2019考研：理学专业近200,但这8个最受欢迎!_毙考题

2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题******************************************************************************************** 招生专业及代码：080501 材料物理与化学、080502材料学、080503 材料加工工程、0805Z1 生物材料、085204材料工程（专业学位）考试科目级代码：821材料综合考生请注意：《材料综合》满分150分，考卷包括A《基础化学》、B《材料科学基础》两项内容。

请根据自己的专业背景和未来拟从事的专业研究方向，只能从A、B两项中任选其中一项作答，如果两项都做，仅记A项的成绩。

A、基础化学考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。

一、选择题(选择一个正确答案，共20题，每小题2分，共40分)1. 以下哪一个离子半径最小？(A) Li+(B) Na+(C) Be2+(D) Mg2+2．以下哪一个元素的第一电离能最低：(A) Sr (B) As (C) Xe (D) F3．下列分子中，具有偶极矩的是：(A) PCl5(B) H2Se (C) CO2(D) BCl34. 下列分子中，哪一个分子的键级最大：(A) BN (B) Ne2(C) F2(D) N25. 下列哪一种物质的酸性最强：(A) HBr (B) H2Te (C) H2Se (D) PH36. 在酸性溶液中，下列各对离子能共存的是：(A) Fe2+和Ag+(B) SO32-和MnO4-(C) Hg2+和Sn2+(D) Fe2+和Sn2+7. 下列哪一种弱酸的盐最易水解？(A) HA：K a= 1×10-8(B) HB：K a= 2×10-6(C) HC：K a= 3×10-8(D) HD：K a= 4×10-108. 浓度为1.0×10-4 mol/L，K a = 1.0×10-5的某酸性指示剂在变色点时的pH值为：(A) 3.00 (B) 5.00 (C) 7.00 (D) 9.009. 下列说法中，哪个是不正确的：(A) 氢键具有饱和性和方向性(B) 氢键强弱与元素电负性有关(C) 氢键属于共价键(D) 分子间氢键使化合物的熔点、沸点显著升高10. 反应CO(g ) + 2H 2(g )→ CH 3OH(g )不存在催化剂时，正反应的活化能为E 1，平衡常数为K 1。

2019年考研数学一真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则0x =是()f x 的（ ）（A ）可导点，极值点 （B ）不可导的点，极值点 （C ）可导点，非极值点 （D ）不可导点，非极值点【答案】（B ）【详解】（1）01ln(00)lim ln lim 0,(00)lim 0,(0)01x x x x f x x f x x f x++-→→→-+===-===，所以函数在0x =处连续；（2）0ln (0)lim x x xf x++→'==-∞，所以函数在0x =处不可导；（3）当0x <时，2(),()20f x x f x x '=-=->，函数单调递增；当10x e<<时，()1ln 0f x x '=+<，函数单调减少，所以函数在0x =取得极大值．3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）（A ）1n n u n ∞=∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （D ）2211()n n n u u ∞+=-∑【答案】（D ）【详解】设{}n u 是单调增加的有界数列，由单调有界定理知lim n n u →∞存在，记为lim n n u u →∞=；又设n ∀，满足n u M ≤，则221111()()2()n n n n n n n n u u u u u u M u u ++++-=+-≤-，且2210n n u u +-≥，则对于正项对于级数2211()n n n uu ∞+=-∑，前n 项和：221111111()2()2()22nnn k kk k n n k k S uu M u u M u u Mu Mu ++++===-≤-=-≤→∑∑也就是2211()n n n uu ∞+=-∑收敛．4．设函数2(,)xQ x y y=，如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰那么函数(,)P x y 可取为（ ）（A ）22x y y - （B ）221x y y - （C ）11x y- （D ）1x y -【答案】（D ）【详解】显然，由积分与路径无关条件知21P Q y x y ∂∂≡=∂∂，也就是1(,)()P x y C x y=-+，其中()C x 是在(,)-∞+∞上处处可导的函数．只有（D ）满足．5．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是（ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---【答案】（C ）【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件22A A E +=可得220λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的规范型为222123y y y --．6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则（ ）（A ）()2,()3r A r A == （B ）()2,()2r A r A == （C ）()1,()2r A r A == （D ）()1,()1r A r A == 【答案】（A ）【详解】(1)显然三个平面没有共同交点，也就是非齐次方程组无解，从而()()r A r A <； （2）从图上可看任何两个平面都不平行，所以()2r A ≥；7． 设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 （ ）（A ）()()()P A B P A P B =+ （B ） ()()()P AB P A P B =（C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB =【答案】（C ）【详解】选项（A ）是,A B 互不相容；选项（B ）是,A B 独立，都不能得到()()P A P B =； 对于选项（C ），显然，由()()(),()()()P AB P A P AB P B A P B P AB =-=-，()()()()()()()()P AB P B A P A P AB P B P AB P A P B =⇔-=-⇔=8．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ．则{1}P X Y -<（ ）（A ）与μ无关，而与2σ有关 （B ）与μ有关，而与2σ无关 （C ）与μ，2σ都有关 （D ）与μ，2σ都无关【答案】（A ）【详解】由于随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ，则2~(0,2)X Y N σ-，从而{1}{11}21P X Y P X Y P -<=-≤-<=≤≤=Φ- 只与2σ有关．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ ． 【答案】cos cos y x x y+ 解：cos (sin sin ),cos (sin sin )z zx f y x y y f y x x x y∂∂''=-⋅-+=⋅-+∂∂ 11cos cos cos cos z z y xx x y y x y∂∂⋅+⋅=+∂∂ 10．微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = ．【答案】y =【详解】把方程变形2220yy y '--=得22()()20y y '--=，即222(2)22x d y dx y Ce y y +=⇒+=⇒=+由初始条件(0)1y =确定3C =，所以y =11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑，我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答． 【答案】1【详解】注意20(1)cos ,(,)(2)!n nn x x x n ∞=-=∈-∞+∞∑，从而有：110(1)(1)(1)11,(0,)(2)!(2)!(2)!n n n n nn n n n x x n n n ∞∞∞===---==-=∈+∞∑∑∑ 12．设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧，则∑= ．【答案】32.3【详解】显然曲面∑在xOy 平面的投影区域为22{(,)|4}xy D x y x y =+≤22220432dxdy dxdy 2sin 3x y y y d r dr πθθ∑∑+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13．设123(,,)A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且3122ααα=-+，则线性方程组0Ax =的通解为 ．【答案】121x k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．【详解】显然矩阵A 的秩()2r A =，从而齐次线性方程组0Ax =的基础解系中只含有一个解向量．由3122ααα=-+可知12320ααα-+-=也就是121x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为方程组基础解系，通解为121x k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．14．设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，()F x 为其分布函数，()E X 其数学期望，则{()()1}P F X E X >-= ．【答案】2.3【详解】20,01(){},0241,2x F x P X x x x x <⎧⎪⎪=≤=≤<⎨⎪≥⎪⎩，2204()23x E X dx ==⎰．012{()()1}{()}{133P F X E X P F X P X >-=>=>=-=三、解答题15．（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解．（1）求()y x ；（2）求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点． 【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程． 先求解对应的线性齐次方程0y xy '+=的通解：22x y Ce -=，其中C 为任意常数；再用常数变易法求22x y xy e-'+=通解，设22()x y C x e-=为其解，代入方程，得2222(),()1x x C x eeC x --''==，1()1C x dx x C ==+⎰，也就是通解为：221()x y x C e-=+把初始条件(0)0y =代入，得10C =，从而得到22().x y x xe -=（2）2222232222(),()(1),()(3)(x x x x y x xey x ex y x x x ex x x e----'''==-=-=令()0y x ''=得1230,x x x ===．当x <0x <<0y ''<，是曲线的凸区间；当0x <<或x >0y ''>，是曲线的凹区间．曲线的拐点有三个，分别为3322()--．16．（本题满分10分）设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34l i j =--的方向导数最大 ，最大值为10．（1）求常数,a b 之值；（2）求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积． 【详解】（1）222z ax by =++，则2,2z zax by x y∂∂==∂∂； 所以函数在点(3,4)处的梯度为()(3,4)(3,4)|,6,8z z gradf a b x y ⎛⎫∂∂==⎪∂∂⎝⎭；gradf = 由条件可知梯度与34l i j =--方向相同，且10gradf ==．也就得到2683410a b⎧=⎪--=解出11a b =-⎧⎨=-⎩或11a b =⎧⎨=⎩（舍）．即11a b =-⎧⎨=-⎩．（2）22202133Sx y S dS d ππθ+≤====⎰⎰⎰⎰⎰． 17．（本题满分10分）求曲线sin (0)xy e x x -=≥与x 轴之间形成图形的面积．【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k π==当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0xy e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππ+---=+⎰，22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为22202200220022220sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)22121k k xxx k k k k k k k k k k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e ππππππππππππππππππ∞∞+∞++---+==∞∞-----==-∞-----===-=++++=+=+=--∑∑⎰⎰⎰∑∑∑18．（本题满分10分）设1(0,1,2,)n a x n ==⎰（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+；（2）求极限1lim n n n a a →∞-． 【详解】（1）证明：1n a x =⎰，110(0,1,2,)n n a x n ++==⎰当(0,1)x ∈时，显然有1n nxx +<，1110(0n n n n a a x x ++-=-<⎰，所以数列{}n a 单调减少；先设220sin cos ,0,1,2,nn n I xdx dx n ππ===⎰⎰则当2n ≥时，12222202sin sin cos (1)sin cos (1)()nn n n n n I xdx xd x n x xdxn I I πππ---==-=-=--⎰⎰⎰也就是得到22,0,1,1n n n I I n n ++==+令sin ,[0,]2x t t π=∈，则122222201sin cos sin sin 2nnn n n n n a xt tdt dt tdt I I I n πππ++===-=-=+⎰⎰⎰⎰ 同理，2211n n n n a I I I n --=-=-综合上述，可知对任意的正整数n ，均有212n n a n a n --=+，即21(2,3,)2n n n a a n n --==+； （2）由（1）的结论数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+ 2111111222n n n n n a n n n a a a n n a n ------=>⇒>>+++ 令n →∞，由夹逼准则，可知1lim1nn n a a →∞-=．19．（本题满分10分）设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体，求Ω的形心坐标．【详解】先计算四个三重积分：22211120(2)(1)1(1)3zD x y z dv dz dxdy dzdxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)(1)12zD x y z zdv zdz dxdy zdzdxdy z z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211(2)(1)0zD x y z xdv dz xdxdy dzxdxdy Ω+-≤-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)22(1)3zD x y z ydv dz ydxdy dzydxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 0xdvx dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，2ydvy dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，14zdvz dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．从而设形心坐标为1(,,)(0,2,)4x y z =．注：其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体，则由体积公式显然13dv πΩ=⎰⎰⎰，且由对称性，明显0x =，2y =．20．（本题满分11分）设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基，111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,,a b c 之值；（2）证明：23,,ααβ也为3R 空间的一组基，并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵．【详解】（1）由123b c βααα=++可得11231231b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组，得32.2a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩且当3a =时，()123111111,,23301110123012ααα===≠，即123,,ααα线性无关，确实是3R 空间的一组基．（2）()23111111,,33100220231011ααβ==-=≠-，显然23,,ααβ线性无关，当然也为3R 空间的一组基． 设()()23123,,,,a P αβααα=，则从23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵为()()1123123111111011111110,,,,3312330.50.512330.501231123 1.50.501230.500P ααβααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=． 【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：A BtrA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩．（2）解方程组221232(2)(2)(1)0002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-；分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 可逆，且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；同样的方法，可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则2P 可逆，且12212P BP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；由前面111122P AP P BP --=，可知令112111212004P PP --⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，就满足1P AP B -=． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为：{1}P Y p =-=，{1}1P Y p ==-，(01)p <<．令Z XY =．（1）求Z 的概率密度；（2）p 为何值时，,X Z 不相关；（3）此时，,X Z 是否相互独立．【详解】（1）显然X 的概率密度函数为,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩．先求Z XY =的分布函数：(){}{}{,1}{,1}(1){}{}1()(1())Z X X F z P Z z P XY z P X z Y P X z Y p P X z pP X z F z p F z =≤=≤=≤=+≥-=-=-≤+≥-=-+--（）再求Z XY =的概率密度：,0()(())()(1)()0,0(1),0z Z Z X X z pe z f z F z pf z p f z z p e z -⎧<⎪'==-+-==⎨⎪->⎩（2）显然()1,()1;()12E X D X E Y p ===-；由于随机变量,X Y 相互独立，所以()()()()12E Z E XY E X E Y p ===-；22()()()()24E XZ E X Y E X E Y p ===-；(,)()()()12COV X Z E XZ E X E Z p =-=-；要使,X Z 不相关，必须(,)()()()120COV X Z E XZ E X E Z p =-=-=，也就是0.5p =时,X Z 不相关；（3）,X Z 显然不相互独立，理由如下：设事件{1}A X =>，事件{1}B Z =<，则11(){1}x P A P X e dx e +∞--=>==⎰；11(){1}{1,1}{1,1}12P B P Z P X Y P X Y e -=<=>-=-+<==-；11(){1,1}{1,1}(1,}{1}{1}P AB P X Z P X XY P X Y P X P Y pe x -=><=><=><=>⋅=-=，当0.5p =时，显然()()()P AB P A P B ≠，也就是,X Z 显然不相互独立．23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，其中μ是已知参数，σ是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本．（1）求常数A 的值；（2）求2σ的最大似然估计量．【详解】（1）由()1f x dx +∞-∞=⎰可知222()201x Aedx ed μσμσ---+∞+∞===⎰⎰所以A =似然函数为212()22121,(,,;)(,)0,ni i X n n i n i n i A ex L X X X f x μσμσσσ=--=⎧∑⎪⎪≥==⎨⎪⎪⎩∏其他， 取对数，得22212211ln (,,,;)ln ln()()22nn ii n L X X X n A Xσσμσ==---∑11 解方程221222221ln (,,,;)11()0()22()n n i i d L X X X n X d σμσσσ==-+-=∑，得未知参数2σ的最大似然估计量为2211()ni i X n σμ==-∑．。

2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版）一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 kx 是 同阶无穷小量，则k=（ ）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.【答案】C .【解析】因为 3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －２２的拐点是（ ） A 、,ππ⎛⎫⎪⎝⎭　２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭　２２.【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。

当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π-　是拐点。

故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ）A 、xxe dx +∞-⎰. B 、 2x xe dx +∞-⎰. C 、 20tan 1arx x dx x +∞+⎰. D 、201x dx x+∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、1xxx x xe dx xde xee dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；B 、222001122x x xe dx e dx +∞+∞--==⎰⎰，收敛；C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛； D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰，发散，故选D 。

4、已知微分方程的x y ay byce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、 1,0,1.B 、 1,0,2.C 、2,1,3.D 、2,1,4. 【答案】D .【解析】 由题设可知1r=-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，所以2,1a b ==　。

2019年研究生统一入学考试数学（二）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.当时，若与是同阶无穷小，则k=（ ）。

A.1B.2C.3D.42.设函数的拐点（ ）。

A.B.C.D 3.下列反常积分发散的是（ ）。

A.B.C.D.4.已知微分方程的通解为，则、、、依次序为（ ）。

A.1，0，1B.1，0，2C.2，1，3D.2，1，45.已知区域，，，，试比较的大小（ ）。

A.B.C.D.CCDDA6.已知是二阶可导且在处连续，请问相切于且曲率相等是的什么条件？A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.即非充分又非必要条件7.设A是四阶矩阵，是A的伴随矩阵，若线性方程组的基础解系中只有2个向量，则的秩是（ ）。

A.0B.1C.2D.38.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵。

若，且，则规范形为（ ）。

A.B.C.D.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9.。

10.曲线在对应点处切线在y轴上的截距。

11.设函数可导，，则。

12.已知函数的弧长为。

13.已知函数，则。

14.已知矩阵，表示中元的代数余子式，则。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本题为多选，计算步骤符合采分点即可得分。

15.已知求，并求的极值。

当x>0时，当x<0时，AA C故，而在x=0附近时，当x>0，，单调递减；当x<0，，单调递增；故在x=0处取极大值16.求不定积分。

17.是微分方程满足的特解。

（1）求；由于则可以得出，两边同时积分可以得由于，代入得c=0，故（2）设平面区域求D绕x轴旋转一周的体积；由体积公式得18.已知平面区域D满足，，求。

极坐标方程为，由于对称性==19.，是的图像与x轴所围成图形的面积，求，并求。

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题(总分150, 做题时间180分钟)选择题每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1.当x →0 时，若x-tanx与x k是同阶无穷小，则 k=SSS_SINGLE_SELA1B2C3D4该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C2.已知方程 x5-5x + k = 0 有个不同的实根，则 k 的取值范围SSS_SINGLE_SELA（-∞，-4）B（4，+∞）C[-4，4]D（-4，4)该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D3.已知微分方程y''+ay'+by=ce x的通解为y=（C1+C2x）e-x+e x，则a，b，c依次为SSS_SINGLE_SELA1,0,1B1,0,2C2,1,3D2,1,4该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D由题干分析出-1为特征方程r2+ar+b=0的二重根，即（r+1）2=0 故a=2，b=1；又e x为y''+ay'+by=ce x的解，代入方程得c=44.SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B5.设A是四阶矩阵，A*是 A的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有 2 个向量，则A*的秩是SSS_SINGLE_SELAB1C2D3该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A由于 AX = 0 的基础解系有只有两个解向量，则由4 - R(A) = 2可得R(A) - 2 < 3，故R(A* ) = 0。

6.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若A2+A=2E ,且| A |=4 ,则二次型x T Ax的规范形为SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C∵A2+A=2E ,设 A的特征值为λ∴λ2+λ=2（λ+2）（λ-1）=0∴λ=-2或1∵| A |=4∴A的特征值为λ1=λ2=-2，λ3=1∴q=2，p=1∴X T Ax的规范形为y12-y22-y327.设 A,B 为随机事件，则 P(A) = P(B) 的充分必要条件是SSS_SINGLE_SELAP(A∪B) = P(A) + P(B)BP(AB) = P(A)P(B)CD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:CA选项⇔P(AB) =0 ,故 A 排除B选项⇔ A、B 独立，故 B 排除C选项⇔ P(A) - P(AB) = P(B) - P(AB)而P(A) ⇔ P(B) ，故 C 正确= 1- P(A) -P(B) + P(AB)⇔1 = P(A) + P(B) 故 D 排除8.设随机变量 X 与Y 相互独立，且都服从正态分布N（μ，σ2），则P{|X-Y|<1}SSS_SINGLE_SELA与μ无关，而与σ2有关B与μ有关，而与σ2无关C与μ,σ2都有关D与μ,σ2都无关该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A填空题每小题4分，共24分。

考研数学三分类模拟题2019年(15)(总分72, 做题时间90分钟)一、填空题1.______．SSS_FILL分值: 1因为所以原式2.SSS_FILL分值: 1答案:03.设f(x)在x=0处存在二阶导数，f(0)=0，f'(0)=a(a≠0)，则=______．SSS_FILL分值: 1而所以所以原题=．4.若二次型f(x1，x2，x3)=ax12+4x22+ax32+6x1x2+2x2x3是正定的，则a的取值范围是______．SSS_FILL分值: 1二次型f的矩阵为因为f正定A的顺序主子式全大于零，即Δ1=a＞0Δ2==4a-9＞0Δ3=|A|=4a2-10a＞0故f正定．二次型x T Ax正定≠0，恒有x T Ax＞0A的特征值全大于0二次型的正惯性指数p=n A与E合同，即有可逆矩阵C使A=C T C A的顺序主子式全大于0．二次型x T Ax正定的必要条件：aii＞0与|A|＞0．5.设=5，则=______．SSS_FILL分值: 1答案:10ln3由所给极限及(3x-1)=0得到，从而(x→0)．故．6.x=b，即设线性方程组A3×4有通解k[1，2，-1，1]T+[1，-1，0，2]T，其中k是任意常数，则方程x=b即组B3×3有一个特解是______．SSS_FILL分值: 1答案:(-3，1，1)T由观察，方程组(2)比方程组(1)减少了一个未知量．若方程组(2)有解ξ=(a，b，c)T，则η=(0，a，b，c)必是方程组(1)的解，现已知方程组(1)有无穷多解k(1，2，-1，1)T+(1，-1，0，2)T，其中k是任意常数，选择任意常数k，使(1)的解的第一个分量为0，即选k=-1，得(1)的一个特解为(0，-3，1，1)T，则向量(-3，1，1)T满足方程组(2)，是方程组(2)的一个特解．二、选择题1.设A是n阶矩阵，下列命题错误的是______．• A.若A2=E，则-1一定是矩阵A的特征值• B.若r(E+A)＜n，则-1一定是矩阵A的特征值• C.若矩阵A的各行元素之和为-1，则-1一定是矩阵A的特征值• D.若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则-1一定是A的特征值SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:A若r(E+A)＜n，则|E+A|=0，于是-1为A的特征值；若A的每行元素之和为-1，则根据特征值特征向量的定义，-1为A 的特征值；若A是正交矩阵，则A T A=E，令AX=λX(其中X≠0)，则X T A T=λX T，于是X T A T AX=λ2X T X，即(λ2-1)X T X=0，而X T X＞0，故λ2=1，再由特征值之积为负得-1为A的特征值，选A．2.若常数p，q，r，满足p≤q≤r，且使得广义积分收敛，则______ •**+q＜1．•**+r＞1．•**+q＜1，q+r＞1．**＜1，r＞1．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D设min{p，q，r}=p，当x→0+时，由于x p+x q+x r所以，当min{p，q，r}=p＜1时，收敛．max{p，q，r)=r，当x→+∞时，由于x p+x q+x r所以，当max{p，q，r)=r＞1时，收敛．综上，当min{p，q，r)=p＜1，且max{p，q，r}=r＞1时，收敛．3.设总体X～N(0，σ2)(σ2已知)，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，S2为样本方差，则下列正确的是______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C由X～N(0，σ2)，有Xi～N(0，σ2)，．选项A不正确，因为选项B不正确，因为选项C正确，因为又与S2独立，则由χ2分布的可加性知选项D不正确，因为4.设f(x)=|x|，g(x)=x2-x，则等式f[g(x)]=g[f(x)]成立时，x的变化范围为______• A.(-∞，1]∪{0}．• B.(-∞，0]．• C.[0，+∞)．• D.[1，+∞)∪{0}．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:Df[g(x)]=|g(x)|=|x2-x|，g[f(x)]=f2(x)-f(x)=|x|2-|x|=x2=|x|．由f[g(x)]=g[f(x)]，得|x2-x|=x2-|x|．当x2≥x，即x≤0或者x≥1时，有x2-x=x2-|x|，即x=|x|x≥0．综合得x≥1或x=0．当x2≤x，即1≥x≥0时，x-x2=x2-x x=1或x=0．综上所述，当x≥1或x=0时，f[g(x)]=g[f(x)]．5.设f(x)在x=x0的某邻域内有定义，则“存在等于A”是“f'(x)存在等于A”的• A.充分条件而非必要条件．• B.必要条件而非充分条件．• C.充要条件．• D.既非充分又非必要条件．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D实际上，在仅设“f(x)在x=x的某邻域内有定义”的条件下，“存在等于A”与“f'(x)存在等于A”毫无因果关系．举例说明如下：例如，设当x≠0时f(x)=1，f'(x)=0，．但f(x)在x=0处不连续，所以f'(0)不存在．所以“存在等于A”不是“f'(x)=A”的充分条件．又如，设有f'(0)存在等于0，而不存在．可见“存在等于A”不是“f'(x)=A”的必要条件．[评注] “设f(x)在x=x0处连续．在x=x的某去心邻域内可导，并设存在等于A，则f'(x)亦存在且等于A”今给予征明如下：由f(x)在x=x处连续，所以，极限为“”型，满足洛必达法则条件(1)．又因在x=x的某去心邻域f(x)可导，故满足洛必达法则条件(2)．又存在等于A，满足洛必达法则条件(3)，所以即f'(x0)=A。

2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版）一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与k x 是 同阶无穷小量，则k =（ ）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.【答案】C . 【解析】因为3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －２２的拐点是（ ） A 、,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭　２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫⎪⎝⎭　２２. 【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。

当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π-　是拐点。

故选 C .3、下列反常积分发散的是（ ）A 、0xxe dx +∞-⎰. B 、2x xe dx +∞-⎰. C 、20tan 1arx x dx x +∞+⎰. D 、201x dx x+∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、1xxx x xe dx xde xee dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；B 、222001122x x xedx e dx +∞+∞--==⎰⎰，收敛；C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛；D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰，发散，故选D 。

4、已知微分方程的x y ay byce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、 1,0,1.B 、 1,0,2.C 、2,1,3.D 、2,1,4. 【答案】D .【解析】 由题设可知1r =-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，所以2,1ab ==　。