2020届成都省统一试题高三数学第三次诊断性检测试题及答案理

2020届高三数学第三次适应性考试试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A＝{x|（x+2）（x+3）≥0}，B＝{x|x＜0}，则A∩B ＝（）A. [﹣3，﹣2]B. （﹣∞，﹣3]∪[﹣2，+∞）C. （﹣∞，﹣3]D. （﹣∞，﹣3]∪[﹣2，0）【答案】D【解析】【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为或，所以故选：D【点睛】本题考查交集的求法，一元二次不等式的解法，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用，属于基础题．2.若，则（）A. ﹣6B. 6C. ﹣6iD. 6i【答案】B【解析】【分析】直接代入计算即可【详解】解：因为，所以，所以，故选：B【点睛】此题考查复数的乘法运算，共轭复数，属于基础题.3.设，则＝（）A. ﹣15B. 0C. ﹣3D. ﹣11【答案】C【解析】【分析】直接利用向量的数量积坐标运算公式求解【详解】解：因为，所以，因为，所以，故选：C【点睛】此题考查向量的数量积坐标运算，属于基础题.4.的展开式中，x3的系数等于（）A. ﹣15B. 15C. 20D. ﹣20【答案】B【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，由的指数等于3求出的值，即可求出答案．【详解】解：的展开式中，通项公式为，由，得；的展开式中，的系数为．故选：．【点睛】本题考查了二项式系数的性质应用问题，解题的关键是灵活应用二项展开式的通项公式，属于基础题．5.今年年初，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎．我市某医院的甲、乙、丙三名医生随机分到湖北的A，B两个城市支援，则每个城市至少有一名医生的概率为（）A. B. C. D.【解析】分析】首先计算出基本事件总数，要使每个城市至少有一名医生，即其中一个城市1名医生，另一个城市2名医生，求出满足条件的分配方案，再利用古典概型的概率计算公式计算可得；【详解】解：将某医院的甲、乙、丙三名医生随机分到湖北的A，B两个城市支援，则一共有种分配方案，现要求每个城市至少有一名医生，即其中一个城市1名医生，另一个城市2名医生有分配方案，故每个城市至少有一名医生的概率故选：A【点睛】本题考查简单的排列组合问题，以及古典概型的概率计算，属于中档题.6.已知函数，且此函数的图象如图所示，由点的坐标是（）A. B. C. D.【解析】【分析】先由函数图象与轴的相邻两个交点确定该函数的最小正周期，并利用周期公式求出的值，再将点代入函数解析式，并结合函数在该点附近的单调性求出的值，即可得出答案．【详解】解：由图象可得函数的周期∴，得，将代入可得，∴（注意此点位于函数减区间上）∴由可得，∴点的坐标是，故选B．【点睛】本题考查利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：①求、：，；②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性．7.已知函数，则该函数的图象大致为（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性确定函数的大致图象；也可以根据函数值的符号排除干扰项，即可得到正确选项．【详解】解:当时，，所以．记，则．显然时，，函数单调递减，时；，函数单调递增，所以，所以，又当时，，所以，所以函数在上单调递减．故排除B，D选项；而，故排除C选项．故选:A．【点睛】本题考查函数图象的识别，考查的核心素养是直观想象、数学运算．8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积等于8，，则△ABC外接圆的半径为（）A. 5B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先由，求出的值，再利用△ABC的面积等于8，求出c，再利用余弦定理求出b，然后利用正弦定理可求出△ABC外接圆的半径.【详解】解：因为，所以，所以，因为△ABC的面积等于8，所以，，解得，由余弦定理得，，所以，由正弦定理得，，解得，故选：D【点睛】此题考正、余弦定理，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题.9.在直角梯形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝∠ACB＝90°，△ADC 与△ABC均为等腰直角三角形，且AD＝1，若将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，则当三棱锥D﹣ABC的体积取得最大时其外接球的表面积为（）A. 4πB. 6πC. 8πD. 10π【答案】A【解析】【分析】画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可.【详解】如图：，，，，取的中点，的中点，连结，当三棱锥体积最大时，平面平面，，平面，，，，，就是外接球的半径为，此时三棱锥外接球的表面积为.故选：A.【点睛】本题主要考查了求三棱锥外接球的表面积问题.属于中档题.10.已知定义在R上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，，则＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数是偶函数，可得函数的图像关于直线对称，从而有，再结合可得函数的周期为4，然后利用周期和将化到上即可求解【详解】解：因为函数是偶函数，所以函数是偶函数，所以，因为，所以，所以，所以，所以函数的周期为4，所以，因为，所以，故选：C【点睛】此题考查了函数的周期性，偶函数的性质，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题.11.抛物线：的焦点与双曲线：的左焦点的连线交于第二象限内的点．若在点处的切线平行于的一条渐近线，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：抛物线：的焦点的坐标为，且由得，；双曲线的左焦点的坐标为，直线的截距式方程为：两条渐近线方程分别为：，；设点的坐标为，根据题意：，即，，.因为直线与抛物线的交点，所以在直线上，于是有：，，.故选D.考点：1、抛物线的标准方程；2、导数的几何意义.12.已知函数，把函数的偶数零点按从小到大的顺序排成一个数列，该数列的前10项的和等于（）A. 45B. 55C. 90D. 110【答案】C【解析】当时，有，则，当时，有，则，当时，有，则，当时，有，则，以此类推，当（其中）时，则，∴函数的图象与直线的交点为：和，由于指数函数为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点，将函数和的图象同时向下平移一个单位，即得到函数和的图象，取的部分，可见它们有两个交点，即当时，方程有两个根，；当时，由函数图象平移可得的零点为1，2；以此类推，函数与在，，…，上的零点分别为：3，4；5，6；…；，；综上所述函数的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为：0，2，4，…，其通项公式为，前项的和为，故选C.点睛：本题考查了分段函数的应用，考查了函数零点的判断方法，考查了等差数列的和的求法，是中档题；由分段函数解析式得到函数在时的分段解析式，首先求得函数在上的零点，然后根据函数的图象平移得到函数在，，，…，上的零点，得到偶数零点按从小到大的顺序排列的数列，利用等差数列的前项和得答案.二、填空题：本大题共4小题，每小题s分，共20分．13.命题“∀x＞0，x2+x＞1”的否定是_____．【答案】【解析】【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】解：命题“”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“”故答案为：【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.14.若，则_____．【答案】【解析】分析】利用两角和的正弦公式将式子展开得到，再将等式两边平方，利用二倍角正弦公式计算可得；【详解】解：因为，所以所以，两边平方可得，所以所以故答案为：【点睛】本题考查两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题.15.已知直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为______【答案】1或-1【解析】因为△ABC是等腰直角三角形，所以圆心C(1，－a)到直线ax ＋y－1＝0的距离d＝rsin 45°＝，即，所以a＝±1.16.已知函数f（x）＝aex﹣x+2a2﹣3的值域为M，集合I＝（0，+∞），若I⊆M，则实数a的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据题意可知的最小值小于等于0，求导数，可看出时满足题意，时可求出的最小值，由最小值小于等于0即可求出的范围，最后求并集即得实数的取值范围．详解】由题意，的最小值小于等于0；；若，则在上单调递减，当即的值域为，满足题意；②若时，函数在上单调递减，在上单调递增；时，取极小值即最小值，；令，；则，即在上单调递增，又，要使；；综上可得，实数的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查应用导数求函数的值域，对参数分类讨论是解题的关键，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知等比数列的公比，，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式与等差数列的性质列式求得，则通项公式可求；（2）把数列的通项公式代入，再由错位相减法求数列的前项和．【详解】解：（1）由，，成等差数列，得，即，，解得．又因为；（2）由（1）知．，，，．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的性质，训练了利用错位相减法求数列的前项和，属于中档题．18.某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y（单位：千克）与该地当日最低气温x（单位：°C）的数据，如下表：（1）求出y与x的回归方程＝x；（2）判断y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6°C，请用所求回归方程预测该店当日的营业额．附：回归方程＝x；中，＝，＝﹣【答案】（1）；（2）与之间是负相关；可预测该店当日的销售量为9.56（千克）【解析】【分析】（1）计算平均数和回归系数，即可写出回归方程；（2）由知与之间是负相关，利用回归方程计算时的值即可．【详解】解：（1）由已知，则，，，，，，；所求的回归方程是；（2）由，知与之间是负相关；将代入回归方程，计算，可预测该店当日的销售量为9.56（千克）．【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，属于中档题．19.如图，在平行四边形中，，四边形为直角梯形，∥,，,平面平面.(1)求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）依据题设条件及勾股定理先证线垂直，借助题设条件，运用性质定理进行推证；（2）建立空间直角坐标系，借助向量的坐标形式的运算及数量积公式求出两平面所成锐角二面角的余弦值：【详解】（1）在△ABC中，所以，所以，所以，又因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB,AC平面ABCD，所以平面ABEF..(2)如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，，D(，E(1,2,0)，F(0,3,0)，是平面ABCD的一个法向量.设平面DEF的法向量为，又，，则，得，取则．故是平面DEF的一个法向量.设平面ABCD与平面DEF所成的锐二面角为，则.20.已知两点，，动点与两点连线的斜率满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）是曲线与轴正半轴的交点，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（）；（2）存在，3个.【解析】【分析】（1）求动点的轨迹方程的一般步骤：1．建系——建立适当的坐标系．2．设点——设轨迹上的任一点P（x，y）．3．列式——列出动点P所满足的关系式．4．代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．5．证明——证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程；（2）由题意可知设所在直线的方程为，则所在直线的方程为分别联立椭圆方程求得弦长，,再由得解方程即可.【详解】（1）设点的坐标为（）,则,,依题意,所以,化简得,所以动点的轨迹的方程为（）.注:如果未说明（或注）,扣1分.（2）设能构成等腰直角,其中为,由题意可知,直角边,不可能垂直或平行于轴,故可设所在直线的方程为,（不妨设）,则所在直线的方程为,联立方程,消去整理得,解得,将代入可得,故点的坐标为.所以,同理可得,由,得,所以,整理得,解得或,当斜率时,斜率；当斜率时,斜率；当斜率时,斜率,综上所述,符合条件的三角形有个.考点：圆锥曲线的综合应用21.已知函数，曲线在处的切线与直线平行．（1）求证：方程在内存在唯一的实根；（2）设函数m（x）＝min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的较小者），求m（x）的最大值．【答案】（1）见解析，（2）【解析】分析】（1）根据题意，由导数的几何意义可得，又，所以，设，由函数零点判定定理可得存在，使，进而分析函数的单调性，即可得答案；（2）根据题意，分析可得的表达式，分段求出的导数，分析其单调性，据此分析可得答案.【详解】解：（1）由题意知，曲线y＝f（x）在点（1，f （1））处的切线的斜率为2，所以，又因为，所以，设，当时，，又，所以存在，使，因为，当时，，，所以，所以，所以，所以当时，单调递增，所以方程f（x）＝g（x）在（1，2）内存在唯一的实根；（2）由（1）知，方程f（x）＝g（x）在（1，2）内存在唯一的实根，且时，，当时，，当时，，所以当时，，所以当时，，所以，当时，若，则，若，由，可知，所以当时，，当时，由，可知当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，且，综上，函数的最大值为【点睛】此题考查利用导数分析函数的单调性以及最值，考查计算能力，综合性强，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线（t为参数,且）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线（Ⅰ）求与交点的直角坐标；（Ⅱ）若与相交于点A,与相交于点B,求最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立解得或所以与交点的直角坐标为和．（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数.（1）求的最小值；（2）若，，均为正实数，且满足，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】分析】（1）由题意根据、、分类讨论，求出函数的取值范围，即可得解；（2）由题意结合基本不等式可得，即可得证.【详解】（1）当时，；当时，；当时，；综上，的最小值；（2）证明：因为，，均为正实数，且满足，所以，当且仅当时，等号成立，所以即.【点睛】本题考查了绝对值函数最值的求解，考查了利用基本不等式及综合法证明不等式，关键是对于条件做合理转化，属于中档题.2020届高三数学第三次适应性考试试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A＝{x|（x+2）（x+3）≥0}，B＝{x|x＜0}，则A∩B＝（）A. [﹣3，﹣2]B. （﹣∞，﹣3]∪[﹣2，+∞）C. （﹣∞，﹣3]D. （﹣∞，﹣3]∪[﹣2，0）【答案】D【解析】【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为或，所以故选：D【点睛】本题考查交集的求法，一元二次不等式的解法，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用，属于基础题．2.若，则（）A. ﹣6B. 6C. ﹣6iD. 6i【答案】B【解析】【分析】直接代入计算即可【详解】解：因为，所以，所以，故选：B【点睛】此题考查复数的乘法运算，共轭复数，属于基础题.3.设，则＝（）A. ﹣15B. 0C. ﹣3D. ﹣11【答案】C【解析】【分析】直接利用向量的数量积坐标运算公式求解【详解】解：因为，所以，因为，所以，故选：C【点睛】此题考查向量的数量积坐标运算，属于基础题.4.的展开式中，x3的系数等于（）A. ﹣15B. 15C. 20D. ﹣20【答案】B【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，由的指数等于3求出的值，即可求出答案．【详解】解：的展开式中，通项公式为，由，得；的展开式中，的系数为．故选：．【点睛】本题考查了二项式系数的性质应用问题，解题的关键是灵活应用二项展开式的通项公式，属于基础题．5.今年年初，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎．我市某医院的甲、乙、丙三名医生随机分到湖北的A，B两个城市支援，则每个城市至少有一名医生的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】首先计算出基本事件总数，要使每个城市至少有一名医生，即其中一个城市1名医生，另一个城市2名医生，求出满足条件的分配方案，再利用古典概型的概率计算公式计算可得；【详解】解：将某医院的甲、乙、丙三名医生随机分到湖北的A，B两个城市支援，则一共有种分配方案，现要求每个城市至少有一名医生，即其中一个城市1名医生，另一个城市2名医生有分配方案，故每个城市至少有一名医生的概率故选：A【点睛】本题考查简单的排列组合问题，以及古典概型的概率计算，属于中档题.6.已知函数，且此函数的图象如图所示，由点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由函数图象与轴的相邻两个交点确定该函数的最小正周期，并利用周期公式求出的值，再将点代入函数解析式，并结合函数在该点附近的单调性求出的值，即可得出答案．【详解】解：由图象可得函数的周期∴，得，将代入可得，∴（注意此点位于函数减区间上）∴由可得，∴点的坐标是，故选B．【点睛】本题考查利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：①求、：，；②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性．7.已知函数，则该函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性确定函数的大致图象；也可以根据函数值的符号排除干扰项，即可得到正确选项．【详解】解:当时，，所以．记，则．显然时，，函数单调递减，时；，函数单调递增，所以，所以，又当时，，所以，所以函数在上单调递减．故排除B，D选项；而，故排除C选项．故选:A．【点睛】本题考查函数图象的识别，考查的核心素养是直观想象、数学运算．8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积等于8，，则△ABC外接圆的半径为（）A. 5B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先由，求出的值，再利用△ABC的面积等于8，求出c，再利用余弦定理求出b，然后利用正弦定理可求出△ABC外接圆的半径.【详解】解：因为，所以，所以，因为△ABC的面积等于8，所以，，解得，由余弦定理得，，所以，由正弦定理得，，解得，故选：D【点睛】此题考正、余弦定理，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题.9.在直角梯形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝∠ACB＝90°，△ADC与△ABC均为等腰直角三角形，且AD＝1，若将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，则当三棱锥D﹣ABC的体积取得最大时其外接球的表面积为（）A. 4πB. 6πC. 8πD. 10π【答案】A【解析】【分析】画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可.【详解】如图：，，，，取的中点，的中点，连结，当三棱锥体积最大时，平面平面，，平面，，，，，就是外接球的半径为，此时三棱锥外接球的表面积为.故选：A.【点睛】本题主要考查了求三棱锥外接球的表面积问题.属于中档题.10.已知定义在R上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，，则＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数是偶函数，可得函数的图像关于直线对称，从而有，再结合可得函数的周期为4，然后利用周期和将化到上即可求解【详解】解：因为函数是偶函数，所以函数是偶函数，所以，因为，所以，所以，所以，所以函数的周期为4，所以，因为，所以，故选：C【点睛】此题考查了函数的周期性，偶函数的性质，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题.11.抛物线：的焦点与双曲线：的左焦点的连线交于第二象限内的点．若在点处的切线平行于的一条渐近线，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：抛物线：的焦点的坐标为，且由得，；双曲线的左焦点的坐标为，直线的截距式方程为：两条渐近线方程分别为：，；设点的坐标为，根据题意：，即，，.因为直线与抛物线的交点，所以在直线上，于是有：，，.故选D.考点：1、抛物线的标准方程；2、导数的几何意义.12.已知函数，把函数的偶数零点按从小到大的顺序排成一个数列，该数列的前10项的和等于（）A. 45B. 55C. 90D. 110【答案】C【解析】当时，有，则，当时，有，则，当时，有，则，当时，有，则，以此类推，当（其中）时，则，∴函数的图象与直线的交点为：和，由于指数函数为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点，将函数和的图象同时向下平移一个单位，即得到函数和的图象，取的部分，可见它们有两个交点，即当时，方程有两个根，；当时，由函数图象平移可得的零点为1，2；以此类推，函数与在，，…，上的零点分别为：3，4；5，6；…；，；综上所述函数的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为：0，2，4，…，其通项公式为，前项的和为，故选C.点睛：本题考查了分段函数的应用，考查了函数零点的判断方法，考查了等差数列的和的求法，是中档题；由分段函数解析式得到函数在时的分段解析式，首先求得函数在上的零点，然后根据函数的图象平移得到函数在，，，…，上的零点，得到偶数零点按从小到大的顺序排列的数列，利用等差数列的前项和得答案.二、填空题：本大题共4小题，每小题s分，共20分．13.命题“∀x＞0，x2+x＞1”的否定是_____．【答案】【解析】【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】解：命题“”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“”故答案为：【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.14.若，则_____．【答案】【解析】分析】利用两角和的正弦公式将式子展开得到，再将等式两边平方，利用二倍角正弦公式计算可得；【详解】解：因为，所以所以，两边平方可得，所以所以故答案为：【点睛】本题考查两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题.15.已知直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为______【答案】1或-1【解析】因为△ABC是等腰直角三角形，所以圆心C(1，－a)到直线ax＋y－1＝0的距离d＝rsin 45°＝，即，所以a＝±1.16.已知函数f（x）＝aex﹣x+2a2﹣3的值域为M，集合I＝（0，+∞），若I⊆M，则实数a的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据题意可知的最小值小于等于0，求导数，可看出时满足题意，时可求出的最小值，由最小值小于等于0即可求出的范围，最后求并集即得实数的取值范围．详解】由题意，的最小值小于等于0；；若，则在上单调递减，当即的值域为，满足题意；②若时，函数在上单调递减，在上单调递增；时，取极小值即最小值，；令，；则，即在上单调递增，又，要使；；综上可得，实数的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查应用导数求函数的值域，对参数分类讨论是解题的关键，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知等比数列的公比，，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式与等差数列的性质列式求得，则通项公式可求；（2）把数列的通项公式代入，再由错位相减法求数列的前项和．【详解】解：（1）由，，成等差数列，得，即，，解得．又因为；（2）由（1）知．，，，．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的性质，训练了利用错位相减法求数列的前项和，属于中档题．18.某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y（单位：千克）与该地当日最低气温x（单位：°C）的数据，如下表：（1）求出y与x的回归方程＝x；（2）判断y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6°C，请用所求回归方程预测该店当日的营业额．附：回归方程＝x；中，＝，＝﹣【答案】（1）；（2）与之间是负相关；可预测该店当日的销售量为9.56（千克）【解析】【分析】（1）计算平均数和回归系数，即可写出回归方程；（2）由知与之间是负相关，利用回归方程计算时的值即可．【详解】解：（1）由已知，则，，，，，，；所求的回归方程是；（2）由，知与之间是负相关；将代入回归方程，计算，可预测该店当日的销售量为9.56（千克）．【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，属于中档题．。

13．2 14． 15． 16．①②
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17．解：（I）
4分
又 2分
（II）
2分
1分
3分
18．（I）证明：由题意可知CD、CB、CE两两垂直。
可建立如图所示的空间直角坐标系
则 2分
由 1分
又 平面BDF，
平面BDF。2分
（Ⅱ）解：设异面直线CM与FD所成角的大小为
。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么球的表积公式：
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径
P（A·B）=P（A）·P（B）球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，
（II）求异面直线CM与FD所成角的大小；
（III）求二面角A—DF—B的大小。
19．（本小题满分12分）
某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试。在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为
即异面直线CM与FD所成角的大小为 3分
（III）解： 平面ADF，
平面ADF的法向量为 1分
设平面BDF的法向量为
由
1分
1分
由图可知二面角A—DF—B的大小为 1分
19．解：（I）设该小组中有n个女生，根据题意，得
解得n=6,n=4（舍去）
该小组中有6个女生。6分
（Ⅱ）由题意，甲、乙、丙3人中通过测试的人数不少于2人，

2020届高三数学第三次模拟考试试题理（含解析）注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，再利用交集的定义可求出集合.【详解】，因此，.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2.已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限．【详解】由题意,对应点坐标为，在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. ﹣10B. ﹣3C. 4D. 5【答案】A【解析】第一次执行程序后，，第二次执行程序后，，第三次执行程序后，，第四次次执行程序后，，不成立，跳出循环，输出，故选A.4.已知向量，，设与的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的坐标运算求出向量，再利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】设，由，，可得，设与的夹角为，且则，所以.故选：C【点睛】本题考查了向量坐标表示、向量数量积的坐标运算，属于基础题.5.设，，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】,,,,故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6.在某次数学测验后，将参加考试的名学生的数学成绩制成频率分布直方图（如图），则在该次测验中成绩不低于分的学生数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由频率分布直方图，可得低于100分的人数的频率，即可求得低于100分人数，进而求得不低于100分的人数．【详解】由频率分布直方图可知，低于100分的人数的频率为所以低于100分的人数为则不低于100分的人数为所以选C【点睛】本题考查了频率分布直方图的简单应用，属于基础题．7.从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件总数n，再求出这个五位数是偶数包含的基本事件数m，利用古典概型的概率公式计算即可.【详解】从1，2，3，4，5这5个数字中任取5个数字组成没有重复数字的五位数，基本事件总数n＝＝120，这个五位数是偶数包含的基本事件个数m＝＝48，∴这个五位数是偶数的概率p＝．故选D．【点睛】本题考查古典概型概率的求法，是基础题.8.若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是A. B.C. D.【答案】D【解析】∵的展开式中只有第项的二项式系数最大，∴为偶数，展开式共有项，则.的展开式的通项公式为，令，得.∴展开式中含项的系数是，故选D．【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.9.如图，在正四棱柱，中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（）．A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】建立空间坐标系，设棱柱高为，求出平面的法向量，令，求出的值．【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设，则，0，，，2，，，0，，则，2，，，0，，，0，，设平面的法向量为，，，则，，令可得，1，，故，．直线与平面所成角的正弦值为，，解得：．故选．【点睛】本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题．10.已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线，则函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析】把化为的式子，然后由偶函数定义可求得，由图象平移变换得，再解不等式即可．【详解】因为为偶函数，所以，即所以，解得，所以.将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线，函数的减区间即为函数的增区间.所以函数的增区间为：故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查图象变换，考查推理论证能力与运算求解能力.属于中档题.11.已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为的左、右焦点，为虚轴的一个端点，若的最小值为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义可得，又即可得到关于的方程，解得.【详解】解：，即，化简得，即，解得或，所以.故选：【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想.12.已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，根据条件判断在上的单调性，然后将所求不等式分、和三种情况得到不等式的解集．【详解】令，则，定义域为的函数满足，，函数在上单调递增，当时，由，知，当时，显然不等式成立.当时，则，所以，整理得，即，所以，，得，则；当时，则，所以，整理得，即，所以，，得，则.综上所述，原不等式的解集为.故选：D．【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式和利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想和函数思想，属中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆与抛物线的准线相切，则__________．【答案】2【解析】试题分析：，圆心为，半径为4，抛物线准线为，由圆与直线相切可知考点：直线和抛物线的性质14.已知实数满足线性约束条件，则的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义求解即可.【详解】该不等式组对应的平面区域，如下图所示可变为由，解得平移直线，当直线过点时，取最小值即故答案为：【点睛】本题主要考查了线性规划求最值的应用，属于中档题.15.在中，，，是边上的中线，将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的体积为______.【答案】【解析】【分析】由题意可知折起的三棱锥是一条侧棱垂直于底面的棱锥，由题意求出高及底面外接圆的半径，利用公式求出外接球的半径，进而求出外接球的体积．【详解】因为，为的中点，所以，在折起的过程中，，，，所以平面，因为二面角等于，所以，且，，在中，，外接圆半径为，设外接球的半径为，则，因此，所以外接球的体积为.故答案为：.【点睛】本题考查一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球半径与三棱锥棱长的关系及球的体积公式，考查计算能力，属于中档题．16.设函数的定义域为，满足，且当时，，当时，函数的极大值点从小到大依次记为、、、、、，并记相应的极大值为、、、、、，则数列前项的和为____________.【答案】【解析】【分析】求出函数在区间上的解析式，利用导数求出函数在区间上的极大值点与极大值，可得出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得数列的前项的和.【详解】函数的定义域为，满足，则，且当时，，则当，，，，当时，，则，令，可得，解得，当时，，当时，.所以，函数处取得极大值，即，又，，因此，数列的前项的和.故答案为：.【点睛】本题考查了数列的分组求和，同时也考查了利用导数求函数的极值点和极值，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求证: .【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据与的关系，可得，从而判断为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，利用等差数列的求和公式可得，再利用裂项求和法可求出，令，根据，利用不等式的性质得到结果.【详解】（1）因为，①当时，，②由①-②得，即，当时，，，所以数列为等比数列，其首项为，公比为，所以；（2）由（1）得，，所以，所以，.因为所以.【点睛】本题考查了与的关系、等比数列的通项公式、等差数列的前项和公式、裂项求和法以及证明不等式，综合性比较强，属于中档题.18.在四棱锥中，底面为正方形，.（1）证明：面⊥面；（2）若与底面所成的角为，，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设AC与BD交点为O，则PO⊥BD，而正方形中AC⊥BD，于是可证得结论．（2）由线面角的定义可得，以A为坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面BPC和面DPC的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦．【详解】（1）证明：连接AC,BD交点为O，∵四边形ABCD 为正方形，∴∵，,∴,又∵,∴又,∴.（2）∵，过点P做,垂足为E∴∵PA与底面ABCD所成的角为，∴,又，设,则如图所示，以A为坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系设面法向量为，,∴，，∴同理的法向量，∴求二面角的余弦值【点睛】在立体几何中求角问题的常用方法是建立空间直角坐标系，利用向量的夹角来求得空间角（如线面角、二面角）．解题关键是图中相互垂直的直线（最好是过同一点有三条相互垂直的直线）．19.某工厂加工某种零件需要经过，，三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格的概率分别为，，.三道工序都合格的零件为一级品；恰有两道工序合格的零件为二级品；其它均为废品，且加工一个零件为二级品的概率为.（1）求；（2）若该零件的一级品每个可获利200元，二级品每个可获利100元，每个废品将使工厂损失50元，设一个零件经过三道工序加工后最终获利为元，求的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）二级品说明第一道工序不合格，第二、三道工序合格，或第二道工序不合格，第一、三道工序合格，或第三道工序不合格，第一、二道工序合格，由独立事件的概率公式可计算出；（2）的可能取值为200，100，，计算出概率后得分布列，由期望公式可计算期望．【详解】（1）设零件经，，三道工序加工合格的事件分别记为，，，则，，，，，.设事件为“生产一个零件为二级品”，由已知，，是相互独立事件，则，所以（2）的可能取值为200，100，，，，，则的分布列为200所以.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查随机变量的概率分布列与数学期望．考查学生的运算求解能力．20.设函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）当时，恒成立，求整数的最大值.（参考数值：，,）【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】(1)直接利用切线方程求解即可(2)利用参变分离法，不等式转变为证明（）恒成立，设，然后，利用导数去讨论出即可求出整数的最大值.【详解】解：（1）当时，，所以，因为所以切线方程为，整理得：（2），因为，所以（）恒成立设，则设则（）.所以在上单调递增，又,,所以存在使得，当时，,即；当时，即.所以在上单调递减，上单调递增.所以.因为所以-设，当时，，所以在上单调递增.则，即.所以因为，所以，所以的最大值为2.【点睛】本题考查切线方程的计算，以及如何利用导数解决不等式恒成立问题，本题的难点在于如何求出导函数隐零点的范围，属于难题21.已知椭圆与轴负半轴交于，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与直线相交于点，求的取值范围及取得最小值时直线的方程.【答案】（1）；（2）的取值范围是，最小值为，此时直线的方程为.【解析】【分析】（1）根据已知条件得出，再由离心率可得出的值，并求出的值，由此可得出所求椭圆的方程；（2）由题意可知，直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出，并求出点的坐标，进而求得，由此可得出的表达式，利用导数求出的取值范围，以及取最小值时对应的直线方程.【详解】（1）由题有，，，.因此，椭圆方程为；（2）当直线与轴重合时，则直线的垂线与直线平行，不合乎题意.设，将其与曲线的方程联立，得.即.设、，则，，，将直线与联立，得，..设，构造.在上恒成立，所以在上单调递增.所以，当且仅当，即时等号成立，所以的取值范围是，当取得最小值时，, 此时直线的方程为.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中取值范围问题的求解，考查了韦达定理、弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题.请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点为，经过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的倾斜角.【答案】(1) ， (2) 或.【解析】【分析】（1）利用消去参数化曲线为普通方程，运用，即可化直线极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线方程化为具有几何意义的参数方程，代入曲线方程，利用根与系数关系结合直线参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）曲线的普通方程为，因为，所以，直线的直角坐标方程为.（2）点的坐标为，设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角），联立直线与曲线的方程得.设对应的参数分别为，则，所以，得，且满足，故直线的倾斜角为或.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程和直角坐标方程互化，考查直线参数方程参数灵活应用，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若“，”为假命题，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1））当时，将函数写成分段函数，即可求得不等式解集.（2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“，”为真命题，只需满足即可.【详解】解：（1）当时，由，得.故不等式的解集为.（2）因为“，”为假命题，所以“，”为真命题，所以.因为，所以，则，所以，即，解得，即的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.2020届高三数学第三次模拟考试试题理（含解析）注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，再利用交集的定义可求出集合.【详解】，因此，.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2.已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限．【详解】由题意,对应点坐标为，在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. ﹣10B. ﹣3C. 4D. 5【答案】A【解析】第一次执行程序后，，第二次执行程序后，，第三次执行程序后，，第四次次执行程序后，，不成立，跳出循环，输出，故选A.4.已知向量，，设与的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的坐标运算求出向量，再利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】设，由，，可得，设与的夹角为，且则，所以.故选：C【点睛】本题考查了向量坐标表示、向量数量积的坐标运算，属于基础题.5.设，，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】,,,,故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6.在某次数学测验后，将参加考试的名学生的数学成绩制成频率分布直方图（如图），则在该次测验中成绩不低于分的学生数是（）A. B. C. D.【分析】由频率分布直方图，可得低于100分的人数的频率，即可求得低于100分人数，进而求得不低于100分的人数．【详解】由频率分布直方图可知，低于100分的人数的频率为所以低于100分的人数为则不低于100分的人数为所以选C【点睛】本题考查了频率分布直方图的简单应用，属于基础题．7.从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件总数n，再求出这个五位数是偶数包含的基本事件数m，利用古典概型的概率公式计算即可.【详解】从1，2，3，4，5这5个数字中任取5个数字组成没有重复数字的五位数，基本事件总数n＝＝120，这个五位数是偶数包含的基本事件个数m＝＝48，∴这个五位数是偶数的概率p＝．故选D．【点睛】本题考查古典概型概率的求法，是基础题.8.若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是A. B.C. D.∵的展开式中只有第项的二项式系数最大，∴为偶数，展开式共有项，则.的展开式的通项公式为，令，得.∴展开式中含项的系数是，故选D．【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.9.如图，在正四棱柱，中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（）．A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】建立空间坐标系，设棱柱高为，求出平面的法向量，令，求出的值．【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设，则，0，，，2，，，0，，则，2，，，0，，，0，，设平面的法向量为，，，则，，令可得，1，，故，．直线与平面所成角的正弦值为，，解得：．故选．【点睛】本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题．10.已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线，则函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析】把化为的式子，然后由偶函数定义可求得，由图象平移变换得，再解不等式即可．【详解】因为为偶函数，所以，即所以，解得，所以.将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线，函数的减区间即为函数的增区间.所以函数的增区间为：故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查图象变换，考查推理论证能力与运算求解能力.属于中档题.11.已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为的左、右焦点，为虚轴的一个端点，若的最小值为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义可得，又即可得到关于的方程，解得.【详解】解：，即，化简得，即，解得或，所以.故选：【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想.12.已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，根据条件判断在上的单调性，然后将所求不等式分、和三种情况得到不等式的解集．【详解】令，则，定义域为的函数满足，，函数在上单调递增，当时，由，知，当时，显然不等式成立.当时，则，所以，整理得，即，所以，，得，则；当时，则，所以，整理得，即，所以，，得，则.综上所述，原不等式的解集为.故选：D．【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式和利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想和函数思想，属中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆与抛物线的准线相切，则__________．【答案】2【解析】试题分析：，圆心为，半径为4，抛物线准线为，由圆与直线相切可知考点：直线和抛物线的性质14.已知实数满足线性约束条件，则的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义求解即可.【详解】该不等式组对应的平面区域，如下图所示可变为由，解得平移直线，当直线过点时，取最小值即故答案为：【点睛】本题主要考查了线性规划求最值的应用，属于中档题.15.在中，，，是边上的中线，将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的体积为______.【答案】【解析】【分析】由题意可知折起的三棱锥是一条侧棱垂直于底面的棱锥，由题意求出高及底面外接圆的半径，利用公式求出外接球的半径，进而求出外接球的体积．【详解】因为，为的中点，所以，在折起的过程中，，，，所以平面，因为二面角等于，所以，且，，在中，，外接圆半径为，设外接球的半径为，则，因此，所以外接球的体积为.故答案为：.【点睛】本题考查一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球半径与三棱锥棱长的关系及球的体积公式，考查计算能力，属于中档题．16.设函数的定义域为，满足，且当时，，当时，函数的极大值点从小到大依次记为、、、、、，并记相应的极大值为、、、、、，则数列前项的和为____________.【答案】【解析】【分析】求出函数在区间上的解析式，利用导数求出函数在区间上的极大值点与极大值，可得出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得数列的前项的和.【详解】函数的定义域为，满足，则，且当时，，则当，，，，当时，，则，令，可得，解得，当时，，当时，.所以，函数处取得极大值，即，又，，因此，数列的前项的和.故答案为：.【点睛】本题考查了数列的分组求和，同时也考查了利用导数求函数的极值点和极值，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求证: .【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据与的关系，可得，从而判断为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，利用等差数列的求和公式可得，再利用裂项求和法可求出，令，根据，利用不等式的性质得到结果.【详解】（1）因为，①当时，，②。

成都市2017级高中毕业班第三次诊断性检测数学（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,A x =，{}0,2,4B =.若A B ⊆，则实数x 的值为（ ） A. 0或2 B. 0或4C. 2或4D. 0或2或4【答案】C【分析】利用子集的概念即可求解. 【详解】集合{}0,A x =，{}0,2,4B =若A B ⊆，则集合A 中的元素在集合B 中均存在，则0,2x =或4， 由集合元素的互异性可知2x =或4，故选：C【点睛】本题考查了子集的概念，理解子集的概念是解题的关键，属于基础题.2.若复数z 满足25zi i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面上对应的点的坐标为（ ） A. ()2,5 B. ()2,5-C. ()5,2-D. ()5,2-【答案】D【分析】根据题意两边同时除以i 可求出复数z ，然后即可求出z 在复平面上对应的点的坐标. 【详解】解：因为25zi i =+，所以2552iz i i+==-，故z 在复平面上对应的点的坐标为()5,2-.故选：D.【点睛】本题考查复数与复平面上点的坐标一一对应的关系，考查复数除法的四则运算，属于基础题.3.命题“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定是（ ） A. 0x R ∃∈，20010x x -+> B. x R ∀∈，210x x -+≤ C. 0x R ∃∈，20010x x -+≥D. x R ∀∈，210x x -+>【答案】D【分析】含有全称量词和特称量词的否定是：否量词，否结论，不否范围.【详解】解：命题“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定是x R ∀∈，210x x -+>.故选：D.【点睛】本题考查含有全称量词和特称量词的命题的否定，熟练掌握否定的规则是解题的关键，本题属于基础题.4.如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A【分析】直接利用三视图和直观图的转换的应用求出结果. 【详解】解：根据几何体的三视图可知该几何体为三棱柱， 当选A 时，正视的中间的竖线应为虚线，选项BCD 均可能，故选：A【点睛】此题考查三视图与几何体之间的转换，考查学生的转换能力和空间想象能力，属于基础题.5.已知函数()22x xf x -=-，则()2log 3f =（ ）A. 2B. 83C. 3D.103【答案】B【分析】根据函数解析式及指数对数恒等式计算可得； 【详解】解：因为()22x xf x -=- 所以()22log 3log 3218log 322333f -=-=-= 故选：B【点睛】本题考查函数值的计算，对数恒等式的应用，属于基础题.6.已知实数,x y满足102050xyx y-≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y=+的最大值为（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数2z x y=+对应的直线进行平移，可得当3x=，2y=时，2z x y=+取得最大值8．【详解】作出实数x，y满足10,20,50xyx y-⎧⎪-⎨⎪+-⎩表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中(3,2)A，(1,2)B，(1,4)C设(,)2z F x y x y==+，将直线:2l z x y=+进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值()3,22328maxz F∴==⨯+=．故选：C．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数2z x y=+的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．7.为迎接大运会的到来，学校决定在半径为202m的半圆形空地O的内部修建一矩形观赛场地ABCD，如图所示，则观赛场地的面积最大值为（）A. 4002m B. 24002mC. 6002m D. 8002m【答案】D【分析】连接OD ，设COD θ∠=，则sin CD OD θ=，cos OC OD θ=，2ABCD S OC CD =⋅根据三角函数的性质求出面积最值；【详解】如图连接OD ，设COD θ∠=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则sin 202sin CD OD θθ==，cos 202OC OD θθ==所以22202202800sin 2ABCD S OC CD θθθ=⋅=⨯⨯= 因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,θπ∈，所以(]sin 20,1θ∈，所以(]0,800ABCDS ∈，当4πθ∈时()max 800ABCD S = 故选：D【点睛】本题考查三角函数的应用，属于基础题.8.在等比数列{}n a 中，已知19nn n a a +=，则该数列的公比是（ ）A. －3B. 3C. 3±D. 9【答案】B【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解公比. 【详解】解：因为190nn n a a +=>，所以11111999n n n n n n n n a a a a a a ++---===，所以29q =，所以3q =或3q =-， 当3q =-时，109nn n a a +=<不合题意，故选：B【点睛】此题考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题.9.已知函数()33f x x x =-，则“1a >”是“()()1f a f >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】对函数()33f x x x =-进行求导可得到：()()()2()31311f x x x x '=-=-+从而可得出函数()33f x x x =-在(),1x ∈-∞-上递增，在()1,1x ∈-递减，在()1,x ∈+∞递增，根据函数的单调性可知：当1a >时，有()()1f a f >成立，即充分性成立；当()()1f a f >时，a 的范围不一定是1a >，可能11a -<<，即必要性不成立，所以“1a >”是“()()1f a f >”的充分不必要条件.【详解】由题意可得：()()()2()31311f x x x x '=-=-+，令()0f x '>解得1x >或1x <-，即函数()33f x x x =-在(),1x ∈-∞-上递增，在()1,1x ∈-递减，在()1,x ∈+∞递增，根据函数的单调性：当1a >时，有()()1f a f >成立，即充分性成立；当()()1f a f >时，a 的范围不一定是1a >，可能11a -<<，即必要性不成立， 所以“1a >”是“()()1f a f >”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了函数的单调性及充分条件，必要条件的判断，属于一般题.10.已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，经过点2F 且与x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且1264F AF ππ≤∠≤.则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A.B. C. ⎡⎣D. ⎤⎦【答案】B【分析】由题意画出图形，求得122tan a F AF b ∠=，再由1264F AF ππ∠求得b a的范围，结合双曲线的离心率公式得答案． 【详解】如图，由题意，(,)bc A c a ，12||2F F c =，则12122||22tan ||F F c aF AF bc AF b a∠===．由1264F AF ππ∠，得321ab，即223b a ． 21()[5,13]c be a a∴==+．故选：B ． 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的取值范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，1DP DC ==.有下列结论：①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等； ②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭； ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为23π； ④若AB BC =，E 是线段PC 上一动点，则DE BE +的62+其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ②③C. ①②④D. ①③④【答案】C【分析】根据三角形全等判断①，根据sin PAB ∠的值和三角形的内角和得出PAB ∠的范围，计算外接球半径判断③，将棱锥侧面展开计算最短距离判断④． 【详解】解：如图1，AB BC ⊥，D 是AC 的中点，DA DB DC ∴==，又PD ⊥平面ABC ，Rt PDA RtPDB RTPDC ∴∆≅≅，PA PB PC ∴==，故①正确；PA PB =，PAB PBA ∴∠=∠，又PAB PBA APB π∠+∠+∠=，2PAB π∴∠<，过P 作PM AB ⊥，M 为垂足，如图2，则1PM PD >=， 又222PA PD AD =+=，12sin 22PM PAB PA ∴∠=>=，4PAB π∴∠>，故②正确；AB BC ⊥，D ∴为平面ABC 截三棱锥外接球的截面圆心，设外接球球心为O ，则O 在直线DP 上，如图3，设DO h =，则2(1)1h h ±=+，解得0h =，故D 为外接球的球心．∴外接球的体积为344133ππ⨯⨯=，故③错误．若AB BC =，则2BC =，又2PB PC ==，故PBC ∆是等边三角形，将平面PCD 沿PC 翻折到平面PBC 上，如图4，图5. 则DE BE +的最短距离为线段BD 的长．6045105BCD ∠=︒+︒=︒，2BC =1CD =，6221221cos10523BD +∴=+-⨯⨯⨯︒=+，故④正确． 故选：C ．【点睛】本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．12.已知函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象经过点20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且将图象向左平移3π个长度单位后恰与原图象重合.若对任意的[]12,0,x x t ∈，都有()()122f x f x ≥成立，则实数t 的最大值是（ ） A.34π B.23π C.712π D.2π【答案】A【分析】将点0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭代入解析式，求出A ，然后再利用三角函数的平移变换求出ω，再由()()12min max 2f x f x ≥，结合正弦函数的性质即可求解.【详解】函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象经过点0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，可得sin142A π-=，解得1A =+ 函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个长度单位可得()(1sin 314g x x πωπω⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据两函数的图象重合，可知32,k k Z πωπ=∈， 解得2,3kk Z ω=∈， 又因为01ω<<，所以23ω=， 对任意的[]12,0,x x t ∈，都有()()122f x f x ≥成立， 则()()12min max 2f x f x ≥， 由[]12,0,x x t ∈，则12222,,3434434x x t ππππ⎡⎤++∈+⎢⎥⎣⎦， 若要实数t 取最大值，由()()2max1min2f x f x ≥，只需()min1122f x ≥=，所以23344t ππ+≤，解得34t π≤， 所以实数t 的最大值是34π.故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换求解析式、三角不等式恒成立问题、正弦函数的性质，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上. 13.已知向量()1,a λ=，()2,3b =，且a b ⊥，则实数λ的值为______. 【答案】23-【分析】由a b ⊥，故1230a b λ=⨯+=，即可解得； 【详解】解：因为()1,a λ=，()2,3b =，且a b ⊥， 所以1230a b λ=⨯+=，解得23λ=-故答案为：23-【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.14.某实验室对小白鼠体内x ，y 两项指标进行研究，连续五次实验所测得的这两项指标数据如下表：已知y 与x 具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为y bx a =+.若下一次实验中170x =，利用该回归直线方程预测得117y =，则b 的值为______. 【答案】0.54【分析】由已知表格中的数据，求得x 和y ，代入回归方程，再把点()170,117代入y bx a =+，联立方程组即可求解b 的值.【详解】解：由已知表格中的数据，求得：1201101251301151205x ++++==，9283909689905y ++++==，则12090b a +=，①又因为下一次实验中170x =，利用该回归直线方程预测得117y =， 则170117b a +=，②联立①②，解得：0.54b =. 故答案为：0.54.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本中心点是关键，属于基础题.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15a =，510S =，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.则12310a a a a ++++的值为______.【答案】792【分析】首先求出n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可得到232344nS n n =-+，再利用作差法求出31322n a n =-+，最后利用分组求和计算可得；【详解】解：因为15a =，510S =，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，设公差为d ， 所以15S =，525S =，所以513544S S d -==-， 所以32344n S n n =-+，所以232344n S n n =-+①； 当2n ≥时，()()213231144n S n n -=--+-②；①减②得31322n a n =-+，显然15a =符号故31322n a n =-+，当14n ≤≤时0n a ≥，5n ≥时0n a <所以12310a a a a ++++41102356789a a a a a a a a a a -----+-=++()4104S S S --=4102S S =-2232332344101044442⨯+⨯-⎪=⨯⨯⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭+357911222⎛=⎫⨯--= ⎪⎝⎭故答案为：792【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题.16.已知点F 为抛物线()220y px p =>的焦点，经过点F 且倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A ，B 点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点M .则4pFM的值为______. 【答案】2【分析】先写出过点F 且倾斜角为4π的直线方程，然后与抛物线方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系得到线段AB 的中点坐标，从而可得到线段AB 的垂直平分线方程，进而可求出点M 的坐标，于是就得到FM 的值，即可得结果. 【详解】解：抛物线()220y px p =>的焦点(,0)2pF ，则经过点F 且倾斜角为4π的直线为2py x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 为00(,)N x y ， 由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得22304p x px -+=，所以12003,22x x px y p +===， 所以线段AB 的垂直平分线方程为3()2py p x -=--， 令0y =，得52p x =，所以5(,0)2pM ， 所以5222p p FM p =-=，所以4422p p FM p ==，故答案为：2 【点睛】此题考查抛物线方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，运用了根与系的关系，考查化简运算能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2019年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2019年度的月均销售额（单位：万元）分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70.（Ⅰ）根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的65%，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励.试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；（Ⅱ）从该销售小组月均销售额超过3.60万元的销售员中随机抽取2名组员，求选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率. 【答案】（Ⅰ）不需要对该销售小组发放奖励；（Ⅱ）710. 【分析】（Ⅰ）求出月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例，与65%比较判断即可；（Ⅱ）由题可知，月均销售额超过3.60万元的销售员有5名，其中超过3.68万元的销售员有2名，记为1A ，2A ，其余的记为1a ，2a ，3a ，利用列举法，列举出5名销售员中随机抽取2名的所有结果和至少有1名销售员月均销售额超过3.68万元的结果，最后根据古典概型求概率，即可得出结果.【详解】解：（Ⅰ）该小组共有11名销售员2019年度月均销售额超过3.52万元，分别是：3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70， ∴月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例为1155%20=， ∵55%65%<，故不需要对该销售小组发放奖励.（Ⅱ）由题可知，月均销售额超过3.60万元的销售员有5名，其中超过3.68万元的销售员有2名，记为1A ，2A ，其余的记为1a ，2a ，3a ， 从上述5名销售员中随机抽取2名的所有结果为：()12,A A ，()11,A a ，()12,A a ，()13,A a ，()21,A a ，()22,A a ，()23,A a ，()12,a a ，()13,a a ，()23,a a ，共有10种，其中至少有1名销售员月均销售额超过3.68万元的结果为：()12,A A ，()11,A a ，()12,A a ，()13,A a ，()21,A a ，()22,A a ，()23,A a ，共有7种，故选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率为710P =. 【点睛】本题考查利用列举法写出基本事件和古典概率求概率，以及利用概率对实际问题进行评估，属于基础题.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()sin()()(sin sin )a c A B a b A B -+=-+.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4b =，求a c +的最大值. 【答案】（Ⅰ）3B π=；（Ⅱ）8.【分析】（Ⅰ）利用三角形的内角和定理可得()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=-+，再根据正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2216a c ac +-=，再利用基本不等式即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）在ABC 中，∵sin()sin()sin A B C C π+=-=， ∴()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=-+. 由正弦定理，得()()()a c c a b a b -=-+. 整理，得222c a b ac +-=.∴222122c a b ac +-=.∴1cos 2B =.又0B π<<，∴3B π=.（Ⅱ）∵4b =，∴2216a c ac +-=， 即2()163a c ac +-=，∵22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22()1632a c a c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭. ∴21()164a c ≤+.∴8a c +≤，当且仅当a c =时等号成立.∴a c +的最大值为8. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式，需熟记定理的内容，属于基础题. 19.如图，在多面体ABCDEF 中，ADEF 为矩形，ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，2BC =，4=AD ，且AB BD ⊥，平面ADEF ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为EF ，CD 的中点.（Ⅰ）求证：//MN 平面ACF ；（Ⅱ）若2DE =，求多面体ABCDEF 的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3. 【分析】（Ⅰ）取AD 的中点O .连接OM ，ON ，可证//OM AF ，//ON AC ，然后利用平面//MON 平面ACF ，可证//MN 平面ACF .（Ⅱ）将多面体分为四棱锥B ADEF -和三棱锥B CDE -两部分，将B CDE V -转化为V E BCD -，然后利用四棱锥和三棱锥的体积公式分别求出然后求和即可.【详解】解：（Ⅰ）如图，取AD 的中点O .连接OM ，ON .在矩形ADEF 中，∵O ，M 分别为线段AD ，EF 的中点，∴//OM AF . 又OM ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，∴//OM 平面ACF . 在ACD 中，∵O ，N 分别为线段AD ，CD 的中点， ∴//ON AC .又ON ⊄平面ACF ，AC ⊂平面ACF ，∴//ON 平面ACF .又OMON O =，,OM ON ⊂平面MON ，∴平面//MON 平面ACF又MN ⊂平面MON ，∴//MN 平面ACF . （Ⅱ）如图，过点C 作CH AD ⊥于H . ∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，CH ⊂平面ABCD ，∴CH ⊥平面ADEF . 同理DE ⊥平面ABCD . 连接OB ，OC .ABD △中，∵AB BD ⊥，4=AD ，∴122OB AD ==.同理2OC =. ∵2BC =，∴等边OBC，即CH =连接BE .∴ABCDEF B ADEF B CDE B ADEF E BCD V V V V V ----=+=+11111242233332ADEF BCD S CH S DE =⋅+⋅=⨯⨯⨯⨯△=.【点睛】本题考查利用线线平行，线面平行和面面平行的判定定理和性质定理，考查分割法求多面体的体积，考查四棱锥和三棱锥的体积公式，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题.20.已知函数()ln xm e f x x e=-，其中m R ∈.（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当2m =时，证明：()0f x >.【答案】（Ⅰ）单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）利用导数求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）先证明存在唯一的()01,2x ∈，使得()0'0f x =，再利用导数求出()000201ln 2x e x x f x x e =-=+-最小值，再利用基本不等式证明不等式. 【详解】解：（Ⅰ）当1m =时，()ln x e f x x e =-.则()1'x e f x e x=-.∵()'f x 在0,上单调递增（增函数+增函数=增函数），且()'10f =，∴当()0,1x ∈时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. ∴()f x 的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,.（Ⅱ）当2m =时，()2ln x e f x x e =-.则()21'x e f x e x=-.∵()'f x 在0,上单调递增，且()1'110f e =-<，()1'2102f =->， ∴存在唯一的()01,2x ∈，使得()0'0f x =.∴当()00,x x ∈时，()'0f x <，即()f x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()'0f x >，即()f x 在()0,x +∞上单调递增， ∴()()0002ln x e f x ef x x ==-最小值.又0201x e e x =，即021ln ln x e x -=.化简，得002ln x x -=-.∴()000201ln 2x e x x f x x e =-=+-最小值. ∵()01,2x ∈，∴()001220x x f x =+->=最小值. ∴当2m =时，()0f x >.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点()1F，点1,2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）经过圆O ：225x y +=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆O 相交于异于点P 的M ，N 两点.（i ）当直线PA ，PB 的斜率都存在时，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .求证：121k k =-； （ii ）求ABMN的取值范围.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）（i ）证明见解析；（ii ）14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（Ⅰ）把点Q ⎛ ⎝⎭代入椭圆方程，结合222a b c =+，c =即可求得椭圆的标准方程. （Ⅱ）（i ）设点()00,P x y ,写出切线方程()00y k x x y =-+，联立方程组()0022440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，再由0∆=，结合韦达定理，写出12k k 的表达式，化简得出结果; （ii ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，进而求得直线PA 和PB 的直线方程，结合两条直线的形式，可写出直线AB 的方程，运用弦长公式求得AB MN ，结合0y 的范围，可求得ABMN的取值范围.【详解】（Ⅰ）∵椭圆C的左焦点()1F，∴c =将2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入22221x y a b +=，得221314a b +=. 又223a b -=，∴24a =，21b =.∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）（i ）设点()00,P x y ，设过点P 与椭圆C 相切的直线方程为()00y k x x y =-+.由()0022440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y ，得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=. ()()()222200006444144k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--⎣⎦.令0∆=，整理得()22200004210x k x y k y -++-=.由已知，则2122014y k k x -=-.又22005x y +=，∴()220012220154144x x k k x x ---===---. （ii ）设点()11,A x y ，()22,B x y .当直线PA 的斜率存在时，设直线PA 的方程为()111y k x x y =-+.由()11122440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y ，得()()()22211111111148440k x k y k x x y k x ++-+--=. ()()()2222111111116441444k y k x k y k x ⎡⎤∆=--+--⎣⎦.令0∆=，整理得()2221111114210x k x y k y -++-=. 则11111122111444x y x y x k x y y =-=-=--. ∴直线PA 的方程为()11114x y x x y y =--+. 化简，可得22111144x x y y y x +=+，即1114x xy y +=. 经验证，当直线PA 的斜率不存在时，直线PA 的方程为2x =或2x =-，也满足1114x xy y +=. 同理，可得直线PB 的方程为2214x xy y +=. ∵()00,P x y 在直线PA ，PB 上，∴101014x x y y +=，202014x xy y +=.∴直线AB 的方程为0014x xy y +=.由00221444x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得()22200035816160y x x x y +-+-=.∴01220835x x x y +=+，21220161635y x x y -=+.∴12x AB =-=)20203135y y +==+. 又由（i ）可知当直线PA ，PB 的斜率都存在时，PM PN ⊥；易知当直线PA 或PB 斜率不存在时，也有PM PN ⊥.∴MN 为圆O 的直径，即MN =∴)2022022003131413535y y y y ABMN++===-++.又[]200,5y ∈，∴204141,3555y ⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦. ∴AB MN 的取值范围为14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查直线与椭圆相交时的有关知识,考查学生分析问题解决问题的能力.采用了设而不求的方法，运用韦达定理和弦长公式求得AB MN，结合椭圆纵坐标的有界性可求得范围，属于中档题.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为832432x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为26cos a ρρθ+=，其中0a >.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点.若点84,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭恰为线段AB 的三等分点，求a 的值.【答案】（Ⅰ）40x y -+=；2260x y x a ++-=；（Ⅱ）4a =.【分析】（Ⅰ）利用消参法消去参数t ，即可将直线l 的参数方程转化为普通方程，利用互化公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得出关于t 的一元二次方程，根据韦达定理得出12t t +和12t t ，再利用直线参数方程中的参数t 的几何意义，即可求出a 的值.【详解】解：（Ⅰ）由于直线l的参数方程为832432x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程为40x y -+=，由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为2260x y x a ++-=. （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，并整理，得264039t t a +--=，(*) 设1t ，2t 是方程(*)的两个根，则有>0∆，得123t t +=-，12649t t a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于点84,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭恰为线段AB 的三等分点， 所以不妨设122t t =-， ∴223250929a t =+=， 解得：4a =，符合条件0a >和>0∆， .∴a 的值为4.【点睛】本题考查利用消参法将参数方程转化为普通方程，以及利用互化公式将极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用直线参数方程中的参数t 的几何意义求参数值，考查化简运算能力.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()12f x x x =--+. （Ⅰ）求不等式()f x x <的解集；（Ⅱ）记函数()f x 的最大值为M .若正实数a ，b ，c 满足1493a b c M ++=，求193c a cab ac--+的最小值. 【答案】（Ⅰ）1|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）36.【分析】（Ⅰ）根据零点分段去掉绝对值，分别求出x 的取值范围，可得不等式的解集；- 21 - （Ⅱ）由绝对值三角不等式求出()f x 的最大值为M ，将其代入化简，根据柯西不等式求出最值，并写出取等条件．【详解】解：（Ⅰ）不等式()f x x <即12x x x --+<.①当1x ≥时，化简得3x -<.解得1x ≥；②当21x -<<时，化简得21x x --<.解得113-<<x ； ③当2x -≤时，化简得3x <.此时无解. 综上，所求不等式的解集为1|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭. （Ⅱ）∵()()12123x x x x --+≤--+=，当且仅当2x -≤时等号成立.∴3M =，即491a b c ++=. ∵193413111c a c a b ab ac ab c a a b c--++=+-=++， 又,,0a b c >， ∴111111(49)a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭2≥ ()212336=++=. 当且仅当11149a b c a b c==,即16a =，112b =，118c =时取等号， ∴193c a c ab ac--+的最小值为36. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及柯西不等式在求最值中的应用，属于中档题．。

2020届高三数学第三次质量检测（线下二模）试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．满分150分．注意事项：答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．已知纯虚数满足，则实数等于A．B．C．D．已知集合，则A．B．C．D．执行右面的程序框图，则输出的A．1 B．2C．3 D．42020届高三数学第三次质量检测（线下二模）试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．满分150分．注意事项：答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．已知纯虚数满足，则实数等于A．B．C．D．已知集合，则A．B．C．D．执行右面的程序框图，则输出的A．1 B．2C．3 D．4。

2020届高三第三次模拟考试卷 理 科 数 学（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1}A =，{0,1,2}B =，则满足A C B =U 的集合C 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．已知i 为虚数单位，复数93i2i 1i z -=++，则||z =（ ）A ．235+B ．2022 C ．5 D ．253．抛物线22y x =的通径长为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．124．某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是（ ）A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C ．2015年与2018年艺体达线人数相同D ．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 5．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1,2,,9L 填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方记(3)n n ≥阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么8N 的值为（ ） A ．260 B ．369 C ．400 D ．420 6．根据如下样本数据 得到的回归方程为ˆˆˆy bx a =+，则（ ） A ．0a >，0b < B ．0a >，0b > C ．0a <，0b < D ．0a <，0b > 7．设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为n S ，2n S ，3n S ，则下列等式中恒成立的是（ ） A ．322n n n S S S += B ．2233()()n n n n n n S S S S S S -=- C ．223n n n S S S = D ．223()()n n n n n n S S S S S S -=- 8．设2019log 2020a =，2020log 2019b =，120202019c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 9．已知函数()sin()(0,π0)f x x ωϕωϕ=+>-<<的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则下列结论中正确的是（ ） A ．()f x 的最大值为2 B ．()f x 在区间ππ(,)63-上单调递增 C ．()f x 的图像关于直线π12x =对称 D ．()f x 的图像关于点π(,0)3对称 10．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使得正方体的各棱与平面α所成的角都相等，此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号则满足条件的平面α的个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．611．椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们在第一象限的交点为P ，设122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则（ ）A ．222212cos sin 1e e θθ+= B ．222212sin cos 1e e θθ+=C ．2212221cos sin e e θθ+= D ．2212221sin cos e e θθ+=12．已知正方形ABCD 的边长为1，M 为ABC △内一点，满足10MDB MBC ∠=∠=︒， 则MAD ∠=（ ）A ．45︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．26(32)x x ++展开式中x 的系数为 ．14．设实数x ，y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，当3z x y =+时取得最小值时，直线3z x y =+与以(1,1)为圆心的圆相切，则圆的面积为 ．15．已知等差数列{}n a 的公差(0,π)d ∈，1π2a =，则使得集合{|sin(),}n M x x a n *==∈N ，恰好有两个元素的d 的值为 ．16．在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是 ；三棱锥P ABC -的外接球的表面积是 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知A 、B 分别在射线CM 、CN （不含端点C ）上运动，2π3MCN ∠=，在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ． （1）若a ，b ，c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值； （2）若c =ABC θ∠=，试用θ表示ABC △的周长，并求周长的最大值． 18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，底面是边长为4的正三角形，2PA =，PA ⊥底面ABC ，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点． （1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ； （2）在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC所成的角的正弦值为5？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知(1,0)A -，(1,0)B ，AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，||||4AP AC +=u u u r u u u r ．（1）求P 的轨迹E ； （2）过轨迹E 上任意一点P 作圆22:3O x y +=的切线1l ，2l ，设直线OP ，1l ，2l 的斜率分别是0k ，1k ，2k ，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下，012111()k k k +时候是定值，请说明理由，并加以证明． 20．（12分）已知函数242()x x x f x e ++=．（1）求函数()f x的单调区间；（2）若对任意的(2,0]x∈-，不等式2(1)()m x f x+>恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）2019年3月5日，国务院总理李克强在做政府工作报告时说，打好精准脱贫攻坚战．江西省贫困县脱贫摘帽取得突破性进展：20192020-年，稳定实现扶贫对象“两不愁、三保障”，贫困县全部退出．围绕这个目标，江西正着力加快增收步伐，提高救助水平，改善生活条件，打好产业扶贫、保障扶贫、安居扶贫三场攻坚战．为响应国家政策，老张自力更生开了一间小型杂货店．据长期统计分析，老张的杂货店中某货物每天的需求量()m m*∈N在17与26之间，日需求量m（件）的频率()P m分布如下表所示：己知其成本为每件5元，售价为每件10元若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件2元．（1）设每天的进货量为(16,1,2,,10)n nX X n n=+=L，视日需求量(16,1,2,,10)i iY Y i i=+=L的频率为概率(1,2,,10)iP i=L，求在每天进货量为nX的条件下，日销售量nZ的期望值()nE Z（用iP表示）；（2）在（1）的条件下，写出()nE Z和1()nE Z+的关系式，并判断X为何值时，日利润的均值最大．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为31x ty t=-⎧⎨=+⎩（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线π:)4C ρθ=-． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设0a >，0b >，且a b ab +=．（1）若不等式2x x a b +-≤+恒成立，求实数x 的取值范围；（2）是否存在实数a ，b ，使得48a b +=？并说明理由．2020届好教育云平台高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（一）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】由A C B =U 可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}共4种情况．2．【答案】C【解析】对复数z 进行化简：93i (93i)(1i)2i 2i 34i 1i 2z ---=+=+=-+，所以5z ==．3．【答案】D【解析】标准化212x y =，通径122p =．4．【答案】D【解析】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S ．对于选项A ，2015年一本达线人数为0.28S ，2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=， 可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=， 显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2015年和2018年，艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S ，2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=， 不达线人数有所增加．5．【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，31(123456789)153N =++++++++=，41(12345678910111213141516)344N =+++++++++++++++=，51(125N =+345678910111213141516171819+++++++++++++++++202122232425)65++++++=，…， ∴222211(1)(1)(12345)22n n n n n N n n n ++=++++++=⨯=L ， ∴288(81)2602N +==． 6．【答案】A 【解析】画出散点图知0a >，0b <，故选A ． 7．【答案】D 【解析】由等比数列的性质得n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，2232()()n n n n n S S S S S -=-，化简得223()()n n n n n n S S S S S S -=-． 8．【答案】C 【解析】220192019201920191111log 2019log log 2020log 201912222a =<==<=，2020202020201110log log 2019log 2020222b <==<=，1202020191c =>． 9．【答案】B 【解析】由条件知π()sin(2)6f x x =-，结合图像得B ． 10．【答案】C 【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，四面体11A B D C -的四面与12条棱所成的角相等， ∴正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等的平面有4个． 11．【答案】B 【解析】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ， 交点P 到两焦点的距离分别为,(0)m n m n >>，焦距为2c ， 则2222cos 2(2)m n mn c θ+-=， 又12m n a +=，22m n a -=，故12m a a =+，12n a a =-，2222222221212222212sin cos sin cos (1cos 2)(1cos 2)211a a a a c c c e e θθθθθθ-++=⇒+=⇒+=． 12．【答案】D 【解析】设正方形ABCD 的边长为1， 在BMD △中，由正弦定理得2sin 35sin 35sin135DM DB DM =⇒=︒︒︒，在AMD △中，由余弦定理得2214sin 354sin35cos551AM =+︒-︒︒=，∴AMD △为等腰三角形，70MAD ∠=︒．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】576【解析】26(32)x x ++展开式中含x 的项为15565C (3)C 26332576x x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为576．14．【答案】5π2 【解析】当直线过点(1,2)-时，3z x y =+取得最小值1-，故1010r d ===，从而圆的面积为5π2．15．【答案】2π3【解析】要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，此时2π3d =．16．【答案】3；5π【解析】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ，由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得13PP =，即为点P 到底面ABC 的距离， 由11PP A PPC ≌△△，得111P A PC ==，如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，1，3）外接球的直径，也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB =， 所以球的表面积为254π()5π=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）7；（2）周长π()2sin()33f θθ=+，π6θ=时，()f θ取得最大值为23． 【解析】（1）a ，b ，c 成等差数列，且公差为2，∴4a c =-，2b c =-， 又2π3MCN ∠=，1cos 2C =-，∴222(4)(2)12(4)(2)2c c c c c -+--=---， 恒等变形得29140c c -+=，解得7c =或2c =， 又∵4c >，∴7c =． （2）在ABC △中，sin sin sin AC BC AB ABC BAC ACB ==∠∠∠， ∴32πsin sin()sin 33AC BC θθ===-，2sin AC θ=，π2sin()3BC θ=-， ∴ABC △的周长π()||||||2sin 2sin()33f AC BC AB θθθ=++=+-+13π2[sin ]32sin()323θθθ=++=++， 又∵π(0,)3θ∈，∴ππ2π333θ<+<， 当ππ32θ+=，即π6θ=时，()f θ取得最大值23． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，G 为线段PB 的中点． 【解析】（1）证明：∵AB BC =，E 为AC 的中点，∴BE AC ⊥， 又PA ⊥平面ABCP ，BE ⊂平面ABC ，∴PA BE ⊥， ∵PA AC A =I ，∴BE ⊥平面PAC ， ∵BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC ． （2）如图，由（1）知，PA BE ⊥，PA AC ⊥，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点，∴EF PA ∥，∴EF BE ⊥，EF AC ⊥， 又BE AC ⊥，∴EB ，EC ，EF 两两垂直， 分别以EB u u u r ，EC uuu r ，EF u u u r 方向为x ，y ，z 轴建立坐标系，则(0,2,0)A -，(0,2,2)P -，(23,0,0)B ，(0,2,0)C ，设(23,2,2)BG BP λλλλ==--u u u r u u u r ，[0,1]λ∈， 所以(23(1),2(1),2)AG AB BG λλλ=+=--u u u r u u u r u u u r ，(23,2,0)BC =-u u u r ，(0,4,2)PC -u u u r ，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，则023204200BC x y y z PC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩u u ur u u u r n n ，令1x =，则3y =，23z =，∴(1,3,23)=n ，由已知221515431552||||416(1)4AG AG λλλ⋅=⇒=⇒=⋅-+uu u ru u u r n n 或1110（舍去）， 故12λ=，故线段PB 上存在点G ，使得直线AG 与平面PBG 所成的角的正弦值为155，此时G 为线段PB 的中点．19．【答案】（1）22:143x y E +=；（2）为定值，详见解析．【解析】（1）方法一：如图因为AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以四边形ACPB 是平行四边形， 所以||||BP AC =u u u r u u u r ，由||||4AP AC +=u u u r u u u r ，得||||4AP BP +=u u u r u u u r ，所以P 的轨迹以A ，B 为焦点的椭圆易知24a =，1c =，所以方程E 为22143x y +=．方法二：设(,)P x y ，由AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，得(1,)AC AP AB BP x y =-==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，再||||4AP AC +=u u u r u u u r ，得2222(1)(1)4x y x y +++-+=， 移项2222(1)4(1)x y x y ++=--+，平方化简得22143x y +=． （从2222(1)(1)4x y x y +++-+=发现是椭圆方程也可以直接得24a =，1c =）． （2）设00(,)P x y ，过P 的斜率为k 的直线为00()y y k x x -=-， 由直线与圆O 相切可得0231k =+，即2220000(3)230x k x y k y --+-=， 由已知可得1k ，2k 是方程（关于k ）2220000(3)230x k x y k y --+-=的两个根， 所以由韦达定理：0012202012202333x y k k x y k k x ⎧+=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除0012212023x y k k k k y +=⋅-， 又因为2200143x y +=，所以2200334y x -=-， 代入上式可得01212083y k k k k x +=-⋅，即0121118()3k k k +=-为定值． 20．【答案】（1）见解析；（2）2(1,]e ． 【解析】（1）2(22)()x x x f x e -+-'=，记2()22g x x x =--+， 令()0g x >，得1313x -<<-，函数()f x 在(13,13)--上单调递增；()0g x <，得13x <-13x >-+()f x 在(,13)-∞--或(13,)-++∞上单调递减．（2）记2()2(1)42x h x me x x x =+---，由(0)0221h m m >⇒>⇒>，()0h x '=，得2x =-或ln x m =-，∵(2,0]x ∈-，所以2(2)0x +>．①当21m e <<时，ln (2,0)m -∈-，且(2,ln )x m ∈--时，()0h x '<； (ln ,0)x m ∈-时，()0h x '>，所以min ()(ln )ln (2ln )0h x h m m m =-=⋅->，∴(2,0]x ∈-时，()0h x >恒成立；②当2m e =时，2()2(2)(1)x h x x e +'=+-，因为(2,0]x ∈-，所以()0h x '>，此时()h x 单调递增，且22(2)2(1)4820h e e --=--+-=，所以(2,0]x ∈-，()(2)0h x h >-=成立； ③当2m e >时，2(2)220mh e -=-+<，(0)220h m =->，所以存在0(2,0)x ∈-使得0()0h x =，因此()0h x >不恒成立，综上，m 的取值范围是2(1,]e ．21．【答案】（1）见解析；（2）20件．【解析】（1）当日需求量n m X ≤时，日销售量n Z 为m ；日需求量n m X >时，日销售量n Z 为n X ，故日销售量n Z 的期望()n E Z 为：当19n ≤≤时，1011()(16)(16)n n i i i i n E Z i P n P ==+=+++∑∑；当10n =时，10101()(16)i i E Z i P ==+∑．（2）1101010112111()(16)(161)(16)(161)()n n n i i i i n i i i n i i n i n E Z i P n P i P n P E Z P ++==+==+=+=++++=++++=+∑∑∑∑∑， 设每天进货量为n X ，日利润为n ξ，则()5()3[(16)()]8()3(16)n n n n E E Z n E Z E Z n ξ=-+-=-+，111210()()8[()()]38()3n n n n n n E E E Z E Z P P P ξξ++++-=--=+++-L ， 由1125()()08n n n E E P P P ξξ+-≥⇒+++≤L ， 又∵123450.668P P P P +++=>，12350.538P P P ++=<， ∴4()E ξ最大，所以应进货20件时，日利润均值最大． 22．【答案】（1）:40l x y +-=，22:(1)(1)2C x y -+-=；（2）． 【解析】（1）由31x t y t =-⎧⎨=+⎩，消去t ，得40x y +-=， 所以直线l 的普通方程为40x y +-=，由πππ)cos sin sin )2cos 2sin 444ρθθθθθ=-=+=+， 得22cos 2sin ρρθρθ=+， 将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式， 得曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=． （2）设曲线C上的点为(1,1)P αα++， 则点P 到直线l的距离d ==π|2sin()2|α+-= 当πsin()14α+=-时，max d = 所以曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为 23．【答案】（1）[]1,3-；（2）不存在，详见解析． 【解析】（1）由a b ab +=，得111a b +=，11()()4a b a b a b +=++≥=， 当且仅当2a b ==时""=成立．不等式2x x a b +-≤+，即为24x x +-≤，当0x <时，不等式为224x -+≤，此时10x -≤<； 当02x ≤≤时，不等式24≤成立，此时02x ≤≤； 当2x >时，不等式为224x -≤，此时23x <≤， 综上，实数x 的取值范围是[]1,3-．（2）由于0a >，0b >， 则1144(4)()5b a a b a b a b a b +=++=++59≥+=， 当且仅当4b a a b a b ab⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即32a =，3b =时，4a b +取得最小值9， 所以不存在实数a ，b ，使得48a b +=成立．。