一.问题重述
侧位停车是指驾驶员在停车位时利用自身的倒车技巧，使车辆按照一定的行驶轨迹，安全的，在不触碰到两边车辆的前提下，让自己的车停到规定好的停车位上。
侧位停车常常会出现许多两车碰擦的情况，通常时由于驾驶员技术的生疏或者不熟练，亦或是停车位长宽大小建造的不科学。正确的科学的停车位建设，能在给驾驶员提供充足的停车空间的条件下，尽可能的节约场地，对于当今停车位紧缺的问题具有相当大积极意义。
现在我们根据题中所给的条件，研究停车位宽度一定时，车位长度最小的情况，以及保证车辆正常停车时，停车位长度与车辆可供行驶的道路宽度的关系，建立数学模型解决以下问题：
问题（1），在可供行驶的道路宽度足够大时，求车位长度的最小值。汽车如果可供行驶宽度y足够大，车辆要能够停进这个车位（车辆只能倒车，不能前进），车位长度x最小为多少？假设车辆的初始位置与车位平行，求出车辆的初始位置、倒车入库过程中方向盘位置a的取值变化和车前轮的轨迹。
（2）如果y不是足够大（当然y肯定大于车宽），那么x和y满足什么条件的情况下，车辆只通过倒车就能停进车位（车辆只能倒车不能前进）？
（3）设y=2000mm，求出倒车过程中方向盘调整次数最少时x的最小值，以及此时倒车过程中a的取值变化。
二．问题分析
城市中建立起愈来愈多住房区，超市，商场，同时又由于人民收入
水平的增加，越来越多的人加入到了“有车一族”的行列。城市建设和
有车一族的人们对停车位的需求越来越大。而城市里的土地资源的紧
张，则对我们如何规划一个提高停车位利用率停车位提出了一定的要
求。在此同时，由于一个个新手驾驶员的技术不熟练和内在的不自信，
建设的停车位又要能容许他们的操控误差。
针对问题（1），我们考虑到了在停车位宽度一定的情况下，汽车
恰好切入停车位的情况（忽略了汽车倒车时速度的大小）。此时利用一
定的几何知识，我们可以求得所求的停车位最小长度。同时结合汽车的
最小转弯半径，我们确定了汽车转弯的圆心，并建立了直角坐标系，求得汽车停车时前轮的运动轨迹。
针对问题（2）我们根据问题中讨论情况，我们选取汽车恰好能停入停车位的情况，继而求得道路宽度与车位长度之间的关系。
针对问题（3）我们在问题（1）的基础上，选取圆弧轨迹最少的一次，起轨迹变化的次数既是所要求方向盘改变的最小次数。
模型建立
2.1车辆初始位置的初步探讨
初始位置的确定有几个较重要的条件，分别为：
(1)泊车时须保证车身不能和前一车位发生空间碰撞，需确定极限转弯最远点的值；
(2)把路旁停车位假想为一个停车库，泊车过程中车身不能和车库的库底发生碰撞，车轮不能和库边发生碰撞。
(3)采用极限转弯半径，即最小转弯半径，来确定最小停车位长度从而约束泊车初始位置。极限转弯最远点值的确定如图示IV —1所示，F 代表泊车初始位置，MNPQ 代表车位趋势，把方向盘打到极限位置后，以低速稳定车速转弯。
图示IV —1 极限转弯最远点值的计算示意图
试验车最小转弯半径r=5500mm ，车宽w=1778mm ，EF=500ram ，车辆中心点距车位角Ⅳ点距离为NE ，可计算得出极限转弯最远点NE 的值。NE 的确定对泊车初始位置的确定有着实际的意义。
85.263122)17785500(22)(=⨯-=⨯-=w r NE 2.2最短停车位长度的确定
如果停车位长度较长，车辆泊车的初始位置较合理，泊车“二个步骤"即可完成泊车。一般来说，停车位空间较长时，两平行车辆间存在着一最
佳水平距离，车辆“两次泊车”即可完成泊入停车位。图示IV—2所示的最小停车位空间示意图中，车辆“两次泊车"可泊入车位。显然，车辆初始位置不同，“两次泊车”泊入停车位空间时，所必需的停车位长度是不同的。当泊车转向角最小时，停车位有一个极限值，称为最小停车位。泊车入位过程中，当方向盘打死到极限转弯的状态，车辆“两次泊车"完成泊入停车位空间时，所占用的停车位长度最小。
图示IV—2 平行泊车最小停车空间示意图
泊车准备时车辆放于F点，逐渐行驶到N点，此时恰好为泊车时内侧车头恰好与前方车辆不碰撞的位置状态。当车辆到达S点位置时，车身方向角大约为45°左右，此时反打方向盘直至方向盘打死。当到达T点时，为防止车尾与后方车辆、右车轮与右侧路边相碰撞，取车尾与后车头部、车身与右侧路边最短距离为100mm，最小停车位的约束值为：
min
2
(2)(1100500
NP r w
=-⋅-+-
min
100 2
QP NE l
=++
其中，NE的计算见本条中“泊车初始位置的初步探讨，r、l与w分别为车辆最小转弯半径，车辆长度与宽度，500表示在泊车预备时泊车距离车道实线的最小安全距离，单位为mm。
代入试验车相关参数，可得：NP的最小值=2321mm，QP的最小值=5855mm。经过多次轨迹的仿真，最小停车位的几何参数定为长度5．8m，宽度2．2m。对于试
验车来说，停车位空间不小于5．8m掌2．2m时，车辆可完成泊入停车位。
停车位的长度对于泊车成功与否起着重要的作用，上述的最小停车位长度是一个相对宽松的极限值。车辆“两次泊车’’可泊入停车位，所需车位长必须大于或等于最小停车位。在平行泊车过程中，判断泊车能否成功，
首先应检测停车位空间大小，使其不小于最小停车位的大小。
2.3普通停车位空间大小的确定
停车位空间大小对平行泊车难度系数影响很大，停车位空间由车位长度和车位宽度确定。车位空间越大，泊车困难程度相对较小；车位空间越小，泊车困难系数就越大。
图示IV—3 平行泊车普通车位空间坐标图
如图示IV—3，普通车位大小标记为
l*p h，p l代表车位长，p h代表车位
p
宽，矩形abcd表示试验车，o’代表车辆的几何中心点。环绕车位的三面标记为BK、FT和SE，为车身方向角，即车身与水平方向的夹角，定义逆时针为正。
泊车时，驾驶员反打方向盘的时刻为，当车身方向角接近于45°时，极少会达到45°。在实际泊车过程中，大多数驾驶员会潜意识地躲避车位顶点N点(见图示IV—2)，很少一开始就把方向盘打死的，基本都是逐渐加大方向盘转角，直到打死；在接近45°至最大车身方向角时，一般维持方向角不变一段时间，保证反打方向盘时车头不会碰撞到N点，才开始反打方向盘；反打方向盘时，逐渐加大角度，直至反向打死。
通过多次平行泊车轨迹计算与仿真，确定停车位长度为7．5 m比较理想。这样，任意车辆长度不大于5．5 m，最小转弯半径不大于6m的小轿车“两次泊车"即可泊入停车位。其中，停车位宽度采用标准的路旁停车位宽度2．2所，和NP的最小值=2．2m吻合。这样，确定普通车位大小为：
l=7．5m，p h=2．2m
p
若有停车位空间满足长度不小于7．5 m，宽度不小于2．2 m，则可认为找到了适合的泊车空间，车辆很容易就能完成泊车。
2.4车辆的运动学模型即运动轨迹
建立车辆侧位停车的运动学模型，上文中建立了侧位停车系统中质点
