信号处理初步

x
1 T 2 lim x ( t ) x ( t )dt x T 0 x ( ) 2
x
对各态历经随机信号及功率信号可定义 自相关函数Rx()为：
1 T Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt T 0 2 Rx ( ) x 则 : x ( ) 2
x ( )
lim
1 T x (t ) x x (t ) x dt 0 T
x2
1 T 1 T 1 T 1 T 2 lim x ( t ) x ( t )dt lim x ( t ) x dt lim x ( t ) x dt lim x dt 0 0 T 0 T 0 T T x ( ) 2
3）当足够大或→∞时，随机变量x(t)和x(t+)之 间不存在内在联系了，彼此无关。 故：
x ( ) 0

Rx ( ) x

2
4）自相关函数为偶函数，即Biblioteka Rx ( ) Rx ( )
5）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数， 其幅值与原周期信号的幅值有关，而丢失了原 信号的相位信息。
Rx ( )的傅里叶变换S x ( f ) : S x ( f ) Rx ( )e j 2f d

逆变换： Rx ( ) S x ( f )e j 2f df

定义S x ( f )为x(t )的自功率谱密度函数， 简称自谱或自功率谱。
（二）巴塞伐尔定理 • 在时域中计算的信号总能量，等于在频域中计算的 信号总能量，这就是巴塞伐尔定理，即：
y 随机变量y的均值, y E y ; x , y 随机变量x, y 的标准差, x E x x
2
y
2
E y
2 2 y
利用柯西—许瓦兹不等式知：
xy 1
二、信号的自相关函数 假如x(t)是某各态历经随机过程的一个样本记录， 是x(t)时移后的样本，而且x(t)和x(t+)具有相同 的均值和标准差。它们的相关系数ρ x(t) x(t+)简写 为ρ x()
2
2
x0 1 [ ( f f 0 ) ( f f 0 )] 2 1 (2f 0T ) 4 (2) S xy H ( f ) S x ( f ) x0 1 S xy [ ( f f 0 ) ( f f 0 )] 1 j 2f 0T 4
(1)
x0 Rx ( ) x(t ) x(t )dt cos 2f 0 2 2 x0 j 2ft S x ( f ) R( ) e d [ ( f f 0 ) ( f f 0 )] 4

2
1 Sx ( f ) S y ( f ) H ( f ) Sx ( f ) 2 1 ( 2 f T ) 0
（二）三角窗
（三）汉宁窗
（四）指数窗
第三节 相关分析及其应用 一、两随机变量的相关系数
• 对于变量x和y之间的相关程度常用相关系数ρ 表示之，
xy
xy
E x x y y


x y
式中：E 数学期望;
x 随机变量x的均值, x E x ;
七、常用的窗函数 • 为了减小或抑制泄漏，提出了各种不同 形式的窗函数来对时域信号进行加权处 理，以改善时域截断处的不连续状况。 所选择的窗函数应力求其频谱的主瓣宽 度窄些、旁瓣幅度小些。窄的主瓣可以 提高频率分辨能力；小的旁瓣可以减小 泄漏。这样，窗函数的优劣大致从最大 旁瓣峰值与主瓣峰值之比、最大旁瓣 10 倍频程衰减率和主瓣宽度等三方面来评 价。



x (t ) dt X ( f ) df
2

2
1 T 2 1 2 由 Pav lim x (t )dt lim X ( f ) df T T T T 0 1 T 2 Rx (0) lim x (t ) dt S x ( f )df T T 0 1 2 S x ( f ) lim X ( f ) T T
四、截断、泄漏和窗函数 • 实际上，只能对有限长的信号进行处理，所以 必须截断过长的信号时间历程。 • 截断就是将信号乘以时域的有限宽矩形窗函数。 • 即使 x(t)是带限信号，在截断后也必然成为无 限带宽的信号，这种信号的能量在频率轴分布 扩展的现象称为泄漏。 • 为了减小截断的影响，常采用其它的时窗函数 来对所截取的时域信号进行加权处理。因而窗 函数的合理选择也是数字信号处理中的重要问 题之一。

（二）应用
S xy ( f ) H ( f ) S x ( f ) 故从输入的自谱和输入 、输出的互谱 就可以直接得到系统的 频率响应函数。 从中得到的H ( f )不仅含有幅频特性 而且含有相频特性。 这是因为互相关函数中 包含有相位信息。
补充： 一线性系统，其传递函数为
1 H ( s) ,当输入信号为 x(t ) x0 sin 2f 0t时，求： 1 Ts （ 1 ）S y ( f ) (2) S xy ( f )
第二节 信号数字化出现的问题 一、概述
二、时域采样、混叠和采样定理 • 如要要求不产生频率混叠， 首先应使被采样的模拟信号x(t)成为有限带 宽的信号。为此，在采样之前，使其先通 过模拟低通滤波器滤去高频成分，使其成 为带限信号，这种处理称为抗混叠滤波预 处理。 其次 , 应使采样频率 fs 大于带限信号的最高 频率fh的2倍 。 即 fs>2fh
第五章 信号处理初步
• 信号处理的目的是： 1）分离信、噪，提高信噪比。 2）从信号中提取有用的特征信号。 3）修正测试系统的某些误差，如传感器的 线性误差、温度影响等。
第一节 数字信号处理的基本步骤 数字信号处理的基本步骤如图所示。
• 预处理包括：1）电压幅值调理，以便适 宜于采样。2）必要的滤波，以提高信噪 比，并滤去信号中的高频噪声。3）隔离 信号中的直流分量。4）如原信号经过调 制，则应先行解调。
x
1) 由
Rx ( ) x ( ) x x
2 2 2
2 2
可知： x x Rx ( ) x x
2
2）自相关函数在=0时为最大值，并等于该随机 信号的均方值
1 T 2 Rx (0) lim x(t ) x(t )dt x T T 0
五、频域采祥、时域周期延拓和栅栏效应 • 实行频域采样。相当于在时域中将窗内 的信号波形在窗外进行周期延拓。所以， 频率离散化，无疑是将时域信号“改造” 成周期信号。
• 量化和量化误差 六、频率分辨力、整周期截断 • 频率采样间隔也是频率分辨力的指标。 此间隔越小，频率分辨力越高。 • 因此，对周期信号实行整周期截断是获 得准确频谱的先决条件。
2
二、互谱密度函数 （一）定义：
如果互相关函数 Rxy ( ) 满足傅里叶变换的条件 Rxy ( ) d ,

则定义 S xy ( f ) Rxy ( )e j 2f d

S xy ( f )称为信号x(t )和y (t )的互谱密度函数，简称 互谱。 根据傅里叶逆变换，有 Rxy ( ) S xy ( f )e j 2f d
2）当时移足够大或→∞时，x(t)和y(t)互不相关， ρ xy→0, Rxy() →xy
3）互相关函数不是偶函数，即：
Rxy ( ) Rxy ( )
4）同频相关，不同频不相关。
例5-2 设有两个周期信号x(t)和y(t)
第四节 功率谱分析及其应用 一、自功率谱密度函数 （一）定义及其物理意义
三、信号的互相关函数 • 两个各态历经过程的随机信号x(t)和y(t)的互相 关函数定义为：
• 性质： 1）
1 Rxy ( ) lim T T

T
0
x(t ) y (t )dt
(x y x y ) Rxy ( ) (x y x y )
2
2
（三）应用 对于一个线性系统，若其输入为x(t),输出 为y(t)，系统的频率响应函数为H(f)，
x(t ) X ( f ),
y (t ) Y ( f )
则:Y ( f ) H ( f )X ( f ) 不难证明: 输入, 输出的自功率谱密度 与系统频率响应函数的 关系如下: S y ( f ) H ( f ) Sx ( f ) 通过输入, 输出自谱的分析 , 就能得出系统的幅频特 性. 但是丢失了相位信息 .因此不能得出系统的相 频特性.