等式叫做这个函数的解析表达式，简称为解析式.教材中公式法下的第(2)个例子，设}1,0{B },6,5,4,3,2,1,0{A ==.考虑A 到B 的一个对应法则f ：⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=A,,0A,,1)(x x x f 当当 这是A 到B 的一个映射，从而是定义域为A 、值域为B 的一个函数这个例子来自组合设计与现代通信和密码的关系.本教材有意识地举一些信息时代的例子，目的是使中职数学不要囿于传统的教材中，而能透出信息时代的一些气息.在上面这个例子中，集合A 到集合B 的一个对应法则f 用了两个等式来表示；当A∈x时，0)(,A ;1)(=∉=x f x x f 时当.习惯上把这样的函数叫做分段函数. 其实不必用这个术语，因为不管用几个等式表示函数，都无非是给出了定义域到值域的一个对应法则，多一个术语，会使学生多一份负担，所以我们在教材中没有出现“分段函数”这个术语，希望教师不要补充这个术语.3. 在用公式法表示定义域为数集的函数时，如果没有标明定义域，那么我们约定：函数)(x f 的定义域是指所有使解析式有意义（即，在解析式给出的对应法则下有象）的实数x 组成的集合，不再每次声明. 此外要注意，在实际问题中，还必须结合问题的实际意义来确定自变量x 的取值范围.在上面一段话里，我们阐明了什么叫做“使解析式有意义”，即“在解析式给出的对应法则下有象”. 例如，求函数31)(-=x x f 的定义域，解法如下： 03)(≠-⇔x x f 的解析式有意义3≠⇔x .因此函数),3()3,()(+∞-∞ 的定义域是x f .在上面这个例子中，“)(x f 的解析式有意义”指的是“在解析式给出的对应法则下有象”. 由于x 在)(x f 的解析式给出的对应法则下没有象当且仅当03=-x ，因此)(x f 的解析式有意义当且仅当)3(03≠≠-x x 即. 这样讲是确切的，因为表达式31-x 是一个分式，它当然是有意义的；只是分式函数31)(-=x x f 当3=x 时没有象，此时称分式函数31)(-=x x f 的解析式当3=x 时没有象，此时称为分式函数31)(-=x x f 的解析式当3=x 时没有意义.在这里我们区分了“分式”与“分式函数”这两个不同的概念：分式．．指的是表达式．．．),,),(),(()()(等等或y x g y x f x g x f 其中)()(x g x f 与是一元多项式，且)(x g 不是零多项式（或),(),(y x g y x f 与是二元多项式，且),(y x g 不是零多项式，等等），而分式函数．．．．指的是由分式给出的映射．．，这一段话是为教师写的，不要给学生讲. 在求函数的定义域时，我们采用等价术语来叙述，既严谨又简捷.4. 用平面直角坐标系里的圆形表示函数的方法称为图像法.用图像法表示函数的最大优点是直观，因为函数的图像是数形结合的基础. 为此首先要把什么是函数的图像搞清楚. 教材中给函数的图像下了一个定义：设)(x f 是定义域为A 的一个函数，任取A ∈a ，在平面直角坐标系Oxy 里，描出坐标为M a f a 的点))(,(.当a 取遍A 的所有元素时，坐标为))(,(a f a 的点组成的集合，称为函数)(x f 的图像.从这个定义应即得出：点)(A,)(),(a f b a x f b a M =∈⇔且的图像上在.即，点)(),(x f b a M 在的图像上当且仅当它的横坐标a 属于定义域，纵坐标b 等于a 处的函数值.这个结论十分重要，它是利用函数的图像研究函数性质的基础.3.3的练习答案1.（1）f (x )的解析式有意义⇔53035≠⇔≠-x x ，因此)(x f 定义域为),53()53,(+∞-∞ ; （2）f (x )的解析式有意义⇔x 37-≥0⇔x ≤37，因此)(x f 定义域为]37,(-∞； （3）f (x )的解析式有意义⇔162-x ≥0⇔x ≤－4或x ≥4, 因此)(x f 定义域为);,4[]4,(+∞--∞（4）f (x )的解析式有意义⇔216x -≥0⇔－4≤x =4，因此)(x f 定义域为]4,4[-;（5）f (x )的解析式有意义⇔1523-+x x ≥0⇔－32≤x ＜51，因此)(x f 定义域为)51,32[-； （6）f (x )的解析式有意义⇔x x 5123-+≥0⇔x ≤－32或x ＞51，因此)(x f 定义域为),51(]32,(+∞--∞ . 2.（1）532)2(;)1(4122+-+x x a . 3.图略4.点M 、Q 都不在函数)(x f 的图像上.5.（1）(a , f (a ))；（2） (－a , f (－a )).6.（1）);,31()31,0)[4(];3,2)[3(];23,0)[2();,21()21,0[+∞-+∞ (5)(－∞,－5) ]7,6)(6(]; 7,5-（.7. 图像略8. 证明：)0()(≠+=k b kx x f 的图像经过原点 ⇔ f (0)=0 ⇔ k ·0+b =0⇔ b =03.4 分段函数1. 自变量在不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的函数，称为分段函数.2. 教材给出了分段函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈+∈),1(.1]1,0[,2x x x x .要求作出此函数的图像.3.4的练习答案1.1)0()}5({-==f f f .2.（1）.8101)]3([,7)]5([,161)]3([-=--==f f f f f f （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈-<-=-R ,132·3.313,2.313 ≥,529)]([133x x x x x f f x x 3.（1）)0 ≥()]([4x x x g f =；（2）)0(1)]([>-=x xx f g . 4.图略 二、函数的性质3.5 函数的单调性1. 判断函数f (x )在区间上是增函数还是减函数，如果我们在画函数f (x )的图像时没有默让函数的单调性，那么用图像法判断f (x )的单调性，它具有直观易懂的优点，但是要注意：我们不能默认函数f (x )的单调性，去用一条光滑的曲线联结描出的各点，然后又让学生从这样画出的图像去判断f (x )的单调性，在画基本初等函数时在某个区间上的图像时，往往是要先用定义证明函数的单调性，然后才能用一条光滑曲线联结描出的各点，得到该函数在某个区间上的图像，之后利用对称性等画出该函数在另一个区间上的图像，这样对于该函数在另一个区间上的单调性就可以从图像来判断了.2. 对于任意的一次函数)0(≠+=k b kx y 的单调性，自然应当用定义法去判断. 教材的例1写出了求解过程，先统一写出)()(21x f x f -的表达式，然后分k ＞0和k ＜0两种情形判断)()(21x f x f -的正负.例2是讨论二次函数[)+∞--+=,13)1(21)(2在x x f 上的单调性. 必须先用定义法判断),1[3)1(21)(2+∞--+=在x x f 上是增函数，才能用一条光滑曲线联结描出的各点，得到),1[3)1(21)(2+∞--+=在x x f 上的一段图像.利用对称性.就能判定函数在]1,(--∞上是减函数，在),1[+∞-上是增函数.还有一种方法判定函数单调性，我们将在第三册中讲到. 定理：设函数f (x )在闭区间),(,],[b a b a 在开区间上连续内可导.（1）如果在内),(b a )('x f ＞0,那么],[)(b a x f 在上是增函数；（2）如果在内),(b a )('x f ＜0,那么],[)(b a x f 在上是减函数；（3）如果在内),(b a )('x f =0,那么],[)(b a x f 在上是常数.3.5的练习答案1. 任取121),,(,x x x 且+∞-∞∈＜2x ，有－3x 1＞－3x 2⇒－3x 1－2＞－3x 2－2⇒)(1x f ＞)(2x f因此),(23)(+∞-∞--=在x x f 上是减函数.2. 任取),,0[,21+∞∈x x 且x 1＜x 2，有212x ＜222x⇒212x +5＜222x +5⇒)(1x f ＜)(2x f因此上在),0[52)(2+∞+=x x f 是增函数.3. 任取),0(,21+∞∈x x ，且x 1＜x 2，有21122121)(555)()(x x x x x x x f x f -=-=-, 由于，x 2＞x 1，x 1x 2＞0，因此)(1x f －)(2x f ＞0从而 )(1x f ＞)(2x f 这表明()+∞=,05)(在xx f 上是减函数. 4. 任取),3[,21+∞x x ，且1x ＜2x ，有2x ＞1x ≥3⇒2x －3＞1x －3≥0⇒(2x －3)2＞(1x －3) 2≥0⇒－5)3(3122+-x ＜－5)3(3121+-x ⇒)(2x f ＜)(1x f所以),3[5)3(31)(2+∞+--=在x x f 上是减函数. 3.6 函数的奇偶性1. 本教材在阐述奇函数和偶函数的定义和性质上有创新.我们抓住了讨论函数奇偶性的实质是研究函数图像的对称性. 因此我们先复习图形关于直线对称的概念, 然后探索定义域为A 的函数)(x f 的图像在什么条件下关于原点对称?运用点P (a , b )在)(x f 的图像上的充分必要条件，我们推导出定义域为A 的函数)(x f 的图像E 关于原点对称 ⇔ E 上每一点))(,(a f a P 关于原点的对称点))(,(a f a M --仍在E 上⇔ A ),()(A,∈-=-∈-a a f a f a 对一切且.由此引出了奇函数的定义，并且上述推理也就证明了奇函数的图像关于原点对称，起了一箭双雕的作用.对于奇函数也是先复习圆形关于原点O 对称的概念，然后探索函数)(x f 的图像关于原点O 对称的充分必要条件：由此引出奇函数的定义，并且证明了奇函数的图像关于原点对称.我们这种讲法阐明了为什么要引进奇函数和偶函数的概念，而且简捷地证明了奇函数和偶函数的图像的对称性.2. 我们在教材中结合图形推导出“点),(b a P 关于y 轴的对称点Q 的坐标是),(b a -.关于原点的对称点M 的坐标是（b a --,）”这两个结论. 它们在探索)(x f 的图像的对称性时有用.3. 我们在例1中给出了判断一个函数)(x f 是不是奇函数的方法：求出)(x f 的定义域A.如果对于任意的)()(A,A,x f x f x x -=-∈-∈并且有都有，那么)(x f 是奇函数. 如果能找到一个)()(A,c f c f c -≠-∈使得，那么)(x f 不是奇函数.例2中给出了判断一个函数)(x f 是不是偶函数的方法：求出)(x f 的定义域A ，如果对于任意的A ∈x ，都有－A ∈x ，并且有)()(x f x f =-，那么)(x f 是偶函数.如果能找一个A ∈d ，使得)()(d f d f ≠-，那么)(x f 不是偶函数.例1和例2给出的方法是教学的基本要求，应让学生学会.3.6的练习答案1.（1）是；（2）是；（3）是；（4）不是.2.（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.3. 证明：由于)(x f 、)(x g 都是定义域相同的偶函数，因此对于任意A ∈x ，有A ∈-x ，并且)F()()()()()F(x x g x f x g x f x =+=-+-=-.因此)(x F 是偶函数.4. )5(-f =－3.5.)3(f ＞)1(f .6. 证明：由于)(x f 、)(x g 都是定义域为A 的奇函数.因此对于任意A A,∈-∈x x 有，并且[])()()()()()()()(x h x g x f x g x f x g x f x h -=+-=--=-+-=-，)()()()]()][([)()()(x P x g x f x g x f x g x f x P ==--=--=-， 因此)(x h 是奇函数，)(x P 是偶函数.3.7 函数的图像1. 如果已经判断出)(x f 是奇函数，那么在画)(x f 的图像时，可以先画出y 轴右边的部分，然后利用对称性画出y 轴左边的部分. 这里的基本作图是，会作出点P 关于原点的对称点N ，这只要联结PO ，且延长至N ，使线段ON 的长度等于线段PO 的长度，则点N 就是点P 关于原点的对称点.2. 如果已经判断出)(x f 是偶函数，那么在画)(x f 的图像时，只要先画出y 轴右边的部分，然后利用对称性画出y 轴左边的部分，这里的基本作图法是，会作出点P 关于y 轴的对称轴Q ，这只要过点P 作y 轴垂线，设垂足为M ，把这垂线往左延长至点Q ，使线段MQ 的长度等于线段PM 的长度，则点Q 就是点P 关于y 轴的对称点.3.7的练习答案1. (1) (2)是偶函数，(3) (4) (5) (6)不是偶函数.2. (1)是；(2)是；(3)不是；(4)不是.3. 图略4.（1）2123)2(;3432--=+-=x x y x y . 5 ~7. 图略.3.8 反函数1. 我们在反函数的概念和求法上与传统的讲法不同，我们有创新. 传统的讲法大致是：给了函数的解析式，例如x y 3=.反解出y x 31=. 于是对于y 在R 中的任何一个值，通过式子y x 31=，x 在R 中都有唯一确定的值和它对应.因此也可以把y 作为自变量（∈y R ），x 作为y 的函数，我们一般用x 表示自变量，用y 表示函数，为此我们对调函数式y x 31=中的字母x 、y ，把它与成x y 31=.传统的讲法没有清晰地揭示反函数概念的本质，通过对调字母x 与y ，学生很难看清楚反函数与原来函数的关系.传统的讲法在反解出)(y g x =时，由于没有写出反解过程. 因此导致一些误会和差错. 传统的讲法对于用列表法表示的函数（不知道函数的解析式），没有给出反函数的概念. 而当今信息时代，由于计算机科学和信息科学的迅速发展，离散数学的地位加强，遇到的函数不一定能用公式表示，因此传统的讲法已不适应时代的要求.基本上述原因，我们对于反函数的概念和求法采取了新的讲法.2. 对于反函数的概念，我们给出这样的定义：如果函数)(x f y =有反函数，那么我们的讲法可以立即得出，严格单调函数一定有反函数. 3. 关于反函数的求法，我们给出了函数)(x f 的解析式，求它的反函数（仍用函数式表示）. 对于用公式法表示的函数，我们给出的求反函数的方法是科学的. 以教材中例1的（3）为例：解b a x x y 对应到把2213-≠+-= )2(213-≠+-=⇔a a a b )2(13)2(-≠-=+⇔a a a b)3,2(12)3(≠-≠+=-⇔b a b a b)3,2(312≠-≠-+=⇔b a bb a a b xx y 对应到把3312≠-+=⇔ 因此函数213+-=x x y 的反函数是 ∈-+=x xx y (,313R 且3≠x ). 求213+-=x x y 的反函数，就是要寻找一个函数使得，对于原来函数的值域中的每一个b ，当原来的函数把a 对应到b 时，所求的函数把b 对应到a . 上述求解过程满足这一要求. 从反函数的定义知道，我们首先要知道原来的函数)(x f y =的值域；才能判断出所求出的函数是不是反函数（因为反函数必须是对于)(x f y =的值域中每一个元素b ，都有)(x f y =的定义域中唯一的一个元素a 与它对应）.我们求反函数的方法是在求解过程中先求出了原来函数的值域，然后才求出了反函数. 这是符合反函数定义的要求的.我们是怎样求出原来函数的值域的呢？上述例子中，在第二步等价于b (a +2)=3a －1(a ≠－2),3.3=≠b b 因为假如从此式看出，则上式左边=3(a +2)=3a +6,而上式右边=3a －1.由此推出6=1-，矛盾，所以3≠b .即原来函数的值域是{b ∈R|（b ≠3）}. 于是对于原来函数值域中的每一个元素b ，在（3－b ）a =2b +1而边除以（3－b ）（此时3－b ≠0，因此可以用它作除数）得，b b a -+=312.从而求出了反函数为)3(312≠-+=x x x y .4. 有的教材在讲求反函数时是像下述那样讲的： “由213+-=x x y ,可得y y x -+=312，所以函数213+-=x x y 的反函数是xx y -+=312（∈x R 且3≠x ）.”这种讲法没有详细写出反解的过程，在得出y y x -+=312时，没有讨论3≠y . 就把y -3当除数用了，这是不严谨的. 这种讲法没有事先求出原来函数的值域，因此所求出的函数xx y -+=312是否为反函数无从判断. 这种讲法容易引起误会以至产生差错，不少复习资料由此引出求原来函数值域的方法：“先求反函数，再从反函数的解析式求出定义域，它就是原来函数的值域.”这种方法是错误的，以213+-=x x y 为例，在反解时，如果不讨论3≠y ，就用)3(y -去除两边，得出y y x -+=312，然后又说从3312≠-+=x xx y 看出，因此得出反函数的定义域为{x ∈R |x ≠3}，于是原来函数的值域为{y ∈R |y ≠3}. 这是先默认3≠y ，用(3－y )去除两边得到y y x -+=312，然后又说从x =yy -+312看出3≠y ，这在逻辑上是混乱的，这种思维方式是错误的. 由此看出，教数学不能只是教计算，而不管计算过程是否合理；教数学不能只是看答案对不对，而不管其思维方式是否正确. 这些都是直接关系到我们培养的学生的素质啊！定理1 如果函数)(x f y =有反函数，那么)(x f y =的图像与它的反函数)(1x f y -=的图像关于直线y =x 对称.学习数学一定要掌握基本理论，有了理论的指导，解题就会有思路，就能通过逻辑推理深入揭示事物之间的内在联系以及它们的本质.三、一元二次函数及其应用3.9 一元二次函数的性质及其图像1. 一元二次函数的图像在初中时已讲过，但是一些道理没有讲. 鉴于一元二次函数是非常重要的一类函数，有必要在中学阶段打下扎实的基础，因此我们在教材中用一节来讲一元二次函数的性质和图像, 这是在初中的基础上的提高.2. 我们在教材一开始就让学生动脑筋：如何正确．．、简便．．地画一元二次函数25212-+=x x y 的图像？然后分析：先把函数的表达式配方得，()31212-+=x y . 利用3.7节例3的结论，()31212-+=x y 的图像有对称轴1-=x . 因此只要先画出图像在直线1-=x 的右边的一半. 从而列表时只需要列出1-=x ，0，1，2，3，…时相应的函数值. 接着在平面直角坐标系Oxy 中描点. 描完点后，不是马上连线，而是先利用3.4节例3的结论：3)1(212-+=x y 在区间),1[+∞-上是增函数，这时才知道可以用一条光滑曲线把描出的各点联结起来. 最后利用对称性，画出图像在直线1-=x 的左边的部分.这样画函数的图像既简便又科学.传统的画函数图像的方法是：列表，描点，连线.前两步虽然正确，但是较麻烦（如果先讨论对称性，则可减少一半的工作量）.第三步连线是不科学的. 在还没有讨论函数的单调性时，怎么知道如何联结描出的有限几个点？更不应该的是，事先不讨论单调性，但是却默认函数有单调性，“用一条光滑曲线联结各点”，然后又让学生从图像上看出函数是增函数或减函数. 这在逻辑上是混乱的，这种思维方式是不正确的.也许有人会说，让中学生讨论函数的单调性要求太高了，那么让我们来看一看，)(x f =),1[3)1(212+∞--+在x 上是单调性的讨论： 任取1x ，2x ),1[+∞-∈，且1x ＜2x ，有2x ＞1x ≥－1⇒12+x ＞11+x ≥0⇒(12+x )2＞(11+x )2 ⇒()312122-+x ＞()312121-+x ⇒()2x f ＞()1x f , 因此),1[3)1(21)(2+∞--+=在区间x x f 上是增函数. 从上述讨论过程看到，用的都是不等式的性质，并不困难，而且正好是复习巩固不等式的性质. 我们又注意了分散难点，把这个讨论放在3.4节的例3，到3.8节时只是引用这个结论. 因此中学生是能够接受先讨论函数的单调性，再连线的.３. 在讲完()31212-+=x y 的图像后，我们给出顶点的概念，并且让学生观察顶点坐标)3,1(--与表达式有什么联系？观察顶点坐标与函数的最小值有什么联系？从函数的图像（我们已正确地画出了函数的图像）看出函数在顶点横坐标往左的区间上的单调性，以及图像的开口方向. 在观察的基础上，我们抽象出一般的一元二次函数()02≠++=a c bx ax y 的性质和图像. 由于其论证与()31212-+=x y 的性质和图像的论证类似，因此我们在教材中就不写出了.４. 在让学生画一个具体的一元二次函数的图像时，先配方，然后求出对称轴，接着先画图像在对称轴右边的一半（列表，描点，连线. 由于已经讲了一般的一元二次函数的单调性，因此在连线之前不用再讨论单调性了），最后利用对称性画出图像在对称轴左边的部分.５. 本节的练习除了画二次函数的图像以外，还有写出顶点坐标，求函数的最大值或最小值，求一元二次函数的最大（小）值的基本方法是将表达式配方. 这应让学生掌握. 这是因为配方在数学中是常用的一种技巧.至于直接利用顶点坐标来求最大 (小)值的方法，对于课时较充裕的学校也可以介绍. 我们在教材中把它作为思考题，让学生思考.3.9的练习答案1.（1）对称轴为5=x ，顶点坐标为)223,5(-，图略； （2）对称轴为41=x ，顶点坐标为)87,41(-，图略. 2.（1）当1-=x 时，y 达到最小值2；（2）当2-=x 时，y 达到最大值5；（3）当23=x 时，y 达到最小值41-； （4）当2=x 时，y 达到最大值1. 3.（1）顶点坐标)421,3(-，对称轴为x =3； （2）841)25(-=f ； （3）)415()41(f f >-. 4.（1）对称轴为45=x ，顶点坐标为)825,45(-，函数最小值为825-，]45,(-∞为单调递减区间，),45[+∞为单调递增区间，函数图像开口向上； （2）对称轴为3=x ，顶点坐标为)27,3(，函数最大值为27，]3,(-∞为单调递增区间，),3[+∞为单调递减区间，函数图像开口向下.5.（1）顶点坐标为（3，－2）.),63()63,(+∞+--∞∈ x 时，y ＞0；()63,63+-∈x 时，y ＜0.]3,(-∞∈x 时，函数为单调递减函数； ),3[+∞∈x 时，函数为单调递增函数. （2）顶点坐标为（－1，3）. )261,261(+---∈x 时，y ＞0；),261()261,(+∞+----∞∈ x 时，y ＜0.]1,(--∞∈x 时，函数为单调递增函数；),,1[+∞-∈x 时，函数为单调递减函数.3.10 用待定系数法求函数的解析式1. 在许多数学问题或实际问题中，建立了函数的模型后，需要求其中的未知的系数，这可以通过列方程组并且解这个方程组求出，从而求出函数的解析式，这种方法叫做待定系数法.它是数学中重要的一种方法.本节主要是介绍如何用待定系数法求一元一次函数和一元二次函数的解析式，并且介绍了它们在实际问题中的应用.2. 一次函数的解析式)0(≠+=k b kx y 有2个系数k ,b ,因此需要列出两个彼此独立的方程来求未知系数k ,b ,于是需要已知两个条件来列两个方程.3. 一元二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的解析式有3个系数，因此用待定系数法求这3个系数时，需要列出3个彼此独立的方程，于是通常要给出这个函数当自变量取3个不同数时相应的函数值.4. 如果知道一元二次函数g (x )的图像的顶点坐标为（e , d ），则可以假设g (x )的解析式为d e x a x g +-=2)()(.这时只要再知道图像所经过的一个点的坐标，就可以求出系数a .5. 如果知道一元二次函数)(x g 的图像的对称轴是直线e x =，则可以假设)(x g 的解析式为d e x a x g +-=2)()(.这时只要再知道图像上两个点的坐标，就可以列出两个方程，从而求出待定系a 、d.6. 为了让学生了解待定系数法在日常生活中的应用，教材的例3求出了扔铅球时铅球在空中飞行轨道（抛物线的一段）的解析表达式.3.10的练习答案1. 设这个一次函数的解析式为b kx y +=，其中k ,b 待定.由于P （2，－5），Q （－1，7）在这个函数的图像上，因此有⎩⎨⎧=+--=+.7,52b k b k 解得 3,4=-=b k因此所求一次函数的解析式为34+-=x y .2. 设这个正比例函数的解析式为kx y =，其中k 待定，由于点（2，8）在这个函数的图像上，因此有8=2k ,解得 k =4.。

高三一轮（理） 3.3 三角函数的图象和性质【教学目标】1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数在［0，2π］上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间错误!内的单调性。

【重点难点】1。

教学重点：函数y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象和性质; 2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】了解理解掌握函数y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象和性质√［考纲传真] 1。

能画出y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象，了解函数的周期性 2.理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间错误!内的单调性。

真题再现学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。

通过对考纲的解读和分析.让学生明确考试要求，做到有的放矢2.【2014上海】 函数 的最小正周期是________ 【解析】由题意13.(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0).若f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________.典例 (1)(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。

(2)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象 如图所示，则f (x )的单调递减区间为()A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，解析 (1)选项A中，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意.6.（2016高考新课标1）已知函数为的零点,为 图像的对称轴， 且在单调，则的最大值为（ )数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x)的最小正周期．知识点3 三角函数的图象和性质y＝sin x y＝cos x y＝tan xR R x≠kπ＋错误!,k ［－1，1][－1,1]R增区间：错误!，减区间:错误!增区间：[2kπ－π，2kπ］，减区间：[2kπ,2kπ＋π]，递增区间kπ－错误!，kπ＋∈Z奇函数偶函数奇函数（kπ,0）,k ∈Z 错误!,k∈Zkπ2，0，k∈Z在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时和解题效率.学必求其心得，业必贵于专精。

第三单元函数一教学要求1理解函数的概念.2理解函数的三种表示法.3理解函数的单调性.4理解函数的奇偶性.5了解函数的实际应用.6通过函数图像及其性质的研究，培养学生观察能力，分析与解决问题能力和数据处理能力.二教材分析和教学建议(一)编写思路1.从中职学生实际出发，在学生已有认识(把函数看成变量之间的依赖关系)的基础上，用集合与对应的语言刻画函数概念，使学生认识到函数是描述客观世界中变量间依赖关系的数学模型在“阅读空间”中还介绍了函数概念的历史过程.2.用大量的实例建立函数概念，强化对函数符号意义的理解.这样不仅为学生理解函数概念打下了感性基础，而且注重培养学生的抽象概括能力，启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴涵的规律，学会数学表达和交流，发展数学应用意识.3.从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图像法、列表法函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.4.以一次函数和二次函数这两个重要的函数模型为载体，学习函数的一般性质，研究函数性质的一般方法通过这两个函数的复习与提高，沟通初中和中职数学内容的内在联系.5.教材充分利用函数图像，让学生通过观察图像获得对函数基本性质的直观认识，这样处理充分体现了数形结合的思想.6.通过函数的作图建立信息技术与数学的整合，培养学生使用计算机技术学习数学的习惯与技能.本单元教学的重点是函数的概念，函数的图像及函数的应用.本单元教学的难点是对函数概念、函数的单调性，奇偶性的理解，以及用函数知识解实际应用题.(二)课时分配本单元教学时间约需12课时，分配如下(仅供参考)：3.1函数的概念约2课时3.2函数的表示法约2课时3.3函数的单调性约2课时3.4函数的奇偶性约2课时3.5函数的实际应用举例约2课时归纳与总结约2课时(三)内容分析与教学建议3.1 函数的概念1.函数概念的引入一般有两种方法，一种方法是先学习映射，再学习函数；另一种方法是通过具体的实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系，即函数.为了充分运用学生已有的认知基础，为了给抽象概念以足够的实例背景，以有助于学生理解函数概念的本质，教材采用了后一种方式，即从四个背景实例入手，在体会两个变量之间依赖关系的基础上，引导学生运用集合与对应的语言刻画函数概念.2.对于函数概念，应使学生明确以下两点：(1) 定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体.(2) 函数记号y=f(x)的内涵.同时也应用具体的函数说明符号“y=f(x)”为“y是x的函数”这句话的数学表示，它仅仅是函数符号，并不表示“y等于f与x的乘积”；符号f(a)与f(x)既有区别又有联系，f (a)表示当自变量x=a时，函数f (x)的值，是一个常量;而f (x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量.f (a)是f (x)的一个特殊值在函数概念教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题.3.2 函数的表示法1.学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，而且是加深理解函数概念的过程.同时，基于中职阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而使得学习函数的表示也是向学生渗透数形结合方法的重要过程.2.在初中阶段，学生已经接触了一定数量的以不同方法表示具体函数的例子，对函数的表示方法并不陌生，只是没有进行过系统的归纳和总结.所以说，从表面上看“函数的表示”是新授课，但实际上是对之前所学知识的归纳和总结.这就要求教师对这一内容既不盲目套用一般新授课的教学思路，也不能仅仅视作简单的复习课，而是要充分利用学生头脑中已有的相关问题情境和具体的函数例子，进行有效的教学设计，实现“二度开发”，使学生对函数表示方法的认识上升到一个新的层次.3.函数的三种表示法，解析法、列表法、图像法各有优缺点.解析法简单明了，一般能从解析式了解变化过程中自变量与函数间的相依关系，便于理论分析和推导计算.但在求函数值时，有时要作繁复的计算，不及列表法和图像法那样明显醒目.列表法对于表中所列的自变量的每一个值，可以直接找到对应的函数值，使用起来比较方便.缺点是很难把自变量与函数的对应值都列出来，而且从表格中也不易看出变量间的变化规律.图像法比较形象、直观，能够显示出函数连续变化的情况和某些性质.缺点是从图像上找自变量与函数的对应值不很精确.4.例1介绍了一个可以用三种表示方法来表示的函数.通过这个例子可以达到以下目的：(1) 让学生体会到三种表示方法各自的优点.(2) 使学生看到函数的图像可以是离散的点，这与学生以前接触到的一次函数、二次函数的图像是连续的曲线有很大的差别，教学时要考虑到学生的认知基础，强调y=5x(x∈R)是连续的直线，但y=5x，x∈{1，2，3，4，5}却是5个离散的点，由此又让学生看到，函数概念中，对应关系、定义域、值域是一个整体.5.例2的主要目的有两个：一是让学生进一步体会数形结合在理解函数中的重要作用；二是为介绍分段函数作准备.3.3 函数的单调性教材充分利用函数图像，让学生通过观察图像获得对函数基本性质的直观认识，这样处理充分体现了数形结合的思想.具体地，研究函数单调性的“三步曲”为：(1) 以学生熟悉的一次函数f (x) = x和二次函数f (x) = x2为例，给出函数图像，让学生从图像获得“上升”“下降”的整体认识.(2) 针对二次函数f (x) = x2x…－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …f (x)＝x2…16 9 4 1 0 1 4 9 16 …结合上面的表格，用自然语言描述图像特征“上升”“下降”，即图像在y轴左侧“下降”，也就是在区间(-∞，0］上，当x增大时，相应的f (x)减小；图像在y轴右侧“上升”，也就是，在区间(0，+∞)上，当x增大时，相应的f(x)也增大.(3) 运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义.例如在实际教学时，可以让学生在区间(0，+∞)(或区间(-∞，0］)上任意取定两个数值，然后计算出它们对应的函数值进行比较，便可验证上面的发现是正确的，但这不能保证“任意性”.这样，就把学生的思维引到了思考怎样表述“任意性”上来.从而有了下面的结论：在区间(0，+∞)上，任取两个x1，x2，得到f (x1)=x21，f (x2)=x22，当x1＜x2时，有f (x1)＜f (x2)，这时，我们就说函数f (x)=x2在区间(0，+∞)上是增函数.在此基础上，可以再举几个函数例子，依照f (x) = x2讨论它们的单调性，以加深理解，然后推广到一般的情形，就得到增函数的概念.3.4 函数的奇偶性教材在处理函数的奇偶性时，基本沿用了处理函数单调的方法，即先给出几个特殊函数的图像，让学生通过图像直观获得函数奇偶性的认识，然后通过代数运算，探究数量变化特征对定义域内的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立奇(偶)函数概念.3.5 函数的实际应用举例一次函数和二次函数在实际生活与生产中应用广泛，教材中对一次函数和二次函数的应用举了五个例子，目的是启发学生应用函数知识去思考问题，解决问题.在科学技术飞速发展的时代，数学已在经济及管理科学中得到了广泛应用，一个中职学生应如何掌握函数的应用以及在哪些方面应用，是我们中职数学教育的一个重要研究课题.希望各专业教师根据本专业知识特点，在教学中补充一些适合本专业的应用题，以充实这部分内容.(四)复习建议1.构建知识结构2.梳理知识要点见本单元教材《归纳与总结》.3.需要注意的问题(1) 在构成函数的“定义域”、“值域”以及“定义域到值域上的对应关系”这三者中，最重要的是对应关系；函数符号y =f (x )中，f 即表示对应关系这个符号不表示“y 等于f 与x 的乘积”，f (x )也不一定是解析式.(2) 函数图像是发现函数性质的直观载体，观察函数图像时，首先注意到的是图像上升或下降(单调性)，是否具有某种对称性(奇偶性)，然后是图像在某些特殊位置的状态(如最大值)，但是由图像直观获得的结论还需要从数量关系的角度通过逻辑推理加以确认，这充分体现了数形结合的思想.4.典型例题见本单元教材《归纳与总结》，通过例1复习函数的概念，通过例2复习函数定义域的求法，通过例3、例4复习函数的奇偶性.5.补充例题例1利用函数单调性的定义，判断函数y =2x -3的单调性分析：任取定义域中的两个值x 1，x 2，通过比较f (x 1)，f (x 2)的大小，由定义来判断函数的单调性.解：函数y =2x －3的定义域为(-∞，+∞).对任意的x 1，x 2∈(-∞，+∞)，当x 1＜x 2时，f (x 1)=2x 1－3，f (x 2)=2x 2－3 .因为f (x 1) － f (x 2)=2x 1－3－(2x 2－3)=2(x 1－x 2)＜0，所以 f (x 1)＜ f (x 2)。