2016届高考数学二轮复习第一部分微专题强化练习题20概率

第一篇 专题六 第1讲一、单项选择题1. (2023·廊坊模拟)若P (AB )＝19，P (A )＝23，P (B )＝13，则事件A 与B 的关系是( C )A ．事件A 与B 互斥 B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又相互独立【解析】 ∵P (A )＝1－P (A )＝1－23＝13，∴P (AB )＝P (A )P (B )＝19≠0，∴事件A 与B 相互独立，事件A 与B 不互斥，故不对立．故选C.2.将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝{两个点数互不相同}，B ＝{出现一个5点}，则P (B |A )＝( A )A.13 B ．518 C ．16D ．14【解析】 ∵出现点数互不相同的共有n (A )＝6×5＝30种，出现一个5点共有n (AB )＝5×2＝10种，∴P (B |A )＝n AB n A ＝13.3. (2023·宁波模拟)已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A ＝“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则P (A )＝( D )A.712 B ．2945 C ．2150D ．2950【解析】 从甲盒中随机取出一个白球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个红球或黑球的概率为P 1＝25×510＝15，从甲盒中随机取出一个红球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个白球或黑球的概率为P 2＝25×610＝625，从甲盒中随机取出一个黑球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个白球或红球的概率为P 3＝15×710＝750，则P (A )＝P 1＋P 2＋P 3＝15＋625＋750＝2950，故选D.4. (2023·日照模拟)已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为( D )A.528 B ．514 C ．1556D ．1528【解析】 5只鸡，3只兔子走出房门，共有A 88种不同的方案，其中恰有2只兔子相邻走出房子的方案为：先排5只鸡，会产生6个空隙，再从3只兔子中选2只捆绑排列，最后与剩下的兔子排列到6个空隙中共有A 55A 23A 26种方案，故恰有2只兔子相邻走出房子的概率为P ＝A 55A 23A 26A 88＝1528.故选D.5.某学生进行投篮训练，采取积分制，有7次投篮机会，投中一次得1分，不中得0分，若连续投中两次则额外加1分，连续投中三次额外加2分，以此类推，连续投中七次额外加6分，假设该学生每次投中的概率是12，且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是( B )A.9128B ．564C ．11128D ．332【解析】 根据题意，该学生在此次训练中恰好得7分，可分为三类情况：①若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，此时将连中4次看作一个整体，与其他三次不中排序，共有C 14C 33＝4种选择，故概率为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝132；②若连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续，故两次不中之间可能为一次中，也可能是三次中，有以下情况：中中中(不中)中(不中)中，中(不中)中中中(不中)中，中(不中)中(不中)中中中，则概率为C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫125⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝3128；③若有两次连中两回，有以下情况：中中(不中)中中(不中)中，中(不中)中中(不中)中中，中中(不中)中(不中)中中，满足要求，则概率为C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫125⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝3128，综上，该生在比赛中恰好得7分的概率为132＋3128＋3128＝564.故选B. 6. (2023·安徽模拟)一个盒子中装有5个黑球和4个白球，现从中先后无放回的取2个球，记“第一次取得黑球”为事件A ，“第二次取得白球”为事件B ，则P (AB )＋P (B |A )＝( A )A.79 B ．23 C ．56D ．89【解析】 ∵P (AB )＝59×48＝518，P (B |A )＝P AB P A ＝51859＝12，∴P (AB )＋P (B |A )＝79.故选A.7. (2023·建华区模拟)2022年小李夫妇开设了一家包子店，经统计，发现每天包子的销量X ～N (1 000,502)(单位：个)，估计300天内每天包子的销量约在950到1 100个的天数大约为( B )(附：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.997 3)A ．236B ．246C ．270D ．275【解析】 由题意可知，μ＝1 000，σ＝50，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)＝P (950≤X ≤1 050)≈0.682 7，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)＝P (900≤X ≤1 100)≈0.954 5，P (950≤X ≤1 100)＝P (950≤X ≤1 050)＋12[P (900≤X ≤1 100)－P (950≤X ≤1 050)]≈0.818 6，则300天内每天包子的销量约在950到1 100个的天数大约为300×0.818 6≈246.故选B.8. (2023·鲤城区校级模拟)在数字通信中，信号是由数字0和1组成．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为( B )A ．0.475B ．0.525C ．0.425D ．0.575【解析】 设B ＝“接收到的信号为0”，A ＝“发送的信号为0”，则A ＝“发送的信号为1”，B ＝“接收到的信号为1”，所以P (A )＝0.5，P (A )＝0.5，P (B |A )＝0.9，P (B |A )＝0.1，P (B |A )＝0.05，P (B |A )＝0.95，所以接收信号为0的概率为：P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A )P (B |A )＝0.5×0.9＋0.5×0.05＝0.475，所以接收信号为1的概率为：P (B )＝1－P (B )＝1－0.475＝0.525.故选B.二、多项选择题9. (2023·盐城模拟)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：投篮次数 投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A ，投中三分球为事件B ，没投中为事件C ，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是( ABC )A ．P (A )＝0.55B ．P (B )＝0.18C ．P (C )＝0.27D ．P (B ＋C )＝0.55【解析】 依题意，P (A )＝55100＝0.55，P (B )＝18100＝0.18，显然事件A ，B 互斥，P (C )＝1－P (A ＋B )＝1－P (A )－P (B )＝0.27，事件B ，C 互斥，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝0.45，于是得选项A 、B 、C 都正确，选项D 不正确．故选ABC.10. (2023·海珠区校级三模)已知事件A ，B ，且P (A )＝0.4，P (B )＝0.3，则( ABD ) A ．如果B ⊆A ，那么P (AB )＝0.3 B ．如果B ⊆A ，那么P (A ∪B )＝0.4C ．如果A 与B 相互独立，那么P (A ∪B )＝0.7D ．如果A 与B 相互独立，那么P (A －B －)＝0.42【解析】 如果B ⊆A ，则P (AB )＝P (B )＝0.3，故A 正确；如果B ⊆A ，则P (A ∪B )＝P (A )＝0.4，故B 正确；如果A 与B 相互独立，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝0.4＋0.3－P (AB )＝0.7－P (A )P (B )＝0.7－0.4×0.3＝0.58，故C 不正确；如果A 与B 相互独立，则P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝(1－0.4)×(1－0.3)＝0.42，故D 正确．故选ABD.11. (2023·南京模拟)甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则( ACD )A ．P (A )＝12B ．P (B |A )＝13C ．P (B )＝712D ．P (A |B )＝47【解析】 因为甲罐中有2个红球、2个黑球，所以P (A )＝24＝12，故选项A 正确；因为P (B )＝24×46＋24×36＝712，所以选项C 正确；因为P (AB )＝24×46＝13，P (B )＝712，所以P (A |B )＝P AB P B ＝47，故选项D 正确；因为P (B |A )＝P ABP A ＝1312＝23，所以选项B 错误．故选ACD. 12. (2023·船营区校级模拟)现有甲、乙两个箱子，甲中有2个红球，2个黑球，6个白球，乙中有5个红球和4个白球，现从甲箱中取出一球放入乙箱中，分别以A 1，A 2，A 3表示由甲箱中取出的是红球，黑球和白球的事件，再从乙箱中随机取出一球，则下列说法正确的是( ABC )A ．A 1，A 2，A 3两两互斥．B ．根据上述抽法，从乙中取出的球是红球的概率为1325.C ．以B 表示由乙箱中取出的是红球的事件，则P (A 2|B )＝526.D ．在上述抽法中，若取出乙箱中一球的同时再从甲箱取出一球，则取出的两球都是红球的概率为1345.【解析】 依题意，P (A 1)＝P (A 2)＝210＝15，P (A 3)＝610＝35，事件A 1，A 2不可能同时发生，即P (A 1A 2)＝0，因此事件A 1，A 2互斥，同理：事件A 2，A 3，事件A 1，A 3互斥，故A 正确；从乙箱中取出的是红球的事件为B ，则P (B |A 1)＝35，P (B |A 2)＝P (B |A 3)＝12，因此P (B )＝P (B |A 1)P (A 1)＋P (B |A 2)P (A 2)＋P (B |A 3)P (A 3)＝35×15＋12×15＋12×35＝1325，故B 正确；由选项B知，P (A 2|B )＝P A 2B P B ＝P B |A 2P A 2P B＝12×151325＝526，故C 正确；取出乙箱中一球的同时再从甲箱取出一球，取出的两球都是红球的事件可以分拆成2个互斥事件的和，记甲箱中取红球入乙箱，再从乙箱取红球、甲箱中取红球的事件为M 1，则P (M 1)＝15×35×19＝175，记甲箱中取黑球或白球入乙箱，再从乙箱取红球、甲箱中取红球的事件为M 2，则P (M 2)＝45×12×29＝445，所以所求概率为P (M 1)＋P (M 2)＝175＋445＝23225，故D 错误．故选ABC. 三、填空题13. (2023·山西模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，σ2，且P (ξ＜－1)＝P (ξ＞m )，则(x ＋m )6的展开式中x 的系数为_192__.【解析】 因为随机变量ξ服从正态分布N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，σ2，且P (ξ＜－1)＝P (ξ＞m )，所以－1＋m ＝2×12，故m ＝2，二项式(x ＋2)6展开式的通项T k ＋1＝C k 6x 6－k 2k，令6－k ＝1，可得k ＝5，所以(x ＋2)6展开式中x 的系数为C 5625＝192.14. (2023·宿迁模拟)若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是 ⎝ ⎛⎦⎥⎤54，43 .【解析】 ∵随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<P A <1，0<P B <1，P A ＋P B ≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1，解得54<a ≤43，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤54，43.15．已知P (B )＝310，P (B |A )＝910，P (B |A －)＝15，则P (A )＝ 17.【解析】 由P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A )P (B |A )，得310＝P (A )×910＋[1－P (A )]×15，解得P (A )＝17.16. (2023·莆田模拟)有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是12，丙能解决的概率是13，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为56. 【解析】 设“在半小时内，甲、乙、丙能解决该难题”分别为事件A ，B ，C ，“在半小时内该难题得到解决”为事件D ，则P (A )＝P (B )＝12，P (C )＝13，D ＝A ∪B ∪C ，D 表示事件“在半小时内没有解决该难题”，D －＝A －B －C －，所以P (D －)＝P (A －B －C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝12×12×23＝16，P (D )＝1－P (D －)＝56.。

湖南高考数学二轮备考概率问题专项练习（含答案）概率是对随机事情发作的能够性的度量，下面是概率效果专项练习，希望对考生有所协助。

题型一、古典概型效果例1：某班级的某一小组有6位先生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位先生参与班级志愿者小组，求以下事情的概率：(1)选取的2位先生都是男生;(2)选取的2位先生一位是男生，另一位是女生。

破题切入点：先求出任取2位先生的基身手情的总数，然后区分求出所求的两个事情含有的基身手情数，再应用古典概型概率公式求解。

解：(1)设4位男生的编号区分为1,2,3,4,2位女生的编号区分为5,6。

从6位先生中任取2位先生的一切能够结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种。

从6位先生中任取2位先生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)。

所以选取的2位先生全是男生的概率为P1=。

(2)从6位先生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种。

所以选取的2位先生一位是男生，另一位是女生的概率为P2=。

题型二、几何概型效果例2：(2021四川改编)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时辰等能够发作，然后每串彩灯以4秒为距离闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时辰相差不超越2秒的概率是________。

破题切入点：由几何概型的特点，应用数形结合即可求解。

设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时辰为x、y，x、y相互独立，由题意可知，如下图。

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块.高效演练1.（考向一）一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏,让孩子把分别写有“One”“World”“One”“Dream”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“One World One Dream”,则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( )A。

B。

C。

D。

【解析】选A.由列举法可得，四张卡片随机排成一行，共有24种不同的排法,其中有2种是“One World One Dream",故孩子受到奖励的概率为。

2。

(考向二）将质地均匀的两枚硬币抛掷一次,若两枚硬币均正面朝上,我们称之为一次成功的抛掷.现进行三次这样的抛掷,则至少两次是成功的抛掷的概率是（）A.B。

C。

D.【解析】选B.易知“一次成功的抛掷”的概率为，所以“至少两次成功的抛掷”的概率为×+=。

3。

（考向三)有一批产品,其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为________。

【解析】从10件产品中任取3件的取法共有，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分别为，。

因此所求的概率P==.答案：4。

(考向三）（2015·济宁三模)某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响。

已知学生小张只选修甲的概率为0。

08，只选修甲和乙的概率是0。

12，至少选修一门的概率是0。

88,用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积。

(1）求学生小张选修甲的概率。

（2）记“函数f(ω）=ω2+ξω为R上的偶函数"为事件A,求事件A的概率。

(3）求ξ的分布列和数学期望.【解析】（1）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x，y，z.依题意得解得所以学生小张选修甲的概率为0.4。

（2）若函数f(ω）=ω2+ξω为R上的偶函数，则ξ=0，所以P（A）=P（ξ=0)=xyz+（1-x）(1—y)（1—z）=0。

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题16 不等式与线性规划（含解析）一、选择题1．(文)(2015²唐山市一模)已知全集U ＝{x |x 2>1}，集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，则∁U A ＝( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)[答案] C[解析] ∵U ＝{x |x 2>1}＝{x |x >1或x <－1}，A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，∴∁U A ＝{x |x <－1或x ≥3}．(理)(2014²唐山市一模)己知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |log 4x >12}，则( )A ．A ∩B ＝∅ B ．B ⊆AC ．A ∩(∁R B )＝RD ．A ⊆B[答案] A[解析] A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，B ＝{x |log 4x >12}＝{x |x >2}，∴A ∩B ＝∅.[方法点拨] 解不等式或由不等式恒成立求参数的取值范围是高考常见题型． 1．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．2．解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．3．解不等式与集合结合命题时，先解不等式确定集合，再按集合的关系与运算求解． 4．分段函数与解不等式结合命题，应注意分段求解．2．(文)(2014²天津理，7)设a 、b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] (1)若a >b ，则①a >b ≥0，此时a |a |>b |b |；②a >0>b ，显然有a |a |>b |b |；③0≥a >b ，此时0<|a |<|b |，∴a |a |>a |b |>b |b |，综上a >b 时，有a |a |>b |b |成立．(2)若a |a |>b |b |，①b ＝0时，有a >0，∴a >b ；②b >0时，显然有a >0，∴a 2>b 2，∴a >b ；③b <0时，若a ≥0时，a >b ；若a <0，则－a 2>－b 2，∴a 2<b 2，∴(a ＋b )(a －b )<0，∴a >b ，综上当a |a |>b |b |时有a >b 成立，故选C ．(理)(2014²四川文，5)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A ．a d >b c B ．a d <b c C ．a c >b dD ．a c <b d[答案] B[解析] ∵c <d <0，∴1d <1c <0，∴－1d >－1c>0，又∵a >b >0，∴－a d >－b c>0，即a d <b c.选B ．[方法点拨] 不等式的性质经常与集合、充要条件、命题的真假判断、函数等知识结合在一起考查，解题时，关键是熟记不等式的各项性质，特别是各不等式成立的条件，然后结合函数的单调性求解．3．(文)若直线2ax ＋by －2＝0(a 、b ∈R )平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2[答案] D[解析] 直线平分圆，则必过圆心． 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝11.∴圆心C (1,2)在直线上⇒2a ＋2b －2＝0⇒a ＋b ＝1.∴2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(a ＋b )＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋ab≥3＋22，故选D ．(理)(2015²湖南文，7)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4[答案] C[解析] 考查基本不等式．根据1a ＋2b ＝ab ，可得a >0，b >0，然后利用基本不等式1a ＋2b ≥21a ³2b求解ab 的最小值即可；∵1a ＋2b ＝ab ，∴a ＞0，b ＞0，∵ab ＝1a ＋2b≥21a ³2b ＝22ab，∴ab ≥22，(当且仅当b ＝2a 时取等号)，所以ab 的最小值为22，故选C ．[方法点拨] 1.用基本不等式a ＋b2≥ab 求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立，要注意“代入消元”、“拆、拼、凑”、“1的代换”等技巧的应用．2．不等式恒成立问题一般用分离参数法转化为函数最值求解或用赋值法讨论求解．4．(文)(2015²天津文，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．14[答案] C[解析] z ＝3x ＋y ＝52(x －2)＋12(x ＋2y －8)＋9≤9，当x ＝2，y ＝3时取得最大值9，故选C ．此题也可画出可行域如图，借助图象求解．(理)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2[答案] A[解析] 由x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，画出可行域如图，容易求出A (2,0)，B (5,3)，C (1,3)，由图可知当直线z ＝y －2x 过点B (5,3)时，z 最小值为3－2³5＝－7.5．(2015²四川文，4)设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 考查命题及其关系．a ＞b ＞1时，有log 2a ＞log 2b ＞0成立，反之也正确．选A ．6．(文)(2015²福建文，5)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] C[解析] 考查基本不等式．由已知得，1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，则a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ²ab＝4，当b a ＝a b，即a ＝b ＝2时取等号．(理)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．14 B ．4 C ．12 D ．2[答案] C[解析] ∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab ， ∴ab ≤2，∴1ab ≥12，等号在a ＝1，b ＝2时成立．7．设z ＝2x ＋y ，其中变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥m.若z 的最小值为3，则m的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] A[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25，表示的平面区域，由于z ＝2x ＋y 的最小值为3，作直线l 0：x ＝m 平移l 0可知m ＝1符合题意．[方法点拨] 1.线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定目标函数中参数的取值范围．2．解决线性规划问题首先要画出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题可通过验证解决．3．确定二元一次不等式组表示的平面区域：①画线，②定侧，③确定公共部分；解线性规划问题的步骤：①作图，②平移目标函数线，③解有关方程组求值，确定最优解(或最值等)．8．(文)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A ．52 B ．72 C ．154D ．152[答案] A[解析] ∵a >0，∴不等式x 2－2ax －8a 2<0化为 (x ＋2a )(x －4a )<0，∴－2a <x <4a ， ∵x 2－x 1＝15，∴4a －(－2a )＝15，∴a ＝52.(理)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．(0，12]C ．[12，2]D ．(0,2][答案] C[解析] 因为log 12a ＝－log 2a ，所以f (log 2a )＋f (log 12a )＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a )，原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增，所以|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，故选C ．9．(文)(2014²新课标Ⅰ文，11)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( ) A ．－5 B ．3 C ．－5或3 D ．5或－3[答案] B[解析] 当a ＝－5时，作出可行域，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－5，x －y ＝－1，得交点A (－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取最大值，z max ＝7，不合题意，排除A 、C ；当a ＝3时，同理可得目标函数z ＝x ＋3y 过B (1,2)时，z min ＝7符合题意，故选B ．(理)(2014²北京理，6)若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12 D ．－12[答案] D[解析] 本题考查了线性规划的应用． 若k ≥0，z ＝y －x 没有最小值，不合题意． 若k <0，则不等式组所表示的平面区域如图所示． 由图可知，z ＝y －x 在点(－2k，0)处取最小值－4，故0－(－2k )＝－4，解得k ＝－12，即选项D 正确．10．(2015²江西质量监测)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于5，则a 的值为( )A ．－11B ．3C ．9D ．9或－11[答案] C[解析] 由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC ，其中A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )且a >－1，因为S △ABC ＝5，所以12³(1＋a )³1＝5，解得a ＝9.11．(2015²南昌市一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0x ＋y －4≤0y ≥m，若目标函数z ＝2x ＋y的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．－12[答案] C[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0x ＋y －4≤0y ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．将直线l 0：2x ＋y ＝0向上平移至过点A ，B 时，z ＝2x ＋y 分别取得最小值与最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ＝0y ＝m 得A (m －1，m )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0y ＝m 得B (4－m ，m )，所以z min ＝2(m －1)＋m＝3m －2，z max ＝2(4－m )＋m ＝8－m ，所以z max －z min ＝8－m －(3m －2)＝10－4m ＝2，解得m ＝2.12．(2015²洛阳市期末)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．对∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A ．6＋2B ．6－2C ．22＋2D ．22－2[答案] B[解析] 由已知得：f ′(x )＝2ax ＋b ，f (x )≥f ′(x )恒成立即ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，∴b 2≤－4a 2＋4ac ，∴b 2a 2＋2c 2≤－4a 2＋4ac a 2＋2c 2＝－4＋4c a 1＋2²⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2，设ca ＝t ，令g (t )＝4 t －1 1＋2t 2，令t －1＝m ，则g (t )＝4m 1＋2 m ＋1 2＝4m2m 2＋4m ＋3＝42m ＋3m＋4≤426＋4＝6－2，当且仅当2m ＝3m ，即m ＝32时等号成立，故选B ． 二、填空题13．(文)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y －2－1≤0，x －ky ＋k ≥0表示的是一个轴对称四边形围成的区域，则k ＝________.[答案] ±1[解析] 本题可以通过画图解决，如图直线l ：x －ky ＋k＝0过定点(0,1)．当k ＝±1时，所围成的图形是轴对称图形．(理)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最大值为________．[答案] 41[解析] 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，画出可行域如图，易知x ＝4，y ＝5时，z 有最大值，z ＝42＋52＝41.14．(文)(2015²天津文，12)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ²log 2(2b )取得最大值．[答案] 4[解析] log 2a ²log 2(2b )≤⎝⎛⎭⎪⎫log 2a ＋log 2 2b 22＝14[log 2(2ab )]2＝14(log 216)2＝4， 当a ＝2b 时取等号，结合a >0，b >0，ab ＝8，可得a ＝4，b ＝2.(理)(2015²重庆文，14)设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． [答案] 3 2[解析] 考查基本不等式．由2ab ≤a 2＋b 2两边同时加上a 2＋b 2，得(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)两边同时开方即得：a ＋b ≤2 a 2＋b 2 (a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取“＝”)；从而有a ＋1＋b ＋3≤2 a ＋1＋b ＋3 ＝2³9＝32(当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝72，b ＝32时，“＝”成立)故填：3 2.15．(2014²邯郸市一模)已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数且f (1)＝2，当x 1、x 2∈[－1,1]，且x 1＋x 2≠0时，有f x 1 ＋f x 2 x 1＋x 2>0，若f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1，1]、a ∈[－1,1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．[答案] [－1,1][解析] ∵f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数， ∴当x 1、x 2∈[－1,1]且x 1＋x 2≠0时，f x 1 ＋f x 2 x 1＋x 2>0等价于f x 1 －f －x 2x 1－ －x 2>0，∴f (x )在[－1,1]上单调递增．∵f (1)＝2，∴f (x )min ＝f (－1)＝－f (1)＝－2.要使f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1，1]恒成立，即－2≥m 2－2am －5对所有a ∈[－1,1]恒成立， ∴m 2－2am －3≤0，设g (a )＝m 2－2am －3，则⎩⎪⎨⎪⎧g －1 ≤0，g 1 ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤m ≤1，－1≤m ≤3.∴－1≤m ≤1.∴实数m 的取值范围是[－1,1]． 三、解答题16．(文)(2015²湖北文，21)设函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，f (x )＋g (x )＝e x ，其中e 为自然对数的底数．(1)求f (x )，g (x )的解析式，并证明：当x >0时，f (x )>0，g (x )>1； (2)设a ≤0，b ≥1，证明：当x >0时，ag (x )＋(1－a )＜f xx＜bg (x )＋(1－b )． [分析] 考查1.导数在研究函数的单调性与极值中的应用；2.函数的基本性质． (1)将等式f (x )＋g (x )＝e x中x 用－x 来替换，并结合已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，构造方程组即可求出f (x )，g (x )的表达式；当x >0时，由指数与指数函数的性质知e x>1,0<e －x<1，进而可得到f (x )>0.然后再由基本不等式即可得出g (x )>1.(2)要证明ag (x )＋(1－a )<f xx<bg (x )＋(1－b )，即证f (x )>axg (x )＋(1－a )x 和f (x )<bxg (x )＋(1－b )x .于是构造函数h (x )＝f (x )－cxg (x )－(1－c )x ，利用导数在函数的单调性与极值中的应用即可得出结论成立．[解析] (1)由 f (x )，g (x )的奇偶性及f (x )＋g (x )＝e x， ① 得：－f (x )＋g (x )＝e －x.②联立①②解得f (x )＝12(e x －e －x )，g (x )＝12(e x ＋e －x)．当x >0时，e x>1,0<e －x<1，故 f (x )>0.③ 又由基本不等式，有g (x )＝12(e x ＋e －x )>e x e －x＝1，即g (x )>1.④ (2)由(1)得f ′(x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ′＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋e xe 2x ＝12(e x ＋e －x)＝g (x ),⑤ g ′(x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ′＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －e xe 2x ＝12(e x －e －x )＝f (x )，⑥ 当x >0时，f xx>ag (x )＋(1－a )等价于f (x )>axg (x )＋(1－a )x ， ⑦ f xx<bg (x )＋(1－b )等价于f (x )<bxg (x )＋(1－b )x . ⑧设函数h (x )＝f (x )－cxg (x )－(1－c )x ，由⑤⑥，有h ′(x )＝g (x )－cg (x )－cxf (x )－(1－c )＝(1－c )[g (x )－1] －cxf (x ). 当x >0时，1°若c ≤0，由③④，得h ′(x )>0，故h (x )在[0，＋∞) 上为增函数，从而h (x )>h (0)＝0，即f (x )>cxg (x )＋(1－c )x ，故⑦成立．2°若c ≥1，由③④，得h ′(x )<0，故h (x )在[0，＋∞)上为减函数，从而h (x )<h (0)＝0，即f (x )<cxg (x )＋(1－c )x ，故⑧成立．综合⑦⑧，得ag (x )＋(1－a )<f x x<bg (x )＋(1－b )． (理)(2015²福建文，22)已知函数f (x )＝ln x － x －1 22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x >1时，f (x )<x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0>1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )>k (x －1)．[分析] 考查导数的综合应用．(1)求导函数f ′(x )，解不等式f ′(x )>0并与定义域求交集，得函数f (x )的单调递增区间；(2)构造函数F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(1，＋∞)．欲证明f (x )<x －1，只需证明F (x )的最大值小于0即可；(3)当k ≥1时，易知不存在x 0>1满足题意；当k <1时，构造函数G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，利用导数研究函数G (x )的单调性，讨论得出结论．[解析] (1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )>0得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，－x 2＋x ＋1>0.解得0<x <1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x. 当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1.(3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0>1满足题意．当k >1时，对于x >1，有f (x )<x －1<k (x －1)，则f (x )<k (x －1)，从而不存在x 0>1满足题意．当k <1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋ 1－k x ＋1x. 由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0.解得x 1＝1－k － 1－k 2＋42<0， x 2＝1－k ＋ 1－k 2＋42>1. 当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )>0，故G (x )在[1，x 2)内单调递增．从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )>G (1)＝0，即f (x )>k (x －1)，综上，k 的取值范围是(－∞，1)．17．(文)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝－a x (a >0)．(1)当a ＝1时，若曲线y ＝f (x )在点M (x 0，f (x 0))处的切线与曲线y ＝g (x )在点P (x 0，g (x 0))处的切线平行，求实数x 0的值；(2)若∀x ∈(0，e]，都有f (x )≥g (x )＋32，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f ′(x )＝1x ，g ′(x )＝1x2. 因为函数f (x )在点M (x 0，f (x 0))处的切线与函数g (x )在点P (x 0，g (x 0))处的切线平行，所以1x 0＝1x 20，解得x 0＝1. (2)若∀x ∈(0，e]，都有f (x )≥g (x )＋32. 记F (x )＝f (x )－g (x )－32＝ln x ＋a x －32， 只要F (x )在(0，e]上的最小值大于等于0，F ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x2， 则F ′(x )、F (x )随x 的变化情况如下表：当a ≥e 所以F (e)＝1＋a e －32≥0，得a ≥e 2，所以a ≥e. 当a <e 时，函数F (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，e)上单调递增，F (a )为最小值，所以F (a )＝ln a ＋a a －32≥0，得a ≥e ， 所以e ≤a <e ，综上a ≥ e.(理)设函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1. (1)当a ＝1时，求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )的单调性；(3)当a ＝13时，设函数g (x )＝x 2－2bx －512，若对于∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[0,1]，使f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数b 的取值范围．[解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x －a －1－a x 2， (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x －1，∴f (1)＝－2，f ′(x )＝1x－1，∴f ′(1)＝0 ∴f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝－2(2)f ′(x )＝1x －a －1－ax 2＝－ax 2＋x － 1－a x 2＝－ x －1 [ax － 1－a ]x 2，f (x )的定义域为(0，＋∞)当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x 2，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1) 当a ≠0时，1－a a >1，即0<a <12时，f (x )的增区间为(1，1－a a )，减区间为(0,1)，(1－a a，＋∞)1－a a ＝1，即a ＝12时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减 1－a a <1，即a >12或a <0，当a >12时，f (x )的增区间为(1－a a ，1)，减区间为(0，1－a a )，(1，＋∞)当a <0时，f (x )的增区间为(0，1－a a )，(1＋∞)；减区间为(1－a a，1)． (3)当a ＝13时，由(Ⅱ)知函数f (x )在区间(1,2)上为增函数， 所以函数f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝－23对于∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[0,1]，使f (x 1)≥g (x 2)成立⇔g (x )在[0,1]上的最小值不大于f (x )在[1,2]上的最小值－23(*)又g (x )＝x 2－2bx －512＝(x －b )2－b 2－512，x ∈[0,1]①当b <0时，g (x )在[0,1]上为增函数， g (x )min ＝g (0)＝－512>－23与(*)矛盾②当0≤b ≤1时，g (x )min ＝g (b )＝－b 2－512，由－b 2－512≤－23及0≤b ≤1得，12≤b ≤1③当b >1时，g (x )在[0,1]上为减函数， g (x )min ＝g (1)＝712－2b ≤－23， 此时b >1 综上所述，b 的取值范围是[12，＋∞)．[方法点拨] 注意区分几类问题的解法． ①对任意x ∈A ，f (x )>M (或f (x )<M )恒成立． ②存在x ∈A ，使f (x )>M (或f (x )<M )成立．。

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题20 概率（含解析）一、选择题1．(文)(2015²广东文，7)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有1件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1[答案] B[解析] 5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e)，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e)，(c ，d )，(c ，e)，(d ，e)，恰有一件次品，有6种，分别是(a ，c )，(a ，d )，(a ，e)，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e)，设事件A ＝“恰有一件次品”，则P (A )＝610＝0.6，故选B ．(理)(2015²太原市一模)某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中抽取一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( )A ．15B ．16C ．56D ．3536 [答案] C[解析] 记甲、乙各摸一次得的编号为(x ，y )，则共有36个不同的结果，其中甲、乙摸出球的编号相同的结果有6个，故所求概率P ＝1－636＝56. [方法点拨] 1.用古典概型概率计算公式P ＝m n求概率，必须先判断事件的等可能性． 2．当某事件含有的基本事件情况比较复杂，分类较多时，可考虑用对立事件概率公式求解．3．要熟练掌握列举基本事件的方法，当古典概型与其他知识结合在一起考查时，要先依据其他知识点的要求求出所有可能的事件及基本事件数，再计算．2．(文)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －3≤0.表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为( )A ．π12 B ．π8C ．π6D ．π3[答案] A[解析] 如图，不等式组表示的平面区域M 为△OAB ，A (1，－1)，B (3,3)，S △OAB ＝3，区域N 在M 中的部分面积为π4，∴所求概率P ＝π43＝π12.(理)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为()A ．2e 2 B ．2e C ．2e 3 D ．1e2 [答案] A[解析] ∵S 阴＝2⎠⎛01(e －e x)d x ＝2(e x －e x)|10＝2，S 正方形＝e 2，∴P＝2e2.[方法点拨] 1.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；2．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的测度的计算，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．3．几何概型与其他知识结合命题，应先依据所给条件转化为几何概型，求出区域的几何测度，再代入公式求解．3．(文)在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于24cm 2的概率为( )A ．16B ．13 C ．23 D ．45[答案] D[解析] 设线段AC 的长为x cm ，其中0<x<10，则线段CB 的长为(10－x)cm ，那么矩形的面积为x(10－x)cm 2，由x(10－x)<24，解得x<4或x>6.又0<x<10，所以0<x<4或6<x<10，故该矩形面积小于24cm 2的概率为4＋410＝45，故选D ．(理)在区间[1,6]上随机取一实数x ，使得2x∈[2,4]的概率为( )A ．16B ．15 C ．13 D ．25[答案] B[解析] 由2x∈[2,4]知1≤x≤2， ∴P(2x∈[2,4])＝2－16－1＝15.4．(文)甲、乙、丙、丁四人排成一行，则甲、乙都不在两端的概率为( )A ．112B ．16C ．124D ．14[答案] B[解析] 甲、乙、丙、丁四人站成一排有24种情形，其中甲、乙都不在两边有4种情形：丙甲乙丁，丙乙甲丁，丁甲乙丙，丁乙甲丙． 因此所求概率为P ＝424＝16.(理)在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1,2,3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为( )A ．151B ．1408C ．1306D ．168[答案] D[解析] 设选出的三人编号为a －3，a ，a ＋3，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3≥1a ＋3≤8，∴4≤a≤15，共12种，从18人中选3人有C 318种选法，∴P＝12C 318＝168. 5．(文)扇形AOB 的半径为1，圆心角为90°.点C 、D 、E 将弧AB 等分成四份．连接OC 、OD 、OE ，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率是( )A ．310B ．15C ．25D ．12[答案] A[解析] 所有的扇形共10个，其中面积为π8的扇形共有3个，故所求概率为P ＝310.(理)(2015²太原二模)已知实数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤4，0≤b≤4，x 1，x 2是关于x 的方程x 2－2x＋b －a ＋3＝0的两个实根，则不等式0<x 1<1<x 2成立的概率是( )A ．332B ．316C ．532 D ．916[答案] A[解析] 设f(x)＝x 2－2x ＋b －a ＋3，∵方程f(x)＝0的两实根x 1，x 2满足0<x 1<1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 0 >0，f 1 <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＋3>0，b －a ＋2<0，作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤4，0≤b≤4，表示的平面为正方形OABC ，其中满足⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＋3>0，b －a ＋2<0，的部分如图中阴影部分所示，阴影部分的面积S 1＝12³2³2－12³1³1＝32，正方形的面积S ＝4³4＝16，故所求概率P ＝S 1S ＝332.[易错分析] 本题易发生两个错误：一是不能对方程x 2－2x ＋b －a ＋3＝0的两根x 1，x 2满足0<x 1<1<x 2正确地进行转化；二是无法合理地求解几何概型的测度．事实上，对于几何概型的问题，关键是对测度的正确求解．纠错的方法有：①加强对几何概型测度的理解与求解；②平时注意积累解决几何概型的方法，如长度法、面积法、体积法等．6．(文)一个正方体玩具，其各面标有数字－3、－2、－1、0、1、2，随机投掷一次，将其向上一面的数字记作m ，则函数f(x)＝x 3＋mx 在(－∞，－23)上单调的概率为( )A ．34B ．13C ．12D ．23[答案] D[解析] f ′(x)＝3x 2＋m ，当m≥0时，f ′(x)≥0，f(x)单调递增；当m<0时，令f ′(x)＝0得，x ＝±－m3， ∴f(x)在(－∞，－－m3)上单调增加， ∵33<23<63，∴－63<－23<－33， ∴当m ＝－1时，f(x)在(－∞，－23)上单调递增，∴所求概率P ＝46＝23.(理)(2014²东北三省三校一模)一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a 、b 、c ，当且仅当a > b ，b < c 时称为“凹数”(如213,312等)，若a 、b 、c∈{1,2,3,4}且a 、b 、c 互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是( )A ．16B ．524C ．13D ．724[答案] C[解析] 解法1：任取3个数，共能构成24个三位数，A ＝“该数为凹数”，则A ＝{213,214,312,314,412,412,324,423}共包括8个基本事件，∴P(A)＝824＝13.解法2：从4个不同数中任取3个，这3个数字共组成6个不同三位数，其中凹数有2个，∴P＝26＝13.7．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [10.5,14.5) 2 [14.5,18.5) 4 [18.5,22.5) 9 [22.5,26.5) 18 [26.5,30.5) 11 [30.5,34.5) 12 [34.5,38.5) 8 [38.5,42.5) 2根据样本的频率分布估计，数据落在[30.5,42.5)内的概率约是( )A ．16B ．13C ．12D ．23[答案] B[解析] 由已知可得，[30.5,42.5)的数据共有22个，所以数据落在[30.5,42.5)内的概率约是2266＝13，选B ．8．(文)(2014²陕西理，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为( ) A ．15B ．25 C ．35 D ．45[答案] C[解析] 如图，基本事件共有C 25＝10个，小于正方形边长的事件有OA ，OB ，OC ，OD 共4个，∴P＝1－410＝35.(理)从x 2m －y2n ＝1(m 、n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )A ．12B ．47C ．23D ．34[答案] B[解析] 当m ，n∈{－1,2,3}时，x 2m －y2n ＝1所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线)共有7个，(m ，n)的取值分别为(－1，－1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，(2，－1)，(3，－1)，其中表示焦点在x 轴上的双曲线方程有4个，(m ，n)的取值分别为(3,2)，(3,3)，(2,2)，(2,3)，故所求的概率为47，选B ．二、填空题9．(文)在三棱锥的六条棱中任选两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是________．[答案] 15[解析] 从六条棱中任选两条有15种可能，其中构成异面直线的有3种情况，故所求概率为P ＝315＝15.(理)从正方体六个面的对角线中任取两条，这两条直线成60°角的概率为________． [答案]811[解析] 六个面的对角线共有12条，从中任取两条共有C 212＝66种不同的取法． 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与面对角线AC 成60°角的面对角线有B 1C ，BC 1，A 1D ，AD 1，AB 1，A 1B ，DC 1，D 1C ，共8条，同理与DB 成60°角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其他四个相邻面上的对角线成60°角的情形共有16对，故6个面共有16³6＝96对，因为每对被计算了2次，因此共有12³96＝48对，∴所求概率P ＝4866＝811.[方法点拨] 解答概率与其他知识交汇的问题，要通过审题，将所要解决的问题转化为相应的概率模型，然后按相应公式计算概率，转化时要特别注意保持等价．10．(文)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．[答案]π4[解析] 考查了几何概型． 总面积2³1＝2.半圆面积12³π³12＝π2.∴p＝π22＝π4.(理)(2015²呼和浩特第二次调研)在区间(0，π2)上任取一个数x ，使得tan x<∫π2cos x d x 成立的概率是________．[答案] 12[解析] 求出定积分后结合三角函数的图象解不等式．因为∫π20cos x d x ＝sin x|π20＝1，所以原不等式即为tan x<1，x∈(0，π2)，解得0<x<π4，故所求概率为π4π2＝12.[易错分析] 考生不能正确计算定积分，或者不能正确解简单的三角不等式，都会导致几何概型计算错误，所以几何概型问题，正确运算是关键．三、解答题11．(文)(2015²太原市一模)为了考查某厂2000名工人的生产技能情况，随机抽查了该厂a 名工人某天的产量(单位：件)，整理后得到如下的频率分布直方图(产量的分组区间分别为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35])，其中产量在[20,25)的工人有6名．(1)求这一天产量不小于25的工人人数；(2)工厂规定从产量低于20件的工人中选取2名工人进行培训，求这2名工人不在同一分组的概率．[解析] (1)由题意得，产量为[20,25)的频率为0.06³5＝0.3， ∴n＝60.3＝20，∴这一天产量不小于25的工人人数为(0.05＋0.03)³5³20＝8.(2)由题意得，产量在[10,15)的工人人数为20³0.02³5＝2，记他们分别是A ，B ，产量在[15,20)的工人人数为20³0.04³5＝4，记他们为a ，b ，c ，d ，则从产量低于20件的工人中选取2位工人的结果为：(A ，B)，(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)，(A ，d)，(B ，a)，(B ，b)，(B ，c)，(B ，d)，(a ，b)，(a ，c)，(a ，d)，(b ，c)，(b ，d)，(c ，d)共15种不同的结果，其中2位工人不在同一分组的结果为(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)，(A ，d)，(B ，a)，(B ，b)，(B ，c)，(B ，d)，共有8种，∴所求概率为P ＝815.(理)某电视台举办“青工技能大赛”，比赛共设三关，第一、二关各有两个问题，两个问题全解决方可进入下一关，第三关有三个问题，只要解决其中的两个问题，则闯关成功．每过一关可依次获得100分、300分、500分的积分．小明对三关中每个问题正确解决的概率依次为45、34、23，且每个问题正确解决与否相互独立．(1)求小明通过第一关但未过第二关的概率； (2)用X 表示小明的最后积分，求X 的分布列和期望．[解析] (1)设事件A ＝“小明通过第一关但未过第二关”，第一关第i 个问题正确解决为事件A i (i ＝1,2)，第二关第i 个问题正确解决为事件B i (i ＝1,2)，则 P(A 1)＝P(A 2)＝45，P(B 1)＝P(B 2)＝34.又∵A＝A 1²A 2²(B 1²B 2＋B 1²B 1＋B 1²B 2)， ∴P(A)＝P(A 1)²P(A 2)²(1－P(B 1)²P(B 2)) ＝(45)2³[1－(34)2]＝725. (2)X∈{0,100,400,900}．P(X ＝0)＝1－(45)2＝925，P(X ＝100)＝725.P(X ＝400)＝(45)2³(34)2³[(13)2＋C 13³23³(13)2]＝725，P(X ＝900)＝1－925－725－725＝415.∴X 的分布列为E(X)＝0³925＋100³25＋400³75＋900³15＝3.12．(文)(2015²河南商丘市二模)某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测评，该班的A ，B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如右图所示，其中B 组一同学的分数已被污损，但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高1分．(1)若在B 组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；(2)现从A 组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m ，n ，求|m －n|≤8的概率．[解析] (1)A 组学生的平均分为94＋88＋86＋80＋775＝85(分)，∴B 组学生平均分为86分，设被污损的分数为x ，由91＋93＋83＋x ＋755＝86，∴x ＝88，故B 组学生的分数分别为93,91,88,83,75，则在B 组学生随机选1人所得分超过85分的概率P ＝35.(2)A 组学生的分数分别是94,88,86,80,77，在A 组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件(m ，n)有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)共10个，随机抽取2名同学的分数m ，n 满足|m －n|≤8的事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)共6个．故学生得分m ，n 满足|m －n|≤8的概率P ＝610＝35.(理)(2015²河北衡水中学一模)已知关于x 的一元二次函数f(x)＝ax 2－4bx ＋1. (1)若a ，b 分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b)是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x>0，y>0内的随机点，求函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．[解析] (1)∵函数f(x)＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b a.要使f(x)＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a>0且2b a ≤1，即2b≤a.基本事件共有36个；所求事件包含基本事件：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(6,3)．所求事件包含基本事件的个数是9 ∴所求事件的概率为P ＝936＝14.(2)由(1)知当且仅当2b≤ a 且a>0时，函数f(x)＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数．依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ a，b ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0a>0b>0，表示的三角形OAB ，其中，O(0,0)，A(8,0)，B(0,8)，构成所求事件的区域为三角形OAC 部分．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0b ＝a2得交点C 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫163，83.故所求事件的概率为P ＝12³8³8312³8³8＝13.13．(文)(2015²石家庄市一模)某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元，若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元．(1)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：件，n ∈N )的函数解析式；(2)商店记录了50天该商品的日需求量n (单位：件)，整理得下表：若商店一天购进求当天的利润在区间[400,500]的概率．[解析] (1)当日需求量n ≥10时，利润为y ＝50³10＋(n －10)³30＝30n ＋200；当日需求量n <10时，利润为y ＝50³n －(10－n )³10＝60n －100 所以，y 关于日需求量n 函数关系式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30n ＋200， n ≥10，n ∈N 60n －100， n <10，n ∈N.(2)50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元．若利润在区间[400,550]时，日需求量为9件、10件、11件该商品，其对应的频数分别为11天、15天、10天．则利润区间[400,550]的概率为：p ＝11＋15＋1050＝1825.(理)(2014²东北三省四市联考)太阳岛公园引进了两种植物品种甲与乙，株数分别为18与12，这30株植物的株高编写成茎叶图如图所示(单位：cm)，若这两种植物株高在185cm 以上(包括185cm)定义为“优秀品种”，株高在185cm 以下(不包括185cm)定义为“非优秀品种”．(1)求乙品种的中位数；(2)在以上30株植物中，如果用分层抽样的方法从“优秀品种”和“非优秀品种”中抽取5株，再从这5株中选2株，那么至少有一株是“优秀品种”的概率是多少？(3)若从所有“优秀品种”中选3株，用X 表示3株中含甲类“优秀品种”的株数，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望．[解析] (1)乙的中间有两个数187和188，因此乙的中位数为187.5cm. (2)根据茎叶图知“优秀品种”有12株，“非优秀品种”有18株， 用分层抽样的方法抽取，每株被抽中的概率是530＝16，故样本中“优秀品种”有12³16＝2(株)，“非优秀品种”有18³16＝3(株)．用事件A 表示“至少有一株‘优秀品种’被选中”， 则P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710，因此从5株植物中选2株，至少有一株“优秀品种”的概率是710.(3)依题意，一共有12株“优秀品种”，其中乙种植物有8株，甲种植物有4株，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 38C 312＝1455；P (X ＝1)＝C 28C 14C 12＝2855；P (X ＝2)＝C 18C 24C 312＝1255；P (X ＝3)＝C 34C 312＝155.因此X 的分布列如下：所以E (X )＝0³1455＋1³55＋2³55＋3³55＝1.14．(文)某高中社团进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如图1所示统计表和如图2所示的各年龄段人数频率分布直方图.请完成以下问题：(1)补全频率直方图，并求n ，a ，p 的值；(2)从[40,45)岁和[45,50)岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队年龄在[40,45)岁的概率．[解析] (1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)³5＝0.3， 所以高为0.35＝0.06.频率直方图如下：第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04³5＝0.2，所以n ＝2000.2＝1000，所以第二组的人数为1000³0.3＝300，p ＝195300＝0.65，第四组的频率为0.03³5＝0.15，第四组的人数为1000³0.15＝150， 所以a ＝150³0.4＝60.(2)因为[40,45)岁与[45,50)岁年龄段的“时尚族”的比值为60 30＝2 1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．记a 1、a 2、a 3、a 4为[40,45)岁中抽得的4人，b 1、b 2为[45,50)岁中抽得的2人，全部可能的结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)， (a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(b 1，b 2)，共15个， 选取的两名领队都在[40,45)岁的有6种， 所以所求概率为P ＝615＝25.(理)(2014²湖北七市联考)小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图如图所示．(1)根据图中的数据信息，写出众数x 0；(2)小明的父亲上班离家的时间y 在上午7 00至7 30之间，而送报人每天在x 0时刻前后半小时内把报纸送达(每个时间点送达的可能性相等)．①求小明的父亲在上班离家前能收到报纸(称为事件A )的概率；②求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸的天数X 的数学期望． [解析] (1)x 0＝7 00.(2)①设报纸送达时间为x ，则小明父亲上班前能收到报纸等价于⎩⎪⎨⎪⎧6.5≤x ≤7.5，7≤y ≤7.5，x ≤y ，由图可知，所求概率为P ＝1－1812＝34.②X 服从二项分布B (5，34)，故E (X )＝5×34＝154(天)．。

2016年高考第二轮复习讲义概 率（理科）戴又发【重点知识回顾】（1）两种概型的概率计算古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型．几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．（2）概率基本性质与公式①事件A 的概率()P A 的范围为：0()1P A ≤≤．②互斥事件A 与B 的概率加法公式：()()()P A B P A P B =+ ． ③对立事件A 与B 的概率加法公式：()()1P A P B +=． （3）三种抽样方法①简单随机抽样 ②系统抽样 ③分层抽样 （4）三种统计图①频率分布直方图 ②茎叶图③折线图 （5）理解回归直线方程各参数的意义； （6）分布列、数学期望与方差①分布列求法②期望与方差的含义③期望与方差的性质 （7）正态分布的性质【典型例题解析】【2015年安徽理科卷第6题】若样本数据，，，的标准差为，则1x 2x ⋅⋅⋅10x 8数据，，，的标准差为 （A ）（B ）（C ）（D ）解析：因为，，，的标准差为， 2，2，，2的标准差为16，所以数据，，，的标准差为16． 故选C ．【2015年湖北理科卷第７题】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则A ．123p p p <<B ．231p p p <<C ．312p p p <<D ．321p p p <<选题意图：本题考查几何概型的概率计算． 解析：由图可知117188p =-=，2131284p =-⨯=，231p p p <<．故选B ．【2015年山东理科卷第8题】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=.）（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74%选题意图：本题考查正态分布的性质．解析：因为2(0,3)N ξ，期望值为0，标准差为3，121x -221x -⋅⋅⋅1021x -81516321x 2x ⋅⋅⋅10x 81x 2x ⋅⋅⋅10x 121x -221x -⋅⋅⋅1021x -长度误差落在区间（3，6）内的概率为1(95.44%68.26%)13.59%2⨯-=．故选B ．【2015年四川理科卷第17题】（本题满分12分）某市A 、B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生，2名女生，A 中学推荐了3名男生，4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，从参加集训的女生中随机抽取3人组成代表队（Ⅰ）求A 中学至少有一名学生入选代表队的概率（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名中随机抽取4名参赛，记X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列于数学期望.选题意图：本题主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的只是与方法分析和解决实际问题的能力．解析：。

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题30 不等式选讲（含解析）一、填空题1．(2014·某某理，15A)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．[答案] 5[解析] 解法1：在平面直角坐标系aob 中，由条件知直线ma ＋nb ＝5与圆a 2＋b 2＝5有公共点，∴5m 2＋n2≤5，∴m 2＋n 2≥5，∴m 2＋n 2的最小值为 5.解法2：由柯西不等式：a 2＋b 2·m 2＋n 2≥ma ＋nb ， ∴m 2＋n 2≥55＝ 5.2．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值X 围是________． [答案] (－∞，8][解析]∵|x －5|＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8， ∴|x －5|＋|x ＋3|的最小值为8， 要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解， 应有a ≤8.3．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值X 围是________．[答案] {a ∈R |a <0或a ＝2}[解析] 因为|x ＋1|＋|x －3|≥4，所以由题意可得a ＋4a≤4恒成立，因a <0时显然恒成立；当a >0时，由基本不等式可知a ＋4a≥4，所以只有a ＝2时成立，所以实数a 的取值X围为{a ∈R |a <0或a ＝2}．[方法点拨] 注意区分a <f (x )有(无)解与a <f (x )恒成立，设m ≤f (x )≤M ，则a <f (x )有解⇒a <M ，a <f (x )恒成立⇒a <m .a <f (x )无解⇒a ≥M .4．(2014·某某市十二区县重点中学联考)对于任意x ∈R ，满足(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立的所有实数a 构成集合A ，使不等式|x －4|＋|x －3|<a 的解集为空集的所有实数a 构成集合B ，则A ∩(∁R B )＝________.[答案] (1,2][解析] 求出集合A 、B 后利用集合运算的定义求解．对于任意x ∈R ，不等式(a －2)x2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a <2，Δ＝4a －22＋16a －2<0，解得－2<a ≤2，所以集合A ＝(－2,2]．当不等式|x －4|＋|x －3|<a 有解时，a >(|x －4|＋|x －3|)min ＝1，所以解集为空集的所有实数a 构成集合B ＝(－∞，1]，则∁R B ＝(1，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(－2,2]∩(1，＋∞)＝(1,2]． 二、解答题5．(文)(2015·某某省某某中学一模)设关于x 的不等式lg(|x ＋3|＋|x －7|)>a . (1)当a ＝1时，解这个不等式；(2)当a 为何值时，这个不等式的解集为R .[解析] (1)当a ＝1时，原不等式变为|x ＋3|＋|x －7|>10， 当x ≥7时，x ＋3＋x －7>10得x >7， 当－3<x <7时，x ＋3－x ＋7>10不成立． 当x ≤－3时－x －3－x ＋7>10得：x <－3 所以不等式的解集为{x |x <－3或x >7}．(2)∵|x ＋3|＋|x －7|≥|x ＋3－(x －7)|＝10对任意x ∈R 都成立． ∴lg(|x ＋3|＋|x －7|)≥lg10＝1对任何x ∈R 都成立， 即lg(|x ＋3|＋|x －7|)>a .当且仅当a <1时，对任何x ∈R 都成立．(理)(2015·某某市质检)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －1|－a . (1)若a ＝1，求不等式f (x )>x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤a (x ＋2)的解集为非空集合，求a 的取值X 围．[解析] (1)当a ＝1，不等式为|x ＋1|＋2|x －1|－1>x ＋2，即|x ＋1|＋2|x －1|>x ＋3，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，1－3x >x ＋3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，3－x >x ＋3，或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，3x －1>x ＋3，解得x <－1，或－1≤x <0，或x >2，∴x <0或x >2 所求不等式的解集为{x |x <0，或x >2}．(2)由f (x )≤a (x ＋2)得，|x ＋1|＋2|x －1|－a ≤a (x ＋2)， 即|x ＋1|＋2|x －1|≤a (x ＋3)，设g (x )＝|x ＋1|＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ， x <－13－x ， －1≤x ≤13x －1， x >1如图，k PA ＝12，k PD ＝k BC ＝－3，故依题意知，a <－3，或a ≥12.即a 的取值X 围为(－∞，－3)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [方法点拨] 解含绝对值符号的不等式一般用分段讨论法：令各绝对值号内表达式为零，解出各分界点，按分界点将实数集分段．6．已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R . (1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0，求a 的取值X 围．[解析] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x >2，5－3x ，32≤x ≤2，x －1，x <32.当x >2时，1－x >0，即x <1，此时无解； 当32≤x ≤2时，5－3x >0，即x <53，解得32≤x <53； 当x <32时，x －1>0，即x >1，解得1<x <32.∴不等式解集为{x |1<x <53}．(2)2－x －|2x －a |<0⇒2－x <|2x －a |⇒x <a －2或x >a ＋23恒成立．∵x ∈(－∞，2)，∴a －2≥2，∴a ≥4.7．(文)(1)若|a |<1，|b |<1，比较|a ＋b |＋|a －b |与2的大小，并说明理由； (2)设m 是|a |、|b |和1中最大的一个，当|x |>m 时，求证：|a x ＋bx2|<2. [解析] (1)|a ＋b |＋|a －b |<2. ∵|a |<1，|b |<1，∴当a ＋b ≥0，a －b ≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )＋(a －b )＝2a ≤2|a |<2， 当a ＋b ≥0，a －b <0时，|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )＋(b －a )＝2b ≤2|b |<2， 当a ＋b <0，a －b ≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝(－a －b )＋(a －b )＝－2b ≤2|b |<2， 当a ＋b <0，a －b <0时，|a ＋b |＋|a －b |＝(－a －b )＋(b －a )＝－2a ≤2|a |<2， 综上知，|a ＋b |＋|a －b |<2.(2)∵m 是|a |，|b |与1中最大的一个，∴m ≥1， 又∵|x |>m ，∴|x |>1，∴|x |>m ≥|a |，|x 2|>1≥|b |，∴|a ||x |<1，|b ||x 2|<1，∴|a x ＋b x 2|≤|a ||x |＋|b ||x 2|<1＋1＝2， ∴原不等式成立．(理)已知a 和b 是任意非零实数． (1)求证：|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥4；(2)若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |(|x －1|＋|2－x |)恒成立，某某数x 的取值X 围． [分析] (1)含两个绝对值号，可利用|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )±(a －b )|放缩． (2)变形后为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )，运用(1)的方法可得|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值m ，则问题转化为解不等式f (x )≤m .[解析] (1)|2a ＋b |＋|2a －b ||a |＝|2a ＋b a |＋|2a －ba |＝|2＋ba |＋|2－b a |≥|(2＋b a )＋(2－b a)|＝4(2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2则有2≥f (x )解不等式2≥|x －1|＋|x －2|得12≤x ≤52.8．(文)(2015·某某市二模)已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1，其解集为[0,4]． (1)求m 的值；(2)若a ，b 均为正实数，且满足a ＋b ＝m ，求a 2＋b 2的最小值． [解析] (1)不等式m －|x －2|≥1可化为|x －2|≤m －1， ∴1－m ≤x －2≤m －1，即3－m ≤x ≤m ＋1，∵其解集为[0,4]，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－m ＝0m ＋1＝4，∴m ＝3.(2)由(1)知a ＋b ＝3， (方法一：利用基本不等式)∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)＝2(a 2＋b 2)， ∴a 2＋b 2≥92，∴当且仅当a ＝b ＝32时，a 2＋b 2取最小值为92.(方法二：利用柯西不等式)∵(a 2＋b 2)·(12＋12)≥(a ×1＋b ×1)2＝(a ＋b )2＝9， ∴a 2＋b 2≥92，∴当且仅当a ＝b ＝32时，a 2＋b 2取最小值为92.(方法三：消元法求二次函数的最值) ∵a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋92≥92， ∴当且仅当a ＝b ＝32时，a 2＋b 2取最小值为92.(理)(2015·某某市二模)设f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝m ，求ab ＋bc 的最大值． [解析] (1)当x ≤－1时，f (x )＝3＋x ≤2；当－1＜x ＜1时，f (x )＝－1－3x ＜2； 当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4. 故当x ＝－1时，f (x )取得最大值m ＝2.(2)∵a 2＋2b 2＋c 2＝2，∴ab ＋bc ≤12[(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)]＝1，当且仅当a ＝b ＝c ＝22时，等号成立．所以ab ＋bc 的最大值为1. 9．(文)已知a ，b 是不相等的正实数． 求证：(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )>9a 2b 2. [解析] 因为a ，b 是正实数， 所以a 2b ＋a ＋b 2≥33a 2b ·a ·b 2＝3ab >0(当且仅当a 2b ＝a ＝b 2，即a ＝b ＝1时，等号成立)， 同理，ab 2＋a 2＋b ≥33ab 2·a 2·b ＝3ab >0(当且仅当ab 2＝a 2＝b ，即a ＝b ＝1时，等号成立)， 所以(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )≥9a 2b 2(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)．因为a ≠b ，所以(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )>9a 2b 2.(理)(2014·某某市二模、某某省三诊)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ＋，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)若a 、b 、c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.[解析] (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |， 所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)解法一：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )(1a ＋12b ＋13c )≥(a ·1a＋2b ·12b ＋3c ·13c)2＝9.∴a ＋2b ＋3c ≥9.解法2：由(1)知，1a ＋12b ＋13c ＝1，a 、b 、c ∈R ＋，∴a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )·1 ＝(a ＋2b ＋3c )(1a ＋12b ＋13c )＝3＋2b a ＋3c a ＋a 2b ＋3c 2b ＋a 3c ＋2b 3c＝3＋(2b a ＋a 2b )＋(3c a ＋a 3c )＋(3c 2b ＋2b 3c)≥3＋2＋2＋2＝9，等号在a ＝2b ＝3c ＝13时成立．10．(文)(2015·某某市模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a (a >0)．(1)当a ＝2时，求不等式f (x )>3的解集；(2)证明：f (m )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ≥4.[解析] (1)当a ＝2时，f (x )＝|x ＋2|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－x －2－x －12>3，或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤－12，x ＋2－x －12>3，或⎩⎪⎨⎪⎧x >－12，x ＋2＋x ＋12>3，∴x <－114或∅或x >14，∴不等式的解集为{x |x <－114或x >14}．(2)证明：f (m )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m＝|m ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m ＋1a＝⎝⎛⎭⎪⎫|m ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m ＋1a ≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫|m |＋1|m |≥4⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1，a ＝1时等号成立.(理)(2015·某某统考)已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|2－x |≤a ≤|x ＋1|＋|2－x |都成立．(1)求a 的值；(2)设m >n >0，求证：2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .[解析] (1)设f (x )＝|x ＋1|－|2－x |，则 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x ≤2.3，x >2，∴f (x )的最大值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|－|2－x |≤a 都成立，即f (x )≤a ， ∴a ≥3.设h (x )＝|x ＋1|＋|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x ≤2，2x －1，x ≥2，∴h (x )的最小值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|＋|2－x |≥a 都成立，即h (x )≥a ， ∴a ≤3，∴a ＝3. (2)证明：由(1)知a ＝3， ∵2m ＋1m 2－2mn ＋n 2－2n ＝(m －n )＋(m －n )＋1m －n2，又∵m >n >0， ∴(m －n )＋(m －n )＋1m －n2≥33m －n m －n1m －n2＝3，∴2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .。

7 概率与统计(理)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·四川文，3)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A ．抽签法B ．系统抽样法C ．分层抽样法D ．随机数法[答案] C[解析] 考查随机抽样．按照各种抽样方法的适用范围可知，年级不同产生差异，及按人数比例抽取，应使用分层抽样．选C ．2．(2014·河北名师名校俱乐部模拟)根据某市环境保护局公布2008～2013这六年每年的空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是( )A ．300B ．302.5C ．305D ．310[答案] B[解析] 该组数据为290、295、300、305、305、315共六个数据，所以其中位数为300＋3052＝302.5.3．(2015·新课标Ⅰ理，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312 [答案] A[解析] 考查独立重复试验；互斥事件和概率公式．根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C 230.62×0.4＋0.63＝0.648，故选A ．4．(2015·北京丰台练习)盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是( )A ．18125 B ．36125 C ．44125 D ．81125[答案] B[解析] 取球次数恰为3次，则第3次取得的球必为红球，前两次取出球中1次为白球，1次为红球，则取球次数恰为3次的概率P ＝3× 3×2 ×253＝36125，故选B ． 5．(2015·山东理，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%[答案] B[解析] P (3＜ξ＜6)＝12[P (－6＜ξ＜6)－P (－3＜ξ＜3)]＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.故选B ．6．已知a >0，在可行域内任取一点(x ，y )，如果执行如图的程序框图，那么输出数对(x ，y )的概率是( )A ．13B ．13aC ．12D ．12a[答案] A[解析] 可行域三角形的面积为S ＝12×1a ×1a ＝12a 2，其中可行域内满足y ≥ax 2的区域的面积S ′＝∫1a 0(x －ax 2)d x ＝16a 2，故所求事件的概率为P ＝S ′S ＝13.7．(2014·中原名校联考)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，x 3，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝－12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( ) A ．－12B ．12C ．－1D ．1[答案] C[解析] 因为所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝－12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关性强，相关系数|r |＝1，由相关系数计算公式r ＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2∑i ＝1ny i －y2＝∑i ＝1n－12 x i －x 2∑i ＝1nx i －x2∑i ＝1ny i －y 2<0得r ＝－1.8．某赛季甲、乙、丙、丁四名篮球运动员五场比赛的得分情况如表：( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁[答案]A[解析] x －甲＝14，x －乙＝13.8， x －丙＝13.4，x －丁＝13.2.故应选择甲参加集训．9．设不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ≤2，y ≤2所表示的平面区域为A ，现在区域A 中任意丢进一个粒子，则该粒子落在直线y ＝12x 下方的概率为( )A ．13B ．14C ．12D ．34[答案] B[解析] 本题是线性规划问题，数形结合可解．如图所示，可行域为正方形，易求得面积比为14.解决线性规划的实质是用数形结合的方法解决问题，判断可行域可以采用取特殊点的方法．10．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)已知i 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式(i x －1x)6的展开式中含x －2的系数是( )A ．192B ．32C ．－42D ．－192[答案] C[解析] 由程序框图可知i ＝7，∴二项式(i x －1x)6为(7x －1x)6，其通项为T r ＋1＝C r6(7x )6－r(－1x)r＝(－1)r 76－r C r 6x 3－r，令3－r ＝－2，∴r ＝5，故含x －2的系数为－7×6＝－42.11．(2015·河南八市质量监测)某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外活动，分别成立绘画，象棋和篮球兴趣小组，现有甲，乙，丙，丁四名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同的报名方法有( )A ．12种B ．24种C ．36种D ．72种[答案] C[解析] 从4人中选2人并作1组，则共有C 24A 33＝36种不同的报名方法．12．设集合A ＝{－1,1,2,3}，在集合A 中任取两个数a 、b (a ≠b )，则方程x 2a ＋y 2b＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率为( )A ．12 B ．14 C ．13 D ．34[答案] B[解析] 在A 中任取两个不同数(a ，b )共有A 24＝12种不同取法，其中表示焦点在x 轴上的椭圆时，a >b >0，有C 23＝3种取法，∴P ＝312＝14.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是________．[答案] 10.5 10.5 [解析] 这10个数的中位数为a ＋b2＝10.5.这10个数的平均数为10. 要使总体方差最小． 即(a －10)2＋(b －10)2最小． 即a 2＋b 2－20(a ＋b )＋200最小，∵a >0，b >0，∴a 2＋b 2≥ a ＋b22(当a ＝b 时取等号)，∵a ＋b ＝21，∴当a ＝b ＝10.5时，取得最小值．14．某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是12，构造数列{a n }，使得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 当第n 次出现正面时 －1 当第n 次出现反面时 ，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．(1)S 4＝2的概率为________；(2)若前两次均出现正面，则2≤S 6≤4的概率为________． [答案] (1)14 (2)58[解析] (1)S 4＝2，需4次中有3次正面1次反面，设其概率为P 1，则P 1＝C 34(12)3·12＝4×(12)4＝14.(2)6次中前两次均出现正面，要使2≤S 6≤4，则后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面，设其概率为P 2，则P 2＝C 24(12)2(12)2＋C 34(12)3·12＝58.15．(2015·青岛市质检)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则二项式(ax 2－1x)6展开式中的第6项的系数为________．[答案] －24[解析] 本题主要考查定积分的计算和二项式定理，考查考生的运算求解能力． 由题意知，a ＝(x 3－x 2)|21＝4，所以二项式为(4x 2－1x)6，其展开式中第6项为T 6＝C 56(4x 2)(－1x )5＝－24x3，故展开式中第6项的系数为－24.16．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回归直线方程为y ^＝0.85x －0.25.由以上信息，得到下表中c 的值为________.[答案] 6[解析] x －＝3＋4＋5＋6＋75＝5，y －＝2.5＋3＋4＋4.5＋c 5＝14＋c5，代入回归直线方程中得：14＋c5＝0.85×5－0.25，解得c ＝6.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(2015·天津理，16)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． [分析] (1)由古典概型和互斥事件概率计算公式计算； (2)先写出随机变量X 的所有可能值，求出其相应的概率，列出概率分布列再求期望．[解析] (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635， 所以事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4, P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 8(k ＝1,2,3,4),所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望E (X )＝1×14＋2×7＋3×7＋4×114＝52.18．(本题满分12分)某中学研究性学习小组，为了考查高中学生的作文水平与爱看课外书的关系，在本校高三年级随机调查了50名学生．调查结果表明：在爱看课外书的25人中有18人作文水平好，另7人作文水平一般；在不爱看课外书的25人中有6人作文水平好，另19人作文水平一般．(1)试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系？高中学生的作文水平与爱看课外书的2×2列联表(2)4、5，某5名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为1、2、3、4、5，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率．附表：因为K 2＝25×25×24×26＝13≈11.538>10.828.由表知，P (K 2≥10.828)≈0.001.故有99.9%的把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系．(2)设“被选取的两名学生的编号之和为3的倍数”为事件A ，“被选取的两名学生的编号之和为4的倍数”为事件B ．因为事件A 所包含的基本事件为：(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，共9个，基本事件总数为5×5＝25.所以P (A )＝925.因为事件B 所包含的基本事件为：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，共6个．所以P (B )＝625.因为事件A 、B 互斥，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝925＋625＝35.故被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率是35.19．(本题满分12分)(2015·新课标Ⅰ，19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝8 i ＝1w i ，(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题：(ⅰ)年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝ ni ＝1 u i －u v i －vni ＝1u i －u 2，α^＝v －β^u . [分析] 考查非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识． (1)依据散点图中点的分布规律判断；(2)令w ＝x ，先求出建立y 关于w 的线性回归方程，即可得y 关于x 的回归方程；(3)(ⅰ)利用y 关于x 的回归方程先求出年销售量y 的预报值，再根据年利润z 与x 、y 的关系可得年利润z 的预报值；(ⅱ)根据(2)的结果列出年利润z 的预报值关于x 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用．[解析] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适合作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d ^＝∑i ＝18w i －wy i －y∑i ＝18w i －w 2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6.∴y 关于w 的线性回归方程为 y ^＝100.6＋68w ，∴y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)(ⅰ)由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值 y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. (ⅱ)根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2×(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12，∴当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．20．(本题满分12分)我市某中学一研究性学习小组，在某一高速公路服务区，从小型汽车中按进服务区的先后，每间隔5辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[70,75)，[75,80)，[80,85)[85,90)，[90,95)，[95,100]统计后得到如下图的频率分布直方图．(1)此研究性学习小组在采样中，用到的是什么抽样方法？并求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值．(2)若从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆，求车速在[80,85)和[85,90)内都有车辆的概率．(3)若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，求车速在[75,80)的车辆数的数学期望． [解析] (1)此研究性学习小组在采样中，用到的抽样方法是系统抽样． 这40辆小型汽车车速众数的估计值为87.5，中位数的估计值为87.5.(2)车速在[80,90)的车辆共有(0.2＋0.3)×40＝20辆，速度在[80,85)，[85,90)内的车辆分别有8辆和12辆．记从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆车，车速在[80,85)内的有2辆，在[85,90)内的有1辆为事件A ，车速在[80,85)内的有1辆，在[85,90)内的有2辆为事件B ，则P (A )＋P (B )＝C 28C 112C 320＋C 18C 212C 320＝8641140＝7295.(3)车速在[70,80)的车辆共有6辆，车速在[70,75)和[75,80)的车辆分别有2辆和4辆，若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，设车速在[75,80)的车辆数为X ，则X 的可能取值为1、2、3.P (X ＝1)＝C 22×C 14C 36＝420＝15，P (X ＝2)＝C 12×C 24C 36＝1220＝35，P (X ＝3)＝C 02×C 34C 36＝420＝15，故分布列为∴车速在[75,80)的车辆数的数学期望为E (X )＝1×5＋2×35＋3×15＝2.21．(本题满分12分)(2015·洛阳市期末)在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩(单位：分)，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：(1)求抽取的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z 服从正态分布N (μ，σ2)(其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2)，且规定82.7分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？(附：161≈12.7，若z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<z <μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<z <μ＋2σ)＝0.9544.)(3)已知样本中成绩在[90,100]中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E (ξ)．[解析] (1)样本平均数x －和样本方差s 2分别为 x －＝45×0.05＋55×0.18＋65×0.28＋75×0.26＋85×0.17＋95×0.06＝70，s 2＝(－25)2×0.05＋(－15)2×0.18＋(－5)2×0.28＋52×0.26＋152×0.17＋252×0.06＝161，(2)由(1)知，z ～N (70,161)，从而P (z >82.7)＝1－0.68262＝0.1587，能进入复试的人数为2000×0.1587≈317. (3)显然ξ的取值为1,2,3，P (ξ＝1)＝C 14·C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24·C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 36＝15，ξ的分布列为所以E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×5＝2.22．(本题满分12分)(2015·湖北理，20)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列为Z (单位：元)是一个随机变量．(1)求Z 的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率．[分析] 本题主要考查随机变量及其分布列、线性规划．考查考生的应用意识、数据处理能力及转化化归思想(1)依据题意列出不等式组，并写出目标函数；分类讨论，通过可行域得出最大获利Z的不同取值，从而得到最大获利Z 的分布列；由随机变量的期望公式可求出数学期望．(2)由(1)中结论得到一天最大获利超过10 000元的概率，由对立事件和二项分布的概率计算公式可得到3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率．[解析] (1)设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1.5y ≤W ，x ＋1.5y ≤12，2x －y ≥0，x ≥0，y ≥0.(1)目标函数为z ＝1 000x ＋1 200y.图1图2图3当W ＝12时，(1)表示的平面区域如图1， 三个顶点分别为A (0,0)，B (2.4,4.8)，C (6,0)． 将z ＝1 000x ＋1 200y 变形为y ＝－56x ＋z1 200， 当x ＝2.4，y ＝4.8时，直线l ：y ＝－56x ＋z1 200，在y 轴上截距最大，最大获利Z ＝z max ＝2.4×1 000＋4.8×1 200＝8 160(元)． 当W ＝15时，(1)表示的平面区域如图2， 三个顶点分别为A (0,0)，B (3,6)，C (7.5,0)． 将z ＝1 000x ＋1 200y 变形为y ＝－56x ＋z1 200，当x ＝3，y ＝6时，直线l ：y ＝－56x ＋z1 200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝3×1000＋6×1 200＝10 200(元)．当W ＝18时 ，(1)表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A (0,0)，B (3,6)，C (6,4)，D (9,0)． 将z ＝1 000x ＋1 200y 变形为y ＝－56x ＋z1 200，当x ＝6，y ＝4时，直线l ：y ＝－56x ＋z1 200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝6×1000＋4×1 200＝10 800.故最大获利Z 的分布列为因此，E (Z )(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率p 1＝P (Z ＞10 000)＝0.5＋0.2＝0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为p ＝1－(1－p 1)3＝1－0.33＝0.973.。