排列组合经典课件.ppt

穿法二
穿法三
穿法四
穿法五
穿法六
2×3﹦6（种）
要求：小组中一人记录，其他同学陈述自己的点。
用1，2，3可以组合成哪些两位数？
B
A
小组合作讨论二：
12
13
21
23
31
32
十位
十位
十位
个位
个位
个位
猜一猜：
我今年读九年级了，我的班级是由1、2、3这三个数字组成的一个三位数，请你猜一猜我读的是多少班？
有的问题需要考虑到顺序，也就是结果和顺序有关，例如组成几位数这样的问题等
今后我们在遇到这些问题的时候一定要认真审题，看清楚问题的“隐含条件”
这节课我们学了什么
作业：
同学们回家后仔细观察周围环境中可搭配和组合的实物，自己搭配和组合。
123
132
213
231
312
321
考考你：饮料和点心只能各选一样，有几种不同的搭配方式？
3×2=6（种）
⑥
①
②
③
④
⑤
下
M
能组成哪几个不同的两位数呢？
48 96 98
28
26
46
43
93
从宁波到北京一共有几种走法？
北京 上海 火车 火车 8种
轮船
宁波
飞机
火车
飞机
汽车
我们知道了：
有的问题不用考虑到顺序，也就是说结果和顺序无关，例如握手、比赛等问题
排列与组合
点击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅的阐述观点。
学习目标：
01
我能找出简单事物的组合数。
02
我能用排列与组合的知识解决生活中的实际问题。

7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法?
（1）有7个空位先安排除甲乙丙以外的四人共有 种
方法
（2）其余的三个空位甲乙丙共有 种坐法，则共有
种方法
例4 七位同学排队照相,甲既不在排头也不在排尾：
位置分析法: 先从其余6人中选2人放在排头和排尾，
再排其它5个位置，有：
A62 A55 3600;
典型排队问题
教学目标
1掌握典型排队问题的特点，解决策略．
2培养学生分析问题与解决问题的能力
3提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养．
• 教学重点：
• 分步乘法计数原理在排队问题中的应用
• 常见的排列应用题的分析和转化.
• 教学难点：
• 不同排列情境下方法的选取与计算.
自查自纠
• 1两大计数原理
• 2排列和排列数的概念以及排列数的计算公式
谢谢
共有多少种不同的坐法？
解 先排学生共有
8
A
种排法,
8
然后把老师插入学生之间的空位，共有
4
A
7
插,选其中的4个空档,共有 种选法.
A74
根据乘法原理,共有的不同坐法为 A88 种.
个空位可
７
(2)一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能
连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解 分两步进行
法共有：A55 A33 720（种）．
结论一
对于相邻问题，常用“捆绑法”
1 把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，
2 然后将捆绑元素的全排列
3 以上两个全排列相乘
练一练
有3名男生和4名女生排队，若男女生各站在一起
，有多少种不同的排法？

例4 袋中有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币10个,如果从袋中取出2元 钱,有多少种取法?
分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也 显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的 话,就会很容易解决问题.
解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?
分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元 素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.
解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作
全种不排同列的,A有排33法.种排法,其中女生内部也A有66 种排法,根据乘法原理,共A有66 A33
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解 决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同 时要注意合并元素内部也可以作排列.
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1 人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价 的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.
解“数学不安加排任在何语限文制之条前件考,整”个的排排法法有是A相99 等种的,“,语所文以安语排文在安数排学在之数前学考之”前,考与的
排法共12 有A99
种.
结论5 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全 体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.

n！ __m_！___n_－__m__！____
高考一轮总复习•数学
第8页
性质 备注
排列数
组合数
(1)Ann＝__n_！__； (2)0！＝__1___
(1)C0n＝___1___； (2)Cmn ＝___C_nn_－_m___；
(3)Cmn ＋Cmn －1＝Cmn＋1
n，m∈N*且 m≤n
高考一轮总复习•数学
两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有( )
A．18 种
B．36 种
C．72 种
D．108 种
(2)(2024·黑龙江哈九中模拟)某中学在研究性学习成果报告会上，有 A，B，C，D，E，
F 共 6 项成果要汇报，如果 B 成果不能最先汇报，而 A，C，D 按先后顺序汇报(不一定相邻)，
第9页
常/用/结/论 (1)特殊元素优先安排． (2)合理分类与准确分步． (3)排列、组合混合问题要先选后排． (4)相邻问题捆绑处理． (5)不相邻问题插空处理． (6)定序问题倍缩法处理． (7)分排问题直排处理． (8)“小集团”排列问题先整体后局部． (9)构造模型． (10)正难则反，等价转化．
高考一轮总复习•数学
第18页
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与 3 名男生一起进行全排列，有 A44种方法，再将 4 名女生进行全排列，也有 A44种方法，故共有 A44×A44＝576(种)排法．
(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有 A44种排法，再在女生 之间及首尾共 5 个空位中任选 3 个空位排男生，有 A35种排法，故共有 A44×A35＝1 440(种)排 法．
对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法 法

排列与组合的综合实例解析
总结词
通过综合实例，理解排列与组合在实际 问题中的应用。
VS
详细描述
通过一个复杂的问题，如安排一场活动或 者组织一次旅行，综合运用排列和组合的 知识来解决实际问题，并强调排列与组合 在解决实际问题中的重要性和关联性。
05
排列组合的解题技巧
解题思路分析
明确问题要求
01
首先需要清楚题目是关于排列还是组合的问题，排列需要考虑
04
排列组合的实例解析
排列实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解排列的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如学生选课、物品的排列等，解释排列的概念，并介绍排列的计算公式，以及如何应用 这些公式解决实际问题。
组合实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解组合的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如彩票中奖概率、选举代表等，解释组合的概念，并介绍组合的计算公式， 以及如何应用这些公式解决实际问题。
少？
答案解析
答案1
从5个人中选3个人参加会议共有 $C_{5}^{3} = 10$种不同的选法。
答案3
大于2000的三位数，首位数字可以为 2，3或4，共有$A_{3}^{1} times A_{4}^{2} = 36$种。
答案2
将4把椅子排好，共有$A_{5}^{3} = 60$种坐法。
答案4
不同的分法种数为$A_{5}^{4} = 120$种。
常见错误解析与避免方法
混淆排列与组合
遗漏情况
排列和组合是不同的概念，需要明确 题目要求，正确使用公式。
在解题过程中，需要注意不要遗漏某 些情况，例如在排列时需要考虑元素 的顺序，在组合时需要考虑元素的取 法。

例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?
分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元 素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.
解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作
全种不排同列的,A有排33法.种排法,其中女生内部也A有66 种排法,根据乘法原理,共A有66 A33
n! (n m)!
4.组合数公式: Cnm

An m Am m

n(n 1)(n 2)(n m 1) m!

n!
m!(n m)!
排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺 序无关的为组合问题.
例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个生，4个老师，要 求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？
分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特 殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.
解空法档 为先可排插A学,8选8 生A其74共中有种的A.4个88种空档排法,共,然有后A把74种老师选插法入.根学据生乘之法间原的理空,档共，有共的有不7同个坐
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用 插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插 入排好元素的空档之中即可.
结论6 排除法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷, 可以先求出它的反面,再从整体中排除.
练习： 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数． （1）分为两组，一组7人，一组5人； （2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人； （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； （7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； （8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； （9）分为甲、乙、丙三组，每组4人； （10）分为三组，每组4人．

练习.在3×4的方格中，从A走到B的最短路径有多少种？
B
C 3 35 7
A
11
十一.构造模型策略 例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只 路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏 或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯 方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5
例.7名学生争夺5项冠军，每项冠军只能由一人
获得，获得冠军的可能的种数有
.
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生 可重复排列，将7名学生看作7家“店”，五项冠军 看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法 原理得75种.
14
十四.平均分组（或分堆）问题除法策略
例 有6本不同的书，按下列要求分配，有多少种
3.正确区分“至多”与“至少”，含与不含等问题
※解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉， 容易产生重复和遗漏，应仔细分析重在哪里漏在 何处，因此必须掌握一些常用的解题方法.
2
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五 位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置.
3）分3组，其中一组2人，一组3人，一组4人，有几种分 法？
4）分成3组，每组3人，每组参加一项活动，有几种方法？ 5）分3组，其中2组2人，一组5人，每组参加一项活动，
有几种方法？
6）分3组，其中一组2人，一组3人，一组4人，每组参加 一项活动，有几种方法？
16
练习1.：3名医生和6护士分到3个医院，每个医院分1 名医生和两名护士，有多少种分配方式？
甲乙 丙丁
由分步计数原理可得共有 A55A22 A22 =480

不同的关灯方法有：
C
3 5
=
10（种）
.
四.定序问题缩倍(空位.插入)策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多
多少种不同的排法. 解:(缩倍法)对于某几个元素顺序一定的排列
问题,可先把这几个元素与其他元素一起
进行排列,然后用总排列数除以这几个元
素之间的全排列数,则共有不同排法种数
是：
A
7 7
块个空隔隙板班共中，级有，_，插_每_所入_一_C有n_个种_96 分_元插__法板_素种数方排分为法成法对一。应C排一nm- -的11种n分-1法
一 二三四五 六 七 班 班 班. 班 班 班 班
练习题7
有编号为1、2、3的3个盒子和10个相 同的小球，现把这10个小球全部装入3 个盒子中，使得每个盒子所装球数不 小于盒子的编号数，这种装法共有多 少种?
.
4.涂色问题 例练1习0：7：给用下4面种的颜5色个给行下政面区的域5涂个色行，政要区 求域相涂邻色区，域要不求同相色邻，区现域有不4同种色颜，色问可共供 选有择多，少问种共不有同多的少涂种色不方同案的？涂色方案？
2
解：分两类完成
3 1 5 1）用3种颜色涂色有： C43 A33 2）用4种颜色涂色有： C21 A44
解(： CA 52C 2232 ).A33 90
.
分配问题
练习2：
隔板法
（1）7个相同的小球，任意放入4个不
同的盒子中，共有多少种不同的方法？
解：相当于将7个小球用3块隔板分成4份
解 ： 小球数 隔板数 7310 共有不同C 方 130 法数
.
分配问题
隔板法
练习（2：2）7个相同的小球，任意放入4个 不同的盒子中，每个盒子至少有1个 小球的不同放法有多少种？

排列组合解题技巧综合复习
教学目旳 教学过程 课堂练习 课堂小结
1.熟悉处理排列组合问题旳基本 措施;
2.让学生掌握基本旳排列组合应用 题旳解题技巧;
3.学会应用数学思想分析处理排 列组合问题.
一 复习引入
二 新课讲授
排列组合问题在实际应用中是非常广泛旳, 而且在实际中旳解题措施也是比较复杂旳,下面 就经过某些实例来总结实际应用中旳解题技巧.
n! (n m)!
4.组合数公式:
Cn m
An m Am m
n(n 1)(n 2)(n m 1) m!
n!
m!(n m)!
排列与组合旳区别与联络:与顺序有关旳
为排列问题,与顺序无关旳为组合问题.
例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。 8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不 相邻，共有多少种不同旳坐法？
例4 袋中有不同旳5分硬币23个,不同旳1角硬币10个, 假如从袋中取出2元钱,有多少种取法? 分析 此题是一种组合问题,若是直接考虑取钱旳问题 旳话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但 是假如根据组合数性质考虑剩余问题旳话,就会很轻 易处理问题.
解 把全部旳硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所 以剩余0.15元即剩余3个5分或1个5分与1个1角,所以 共有 C233 C213种 C取110 法.
（1）分为两组，一组7人，一组5人； （2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人； （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； （7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； （8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； （9）分为甲、乙、丙三组，每组4人； （10）分为三组，每组4人．

组合的加法原理和乘法原理
组合的加法原理
如果一个组合由两个互不相干的 子组合组成，则它们的组合数相
加。
组合的乘法原理
如果一个组合可以分为几个连续 的子组合，则它们的组合数相乘
。
举例
有5个不同的红球和3个不同的蓝 球，从中取出3个球，按颜色分
为红球和蓝球的组合数为 $C_{5}^{3} + C_{3}^{3}$。
如何设计有效的市场推广方案
市场定位分析
利用排列组合原理，分析 目标市场的特点，确定合 适的市场定位策略。
推广渠道选择
根据市场定位和目标客户 群体，选择有效的推广渠 道，如广告、公关、促销 等。
营销组合策略
制定合理的价格、渠道、 促销等营销组合策略，以 提高市场推广效果。
如何优化旅游行程安排
景点选择与搭配
综合练习题
题目1
有10名学生报名参加3个不同的课外活动，每个活动都至少有一名学生参加，问共有多少种不同的报名方式？
题目2
有12名学生报名参加学校的运动会，其中6人报名参加跑步比赛，4人报名参加跳远比赛，2人报名参加投掷比赛，问 共有多少种不同的参赛方式？
答案解析
综合练习题难度较大，考察了排列组合在实际问题中的应用。这些题目需要运用排列组合的原理和技巧 ，结合实际问题的限制条件进行解答。通过这些练习，学生可以加深对排列组合综合应用的理解，提高 解决实际问题的能力。
重复计数问题
总结词
在排列组合计算中，由于对重复元素的 处理不当，导致重复计算。
VS
详细描述
重复计数问题是指在进行排列组合计算时 ，由于对重复元素的考虑不周，导致对某 些组合进行了重复计算。例如，在计算从 5个不同元素中取出3个元素的排列数时 ，如果将其中两个元素视为相同，就会导 致重复计数。