广州市花都区2011届高三9月调研考试(理数)

2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（三）答案本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．一.选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分50分．1．B 2．A 3．A 4．C 5．C 6．A 7．B 8．D1.选B.提示：1,0,11==∴=-+b a i ii. 2.选A.提示：[]()3,2:,3,5:q p -. 3.选A.提示：4111534,11,55534335=-=--==∴==a a k a a S . 4.选C.提示：3,3,2)0(,0)2(-==-==b a f f 得根据. 5.选C.提示：l 与m 可能异面.6.选A.提示：362323=⨯A A .7.选B.21sin ,23432cos ,2=-=-===θθ. 8.选D.提示： 21444421=⨯⨯⨯=P .二.填空题：本大题考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，其中9～13题是必做题，14～15题是选做题．每小题5分，满分30分．其中第11题中的第一个空为2分，第二个空为3分．9．15- 10．2911．16)5(22=-+y x 12．2 13．41 14．1- 15．8π9.15-.提示：31535)(x C C --.10.29.提示：29)2(S 302⎰=--=dx x x x 面积.11.16)5(22=-+y x .提示：根据圆心到直线的距离等于半径求出r=4 12.2提示：2)1()2()5()8(==-=-=-f f f f . 13.41 .提示：351,62=-==a t a . 14.1-.提示：化为普通方程求解.15.8π.提示：22,90,OA 0===∴=∠OB OA r BOA OB ，连接.三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明.演算步骤或推证过程． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系.余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） 解：（Ⅰ）221cos 413()1sin 21cos 4222x g x b x x -==+=+=-+ …………2分 ∴函数)(x g 的最小周期242ππ==T ……………4分（Ⅱ）()f x a b =⋅2(2cos (1,sin 2)x x =⋅22cos 2x x =cos212x x =+2sin(2)16x π=++ ……………6分 31)62sin(2)(=++=πC C f∴1)62s i n (=+πC ………………7分C 是三角形内角， ∴)613,6(62πππ∈+C ， ∴262ππ=+C 即：6π=C …………8分∴232cos 222=-+=ab c a b C 即：722=+b a …………………10分 将32=ab 可得：71222=+aa 解之得：432或=a ， ∴23或=a所以当a =2b =；当2a =，b =b a > ∴2=a ，3=b ． …………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布直方图.随机变量的分布列.二项分布等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力.运算求解能力和应用意识） 解：（1）根据频率分步直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.010.05)5]4012+⨯⨯=（件）．………… 4分（2）Y 的可能取值为0，1，2． ………… 5分22824063(0)130C P Y C ===．11281224056(1)130C C P Y C ===． 21224011(2)130C P Y C ===．………… 8分 Y 的分布列为 ………… 9分（3）利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0．3．令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量， 则(5,0.3)B ξ，故所求概率为：2235(2)(0.3)(0.7)0.3087P C ξ===．………… 12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系.空间距离.空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合.化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力.推理论证能力和运算求解能力）解：(1) 证明：连结OC ，,,BO DO AB AD ==AO BD ∴⊥ ………… 1分,BO DO BC CD==，CO BD ⊥． ……… 2分 在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO = …………3分而2AC =， ∴222,AO CO AC += ……… 4分∴90,oAOC ∠=即.AO OC ⊥ ………………… 5分,BD OC O = ∴AO ⊥平面BCD ． …………… 6分(2) 解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),B D -1(0,0,1),(,22C A E(1,0,1),(1,BA CD =-=-∴2cos ,4BA CD BA CD BA CD⋅<>==⋅，…………… 9分CE∴ 异面直线AB 与CD所成角余弦的大小为4．…… 10分 (3) 解：设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =则(,,)(1,0,1)0(,,)1)0n AD x y z n AC x y z ⎧⋅=⋅--=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩，∴00x z z +=⎧⎪-=， 令1,y =得(3,1n =-是平面ACD 的一个法向量．又1(,22EC =-∴点E 到平面ACD 的距离377EC n h n⋅===．……… 14分 (3) （法二）解：设点E 到平面ACD 的距离为h ．E ACD A CDE V V --=， ∴1133ACD CDE h S AO S ∆∆⋅=⋅⋅ …………………………12分在ACD ∆中，2,CA CD AD ===∴12ACD S ∆==, 而1AO =，2122CDE S ∆==．∴1CDEACDAO S h S ∆∆⋅===∴点E 到平面ACD …………… 14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆.椭圆等知识，考查数形结合.化归与转化.函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）当2e =时， ∵1a =，∴c =∴22231144b a c =-=-=，b =12， 点1(0,)2B,(F ，(1,0)C …………………… 2分 设P 的方程为222()()x m y n r -+-=，由P 过点F,B,C 得∴2221()2m n r +-= ①222(m n r ++= ②222(1)m n r -+= ③ …………………… 5分由①②③联立解得：24m =，14n -=，254r = (7)∴所求的P 的方程为225((4x y +=………………… 8分 （2）∵P 过点F,B,C 三点，∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上， 也在BC 的垂直平分线上， FC 的垂直平分线方程为12cx -=④ ………… 9分∵BC 的中点为1(,)22b，BC k b =- ∴BC 的垂直平分线方程为11()22b y x b -=- ⑤ ……… 10分 由④⑤得21,22c b cx y b--==， 即21,22c b c m n b--== …………………… 11分 ∵ P (,)m n 在直线0x y +=上，∴21022c b c b--+=⇒(1)()0b b c +-= ∵ 10b +> ∴b c =，由221b c =- 得212b =…………………… 13分 ∴ 椭圆的方程为2221x y += …………………… 14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）当||2x <时，由a b ⊥得2(3)0a b x x y ⋅=--=，33y x x =-；（||2x <且0x ≠）------------------------------------2分 当||2x ≥时，由//a b . 得23xy x =-- --------------------------------------4分∴ 323,(220)().(22)3x x x x y f x x x x x⎧--<<≠⎪==⎨≥≤-⎪-⎩且或---------------------5分（2）当||2x <且0x ≠时，由2'33y x =-<0, 解得(1,0)(0,1)x ∈-，----------------6分当||2x ≥时，222222(3)(2)3'0(3)(3)x x x x y x x ---+==>-- ------------------------------8分∴函数()f x 的单调减区间为（－1，０）和（０，1） -------------9分 （3）对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞，都有230mx x m +-≥ 即2(3)m x x -≥-， 也就是23xm x≥- 对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞恒成立，----------------------------------11分 由（2）知当||2x ≥时，222222(3)(2)3'()0(3)(3)x x x x f x x x ---+==>-- ∴ 函数()f x 在(,2]-∞-和[2,+)∞都单调递增----------------------12分又2(2)234f --==-，2(2)234f ==-- 当2x ≤-时2()03xf x x =>-， ∴当(,2]x ∈-∞-时，0()2f x <≤同理可得，当2x ≥时， 有2()0f x -≤<， 综上所述得，对(,2]x ∈-∞-[2,)+∞，()f x 取得最大值2；∴ 实数m 的取值范围为2m ≥.----------------------14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查数列.不等式.数学归纳法等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力.运算求解能力和创新意识）解：（Ⅰ）分别令1=n ，2，3，得⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=3)(22)(212233212221211a a a a a a a a a∵0>n a ，∴11=a ，22=a ，33=a …………………3分（Ⅱ）证法一：猜想：n a n =， ……………………4分由 n a S n n +=22 ① 可知，当n ≥2时，)1(2211-+=--n a S n n ②①－②，得 12212+-=-n n n a a a ，即12212-+=-n n n a a a . ………………6分1）当2=n 时，1122222-+=a a ，∵02>a ，∴22=a ； ……………7分2）假设当k n =（k ≥2）时，k a k =.那么当1+=k n 时，122121-+=++k k k a a a 1221-+=+k a k0)]1()][1([11=-++-⇒++k a k a k k ，∵01>+k a ，k ≥2， ∴0)1(1>-++k a k ，∴11+=+k a k .这就是说，当1+=k n 时也成立，∴n a n =（n ≥2）.显然1=n 时，也适合.故对于n ∈N*，均有n a n =. ……………………9分 证法二：猜想：n a n =， ……………………………4分 1）当1=n 时，11=a 成立； ……………………………5分 2）假设当k n =时，k a k =. …………………………6分那么当1+=k n 时，12211++=++k a S k k .∴1)(2211++=+++k a S a k k k ，∴)1(22121+-+=++k S a a k k k )1()(221+-++=+k k k a k)1(221-+=+k a k（以下同证法一） ………………9分 （Ⅲ）证法一：要证11+++ny nx ≤)2(2+n ， 只要证1)1)(1(21++++++ny ny nx nx ≤)2(2+n ，…………10分即+++2)(y x n 1)(22+++y x n xy n ≤)2(2+n ，…………11分将1=+y x 代入，得122++n xy n ≤2+n ，即要证)1(42++n xy n ≤2)2(+n ，即xy 4≤1. …………………………12分∵0>x ，0>y ，且1=+y x ， ∴xy ≤212=+y x , 即xy ≤41，故xy 4≤1成立， 所以原不等式成立. ………………………14分证法二：∵0>x ，0>y ，且1=+y x ，∴121+⋅+n nx ≤2121+++n nx ①当且仅当21=x 时取“=”号. ………………………11分 ∴121+⋅+n ny ≤2121+++n ny ② 当且仅当21=y 时取“=”号. ……………………12分①+②， 得（++1nx 1+ny ）12+n ≤24)(n y x n +++2+=n ， 当且仅当21==y x 时取“=”号. ………………………13分 ∴11+++ny nx ≤)2(2+n . ……………………14分证法三：可先证b a +≤)(2b a +. ……………………10分 ∵ab b a b a 2)(2++=+， b a b a 22))(2(2+=+，b a +≥ab 2，……………………………11分∴b a 22+≥ab b a 2++， ∴)(2b a +≥b a +，当且仅当b a =时取等号. ………………12分令1+=nx a ，1+=ny b ， 即得：11+++ny nx ≤)11(2+++ny nx )2(2+=n ， 当且仅当1+nx 1+=ny 即21==y x 时取等号. ………………………14分。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、 考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式121()()()nii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑ , ay b x =- . 其中,x y 表示样本均值.n 是正整数，则()n na b a b -=-12(n n a a b --++ (21)n n ab b --+）.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i - 【解析】B ;依题意得211z i i==-+，故选B .2．已知集合{(,)|A x y =,x y 为实数,且}221x y +=,{(,)|B x y =,x y 为实数,且}y x =,则A B 的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【解析】C;题意等价于求直线y x =与圆221x y +=的交点个数,画大致图像可得答案为C . 3. 若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则⋅(2)=c a +bA ．4B ．3C ．2D ．0 【解析】D;因为a ∥b 且a ⊥c ,所以b ⊥c ，从而⋅⋅⋅(2)=20c a +b c a +c b =，故选D . 4. 设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A ．()()f x g x +是偶函数B ．()()f x g x -是奇函数C ．()()f x g x +是偶函数D ．()()f x g x -是奇函数 【解析】A;依题意()(),()()f x f x g x g x -=-=-,故()|()|()|()|f x g x f x g x -+-=+,从而()|()|f x g x + 是偶函数，故选A .5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为A ．B ．C ．4D ．3 【解析】C;目标函数即z y =+,画出可行域如图所示，代入端点比较之，易得当2x y ==时z 取得最大值4,故选C ．6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获 得冠军的概率为A ．12B ．35C ．23D ．34【解析】D;设甲队获得冠军为事件A ,则A 包含两种情况:(1)第一局胜;(2)第一局负但第二局胜;故所求概率1113()2224P A =+⨯=,从而选D ．7. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形， 侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积 为A ．B ．C ．D ．【解析】B ;该几何体是以正视图所在的平行四边形为底面，高为 3的四棱柱，又平行四边形的底边长为3,,所以面积 S=从而所求几何体的体积V Sh ==故选B ． 8.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T ,V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z = 且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B . ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C . ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D . ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的【解析】A;因为T V Z = ,故必．有．1∈T 或1∈V ,不妨设1∈T ,则令1c =,依题意对,a b T ∀∈,有ab T ∈,从而T 关于乘法是封闭的;(其实到此已经可以选A 了,但为了严谨,我们往下证明可以有一个不封闭以及可以两个都封闭),取T N =,则V 为所有负整数组成的集合,显然T 封闭,但V 显然是不封闭的,如(1)(2)2V -⨯-=∉;同理,若{T =奇数}，{V =偶数}，显然两者都封闭，从而选A ．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

广东六校2011高三第三次联考数 学（理 科）试卷本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}2,1,0=M ，{}M a a x x N ∈==,2，则集合=N M A ．}0{B ．}1,0{C ．}2,1{D ．}2,0{2．设a 是实数，且211i ia+++是实数，则=a A ．21 B ．1C ．23 D ．23．已知函数)sin(2)(ϕω+=x x f （其中0>ω，2πϕ<）的最小正周期是π，且3)0(=f ，则A ．21=ω，6πϕ=B ．21=ω，3πϕ=C ．2=ω，6πϕ=D ．2=ω，3πϕ=4．下列四个命题中，真命题的个数为（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； （2）两条直线可以确定一个平面；（3）若α∈M ，β∈M ，l =⋂βα，则l M ∈； （4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1 B ．2 C ．3D ．45．已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则)34()34(-+f f 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．26．设)('x f 是函数)(x f 的导函数，将)(x f y =和)('x f y =的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是BA ．B ．C ．D ．7．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为A ．21 B ．1 C ．2 D ．不确定8．已知1)1,1(=f ，*),(N n m f ∈（m 、*)N n ∈，且对任意m 、*N n ∈都有： ①2),()1,(+=+n m f n m f ；②)1,(2)1,1(m f m f =+．给出以下三个结论：（1）9)5,1(=f ；（2）16)1,5(=f ；（3）26)6,5(=f ． 其中正确的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分． 9．圆心为)1,1(且与直线4=+y x 相切的圆的方程是_______________． 10．向量a、b3=5=7=-，则a 、b 的夹角为________． 11．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．12．如右图，一个空间几何体的主视图、左视图是周长为4一个内角为060的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为________．13．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ 与圆2=ρ的公共点个数是________．14．（不等式选讲选做题）x 、0>y ，1=+y x ，则)1)(1(yy x x ++的最小值为______．俯视图左视图主视图EDCBAP15．（几何证明选讲选做题）如图所示，等腰三角形ABC 的底边AC 长为6 , 其外接圆的半径长为5, 则三角形ABC 的面积是________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）设集合{}42<=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<=341x x B ． （1）求集合B A ；（2）若不等式022<++b ax x 的解集为B ，求a ，b 的值． 17．（本小题满分12分）已知函数x x x f 2sin 21)12(cos )(2++=π．（1）求)(x f 的最值； （2）求)(x f 的单调增区间．18．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，AD AB ⊥，CD AC ⊥，︒=∠60ABC ，BC AB PA ==，E 是PC 的中点．（1）求证：AE CD ⊥； （2）求证：⊥PD 面ABE ；（3）求二面角C PD A --的平面角的正弦值． 19．（本小题满分14分）已知抛物线2:ax y C =（a 为非零常数）的焦点为F ，点P 为抛物线C 上一个动点，过点P 且与抛物线C 相切的直线记为L ． （1）求F 的坐标；（2）当点P 在何处时，点F 到直线L 的距离最小？ 20．（本小题满分14分）数列{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列．令n n a a a b ----= 211，n n b b b c ----= 212，*N n ∈．（1）试用a 、q 表示n b 和n c ；（2）若0<a ，0>q 且1≠q ，试比较n c 与1+n c 的大小；（3）是否存在实数对),(q a ，其中1≠q ，使{}n c 成等比数列．若存在，求出实数对),(q a 和{}n c ；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分14分）设函数x b x x f ln )1()(2+-=，其中b 为常数． （1）当21>b 时，判断函数()f x 在定义域上的单调性；（2）若函数()f x 的有极值点，求b 的取值范围及()f x 的极值点； （3）求证对任意不小于3的正整数n ，不等式nn n n1ln )1ln(12<-+<都成立．广东六校2011高三第三次联考数 学（理 科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．C 8．A二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分． 9．2)1()1(22=-+-y x 10．︒120（或π32）11．11 12．π13．114．42515．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 解：{}{}2242<<-=<=x x x x A ，……………………………………………… 3分{}13031341<<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<=x x x x x x x B ，………………………3分（1）{}12<<-=∴x x B A ；……………………………………………………. 2分 （2）因为022<++b ax x 的解集为{}13<<-=x x B ，所以13和-为022=++b ax x 的两根，……………………………………… 2分故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-132132b a ，所以4=a ，6-=b ．……………………………………. 2分17．（本小题满分12分） 解： x x x f 2sin 21)]62cos(1[21)(+++=π………………………………………… 2分]2sin )6sin 2sin 6cos2(cos 1[21x x x +-+=ππ)2sin 212cos 231(21x x ++=………………………………………… 2分 21)32sin(21++=πx …………………………………………………….2分（1）)(x f 的最大值为1、最小值为0；……………………………………………… 2分 （2）)(x f 单调增，故]22,22[32πππππ+-∈+k k x ，…………………………… 2分即)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ，从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ．…………………… 2分18．（本小题满分14分）（1）证明：⊥PA 底面ABCD ，PA CD ⊥∴又AC CD ⊥，A AC PA =⋂，故⊥CD 面PAC⊆AE 面PAC ，故AE CD ⊥………………………………………………… 4分 （2）证明：BC AB PA ==，︒=∠60ABC ，故AC PA =E 是PC 的中点，故PC AE ⊥由（1）知AE CD ⊥，从而⊥AE 面PCD ，故PD AE ⊥易知PD BA ⊥，故⊥PD 面ABE ……………………………………………… 5分 （3）过点A 作PD AF ⊥，垂足为F ，连结EF ．由（2）知，⊥AE 面PCD ，故AFE ∠是二面角C PD A --的一个平面角．设a AC =，则a AE 22=，a AD 32=，a PD 37=从而a PDAD PA AF 72=⋅=，故414sin ==∠AFAE AFE ．……………… 5分说明：如学生用向量法解题，则建立坐标系给2分，写出相关点的坐标给2分，第（1）问正确给2分，第（2）问正确给4分，第（3）问正确给4分。

2011年9月花都区调研测试理科数学试题本试卷共4页，20小题，满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一．选择题：（共8小题，每小题5分，满分40分，每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合{0,1}A =，{1,0,3}B a =-+，且{}0,1A B ⋂=，则a 等于A 1B 0C 2-D 3-2.已知i 是虚数单位，则复数z 12i =--所对应的点落在A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3．下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是A.2log y x = B . 1y x = C .1()2xy =- D .13y x =4.在ABC ∆中，“0AB AC ⋅<”是“ABC ∆为钝角三角形”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件5．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4- ，则输出y 的值为( )．A ．2B ．1C ．0.5D ．46．设变量,x y，满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为 ( )．A ．4-B ．0C ．43D ．47．设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切，则C 的圆心轨迹为 （ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x =与直线y c =有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．(]()1,12,-+∞ B ．(](]2,11,2--C ．()(],21,2-∞-D ．[]2,1--二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 第10题第一问2分，第二问3分。

广东省广州市花都区2011届高三年级调研考试数学试题（理）考试时间 120分钟 满分150分一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合{2,3}A =,则集合A 的子集个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 2．已知数列{}n a 满足120n n a a +-= ()n N +∈ ，则数列{}n a 一定是（ ）A ．公差为12的等差数列 B ．公差为2的等差数列C ．公比为12的等比数列D ．公比为2的等比数列3．函数1sin(),(0)26y x πωω=+>的最小正周期是4π，则ω=（ ）A ．14B ．12C ．1D ．24．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰 直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体 的体积为 （ ）A ．13 B ．23C ． 43D ．25．已知函数()y f x =在定义域[4,6]-内可导，其导函数'()y f x =的图象如右图，则函数()y f x =的单调递增区间为（ ）A ．411[4,],[1,]33--B ．7[3,0],[,5]3- C ．411[,1],[,6]33-D ．7[4,3],[0,],[5,6]3--6．为了解一片经济树林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ），根据所得数据画出样本的频 率分布直方图如图所示．那么在这100株树木中，底部周 长小于110cm 的株数n 是 （ ） A ．30 B ．60 C ．70 D ．80 7．如图，平面内有三个向量,,,OA OB OC 其中OA 与OB 的夹角为60°, OA 与OC 、OB 与OC 的夹角都为30°,且∣OA ∣=∣OB ∣=1, ∣OC ∣=若OC =λOA +μOB , 则λμ+的值为（ ）A ．4B．C．D ．28．奇函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，且(1)0f -=，则不等式()f x x >的解集为（ ）A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(1,0)(1,)-+∞D ．(1,0)(0,1)-二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知向量(3,2),(1,2),a x b x =-=且a b ⊥，则_______x =10．已知函数()(0)xf x a b a =+>的图象经过点(2,3)和原点，则(2)____f -=．11．若执行如右图所示的程序框图，则输出的S = ． 12．在ABC ∆中，已知4,3,AB BC AC ===则ABC∆的最大角的大小为 ．13．在区间[0,10]上随机取两个实数x ，y ，则事件“22x y +≥”的概率为_____14．若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为_________.三、解答题15．（本题满分12分）已知()cos()sin 3f x x k xπ=+-，且()62f π=． （1）求实数k 的值；（2）求函数()f x 的最大值和最小值．16．（本题满分12分）某项竞赛分别为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘是41,21,43，且各汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别阶段通过与否相互独立.（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率； （2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的分布列、数学期望和方差.17．（本小题满分12分） 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别为棱BC AB ,的中点. （1）试判截面11A MNC 的形状，并说明理由；（2）证明：平面⊥1MNB平面11B BDD ．18．（本小题满分14分）等差数列{}n a 中，13a =，前项和为nS ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =（1）求n a 与n b ；（2）求数列1{}n S 的前n 项和19．（本小题满分14分）已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为22ln 23++-=x y ．（1）求b a ,的值；（2）若方程()0f x m +=在1[,]e e 内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(1,3),(5,1)M N -，若动点C 满足.NC t NM =且点C 的轨迹与抛物线24y x =交于,A B 两点.（1）求证：OA OB ⊥；（2）在x 轴上是否存在一点(,0)(0)P m m ≠，使得过点P 的直线l 交抛物线24y x =于,D E 两点，并以线段DE 为直径的圆都过原点。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．参考公式：柱体体积公式V=Sh,其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．线性回归方程^^^y b x a =+中系数计算公式^^^121()(),()niii nii x x y y b a y b x x ==--==--∑∑，其中,x y 表示样本均值．n 是正整数，则-1-2-2-1-(-)()n n n n n n a b a b a a b ab b =++⋯⋯++一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． ==+z i z i z 为虚数单位，则，其中满足设复数2)1(A ． i +1B ． i -1C ． i 22+D ． i 22-2．{}{}x y y x y x B y x y x y x A ===+=为实数，且，为实数，且已知集合,),(1,),(22， 的元素个数为则B AA ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 3．=+⋅⊥)2(//b a c c a b a c b a ，则且满足，，若向量A ． 4B ． 3C ． 2D ． 04．则下列结论恒成立的是上的偶函数和奇函数，分别是和设函数R x g x f )()(A ． 是偶函数)()(x g x f +B ． 是奇函数)()(x g x f -C ． 是偶函数)()(x g x f +D ． 是奇函数)()(x g x f -5．为给定。

若由不等式组上的区域已知平面直角坐标系),(2220y x M y x y x D xOy ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤的最大值为，则的坐标为上的动点，点OA OM z A D ⋅=)1,2(A ． 24B ． 23C ． 4D ． 3俯视图 图3侧视图 图2正视图 图12222222336．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要 再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军． 若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12B ．35C ．23D ．347．如图13，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形， 侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 A ．63 B ．93 C ．123 D ．1838．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集, T V Z =,且,,a b c T ∀∈,有abc T ∈；,,x y z V ∀∈,有xyz V ∈,则下列结论恒成立的是A ． ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ． ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ． ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ． ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的 二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式130x x +--≥的解集是 ．10．7)2(xx x -的展开式中4x 的系数是 ．（用数字作答）11．等差数列{}n a 的前9项和等于前4项和，若0,141=+=a a a k ，则=k ． 12．函数13)(23+-=x x x f 在=x 处取得极小值．13．某数学老师身高176cm ，他爷爷，父亲，儿子的身高分别是173cm,170cm 和182cm ，因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是 cm ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧==θθsin cos 5y x （0≤θ ＜π ）和⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 245（t ∈R ），它们的交点坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点P 分别做 圆的切线和割线交圆于A ,B 两点，且PB =7，C 是圆上一点使 得BC =5，,BAC APB ∠=∠则AB = ．图4COBP三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数1()2sin(),36f x x x π=-∈R ．（1）求5()4f π的值； （2）设,[0,]2παβ∈，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求cos()αβ+的值．17．（本小题满分13分）为了解甲，乙两厂的产品质量，采取分层抽样的方法从甲，乙两厂的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素y x ,的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1） 已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2） 当产品中微量元素y x ,满足175≥x 且75≥y 时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3） 从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽出的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．18．（本小题满分13分）如图5，在锥体P ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且60DAB ∠=，PA PD ==PB =2，E ，F分别是BC ，PC 的中点． (1) 证明：AD ⊥平面DEF ； (2) 求二面角P —AD —B 的余弦值．C EFPDBA图519．（本小题满分14分）设圆C与两圆22(4x y +=，22(4x y +=中的一个内切，另一个外切． （1） 求C 的圆心轨迹L 的方程； （2） 已知点M （553，554），F （5，0），且P 为L上的动点，求FP MP -的最大值及此时点P 的坐标．20．（本小题满分14分）设b >0,数列}{n a 满足b a =1,11(2)22n n n nba a n a n --=≥+-．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ,1112n n n ba ++≤+．（纯word 版2011年高考数学广东卷首发于数学驿站：．maths168．）21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线21:4L y x =，实数,p q 满足240p q -≥，12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记12(,)max{||,||}p q x x ϕ=．（1） 过点20001(,)(0)4A p p p ≠作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有0||(,)2p p q ϕ=；（2） 设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240,0a b a ->≠．过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),'(,)44E p p E p p ，12,l l 与y 轴分别交于,'F F ．线段EF 上异于两端点的点集记为X ， 证明：112||(,)||||(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3） 设215{(,)|1,(1)}44D x y y x y x =≤-≥+-，当点(,)p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值（记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）．2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）答案数学（理科）（答案制作：广州 邓军民 本答案纯粹是为了大家学习交流参考使用，因为个人水平有限，答案不一定完全正确，如果发现错误，请联系我的QQ ：9022074，Email ：gzdjm@qq ，我会及时改正，谢谢您！） 18：B C D A C D B A （个人网站：数学驿站 maths168 ） 第8题提示：先证明至少有一个封闭：由于 T ∪V=Z ，故元素 1 必在 T 和 V 之一，不妨设 1∈T ，则取c=1 则对任意的,a b ，都有ab T ∈，故 T 封闭．再证明可以有一个封闭时另一不封闭：取 T = {2k | k 为全体奇数}，V = ZT ，容易验证 T ，V 满足条件，但 T 对乘法并不封闭． 最后证明可以两个均封闭：取 T 为全体奇数，V 为全体偶数，此时 T ，V 显然满足条件且均封闭． 9．[1,)+∞ 10．84 11．10 12．2 13．185 14． 15．16．解：（1）1()2sin(),36f x x x R π=-∈，55()2sin()2sin 241264f ππππ∴=-==（2）,[0,]2παβ∈，10(3)2sin 213f παα+==，5sin 13α∴=，6(32)2sin()2cos 25f πβπββ+=+==，3cos 5β∴=，212cos 1sin 13αα∴=-=，24sin 1cos 5ββ=-=，362016cos()cos cos sin sin 656565αβαβαβ∴+=-=-=．17．解：（1）5983514⨯=（件） （2）235145⨯=（件） （3）ξ的可能取值为0,1,2，则有23253(0)10C p C ξ===，1132253(1)5C C p C ξ⋅===，22251(2)10C p C ξ===，ξ∴的分布列为：ξ 0 1 2p31035 110ξ∴的均值为：012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=．18．解：（1）取AD 的中点为G ，连接,PG BG ，易知在ABG ∆中，由余弦定理得BG =， AD BG ∴⊥，又PA PD =,AD PG ∴⊥,而PG BG G =，AD PBG ⊥平面，而PBG ⊂PB 平面,AD PB ∴⊥,又//PB EF ,AD EF ⊥, 而//ED BG ,AD ED ∴⊥,而EFED E =, AD ⊥平面DEF ．（2）由（1）知，AD PBG ⊥平面，所以PGB ∠为二面角PADB 的平面角，在PBG ∆中，2PG BG PB ===，由余弦定理得：222cos 27PG BG PB PGB PG BG +-∠==-⋅⋅． ∴二面角PADB的余弦值为．19．解：（1）依题意有12||2||2CF CF +=-或21||2||2CF CF +=-，2112||||||42||2CF CF a F F c ∴-==<==，所以圆心C 的轨迹是以原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴为4，焦距为因此2222,1a c b c a ===-=，故C 的圆心轨迹L 的方程为2214x y -=．（2）过点,M F 的直线l方程为2(y x =-，代入2214x y -=解得：12x x ==， 故直线l 与L的交点为12,T T ⎝⎭⎝⎭,因为1T 在线段MF 外，2T 在线段MF 内，故11||2MT FT MF -==,22||2MT FT MF -<=,若点P 不在MF上，则||2MP FPMF -<=，综上所述，MP FP-只在点1T 处取得最大值2．20．解：（1）因为10a b =>,11(2)22n n n nba a n a n --=≥+-，取倒数得：1121n n n n a b b a --=+⋅，当2b =时，1112n n n n a a ---=，{}n n a ∴为一个首项为12，公差为12的等差数列， 2n n na ∴=，2n a ∴=． 当2b ≠时，11211()22n n n n a b b a b --+=+--，∴1{}2n n a b +-为一个首项为2(2)b b -公比为2b的等比数列， 11222()2(2)(2)n n n n n a b b b b b b -∴+=⋅=---，变形得：(2)2n n n nnb b a b -=-． 综上所述，数列}{n a 的通项公式为2(2)(2)(2)2n n n n b a nb b b b=⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩．（2）当2b =时，不等式显然成立；当2b ≠时，要证1112n n n b a ++≤+成立，只需证：11122(2)2n n n n n n b n b b b +++-⋅⋅≤+⋅-（*）11111101122222122211212112(2)(2)(2)2(222)(222)2222[()()]2222(222)2(2)2n n n n n n n i n i i n n n n n n n n n n nnn n n n n n n n n n n nb bb b b b b b b b b b b bb b b b b b n n b -++++--=+-+----+--+-+⋅=+⋅-=++++++++=+++++++>+++==⋅∑（中括号里用均值不等式）所以（*）成立，所以原不等式成立，综上所述，当0b >时，对于一切正整数n ,1112n n n ba ++≤+．21．解：（1）2001(,)4A p p 是抛物线L 上的点，12yx '=，则切线的斜率012k p = 过点A 的抛物线L 的切线方程为AB ：200011()42y p p x p -=-，即2001124y p x p =-∵(,)Q p q 在线段AB 上，∴2001124q p p p =-，∴22220001144()()24p q p p p p p p -=--=-≥0不妨设方程20x px q -+=的两根为1x =2x =则012p p p x --=，022p p p x +-=① 当00p >时，00p p ≤≤，001222p p p x p -==-，022px = ∵00122p px -<≤，∴12x x ≤，∴122(,)max{,}p q x x x ϕ==02p =② 当00p <时，00p p ≤≤，012p x =，002222p p px p -==- ∵00222p px ≤<-，∴12x x ≥，∴121(,)max{,}p q x x x ϕ==02p =综上所述，对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有0(,)2p p q ϕ=（2）由（1）知抛物线L 在2001(,)4p p 处的切线方程为2001124y p x p =-， 即200240p p x y -+=∵切线恒过点(,)M a b ，则200240p ap b -+=，∴21,24p a a b =±-① 当0a >时，(,)M a b X ∈⇔10a p <<⇔214p a a b =-，224p a a b =-⇔12p p >② 当0a <时，(,)M a b X ∈⇔10p a <<⇔214p a a b =-，224p a a b =-⇔12p p >综合①②可得(,)M a b X ∈⇔12p p > ∵由（1）可知，若2111(,)4E p p ， 点(,)M a b 在线段EF 上，有1(,)2p a b ϕ=∴(,)M a b X ∈⇒1(,)2p a b ϕ=③ 由（1）可知，方程20x ax b -+=的两根11,22p x =或12p a -，21,22p x =或22p a - 若1(,)2p a b ϕ=，即112max{,}2p x x = 则1122p a p -≥、 2122p p ≥、 2122pa p -≥，∴12p p > ∴1(,)2p a b ϕ=⇒12||||p p >⇒(,)M a b X ∈ ④综合③④可得(,)M a b X ∈⇔1(,)p a b ϕ=（3t =，则2122p t =-+，02t ≤≤ 222125224(1)54244t t t t t -++---+=++≤=≤，即max 54ϕ=综上所述min 1ϕ=，。

试卷类型：A2011年广州市高三年级调研测试数学（文科）本试卷共4 页，共21 题，满分150 分。

考试用时120 分钟。

2011.01参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1. 函数()3g x x =+的定义域为A ．{3x x ≥-}B ．{3x x >-}C ．{3x x ≤-} D ．{3x x <-}2．已知i 为虚数单位, 则复数z =i (1+i )在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．设向量(2,0)=a ,(1,1)=b ,则下列结论中正确的是A ．||||=a b B ． 21=⋅b a C ．//a b D ．()-⊥a b b4．已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线l 的 方程为A ．3y x =B ．3y x =C ．33y x =-D ．33y x = 5.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 A ．甲 B ． 乙 C ． 丙 D ．丁甲 乙 丙 丁平均环数x8.6 8.9 8.9 8.2 方差2s3.53.52.15.6图2侧视图俯视图正视图6.如果执行图1的程序框图，若输入6,4n m ==，那么输出的p 等于A ．720B ．360C ．240D ．1207.“2>x ”是“0232>+-x x ”成立的 图1 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8.定义3x y x y ⊗=-, 则()h h h ⊗⊗等于A ．h -B ．0C ．hD ．3h9. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的体积为123π+，则正视图中x 的值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 10.若把函数()=y f x 的图象沿x 轴向左平移4π个单位, 沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数 sin =y x 的图象,则()=y f x 的解析式为 A ．sin 214⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π B ．sin 212⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π C ．1sin 124⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π D ．1sin 122⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．已知等比数列{}n a 的公比是2，33a =，则5a 的值是 .12．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知2,3a b ==，则sin sin()AA C =+ .图3ONMDCBA13.设函数()()[)22,,1,,1,.x x f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩ 若()4f x >，则x 的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，四边形ABCD 内接于⊙O ， BC 是直径，MN 与⊙O 相切, 切点为A ，MAB ∠35︒=,则D ∠= .15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l 的参数方程为：2,14x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为22sin ρθ=，则直线l 与圆C 的位置关系为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值； （2）若3sin(), 052πθωω-=<<，求cos ω的值． 17.（本小题满分12分）某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数 分布)如下表：学历 35岁以下 35～50岁 50岁以上本科 8030 20研究生x20y（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本 看成一个总体, 从中任取2人, 求至少有1人的学历为研究生的概率；（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以 下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上 的概率为539，求x 、y 的值.18.（本小题满分14分）如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，A B CPD PAD △是等边三角形，已知24BD AD ==，2AB DC ==（1）求证：BD ⊥平面PAD ；（2）求三棱锥A PCD -的体积．19.（本小题满分14分） 图4已知椭圆(222:13x y E a a +=>的离心率12e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于 不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ． （1）求椭圆E 的方程；（2）若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABC ∆的面积的最大值.20．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足1(n n S a n =-∈N *).各项为正数的数列}{n b 中，对于一切n ∈N *,有nk ==且1231,2,3b b b ===.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,求证:2n T <.21.（本小题满分14分） 已知函数()(af x x a x=+∈R ), ()ln g x x =. （1）求函数()()()F x f x g x =+的单调区间；（2）若关于x 的方程()()22g x f x e x =-(e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求a 的值. 2011年广州市高三调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 11．12 12．2313.()(),22,-∞-+∞ 14．125︒ 15．相交三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)（1）解：∵a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ， ∴sin cos 21θθ=，即θθcos 2sin =. …… 2分 ∵ 1cos sin22=+θθ, 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,解得sin θθ==, ∴55cos ,552sin ==θθ. …… 6分 （2）解:∵02πω<<，20πθ<<，∴22ππθω-<-<.∵3sin(), 5θω-=∴ 4cos()5θω-==. …… 8分 ∴cos cos[()]cos cos()sin sin()ωθθωθθωθθω=--=-+- …… 10分5=. …… 12分 17．（本小题满分12分）(本小题主要考查分层抽样、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、 运算求解能力和应用意识)(1) 解: 用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本, 设抽取学历为本科的人数为m ， ∴30505m=, 解得3m =. …… 2分 ∴ 抽取了学历为研究生2人，学历为本科3人，分别记作S 1、S 2 ；B 1、B 2、B 3 .从中任取2人的所有基本事件共10个: (S 1, B 1),(S 1, B 2),(S 1, B 3),(S 2, B 1),(S 2, B 2), (S 2, B 3), (S 1, S 2), (B 1, B 2), (B 2, B 3), (B 1, B 3).O PDC BA其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个: (S 1, B 1),(S 1, B 2),(S 1, B 3),(S 2, B 1), (S 2, B 2), (S 2, B 3), (S 1, S 2). …… 4分 ∴ 从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为710. …… 6分 (2)解: 依题意得：10539N =，解得78N =. …… 8分 ∴ 35～50岁中被抽取的人数为78481020--=. ∴482010805020x y==++. …… 10分解得40, 5x y ==.∴40, 5x y ==. …… 12分 18.（本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）证明：在ABD △中，由于2AD =，4BD =，AB =∴222AD BD AB +=. …… 2分 ∴ AD BD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面PAD . …… 4分 （2）解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O .又平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ． …… 6分∵PAD △是边长为2的等边三角形，∴PO =. 由（1）知，AD BD ⊥，在Rt ABD △中， 斜边AB边上的高为AD BD h AB ⨯==. …… 8分∵AB DC ∥，∴11222ACD S CD h =⨯==△. …… 10分∴11233A PCD P ACD ACD V V S PO --==⨯=⨯=△. …… 14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆()222:133x y E a a +=>的离心率12e =,∴12a =. …… 2分解得2a =.∴ 椭圆E 的方程为22143x y +=． …… 4分 （2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即0t <<．∴弦长||AB === ……8分∴ABC ∆的面积12S =⋅…… 9分)2127t =- )221272t +-≤= (12)分=，即t=. ∴ ABC ∆的面积的最大值为7． …… 14分 解法2：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为r =． …… 6分∴ 圆C 的方程为222123()4t x t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即07t <<．在圆C 的方程222123()4t x t y --+=中，令0x =，得2y =±，∴弦长||AB =． …… 8分 ∴ABC ∆的面积12S =⋅…… 9分)2127t =- )221272t +-≤7= (12)分=，即7t =时，等号成立. ∴ ABC ∆． …… 14分 20．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：∵1n n S a =-，当1n =时,1111a S a ==-, 解得112a =. ……1分当2n ≥时,1n n n a S S -=-()()111n n a a -=---, 得12n n a a -=, 即112n n a a -=. …… 3分 ∴数列}{n a 是首项为12, 公比为12的等比数列. ∴1111222n n n a -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. …… 4分 ∵ 对于一切n ∈N *,有1nk ==， ①当2n ≥时, 有1n k -==， ②① - ②= 化简得: 11(1)0n n n b nb b +--+=, ③用1n +替换③式中的n ，得：211(1)0n n nb n b b ++-++=, ④ ……6分 ③－④ 整理得：211n n n n b b b b +++-=-， ∴当2n ≥时, 数列{}n b 为等差数列. ∵32211b b b b -=-=,∴ 数列{}n b 为等差数列. …… 8分 ∵ 121,2b b == ∴数列{}n b 的公差1d =.∴()11n b n n =+-=. …… 10分 (2)证明:∵数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,∴231232222n n nT =++++, ⑤ ∴2211122222n n nT +=+++ , ⑥⑤－⑥得：21111122222n n n nT +=+++-…… 12分 1111221212nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--1212n n ++=-. ∴2222n n n T +=-<. ……14分 21．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、导数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解: 函数()()()ln aF x f x g x x x x=+=++的定义域为()0,+∞. ∴()'211a F x x x=-+22x x ax +-=.① 当140a ∆=+≤, 即14a ≤-时, 得20x x a +-≥,则()'0F x ≥. ∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. ……2分 ② 当140a ∆=+>, 即14a >-时, 令()'0,F x =得20x xa +-=, 解得120,x x =<=.(ⅰ) 若104a -<≤, 则20x =≤. ∵()0,x ∈+∞, ∴()'0F x >,∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. ……4分 (ⅱ)若0a >,则x ⎛∈⎝⎭时, ()'0F x <; 12x ⎛⎫-+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时, ()'0F x >, ∴函数()F x 在区间10,2⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减, 在区间12⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。

2011年广州一模要到2011年3月14日、15日开考大联考官网 考后第一时间权威发布答案以下是2011年广州零模试题及答案，希望有借鉴作用。

2011年广州市高三年级调研测试数学（理科）本试卷共4 页，共21 题，满分150 分。

考试用时120 分钟。

2011. 01注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上， 并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1. 函数()g x =的定义域为A ．{3x x ≥-} B ．{3x x >-} C ．{3x x ≤-} D ．{3x x <-}2. 已知i 为虚数单位, 则复数i (1+i )的模等于A .12B.C. D. 23. 已知,x y 满足约束条件,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为图2侧视图俯视图正视图A . 3- B. 32-C. 32D. 34. 已知:2p x ≤，:02q x ≤≤，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 如果执行图1的程序框图，若输入6,4n m ==，那么输出的p 等于 图1A. 720 B . 360 C . 240 D. 1206. 已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，且(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=， ()0.6826P X μσμσ-<≤+=，若4μ=，1σ=, 则(56)P X <<=A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.27187. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的体积为12π+，则正视图中x 的值为 A. 5 B . 4 C. 3 D . 28.若把函数()=y f x 的图象沿x 轴向左平移4π个单位, 沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数 sin =y x 的图象,则()=y f x 的解析式为A. sin 214⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π B. sin 212⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π C. 1sin 124⎛⎫=+-⎪⎝⎭y x π D. 1sin 122⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 某社区有500个家庭, 其中高收入家庭125户, 中等收入家庭280户, 低收入家庭95户. 为了调查社会购买力的某项指标, 采用分层抽样的方法从中抽取1个容量为若干户的样 本, 若高收入家庭抽取了25户, 则低收入家庭被抽取的户数为 . 10. 已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线图3l 的方程为 .11. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若246,30S S ==，则6S = . 12. 922()2x x -展开式的常数项是 .（结果用数值作答） 13. 设函数()()[)22,,1,,1,.x x f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩ 若()4f x >，则x 的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切, 切点为A ，MAB ∠35︒=,则D ∠= .15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l 的参数方程为：2,14x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρθ=，则直线l 与圆C 的位置关系为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知向量=m 2cos,sin 22A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭, =n c o s,2s i n 22A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 1∙=-m n . (1) 求cos A 的值;(2) 若a =, 2b =, 求c 的值.17．（本小题满分12分）某商店储存的50个灯泡中, 甲厂生产的灯泡占60%, 乙厂生产的灯泡占40%, 甲厂生产的灯泡的一等品率是90%, 乙厂生产的灯泡的一等品率是80%.(1) 若从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 则它是甲厂生产的一等品的概率是多少?(2) 若从这50个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 这两个灯泡中是甲MDBAP 厂生产的一等品的个数记为ξ, 求E ξ的值.18．（本小题满分l4分）如图4，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，1AB =,BM PD ⊥于点M ． (1) 求证：AM ⊥PD ；(2) 求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值.图4 19．（本小题满分14分）已知椭圆(222:13x y E a a +=>的离心率12e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于 不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ． (1) 求椭圆E 的方程；(2) 若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABC ∆的面积的最大值.20．（本小题满分14分） 已知函数()(af x x a x=+∈R ), ()ln g x x =. (1) 求函数()()()F x f x g x =+的单调区间；(2) 若关于x 的方程()()22g x f x e x =-(e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求a 的值.21．（本小题满分14分）如图5，过曲线C ：x y e =上一点0(0,1)P 作曲线C 的切线0l 交x 轴于点11(,0)Q x ，又过1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点111(,)P x y ，然后再过111(,)P x y 作曲线C 的切线1l 交x 轴于点 22(,0)Q x ，又过2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点222(,)P x y ，，以此类推，过点n P 的切线n l与x 轴相交于点11(,0)n n Q x ++，再过点1n Q +作x 轴的垂线交曲线C 于点111(,)n n n P x y +++（n ∈N *）．(1) 求1x 、2x 及数列{}n x 的通项公式；2011年广州市高三调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9．19 10．y x = 11. 126 12. 212-13.()(),22,-∞-+∞14．125︒15．相交三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）(本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、解三角形等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: ∵=m 2cos ,sin 22A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,=n cos ,2sin 22A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 1=-m n , ∴ 222cos2sin 122A A-=-. ……2分 ∴ 1cos 2A =-. ……4分(2)解: 由(1)知1cos 2A =-,且0A π<<,∴ 23A π=. ……6分∵a =2b =,由正弦定理得sin sin a b A B=,2sin sin3B =,∴1sin 2B =. ……8分 ∵0,B B A π<<<, ∴6B π=. ……10分∴6C A B ππ=--=.∴2c b ==. ……12分17. （本小题满分12分） (本小题主要考查条件概率、数学期望等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解法1: 设事件A 表示“甲厂生产的灯泡”, 事件B 表示“灯泡为一等品”, 依题意有()0.6P A =, ()0.9P B A =,根据条件概率计算公式得()()()0.60.90.54P AB P A P B A ==⨯=. ……4分解法2: 该商店储存的50个灯泡中是甲厂生产的灯泡有5060%30⨯=个, 乙厂生产的灯泡有5040%20⨯=个, 其中是甲厂生产的一等品有3090%27⨯=个, 乙厂生产的 一等品有2080%16⨯=个,故从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡, 它是甲厂生产的一等品的概率是 270.5450P ==. ……4分(2) 解: ξ的取值为0,1,2, ……5分()22325025301225C P C ξ===, ()11272325062111225C C P C ξ===, ()22725035121225C P C ξ=== ……8分∴ξ的分布列为:∴2536213511323012 1.081225122512251225E ξ=⨯+⨯+⨯==. ……12分18.（本小题满分l4分）(本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识, 考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ,∴PA AB ⊥.∵AB AD ⊥，,AD PA A AD =⊂平面PAD ,PA ⊂平面∴AB ⊥平面PAD . ∵PD ⊂平面PAD∴AB PD ⊥， ……3分 ∵BM PD ⊥, AB BM B =,AB ⊂平面ABM ,BM ⊂平面∴PD ⊥平面ABM . ∵AM ⊂平面ABM ,∴AM ⊥PD . ……6分 （2）解法1：由（1）知，AM PD ⊥，又PA AD =， 则M 是PD 的中点,在Rt △PAD 中,得AM =Rt △CDM 中,得MC ==∴12ACM S AM MC ∆=⋅=设点D 到平面ACM 的距离为h ，由D ACM M ACD V V --=， ……8分 得111332ACM ACD S h S PA ∆∆=.解得3h =， ……10分设直线CD 与平面ACM 所成的角为θ，则sin 3h CD θ==， ……12分∴cos 3θ=.∴ 直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为3. ……14分解法2： 如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,0,2P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D ，()0,1,1M . ∴()()()1,2,0,0,1,1,1,0,0AC AM CD ===-. ……8分设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由,n AC n AM ⊥⊥可得：20,0.x y y z +=⎧⎨+=⎩令1z =，得2,1x y ==-.∴(2,1,1)n =-. ……10分 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则6sin CD n CD nα⋅==. ……12分∴cos α=∴直线CD 与平面ACM ……14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆(222:13x y E a a +=>的离心率12e =,12=. …… 2分解得2a =.∴ 椭圆E 的方程为143+=． …… 4分 （2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为r =． …… 6分∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴0t <<07t <<．∴弦长||AB == …… 8分∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分)2127t =-)221272t +-≤7= (12)分=，即7t=. ∴ ABC ∆ …… 14分 解法2：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=.∴ 圆C 的半径为2r =． …… 6分∴ 圆C 的方程为222123()4t x t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即07t <<．在圆C 的方程222123()4t x t y --+=中，令0x =，得y =∴弦长||AB = …… 8分 ∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分)2127t =-)221272t +-≤=……12分=，即t=. ∴ ABC ∆的面积的最大值为7． …… 14分20.（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、导数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解: 函数()()()ln aF x f x g x x x x=+=++的定义域为()0,+∞. ∴()'211a F x x x =-+22x x ax+-=. ① 当140a ∆=+≤, 即14a ≤-时, 得20x x a +-≥,则()'0F x ≥.∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. ……2分② 当140a ∆=+>, 即14a >-时, 令()'0,F x = 得20x x a +-=,解得120,x x =<=.(ⅰ) 若104a -<≤, 则2102x -+=≤. ∵()0,x ∈+∞, ∴()'0F x >,∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. …… 4分(ⅱ)若0a >,则x ⎛∈ ⎝⎭时, ()'0F x <;x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时, ()'0F x >,∴函数()F x 在区间10,2⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减, 在区间12⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. …… 6分 综上所述, 当0a ≤时, 函数()F x 的单调递增区间为()0,+∞;当0a >时, 函数()F x 的单调递减区间为10,2⎛-+ ⎝⎭, 单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. …… 8分(2) 解: 由()()22g x f x e x=-, 得2ln 2x a x e x x =+-, 化为2ln 2x x ex a x =-+. 令()ln x h x x =, 则()'21ln x h x x -=. 令()'0h x =, 得x e =.当0x e <<时, ()'0h x >; 当x e >时, ()'0h x <.∴函数()h x 在区间()0,e 上单调递增, 在区间(),e +∞上单调递减.∴当x e =时, 函数()h x 取得最大值, 其值为()1h e e=. …… 10分而函数()()2222m x x ex a x e a e =-+=-+-, 当x e =时, 函数()m x 取得最小值, 其值为()2m e a e =-. …… 12分∴ 当21a e e -=, 即21a e e =+时, 方程()()22g x f x e x =-只有一个根. …… 14分21. （本小题满分14分）(本小题主要考查导数、数列、不等式、定积分等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1) 解: 由x y e '=，设直线n l 的斜率为n k ，则n x n k e =.∴直线0l 的方程为1y x =+.令0y =，得11x =-， ……2分 ∴111x y e e ==， ∴11(1,)P e -. ∴111x k e e==. ∴直线1l 的方程为11(1)y x e e-=+.令0y =，得22x =-. ……4分 一般地，直线n l 的方程为()n n x x n y e e x x -=-，由于点11(,0)n n Q x ++在直线n l 上，∴11n n x x +-=-.∴数列{}n x 是首项为1-，公差为1-的等差数列.∴n x n =-. ……6分（2）解：11(1)(1)111()()222|n n xx n n n n n n n n n n S e dx x x y e y e e e ------+-+-+=--=-=--⎰ =212n e e e-⋅. ……8分 （3）证明：1211[1()]2111221(1)1222(1)1n n n n e e e e e T e e e e e e e e e----⎛⎫=⋅+++=⋅=⋅- ⎪-⎝⎭-. ……10分 ∴111111111111n n n n n n n T e e e T e e e e e +++++---===+---，1(1)11n n x n x n n +-+==+-. 要证明11n n n nT x T x ++<，只要证明111n e e e n +-<-，即只要证明1(1)n e e n e +>-+. ……11分 证法1：（数学归纳法）① 当1n =时，显然222(1)021(1)e e e e e e ->⇔>-⇔>-+成立； ② 假设n k =时，1(1)k e e k e +>-+成立，则当1n k =+时，21[(1)]k k e e e e e k e ++=⋅>-+，而2[(1)][(1)(1)](1)(1)0e e k e e k e e k -+--++=-+>.∴[(1)](1)(1)e e k e e k e -+>-++.∴2(1)(1)k e e k e +>-++.这说明，1n k =+时，不等式也成立.由①②知不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. ……14分证法2: 110111111[1(1)](1)(1)n n n n n n n e e C C e C e +++++++=+-=+-++- 0111(1)1(1)(1)(1)n n C C e n e e n e ++>+-=++-=-+.∴不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. ……14分 证法3:令()()11x f x e e x e +=---,则()()'11x f x e e +=--,当0x >时, ()()'11x f x e e +=--()110e e >--=>,∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增.∴当0x >时, ()()00f x f >=.∵n ∈N *,∴()0f n >, 即()110n e e n e +--->.∴()11n ee n e +>-+. ∴不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. ……14分。