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第一类切比雪夫多项式第一种的切比雪夫多项式是一组正交多项式定义解决方案切比雪夫微分方程和表示。
他们是作为一个近似最小二乘适合,的一个特例盖根堡多项式与。
他们用三角也密切相关多角度的公式。
第一类切比雪夫多项式表示和实现Wolfram语言作为ChebyshevT[n x]。
归一化,这样。
最初几个多项式上面和,2,…5。
第一种的切比雪夫多项式可以定义的围道积分(1)轮廓包含原点和遍历在逆时针方向(Arfken 1985,p . 1985)。
最初几个第一类切比雪夫多项式(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)命令从最小到最大的权力时,三角形的非零系数是1;1;,2;4,18;5、16岁……(OEIS A008310).一个美丽的情节可以通过策划径向,增加每个值的半径,并填写曲线之间的区域(Trott 1999,pp。
10和84年)。
切比雪夫多项式的第一种定义的身份(9)切比雪夫多项式的第一种可以获得的生成函数(10)(11)和(12)(13)为和(分为et al . 1972,15项)。
(密切相关生成函数的定义的基础吗第二类切比雪夫多项式.)一种是直接表示(14)中定义的多项式也可以总结(15)(16)(17)在哪里是一个二项式系数和是层功能,或产品(18)(Zwillinger 1995,p . 1995)。
也满足好奇行列式方程(19)(1986年纳什)。
第一种的切比雪夫多项式的一个特例雅可比多项式与 ,(20)(21)在哪里是一个超几何函数(Koekoek 和Swarttouw 1998)。
0时(22)为2……。
极值出现的(23)在哪里。
在最大,,至少, .切比雪夫多项式是正交多项式关于权重函数(24)在哪里是克罗内克符号。
第一类切比雪夫多项式满足额外的离散的身份(25)在哪里为 , ...,是0的 .他们也满足递归关系(26)(27)为,以及(28)(29) (沃特金斯和蔡Rivlin 1993;1990年,p . 5)。
一、介绍MATLAB 是一款用于高级数学和工程计算的软件，切比雪夫数值积分是一种常见的数值积分方法。
本文将介绍MATLAB中切比雪夫数值积分的原理和实现方式，并结合实例进行详细讲解。
二、切比雪夫数值积分原理切比雪夫数值积分是一种通过在特定区间上拟合切比雪夫多项式来进行数值积分的方法。
其原理是利用切比雪夫多项式的性质，将被积函数在给定区间上进行插值拟合，从而计算积分值。
切比雪夫数值积分的优点在于其在一定条件下可以达到很高的精度，尤其适用于非光滑函数的数值积分。
三、MATLAB中的切比雪夫数值积分实现在MATLAB中，可以利用内置的函数chebfun来实现切比雪夫数值积分。
chebfun是一个专门用于处理切比雪夫多项式的工具包，其中包含了丰富的函数和方法，可以方便地进行数值积分。
1. 定义被积函数需要定义被积函数，并将其转换为chebfun对象。
如果要计算函数f(x)在区间[a, b]上的积分值，可以使用以下代码将f(x)转换为chebfun对象：```matlabF = chebfun((x) f(x), [a, b]);```2. 计算积分值接下来，可以使用内置的积分函数sum来计算切比雪夫数值积分的结果。
可以使用以下代码计算chebfun对象F在区间[a, b]上的积分值：```matlabI = sum(F);```这样，就可以得到函数f(x)在区间[a, b]上的切比雪夫数值积分结果I。
四、实例演示接下来，我们通过一个具体的实例来演示MATLAB中切比雪夫数值积分的实现。
假设要计算函数f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的积分值。
1. 定义被积函数定义函数f(x) 并转换为chebfun对象：```matlabF = chebfun((x) sin(x), [0, pi]);```2. 计算积分值使用sum函数计算积分值：```matlabI = sum(F);```通过上述步骤，就可以得到函数f(x)在区间[0, π]上的切比雪夫数值积分结果I。
GPS定位中卫星坐标计算的切比雪夫多项式拟合法
余鹏;孙学金;赵世军
【期刊名称】《气象科技》
【年(卷),期】2004(032)003
【摘要】在GPS定位中需要不断地计算卫星的坐标,实时的卫星坐标是根据接收到的广播星历来计算的,而每次计算卫星坐标都需要占用大量内存,影响计算速度.利用切比雪夫多项式拟合广播星历的卫星坐标,以实现卫星轨道的标准化.通过实例分析了用切比雪夫多项式进行卫星坐标拟合的精度及多项式阶数和时间间隔的合理选择等问题,得出了一些有益的结论.
【总页数】2页(P198-封四)
【作者】余鹏;孙学金;赵世军
【作者单位】解放军理工大学气象学院,南京,211101;解放军理工大学气象学院,南京,211101;解放军理工大学气象学院,南京,211101
【正文语种】中文
【中图分类】P1
【相关文献】
1.切比雪夫多项式在标准化卫星轨道中的应用 [J], 何燚峰;聂亮
2.GPS定位数据在海洋一号卫星中的应用与比较 [J], 陆春玲;张伍
3.北约空袭南联盟中采用的卫星照相侦察和GPS定位 [J], 陆芳
4.GPS定位中卫星坐标计算的曲线拟合法 [J], 陈逸群;胡丛玮;杨欢庆
5.滑动式切比雪夫多项式拟合法在BDS精密\r星历内插中的应用 [J], 李振昌;李仲勤
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切比雪夫多项式用于GPS高程转换的精度分析[摘要]本文探讨切比雪夫多项式及基于EGM2008模型的移去-恢复法在GPS高程转换中的应用。
利用某一测区GPS/水准数据对本文方法进行验证，并和常用的平面拟合、曲面拟合以及多面函数拟合方法进行比较与分析，计算结果表明：在面状和线状区域里，切比雪夫多项式的拟合结果比较稳定，且GPS高程转换精度较高；基于EGM2008模型的移去-恢复法能显著提高GPS高程转换精度。
[关键字] 切比雪夫多项式EGM2008 移去-恢复法GPS高程转换精度分析1引言GPS定位技术由于具有高精度、全天候、高效率等优点，已被广泛应用到各类工程建设测量领域中。
目前通过GPS定位技术确定地面点的平面坐标不存在任何技术问题，可很容易达到设计的精度指标。
但当利用GPS技术测定地面点的正常高时，需要利用GPS高程转换方法，即通过联测一定数量的GPS/水准点，利用高程拟合的方法获得，其拟合高程的精度和可靠性主要依赖已知GPS/水准点的密度、分布状况、所采用的拟合模型以及测区地形起伏情况等。
常用的GPS 高程转换方法有平面拟合、曲面拟合以及多面函数拟合等。
本文主要探讨利用切比雪夫多项式进行GPS高程转换，并和常用的以上3种拟合方法进行对比分析，同时研究基于EGM2008模型的移去-恢复法在GPS高程转换中的应用。
2原理与方法2.1 GPS高程拟合的通用数学模型通过GPS技术可测得某一点的大地高，通过水准测量方法可同时测定该点的正常高，目前点的大地高和正常高都可以达到很高的精度，则GPS/水准点的高程异常ζ为，ζ=H-h （1）其中，H为大地高，h为正常高，可以用一组线性无关的基函数，αi为拟合系数，t为拟合参数的数目，ψi（x，y）为所选择的基函数，基函数ψi（x，y）可选为垂直平移模型、线性基函数拟合模型和面基函数拟合模型等。
如果测区有n个控制点，观测了m（m≥t）个GPS/水准点，则高程异常拟合误差方程式为，V=AX-L （2）其中：利用最小二乘法求得拟合系数X，进而可将已知GPS/水准点信息代入（2）式求的残差向量V，并进行内符合精度评定。
切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用母函数表示第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。
用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替xTn(x) − (1 − x2)Un(x)正交性Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
用切比雪夫多项式对实验数据的曲线拟合拟合切比雪夫多项式即不等式分析，是拟合多元函数中最重要的基本方法之一。
切比雪夫多项式是指一组单调递增的多项式，可以模拟数据的变化特征，可以用来拟合实验数据的曲线。
使用切比雪夫多项式进行实验数据拟合，可以通过实验数据的特征和估计参数来计算最佳拟合曲线。
一般可以求出每个data point的值及其错误范围，通过求解曲线的参数，以最小化所有错误的平方和来得出最终的拟合结果。
因此，使用切比雪夫多项式拟合实验数据可以有效提高拟合效果，并降低误差，是众多拟合方法中拟合实验数据的较为常用的方法。
切比雪夫多项式拟合
切比雪夫多项式是一种用于曲线拟合的多项式函数。
它以俄国数
学家切比雪夫命名，因为他在19世纪中期首先系统地研究了这些多项
式的性质。
这种拟合方法在数学、物理学、工程学等领域广泛应用。
切比雪夫多项式的特点是它可以最小化在某个区间内的最大偏差。
因此，它特别适用于需要高精度拟合的情况，比如研究高精度数值计
算的学者常常使用切比雪夫多项式拟合。
切比雪夫多项式的定义为：
$T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)$
其中$n$为多项式次数，$x$为自变量。
可以看出，切比雪夫多项
式是基于余弦函数定义的。
在实际应用中，我们通常以切比雪夫多项式的线性组合形式来表
示拟合函数：
$f(x)=\sum_{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(x)$
其中，$N$为拟合多项式的次数，$a_{n}$是拟合函数的系数。
切比雪夫多项式拟合在实际应用中有很多好处。
首先，切比雪夫
基函数具有良好的正交性质，因此可以减少系数矩阵的计算量。
其次，切比雪夫多项式可以在最大误差允许范围内获得最佳逼近结果。
但是，切比雪夫多项式拟合也存在一些缺点。
首先，切比雪夫多项式并不是唯一的最佳逼近函数，因此需要根据实际需求选择最佳的拟合函数。
其次，切比雪夫多项式拟合的误差分布不均匀，当$n$较大时，误差主要分布在两端，中间的误差较小。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择拟合方法，比较常见的方法有线性拟合、多项式拟合、样条拟合等。
总之，切比雪夫多项式拟合是一种重要的曲线拟合方法，它可以最小化在某个区间内的最大偏差，获得高精度的拟合结果。
在应用中需要根据实际需求选择最佳的拟合函数，避免误差过大或分布不均匀的情况。
