线性代数知识点总结第二章

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线性代数知识点总结第二章矩阵及其运算第一节矩阵定义由mn个数1,2,,;1,2,,ijaimjn排成的m行n列的数表

111212122212nn

mmmn

aaaaaa

aaa称为m行n列矩阵。简称mn矩阵，记作111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa，

简记为mnijijmnAAaa，,mnA这个数称为的元素简称为元。说明元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。扩展几种特殊的矩阵：方阵：行数与列数都等于n的矩阵A。记作：An。行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵：AB同型,且对应元素相等。记作：A＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵：不在主对角线上的元素都是零。单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：En(不引起混淆时，也可表示为E )（课本P29—P31）注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。

第二节矩阵的运算矩阵的加法设有两个mn矩阵ijijAaBb和，那么矩阵A与B的和记作AB，

规定为111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab 说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33）矩阵加法的运算规律

1ABBA；

2ABCABC 1112121222113,()nnijijmnmnmmmnaaaaaaAaAaaaa



设矩阵记，A称为矩阵A

的负矩阵 40,AAABAB。（课本P33）

数与矩阵相乘 ,AAA数与矩阵的乘积记作或规定为111212122211,nn

mmmn

aaaaaaAAAAAaaa数与矩阵的乘积记作或规定为

数乘矩阵的运算规律（设AB、为mn矩阵，,为数） 1AA；

2AAA；

3ABAB。（课本P33）

矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。矩阵与矩阵相乘设(b)ijB是一个ms矩阵，(b)ijB是一个sn矩阵，那么规定矩

阵A与矩阵B的乘积是一个mn矩阵(c)ijC，其中

12121122jjiiisijijissj

bbaaaabababb



1sikkjkab

，1,2,;1,2,,imjn，

并把此乘积记作CAB 注意 1。A与B能相乘的条件是：A的列数＝B的行数。 2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，ABBA，而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。 3。对于n阶方阵A和B，若AB=BA，则称A与B是可交换的。矩阵乘法的运算规律

1ABCABC； 2ABABAB

3ABCABAC，BCABACA

4mnnnmmmnmnAEEAA

5若A是n 阶方阵，则称 Ak为A的k次幂，即kkAAAA个，并且mkmkAAA，

k

mmkAA



,mk为正整数。规定：A0＝E

注意矩阵不满足交换律，即ABBA，kkkABAB（但也有例外）（课本P36）

纯量阵矩阵0E0称为纯量阵，作用是将图形放大倍。且有()(E)EAAA，A为n阶方阵时，有()(E)nnnnnEAAA，表明纯量阵与

任何同阶方阵都是可交换的。（课本P36）转置矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作A，

如122458A，142528TA。转置矩阵的运算性质 1TTAA；

2TTTABAB；

3TTAA；

4TTTABBA。（课本P39）

方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作A或detA（记住这个符号）

注意矩阵与行列式是两个不同的概念，n阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。运算性质

1TAA； 2nAA；

(3)ABABBABA（课本P40）

对称阵设A为n 阶方阵，如果满足A=AT ，即,1,2,,ijjiaaijn那么A称为对称阵。说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果TAA则称矩阵A为反对称的。即反对称矩阵A=（aij）中的元素满足aij＝－aji，i，j=1，2，…n 伴随矩阵行列式A的各个元素的代数余子式ijA所构成的如下矩阵

112111222212nn

nnnn

AAAAAAAAAA



称为矩阵A的伴随矩阵。

性质 AAAAAE（易忘知识点）（课本P？）总结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。第三节逆矩阵定义对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B,使得AB＝BA＝E则说矩阵A是可逆的，

并把矩阵B称为A的逆矩阵。1AA的逆矩阵记作，1AB即。说明 1 A ，B互为逆阵， A = B-1 2 只对方阵定义逆阵。 3.若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。

定理1 矩阵A可逆的充分必要条件是0A，并且当A可逆时，有1*1AAA（重要）

（证明见课本P？）奇异矩阵与非奇异矩阵当0A时，A称为奇异矩阵，当0A时，A称为非奇异矩

阵。即0AAA可逆为非奇异矩阵。推论若(A=E)ABE或B，则1BA（证明见课本P？）求逆矩阵方法 **1(1)||||021(3)||AAAAAA

先求并判断当时逆阵存在；（）求；

求。

更好的求逆矩阵的方法--chapter3初等变换法（A,E) 逆矩阵的运算性质

1111,,AAAA

若可逆则亦可逆且

1112,0,,AAAA若可逆数则可逆且。

1113,,,ABABABBA若为同阶方阵且均可逆则亦可逆且()

。（以上证明

见课本P43） 114,,TTTAAAA

若可逆则亦可逆且。

115,AAA若可逆则有

。

总结逆矩阵的计算方法 1待定系数法；12AAA利用公式；3初等变换法下一章介绍

第四节矩阵分块法矩阵分块将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块的目的是为了简化运算。分块矩阵的运算规则加法 A与B同型，且A、B的分块方法相同，则A与B的和定义为对应子块相加。

数乘 ()ijAA。

转置 112111121312222122231323,TTTTTTTAAAAAAAAAAAAAA设则。(先外转再内转) 乘法首先AB有意义，其次A的列的分法与B的行的分法相同。,,AmlBln设为矩阵为矩阵分块成

1212,,(),()t

BBAAAABB即列向量组即行向量组，

考研数学《线性代数》考点知识点总结

4．两行(列)元素成比例的行列式为零．记作： rj ri k （ cj ci k ） D 0 ．
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
a11 a12 a1i a1n a11 a12 a1i a1n
5． D
a21
a22
(a2i
a2i )a2n
D
a21
a22
a2i a2n
矩阵转置：若 Α (aij ) ，则 ΑT (a ji ) (A B)T AT BT ，(AB)T BTAT 若 A AT ， A 为对称阵
方阵的行列式： n 阶方阵 A 元素构成的行列式，记 A 或 det A ．
伴随矩阵：
A11
A*
A12
A1n
A21 A22
二元线性方程组：
aa1211xx
a12 y a22 y
b1 b2
第一章行列式
D a11 a21
a12 a22
， D1
b1 b2
a12 a22
， D2
a11 a21
b1 b2
x D1 ， y D2
D
D
排列的逆序数：
n
t ti （ ti 为排列 p1 p2 pn 中大于 pi 且排于 pi 前的元素个数）
D1 D
, x2
D2 D
,, xn
Dn D
，其中 D j
a11
an1
a1, j1 b1 a1, j1
an, j1 bn an, j1
a1n
ann
( j 1,2,, n) ．
定理 4：若上线性方程组的系数行列式 D 0 ，则方程组一定有惟一解；若无解或有两个不同解，则 D 0 ．

线性代数第二章

❖引例
相继作线性变换
xx12 x3
b11t1 b12t2 b21t1 b22t2 b31t1 b32t2
和
yy12
a11x1 a12x2 a13x3 a21x1 a22x2 a23x3
a2nxn
amnxn
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
y1 x1
y2 yn
x2 xn
y1 1x1
y2 yn
2 x2
n xn
1 0 0 线性变换所对应
E
0 0
1 0
0 1
的矩阵称为线性变换的系数矩阵.
§2.1 矩阵
❖引例
一个线性方程组与一个数表存在一一对应关系
a11x1 a12x2 a1nxn b1 (a11 a12 a1n b1)
aam211xx11 aa2m22xx22aa2mn nxxn nbb2m
(a21 a22 a2n b2) (am1 am2 amn bm)
这个数表就称为矩阵.
B
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
b1 b2
bm
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❖矩阵的定义
❖方阵行矩阵列矩阵
由mn个数aij(i1 2 m •n阶矩阵(n阶方阵)
j1 2 n)排成的m行n列的矩形数表称为mn矩阵记作
10 00
.
注图中的结点可以看作城市有向边可以看作单向或双向航线.
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线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和a j n=迟（-1）"" "a ij i a2j2...a nj n j l j2 j n（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式D=D T）②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的 k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式皿厂代数余子式A j =（-1）厲皿耳定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：D j非齐次线性方程组：当系数行列式D式0时，有唯一解：X j =—=1、2……n）D齐次线性方程组：当系数行列式D=1^0时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D等于零特殊行列式:a ii a i2 a i3 a ii a2i a3i①转置行列式：a2i a 22 a23 T a i2 a22 a32a3i a 32 a 33 a i3 a23 a33②对称行列式：a j = a j i③反对称行列式：a j = -a ji奇数阶的反对称行列式值为零⑤上（下）三角形行列式：行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、lA* B = ( a ik )m*l * (b kj )l*n 二(•— a ik b kj ) m*n乘法1注意什么时候有意义般AB=BA ，不满足消去律；由 AB=0，不能得 A=0或B=0方幕：A kl A k ^ A k1 k2(A kl )k2 = A kl k2对角矩阵:若 AB 都是 N 阶对角阵，k 是数，则 kA 、A+B 、数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方是0a 11 a 12 a 13④三线性行列式：a 21 a 22a 31a 33方法：用k022把a 2i 化为零，。