泰勒公式变量代换

3.2.2 泰勒公式泰勒公式是微分学中的重要内容，是利用高阶导数处理函数的估值和极值的重要工具．利用泰勒公式可以更精准地讨论函数的性态．一. 麦克劳林公式及其应用1.麦克劳林公式设函数()f x 在点0x =处n 阶可导（2n ≥），我们来用洛必达法则推广微分公式()()()()00f x f f x o x '=++.事实上，如果()f x 在点0x =处二阶可导，则()f x '在点0x =处连续,由洛必达法则和二阶导数定义有()()()()()()20000limlim22x x f x f f x f x f f x x →→'-+⎡⎤''''-⎣⎦==. 所以，存在点0x =的某邻域()0U ，对任意()0x U ∈，有()()()()()20002f x f f x f x x α'-+⎡⎤''⎣⎦=+（其中()0lim 0x x α→=）． 最后，因为()22()x x o x α⋅=，就得到()()()()()220002!f f x f f x x o x '''=+++. 当()f x 在点0x =处三阶可导时，()f x ''在0x =连续，由洛必达法则与二阶导数的定义有，()()()()()()()23200000002!lim lim 3x x f f x f f x x f x f f x x x→→''⎡⎤'-++⎢⎥''''-+⎡⎤⎣⎦⎣⎦= ()()()000lim 323!x f x f f x →'''''''-==⋅. 从而，()()()()()()23300002!3!f f f x f f x x x o x ''''''=++++，()0x U ∀∈.归纳可得，定理3.2.3（带佩亚诺余项的麦克劳林展开定理）若()f x 在点0x =处n 阶可导时，存在0x =的某邻域()0U ，对任意()0x U ∈有()()()()()()()()23000002!3!!nnn f f f f x f f x x x x o x n ''''''=++++++L ． （3.2.2）这个公式称为麦克劳林公式，它在计算高阶未定式极限时十分有用．将函数()f x 写成（3.2.2）式右端的形式，称为将()f x 展开，（3.2.2）式被称为()f x 在点0x =处的一个n 阶展开式.，()n o x 称为展开式中的佩亚诺余项.2.常见函数的麦克劳林公式我们要熟悉几个常见函数的麦克劳林公式． 命题3.2.1 在0x =的某个邻域中，有 （1）211e 1()2!!x n n x x x o x n =+++++L ； （2）3511sin 3!5!x x x x =-+-1212(1)()(21)!m m m x o x m ---++-L ；（3）2411cos 12!4!x x x =-+-221(1)()(2)!m mm x o x m +-++L ；（4）2311()1n n x x x x o x x=++++++-L ； （5）12311(1)ln(1)()23n nn x x x x x o x n--+=-++++L ； （6）2(1)(1)(1)(1)1()2!!n n n x x x x o x n ααααααα---++=+++++L L ．这些结果都是不难验证的，例如，因为()()ee n x x=，()()00ee 1n x x ===，0,1,2,n =，代入公式（3.2.2），就得到（1）．有了这些公式，只要保持自变量在点0x =的邻域内，就可以间接地获得其他等式．例如：在（4）中，用x -代换x 就得到()2311(1)1n n n x x x x o x x=-+-++-++L ． 进而，再用2x代换x 又得()2311111(1)222222212nn nx x x x o x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-+-++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦+L ． 根据需要，可以按给定的n 写出等式．例如，当x 在∞邻域时，取2n =，有2211111111x o x x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+.3.用麦克劳林公式计算极限的例子例3.2.12 计算极限：（1）2240cos elimx x x x -→-； （2）20e ln(1)lim x x x x x →-+．解 把22cos ,ex x -，e ,ln(1)xx +按麦克劳林公式展开到适当的阶数，之后进行等量代换，这不是等价无穷小替换，因此可以在加减运算中进行.（1）2240cos elimx x x x -→-2242255411()1()2!4!22!2limx x x x x o x o x x →⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++-+-+-+⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦=45401()12lim x x o x x→-+=112=-． （2）20e ln(1)lim xx x x x →-+()22201()()2lim x x x x o x x o x x →⎛⎫++--+ ⎪⎝⎭=22203()32lim 2x x o x x →+==．例 3.2.13 当,a b 为何值时，()cos sin x a b x x -+是x 的五阶无穷小量（当0x →时）？解法一（用洛必达法则） 设5(cos )sin lim0x x a b x xA x →-+=≠，则5(cos )sin limx x a b x xA x→-+= 2401(cos )cos sin lim 5x a b x x b x x →-++=（分子的极限必须为零，得10a b --=） 303sin cos (cos )sin lim20x b x x a b x xx →++=204cos lim 20x a b x x→+=（分子的极限必须为零，得40a b +=） 04sin lim 4010x b x b x →-==-． 综上所述，41,33a b ==-，进而130A =．解法二（用麦克劳林公式）将cos ,sin x x 的麦克劳林公式展开到5x ，代入并整理得()2435555cos sin 1()()2!4!3!5x x x x x a b x x x a b o x x o x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤-+=-+-++⋅-++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦355216(1)()63120a b a b a b x x x o x +⎛⎫⎛⎫=--++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．为使上式成为x 的5阶无穷小量，当且仅当102063160120a b a ba b⎧⎪--=⎪⎪+=⎨⎪+⎪≠⎪⎩， 解得41,33a b ==-．二. 泰勒公式式（3.2.2）指出，若()f x 在点0x =处n 阶可导，那么可以构造一个n 阶多项式()()()()()()()23000002!3!!nnn f f f P x f f x x x x n ''''''=+++++L ，这个多项式在点0x =的某邻域里代替微分式中的一次多项式()0f +()0f x '，能更好地逼近()f x ，其中，()()00n f P =，()()()()00i i n f P =（1,2,,i n =）.如果令()()()n n R x f x P x =-，则()n R x 反映了点0x =的某邻域上两个函数取值的误差，特别地()00n R =，()()00i n R =（1,2,,i n =）.为了更清楚地表示这个误差，我们假设()f x 在0x =的某邻域()0U 上有1n +阶导数，反复运用柯西中值定理可以得到()()()()()()()()()()()()()()11121111112000111011!n n n n n n n n n n n n n n n n R x R x R R R R R R x x n n n n n n ξξξξξξξ++++-'''''--======-++-+++，这里10n x ξξξ<<<<<L ，或10n x ξξξ<<<<<L .于是()()()()111!n n n n R R x x n ξ++=+，其中ξ还可以表示为x ξθ=（ξ对应某个值()0,1θ∈）.将()()()n n R x f x P x =-代到上式中，也就得到定理 3.2.4（带拉格朗日余项的麦克劳林公式）设()f x 在点0x =的某邻域()0U 内存在1n +阶导数，那么对任意()0x U ∈，存在ξ介于,0x 之间，使得2(0)(0)()(0)1!2!f f f x f x x '''=+++L ()(0)!n n f x n +(1)1()(1)!n n f x n ξ++++． （3.2.3）（3.2.3）式称为()f x 在的带拉格朗日余项的麦克劳林公式，其中()(1)1()(1)!n n n f R x x n ξ++=+称为拉格朗日余项.对于一般的点0x ，可以用“平移”的方法从（3.2.2）式和（3.2.3）式获得更一般的结论.事实上，对于高阶可导的函数()f x ，只要令()0()t f t x ϕ=+，其中0t x x =-，则()()t f x ϕ=，从而()0(0)f x ϕ=，()()()0(0)i i f x ϕ=（1,2,,i n =），()()0()nn o to x x =-，()(1)(1)00110()()()(1)!(1)!n n n n f x x x t tx x n n θϕθ+++++-=-++，代入()()()()()()()()23000002!3!!n n n t t t t t o t n ϕϕϕϕϕϕ''''''=++++++L和()()()()()()()(1)231000()002!3!!(1)!n n nn t t t t t t t n n ϕϕϕϕθϕϕϕ++''''''=+++++++L ，立即就有：定理3.2.5（带有佩亚诺余项的泰勒公式) 若函数()f x 在点0x x =处具有直到n 阶导数，则存在0x 的一个邻域()0U x ，对任意()0x U x ∈，有()20000000()()()()()()()()1!2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-L()0()n o x x +-． （3.2.4）定理3.2.6（带有拉格朗日余项的泰勒公式）设()f x 在点0x 的某邻域()0U x 内存在1n +阶导数，那么对任意()0x U x ∈，存在ξ介于0,x x 之间，使得200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x '''=+-+-+L ()00()()!n n f x x x n +-(1)10()()(1)!n n f x x n ξ+++-+． （3.2.5） （3.2.4）式和（3.2.5）都称为()f x 在点0x 处（或按()0x x -展开）的n 阶泰勒公式，泰勒公式中的多项式()n P x 200000()()()()()1!2!f x f x f x x x x x '''=+-+-+L ()00()()!n n f x x x n +- 称为泰勒多项式，系数()()000(),(1,2,,)!i i f x a f x a i n i ===L 称为泰勒系数. 泰勒公式中的佩亚诺余项为()0()no x x -，拉格朗日余项为(1)10()()(1)!n n f x x n ξ++-+其中00(),01x x x ξθθ=+-<<.当00x =时泰勒公式成为麦克劳林公式．显然，微分公式0000()()()()(())f x f x f x x x o x x '=+-+-正是1n =时的带佩亚诺余项的泰勒公式；拉格朗日公式00()()()()f x f x f x x ξ'=+-就是0n =时的带拉格朗日余项的泰勒公式，因此定理3.2.5和定理3.2.6也称为泰勒中值定理.当()f x 恰好是n 阶多项式时，(1)()0n f x +≡，因此()0n R x =.泰勒公式的用途很广，用法很直接.以例3.1.8为例，设1202x x x +=，则()f x 在点0x 处的泰勒展开式为20000()()()()()()2f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-，ξ介于0,x x 之间． 将12,x x 代入得211001010()()()()()()2f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-， 222002020()()()()()()2f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-.再两式相加得212121200()()()()2()2()222f f x x f x f x f x f x ξξ''''+⎡⎤⎛⎫+=++> ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭1222x x f +⎛⎫= ⎪⎝⎭． 又如，设()f x 在点x 处二阶可导，为求2()()2()limh f x h f x h f x h →++--（见例3.2.7），写出()f x h +和()f x h -在点x 处的二阶泰勒公式，有22()()()()()2!f x f x h f x f x h h o h '''+=+++， 22()()()()()()()2!f x f x h f x f x h h o h '''-=+-+-+．两式相加得22()()2()()()f x h f x h f x f x h o h ''++--=+，从而22200()()2()()lim lim ()()h h f x h f x h f x o h f x f x h h →→⎛⎫++--''''=+= ⎪⎝⎭． 一般来说，带佩亚诺余项的泰勒公式主要用于计算极限，带拉格朗日余项的泰勒公式主要用于证明不等式（见阅读材料3.2.2）和估计误差.三*. 带拉格朗日余项的麦克劳林公式及其应用将定理3.2.6应用于具体函数，就得到：命题 3.2.2 几种常见函数的带拉格朗日余项的麦克劳林公式（式中01θ<<）：（1）2111e e 12!!(1)!x xn n x x x x n n θ+=++++++，x ∈R ； （2）3511sin 3!5!x x x x =-+- 12121(1)(1)cos (21)!(21)!m m m m x x xm m θ--+--++-+，x ∈R ； （3）2411cos 12!4!x x x =-+- 1222(1)(1)cos (2)!(22)!m m m m x x xm m θ++--+++，x ∈R ； （4）1232111(1)n nn x x x x x xx θ++=++++++--，1x <； （5）12311(1)ln(1)23n nx x x x x n--+=-++++11(1)11(1)n n n x n x θ++-⋅++，1x >-； （6）2(1)(1)(1)(1)1()2!!nn n x x x x R x n ααααααα---++=+++++，其中11(1)()()(1)(1)!n n n n R x x x n ααααθ--+--=++，1x >-.函数的在点0x 的泰勒公式既可以直接通过高阶导数计算，也可以间接地通过麦克劳林公式的结论获得.事实上，只需像定理3.2.6的证法一样，在（3.2.3）式的右端用0x x -代替x ，就可以用0x 代替0，()00x x x θ+-代替x θ.例 3.2.14 求函数()ln f x x =按()2x -的幂展开的带有拉格朗日余项的n 阶泰勒公式.解法一（直接法） 因为()()1(1)1!()n n nn fx x ---=，故(2)l n f =，()()1(1)1!(2)2n n nn f---=，()()()121!2n n nf n n --=，所以()()()()()()()1211211(1)(1)ln ln 222222222122n n n n n n x x x x x n n x θ-++--=+---++-+-⋅⋅++-（01θ<<）.解法二（间接法） 根据命题3.2.2（5），()()2ln ln 22ln 212x x x -⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭2ln 2ln 12x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2111212(1)2(1)12ln 2222212212n n n n n x x x x n n x θ+-+------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛-⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()()()1211211(1)(1)ln 222222222122n n n n n n x x xx n n x θ-++--=+---++-+-⋅⋅++-（01θ<<）.例3.2.15设()f x =，求(98)(0)f ，(99)(0)f .解 利用()1x α+的麦克劳林公式（见命题3.2.2（6））得到：()1221x-=+242211111(1)(1)(1)1222221()22!!n n n x x x R x n --------+⎛⎫=+-++++ ⎪⎝⎭L L2112x =-+()422221(2)!132!2(!)2nn nn x x n -⋅++⋅⋅L 2()nR x +． 当49n ≥时，就可以求出9899,a a ．显然，因为展开式中没有奇数项，故系数990a =．又因为()49(98)98298198!(0)98!(49!)2f a -⋅==⋅，就有2(98)298(98!)(0)(49!)2f =-⋅．泰勒公式能使某数或函数的近似值达到“任意精确”的程度，也就是说，在给定精确度的前提下，带拉格朗日余项的泰勒公式能给出近似值，并控制误差．例3.2.16（1）计算e 的近似值，使误差不超过610-； （2）证明e 是无理数． 解（1）因为2111e e 12!!(1)!x xn n x x x x n n θ+=++++++，01θ<<． 取1x =得11e e 112!!(1)!n n θ=++++++， 其中误差(1)n R θe (n+1)!=<e (1)!n + 3(1)!n <+.为使6(1)10n R -<，只要6310(1)!n -<+，即6(1)!310n +>⨯，取9n =，则6(1)!3628800310n +=>⨯，从而，11e 11 2.71828152!9!≈++++≈． （2）由于11ee 112!!(1)!n n θ⎛⎫-++++= ⎪+⎝⎭（01θ<<）， 两边同乘以!n 便得：()e !e !!(1)311n n n n n n θ-++-++=+，若e 为有理数，即e pq=（,p q ∈N ，互质），则可取n 使n q ≥，则上式左端为整数，而右端当2n ≥时不是整数（因e 011n θ<<+），矛盾．故e 必为无理数．证毕. 例3.2.17 讨论以泰勒多项式来近似正弦函数sin x 时的误差．解 3511sin 3!5!x x x x =-+-1212(1)()(21)!m m m x R x m ---++-，其中误差 注在中学里，有些函数的函数值是借助于《四位数学用表》而“查”出来的，例如：三角函数表（sin x , cos x , tan x ），对数函数lg x ，立方3x 等等，如果没有表的帮112121221sin(π)||2()(21)!(21)!m m m m x x R x x m m θ++++=≤++， 于是(1)当1m =时，sin x x ≈，若要误差3332||1()||103!6x R x x -≤=<，只要0.181712x <，也就是说，当0.1817x <时，用x 近似sin x 的误差不会超过310-． （2）当2m =时（如图3.2.1），3sin 6x x x ≈-，由误差534||()105!x R x -≤<，得0.65443730x '<≈，即此时用36x x -近似sin x 的误差不会超过310-．（3）可见，在相同的精确度范围内，m 愈大，x 可取的范围也愈大（如图3.2.1）．图3.2.1阅读材料3.2.2应用泰勒公式证明不等式的杂例。

版权所有翻印必究/考研数学：变量替换法同学们都知道，在考研数学中极限的计算占有很大一部分比重，每年分值在10-15分之间，而在极限的计算中有一种非常重要的方法，即变量替换法——等价无穷小的替换，在这里我们就讲常见的等价无穷小替换公式及其证明方法为大家做一个整体呈现。

常见公式：当0x →时，sin arcsin tan arctan ln(1)1x x x x x x x e +- 21(1)1,1cos 2a x ax x x +-- ，以上公式就是我们在使用等价无穷小替换的时候常见的8个公式，大家一定要进行牢固的记忆，并且对于基本公式的证明也要熟记于心，以加强对变量替换法的理解，下面就给出大家完整的证明。

对于8个公式的证明首先需要用到高等数学中的两个重要极限，分别是100sin lim 1,lim(1),x x x x x e x→→=+=根据这两个公式就可以进行证明，首先1）先证明，当0x →时，sin arcsin x x x ：由于0sin lim1x x x →=，根据等价无穷小的定义知，sin x x ，又令arcsin t x =，则sin x t =，因此有00sin lim lim 1sin x t arc x t x t→→==，故得证arcsin x x 。

2）再证明，当0x →时，tan arctan x x x ：由于00000tan sin 1sin 1sin limlim lim lim lim 1cos cos x x x x x x x x x x x x x x x→→→→→==== ，根据等价无穷小的定义知，tan x x 。

又令arctan t x =，则tan x t =，因此有00arctan lim lim 1tan x t x t xt →→==，故得证arctan x x 。

3）再证明，当0x →时，ln(1)1xx x e +- ：这对公式的证明需要用到10lim(1),x x e →+=对等式的两端同时取对数，得100ln(1)limln(1)ln lim 1x x x x x e x→→++=⇒=，根据等价无穷小的定义知，ln(1)x x + ， 版权所有翻印必究又令1xt e =-，则ln(1)x t =+，因此有001lim lim 1ln(1)x x t e t x t →→-==+，故得证1x x e - 。

应用高等数学等价替换公式1、无穷小量：设lim f (x) = lim g (x) = 0 x Xo x也*1 )若lim f(X)=0, f (x)是g (x)的高阶无穷小X B g (x)*2)若lim f(x)= oo , f (x)是g (x)的低阶无穷小x B g (x) *3)若lim ,(x)= c, f (x)是g (x)的同阶无穷小x B g (x) -------*4)若lim f(x)= 1, f (x)是g (x)的等价无穷小x B g (x)*5)若 lim f k(x)= 0, f (x)是g (x)的k 阶无穷小x B k2、等价替换：若x一x o, f (x) ~ f 1 (x), g (x) ~ g 1 (x).. f (x) .. fi(x)lim ---- = lim --------x B g (x) T0 g"x)6、常用等价形式：当f (x) 一0时*1 ) sinf (x) ~ f (x)*2) arc sinf (x) ~ f (x)*3) tanf (x) ~ f (x)*4) arc tanf (x) ~ f (x)*5) In (1+f (x)) ~ f (x)*6) e f (x) -1 ~ f (x)f (x)*7) 1-cosf (x) ~* 8) (1+f (x)) "-1~ 〉f (x)二、函数的连续： 1、间断点：* 1）第一类间断点：f -（X 。

）、f +（X 。

）均 存在的 间断点 ⑴跳跃间断点： f -（X 。

）Wf +（X 。

） ⑵可去间断点： f -（X 。

）=f +（X 。

）* 2）第二类间断点：f - （X 。

）、f +（X 。

）至少有一个 不存在的 间断点 ⑴无穷间断点：f -（X 。

）、f +（X 。

）中至少有一个为 8⑵振荡间断点：f -（X 。

）、f +（X 。

）中至少有一个 振荡不存在 三、导数：2、导数的常见形式:..f （X 。

用泰勒公式求极限的例题
利用泰勒公式求函数极限的一般方法。

（当然洛必达法则+等价无穷小替换仍是求函数极限的首先方法，泰勒公式通常用来处理“疑难杂症”。

）
含根号的复合函数的极限。

常见函数的麦克劳林公式见下文：
高等数学入门——常见函数的泰勒公式的推导与总结
四、对例1的一些补充说明。

在利用泰勒公式求极限时经常涉及o项的运算，其实就是利用四则运算或变量代换法求泰勒公式，其方法见下文：
高等数学入门——求泰勒公式的四则运算法和变量代换法
五、含复合三角函数的极限。

六、含幂指函数的极限（请思考余项是如何处理的）。

七、利用泰勒公式求数列极限的一般方法（注意用泰勒公式求数列极限时通常是不必事先转化为函数极限的）。

八、利用泰勒公式求数列极限的典型例题。

高数微积分公式大全第一篇：高数微积分公式大全（上）微积分是数学中的重要分支，也是物理、工程、经济等领域中不可或缺的工具。

下面将介绍一些高等数学中常用的微积分公式，包括极限、导数、微分等，供读者参考。

1. 极限极限是微积分中的基本概念，它描述的是函数在某一点附近的取值趋近于某个常数的情况。

极限公式如下：（1）左极限$$\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=A$$（2）右极限$$\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=A$$（3）无穷远处的极限$$\lim_{x\to \infty}f(x)=A$$（4）无穷小量$$\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$2. 导数导数是微积分中的重要概念，它描述的是函数在某一点处的变化率。

导数公式如下：（1）切线的斜率$$k=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} $$（2）函数的导数$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$3. 微分微分是微积分中的基本运算，它可以帮助我们研究函数的变化趋势。

微分公式如下：$$df=f'(x)dx$$其中，$dx$表示自变量$x$的微小变化量，$df$表示因变量$y$的微小变化量。

4. 泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要定理，它可以帮助我们将一个函数表示为一系列多项式的和，从而简化函数的计算。

泰勒公式如下：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $$其中，$f^{(n)}(x)$表示函数$f(x)$的$n$阶导数。

5. 柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复分析中的重要定理，它描述了复函数的导数和复共轭函数的关系。

柯西-黎曼方程如下：$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partialv}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$其中，$u(x,y)$和$v(x,y)$分别表示复函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$的实部和虚部。

泰勒公式中的替换原理
泰勒公式是一种数学工具，用于将一个函数在某一点附近展开成无穷级数。

这个展开
式可以用来近似计算函数在给定点处的值，进一步分析函数的性质。

泰勒公式的基本原理
是通过不断迭代求导的方式，将函数转化为一系列的多项式。

泰勒公式的替换原理是指，在计算泰勒级数展开时，可以用函数在给定点处的值以及
其各阶导数的值来替代原函数本身。

这个原理基于函数在展开点附近的局部特征，利用函
数在该点的一阶导数、二阶导数等信息来逼近函数的形态。

通过这种方法，可以用多项式
函数来近似描述原函数，并且随着阶数的增加，逼近程度会不断提高。

为了实现泰勒公式的替换原理，需要计算函数在展开点附近的各阶导数的值。

这些导
数可以通过基本的微积分规则来计算，例如使用导数定义、链式法则、乘积法则等。

通过
求导并计算出对应的导数值，我们可以将原函数替换为一个多项式，而且这个多项式会在
展开点附近与原函数相似。

需要注意的是，泰勒公式的替换原理只在给定点附近有效，随着离开展开点的距离增加，逼近程度会逐渐减弱。

在实际应用中，需要选择合适的展开点，以确保泰勒级数的逼
近效果能够满足需求。

泰勒公式的替换原理是一种通过使用函数在给定点处的导数值来近似描述函数的方法。

它构建了一个与原函数在展开点附近相似的多项式，并通过选择合适的展开点来控制逼近
程度。

泰勒公式在计算方法中的应用摘要：泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,同时它是求解高等数学问题的一个重要工具,在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计算、数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。

通过本文的论述,可知泰勒公式可以使数值问题的求解简便.关键词：泰勒公式;误差分析;近似计算;数值积分§1 引言泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,利用泰勒公式能将一些初等函数展成幂级数,进行函数值的计算;而且函数的Taylor 公式是函数无穷小的一种精细分析,也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段,从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解,有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具,在计算方法中有重要的应用.§2泰勒（Taylor ）公式定理 1 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1+n 阶导数,则对该邻域内异于0x 的任意点x ,在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得：()20000000()()()()()()()()()2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x '''=+-+-+-+……+n!(1)其中 (1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+ （2）公式（1）称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式,()n R x 的表达式（2）称为拉格朗日型余项.定理2 若函数()f x 在点0x 存在直至n 阶导数,则有()200000000()()()()()()()()(())2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x '''=+-+-+-+-……+n!(3)公式(3)称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式,形如(())no x x -的余项称为佩亚诺型余项. 特别地：在泰勒公式(1)中,如果取00x =,则ξ在0与x 之间,因此可令(01),x ξθθ=<<从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurm ）公式:()()()112(0)(0)()()(0)(0)2!(1)!nn n n f f f x f x f f x x x xn θ++'''=+++++……+n!(01)θ<<（4）在公式(3)中,如果取00x =,则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!n nn f f f x f f x x x o x '''=++++……+n!(5)§3 泰勒公式的求法（1）带佩亚诺余项的泰勒公式的求法只要知道()f x 在x =0x 处n 阶可导，就存在x =0x 带佩亚诺余项的n 阶泰勒公式。

不同型余项泰勒公式的证明与应用The proofs and applications of Taylor formula with different types of remainders专业:作者:指导老师:湖南理工学院数学学院二○一四年五月岳阳摘要本文介绍了不同型余项的泰勒公式，并给出了各种余项泰型勒公式的证明，重点探讨了不同余项型泰勒公式的应用.关键词：余项；泰勒公式；证明；应用AbstractIn this paper, we research different types of Taylor formulas，and give the proof of various Taylor remainder formula,focus on the applications of the different types of Taylor remainder formula .Keywords:Remainder term；Taylor formula；Proof；Application目录摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I 关键词．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．ABSTRAC．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II 0 引言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 1泰勒公式简介．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 2 带四种余项泰勒公式的证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．22.1带佩亚诺型余项泰勒公式的证明 (2)2.2带拉格朗日型余项泰勒公式的证明..................................．．.32.3带积分型余项泰勒公式的证明 (4)2.4带柯西型余项泰勒公式的证明.......................................．．53 泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．53.1带佩亚诺型余项泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．..．．．．．53.2带拉格朗日型余项泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.. (9)3.3带积分型余项泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．123.4带柯西型余项泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．..．．．．．．．13 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．150 引言泰勒公式在数学运算中起着非常重要的作用．利用带有余项的泰勒公式可以简单的解决一些复杂问题，所以对泰勒公式的综合性研究对数学分析有重要意义．泰勒展开有多种类型余项型，而根据处理不同问题的需要可以选择不同的余项的类型.我们所学过的主要有：带佩亚诺型余项、带拉格朗日型余项、带积分型余项，带柯西型余项的泰勒公式．1泰勒公式简介泰勒公式可以用若干个连加式来表示一个函数，这些相加项可以由函数在某一点(或者加上在临近的一个点的1n +次导数)的导数求得．但对于正整数n ，如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上有连续n 阶可导，还满足(,)a b 1n +阶可导．则可任取[,]x a b ∈是一定点，则对任意[,]x a b ∈下式成立()2'()''()()()()()()......()()1!2!!n n n f a f a f a f x f a x a x a x a R x n =+-+-++-+.()n R x 表示余项，下面举出几个我们常用的带余项的泰勒公式展开：（1）2+1= 1+ + +...+ ++()2!!(+1)!n x xn n x x e e x x R x n n α. （2）2n 1=1+ + + ... + +R ()1n x x x x x. （3）2462n cos =1 + +...+ (1) + R ()2!4!6!(2)!nn x x x x x x n . （4）352+1n sin = + ...+ (1)+ R ()3!5!(2+1)!n nx x x x x x n - . （5）2(1)(1) (1)(1)1...()2!!n n n x x x x R x n ααααααα---++=+++++.2 带四种余项泰勒公式的证明下面我们给出几种大家常见的带余项泰勒公式的证明.2.1 带佩亚诺型余项泰勒公式的证明定理1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()(())0n f x T x o x x n =+-，即()200000000''()()()()'()()()...()(())2!!n n n f x f x x f x f x f x x x x x x x o x x n -=+-+-++-+-.(1)证明 设0()()(),()()n n n n R x f x T x Q x x x =+=-现在只需证()()lim0n x x R x Q x →=. 由关系式()00()()k k n f x T x =,1,2,...n =可知()000()'()...()0n n n n R x R x R x ====.并容易知()()0000()'()...()0,()!n n n n n n Q x Q x Q x Q x n =====.因为()0()n f x 存在，所以在点0x 的某领域0()U x 内f 存在n-1阶导函数()f x ．于是，当0()x U x ∈且0x x →，允许连续使用洛必达法则1n -次，得到00(1)(1)()'()limlim ()()...()lim ()n nx x x n nn n n x x nR x R x Q x Q x R x Q x →∞→--→===00(1)(1)0000(1)(1)000()()()()lim !()()()1lim[()]!0n n n x x n n n x x f x f x f x x x n x x f x f x f x n x x --→--→---=--=--=定理所证的（1）式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，()()()R x f x T x n n =-则称为泰勒公式的余项，形如0(())n o x x -的余项称为佩亚诺型余项．即（1）又称带有佩亚诺型余项的泰勒公式．2.2 带拉格朗日型余项泰勒公式的证明定理2 如果一个函数在[],a b 上有直至n 阶的连续导数，在(),a b 之间有()1n +阶的导数，则任意给出的x ，[]0,x a b ∈，至少有一点(,)a b ξ∈，使得：(1)2100000000''()()()()()'()()()...()().(2)2!!(1)!n n n n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++=+-+-++-+-+ 证明 设辅助函数()()'()()[()()()...()!n f t nF t f x f t f t x t x t n =-+-++-1()()n G t x t +=-.即证明的（2）式为(1)()()()00(1)!n f F x G x n ξ+=+或者(1)()()0()(1)!0n F x f G x n ξ+=+.设0x x <，则()()F t G t 与在0[,]x x 上连续，在0(,)x x 内可导．(1)()'()()!n f t nF t x t n +=--,'()(1)()0nG t n x t =-+-≠.因为()()0F x G x ==，所以由柯西中值定理证明得'(1)()()()()()00'()()()(1)!00()n F x F x F x F f G x G x G x n G ξξξ+-===-+.0(,)(,)x x a b ξ∈⊂其中，（2）式则称为泰勒公式，该泰勒公式的余项为()(1)1000()()()()(),()1!n n n n f R x f x T x x x x x x n ξξθ++=-=-=+-+,(1)()1()()()(),()000(1)!n f n R x f x T x x x x x x n n n ξξθ++=-=-=+-+. (01)θ<<则称为拉格朗日型余项，所以该泰勒公式称为拉格朗日型泰勒公式．2.3 带积分型余项泰勒公式的证明定理3 若函数()f x 在点0x 的领域0()U x 内有连续的1n +阶导数，则0()x U x ∀⊂，有()00000'()1()()()...()()()1!!n n n f x f x f x x x f x x x R x n =+-++-+. 其中0(1)1R ()()()!x n nn x x f s x s ds n +=-⎰为积分型余项，且 +1110000()R ()(())(1)!n n nn x x x f x t x x t dt n +-=+--⎰ （3） 证明 使用Newton - Leibniz 公式和使用分部积分法，得00()()'()()'()()x xx x f x f x f t dt f x f t d x t =+=--⎰⎰000()'()()''()xx f x f x x x f x t dt =+-+-⎰20001()'()()''()()2xx f x f x x x f t d x t =+---⎰220000011()'()()''()()'''()()22xx f x f x x x f x x x f t d x t dt =+-+-+-⎰···= 200000011()'()()''()()...()2!n n f x f x x x f x x x f x x n +-+-++-+ 0(1)1()()!x n n x f t x t dt n +-⎰． 然后做变量代换00()s x t x x =+-则得到 式（3）．2.4 带柯西型余项泰勒公式的证明定理4 若函数()f x 在点0x 的领域0()U x 内有连续1n +阶导数，则0()x U x ∀∈，有()00000'()()()()()...()()1!!n n f x f x f x f x x x x x R x n =+-++-+.其中(1)10001()(())(1)()!n n n n R x f x x x x x n θθ++=+---，(01)θ≤≤特别当00x =，则又有简单形式(1)11()()(1)!n n n n R x f x x n θθ++=- (01)θ≤≤ . （4） 此处()n R x 统称为柯西余项．证明 取定x ，不防设0x >，设辅助函数()0()()()()!k nk f t t f x x t k φ==--∑, 此时令()t x t ϕ=-,对()t φ与()t ϕ应用柯西中值公式，知存在(0,)x ξ∈使得(1)1()()(0)'()()()''()(0)'()!n n n R x x f x x x n φφφξξξφφφξ++--===-,此时，令x ξθ= (01)θ<<.即得到式（4）.3 泰勒公式的应用3.1 带佩亚诺型余项泰勒公式的应用3.1.1 利用佩亚诺余项泰勒公式判别函数的极值应用带有皮亚诺型余项的泰勒公式，将函数的极值的第二充分条件进行推广，借助高阶导数，可得到极值的另一种判别法．若()f x 在点0x 及邻域0()U x 内具有n 阶连续导数，且'''(1)()0000()()...()0,()0n n f x f x f x f x -====≠，（1） 若n 为奇数，则0x 不是极值点;（2） 若n 为偶数，则当()0()0n f x <，0()f x 为极大值；当()0()0n f x >，0()f x 为极小值．证明 由已知条件及泰勒公式有()0000()()()()[()]!n n n f x f x f x x x o x x n =+-+-，则 ()0000()()()()[()]!n n n f x f x f x x x o x x n -=-+- .由于()0()0n f x ≠,则存在点0x 的某一邻域0()U x ，使得0()x U x ∈时式（1）等号右端由第一项符号决定(1)若n 为奇数，在点0x 的某一邻域0()U x 内，当0x x <时，0()0n x x -<； (2)若n 为偶数且()0()0n f x <时，有0()()0f x f x -<即对一切0()x U x ∈0()()f x f x <故0()f x 为极大值，同理可证当()0()0n f x >，0()f x 为极小值．(3)当0x x >，0()0n x x ->，即0x 的左右侧，式（1）的右端异号，所以0x 是非极值点．例1 求函数43()(2)f x x x =+的极值．解 由于32'()(2)(78)f x x x x =++，所以80,2,7x x x ==-=-是函数的驻点，求()f x 的二阶导数22''()6(2)(7168)f x x x x x =+++得8''(0)0,''(2)0,''()07f f f =-=-<，所以()f x 在87x =-时取得极大值．3.1.2未定极限与无穷小的应用在利用泰勒公式求极限时，首先看清楚所求极限的形式，然后根据所学的再来对极限进行泰勒展开．例2 求极限2240cos limsin x x x e x-→-．解 极限中分母的次数是4，现在把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂，24411cos 1()2!4!x x x o x =-++22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+,故 2240cos limsin x x x e x-→-444011()()4!8lim x x o x x→-+= 112=-.例3求极限0x →． 分析 因为分子中有根号项，可以运用洛必达法则来解决问题，但是步骤繁琐，只要我们使用泰勒公式来求解，问题就简单了.解0x =处点的麦克劳林公式展开2x 项得221()28x x o x =+-+221()28x x o x =--+.则x →0x →=222220(1())(1())2828lim x x x x x o x o x x →+-++--+= 22220()88lim 14x x x o x x →--+==. 例4 确定α的值，使得函数223sin 2sin cos x x x x e x x x -+-+与x α为同阶无穷小．解 3α= 因为2223322333333sin 2sin cos 8(1())3(())(2())2661().6x x x x e x x xx x x x x x x o x x o x x o x x o x -+-+=-++++--++-+=+例5 已知极限0arctan limk x x xc x→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，求k ，c . 解 0arctan lim k x x xx→- 210221023030111lim 1lim 11lim 1lim .k x k x k x k x x kx x x kx x kxkx-→-→-→-→-+=+=+==因为c 为常数，所以30k -=，即3k =，因此13c =.3.1.3求行列式的值要用泰勒公式余项来计算行列式的基本思路：首先要知道所求行列式的基本特点，构造与该行列式相对应的行列式函数，然后再把这个行列式函数在某点按泰勒公式展开，最后求出行列式函数的各阶导数值即可.例 6[6] 求n 阶行列式D=x z z z yx z zyy x z y y y x（5）解 记()n f x D =，按泰勒公式在z 处展开：'''()2()()()()()()()()1!2!!n nn n n n f z f z f x z f x f z x z x z x z n -=+-+-++- . （6）易知100000000()0k k z y y z y y z yy D z z y z yy zy----==--- , （7）由（7）得，1()(),1,2,...,k k f z z z y k n -=-=时都成立.根据行列式求导的规则,有''''1122111()(),()(1)(),,()2(),()1(()).n n n n f x nf x f x n f x f x f x f x f x x ---==-==因为=于是()n f x x z =在处的各阶导数为''21'''''31111()()()|()()()()|()(1)()············()|(1)2()(1)2()(1)2.n n n x z n n n n x z n n n n n x z n n f z f z nf z nz z y f z f z nf z n n z z y f z f n n f z n n zf z n n -=--=---====-===--==-=-=-把以上各导数代入（6）式中,有12321(1)()()()()()()1!2!(12)(1)21()().(1)!!n n n n n n n n n f x z z y z z y x z z z y x z n n n n z x z x z n n -----=-+--+----.++-+--1()()[(1)]n n z y f x x y x n y -若=,有=-+-， ()()().n nn z x y y x z z y f x z y---若≠，有=-3.2 带拉格朗日型余项泰勒公式的应用3.2.1 证明中值公式例7 设()f x 在区间上三阶可导，试证(,)c a b ∃∈使得31()()'()()'''()().224a b f b f a f b a f c b a +=+-+- （8）证明 设下式成立的实数31()()'()()'''()()0224a b f b f a f b a f c b a +-----=， （9）现在就要证明(,)c a b ∃∈，使得'''()k f c =（10），令3()()()'()()()224a x kg x f x f a f x a x a +=-----， （11）则()()0,g a g b ==由罗尔定理，(,)a b ς∃∈使得'()0g ς=由（11）式得2'()'()''()()()02228a a a kf f f a ςςςςς++--+--=， （12）上式是关于k 的方程，则'()f ς在点2a ς+处的泰勒公式 21'()'()''()()'''()()22222a a a a f f f f c ςςςςς++--=-+. （13）(,)c a b ∃∈，比较（12）（13）式有221()'''()()88k a f c a ςς-=-，则'''()k f c =，从而得到（8）.3．2．2证明不等式和等式在证明不等式的问题中，我们经常遇到题中的有高阶导数，我们就可以选择合适的泰勒展开点，而且展开的最高阶导数不得超过题中给出的最高阶导数，最后用高阶导数的放大有界性进行放缩，得到要证明的不等式. 对泰勒公式的展开点0x 和被展开点的x 的选择是有讲究的，因为展开的阶数和项数都可能根据需要而改变.例 8 设函数()f x 在闭区间[0,1]上二阶可导，在开区间(0,1)内取到最大值12，且二阶导数满足|''()|2f x ≤，证明|(0)(1)|2f f +≤．证明 设0(0,1)x ∈为函数最大值点，则01()2f x =且0'()0f x =．把函数()0,1f x x =在处的值用0x 处的带拉格朗日余项的泰勒公式表示，且最高导数为2 ，则22000101010111(0)()'()(0)''()(0)''(),(0,)222f f x f x x f x f x x ξξξ=+-+-=+∈, 22000202020111(1)()'()(1)''()(1)''()(1),(,1)222f f x f x x f x f x x ξξξ=+-+-=+-∈. 于是2200|(0)||(1)|1+(1)1+1=2f f x x +≤+-≤．不等式得证．例 9 证明lim sin(2!)2x n en ππ→∞=.证明 由泰勒公式，可知1011,01,!(1)!n nn k e e k n θθ+==∑+<<+ 110111,01,!(1)!(2)!n nn k e e k n n θθ++==∑++<<++ 将上述两式两边相减，得11111(1)!(1)!(2)!n n e e n n n θθ++=++++,或111(2)!n n e e n θθ+=++.由11lim 1lim1lim 0(2)!n n n x x x e e n θθθ+→∞→∞→∞=+=⇒=+,故11112!2(1...)!1!2!!(1)!n en e n n n θππ=++++++ 22(1)!n k e n θππ=++，111!(1...)1!2!!k n n =++++ , 则2sin(2!)sin 1nn en n e n θππ=+ 222sin()/()111n n nn e e e n n n θθθπππ=+++.于是22lim sin(2!)lim 2sin()/()111nn nx x n n en e e e n n n θθθππππ→∞→∞=+++ 2π=． 3.2.3 计算近似值的应用一些数值的近似计算和函数的近似计算式可以利用泰勒公式得到, 函数的近似计算式利用)(x f 麦克劳林展开得到'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n nf f f x f f x x xn ≈+ + + + ，误差是余项()n R x ．例10 计算lg11的值,准确到5-10. 解111lg11lg(101)1lg ln )10ln1010=+=+(1+)=1+(1+,因为23ln(1)23x x x x +=-++ (1)n x n -(-1)n+(-1)11(1)(1)n n x n x ++++θ， 1x 0<θ<1, >-要使(1)1(1)10(1)(1)ln1010n n n n -++-||θ++5102(1)n -n+1-<<10+542(1)1010n n -(n+1)-+>=,取4n =,故11111lg111ln1010200300040000≈+(-++)≈1.04139.3.3 带积分型余项泰勒公式的应用3.3.1定积分计算当题目或者问题条件出现具有二阶导二阶以上的连续导，可以考虑泰勒公式. 例 11 计算10(1)x n e x dx -⎰ ()n N +∈.解 设 ()x f x e = 则 (1)()n x f x e +=由公式有1100001(1)!(1...1)!x n ne x dx n e e e e n -=----⎰11!(2...)2!!n e n =----.例 12 计算10(1)m n x x dx-⎰.解 (1)11100!(1)(1)(1)!n m n m nn x m x x dx x dx m n +++⎡⎤-=-⎢⎥++⎣⎦⎰⎰!!(1)!!!(1)!m n m n n m m n ⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦=++.3.4 带柯西型余项型泰勒公式的应用3.4.1初等函数的幂级数的展开式中的应用例 13 证明若函数()f x 在区间(,)a +∞内可导，且 'lim ()()0x f x f x →∞⎡⎤+=⎣⎦，则lim ()0x f x →∞=．证明 令 ()()x F x f x e =，()x G x e =，显然，'()0G x ≠.已知'lim ()()0x f x f x →∞⎡⎤+=⎣⎦ ， 即0ε∀>，0A ∃>，x A ∀>,有'|()()|f x f x ε+<，x A ∀>，根据柯西中值定理，有''()()()()()()F x F A F CG x G A G C -=-，A c x <<.或'()()()()()()1A x x A A x x Af x f A e f x e f A e f c f c e e e----==+--, 或'|()||()||()()|(1)A x A x f x f A e f c f c e --≤+++.已知lim 0A x x e -→∞=，即1A A ∃>，1x A ∀>，有A x e ε-<与1A x e -<,于是，1x A ∀>，有|()||()|2(|()|2)f x f A f A εεε≤+=+,即 lim ()0x f x →∞=.例 14 设函数()f x 在[,]a b 上可微，且a 与b 同号，证明：(,)a b ξ∃∈，使得 （1）22'2[()()]()()f b f a b a f ξξ-=-.（2）'()()(ln )()bf a f b f aξξ-=.证明 （1）将原不等式变形为'22()()()2f b f a f b a ξξ-=-知，只要引入辅助函数2()g x x =．由于()f x ，()g x 在(,)a b 上满足柯西中值定理条件，所以(,)a b ξ∃∈'22()()()2f b f a f b a ξξ-=-. 即22'2[()()]()()f b f a b a f ξξ-=-.（2）将原不等式变形为'()()()1ln ||ln ||f b f a f b a ξξ-=-知，只要引入辅助函数()g x =ln ||x ，由于()f x ，()g x 在(,)a b 上满足柯西中值定理条件，所以(,)a b ξ∃∈，使''()()()()1ln ||ln ||f b f a f f b a ξξξξ-==-，即()()f b f a -=''ln ||()ln()()b bf f a aξξξξ= 总结 从大量的应用中发现很多问题用泰勒公式去解决很容易，也很简单，同时灵活巧妙的应用泰勒公式却不容易.当然，不同余项的泰勒公式之间是可以转换的，但是，不同的余项型在解决不同的类型的问题时有各自的优点.我们知道泰勒公式经常用到的是在计算求极值、无穷小问题、近似值、行列式、定积分等一类问题中.比如例4，例5中就很好地运用了泰勒展开公式求无穷小的问题中，其中例5是2013年考研数学（一）中的一道题，行列式的运算例6.因此熟练地掌握一些常用泰勒公式展开点就显得非常重要，运用时才能举一反三，灵活应用.致谢 本文是在方春华老师的指导和帮助下完成的, 在此对方老师表示衷心的感谢！参考文献[1] 华东师范大学数学系．数学分析（上册、第三版）北，高等教育出版社．2001（2008重印）：134-139．[2] 曹爱民．高等数学中秋极限的几种常用方法[J].济南教育学院报，2001，（6）：57-59．[3] 陈丽，王海霞．泰勒公式的应用．廊坊师范学院（自然科学版）[J]．2009．4第九卷第2期：22．[4] 谭荣，泰勒公式的应用．和田师范专科学校学报（汉文综合版）[J]．2008．7第28卷第一期总第51期：191．[5] 齐成辉．泰勒公式的应用[J]陕西师范大学学报：自然科学版，2003．S1，23—25．[6] 欧伯群.泰勒公式巧解行列式，广西梧州师范高等专科学校学报 [J]．钦州师专数学系，2000,16（2）：67-68．[7] 王书华．浅谈泰勒公式的应用[J].科技风，2010．05期，10-11．[8] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M] .北京：高等教育出版社，2005:173—179．[9] 刘玉莲，杨奎元，刘伟，吕凤．数学分析讲义学习辅导书（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003．12（2005重印）199—202,228—231．[10] 黄军华．带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用[J].玉林师范学院报（自然科学，2006,第27卷第3期.[11] ]Dale Varberg , Edwin J . Purcell Steven E. Rigdon ,Calculus[M] .Beijing :China Machine Press ,2004 :467 – 476．[12] E. B. Saff,`A. D. Snider , Fundamentals of Complex Analysiswith Applications to Engineering and Science [M] . Beijing :China Machine Press ,2004 :242 – 249．。

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须)()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。