2019届北京市东城区高三第二学期综合练习（一）数学（文）试题一、单选题1．在复平面内，复数(2i)z -对应的点位于第二象限，则复数z 可取（ ） A ．2 B ．-1C ．iD ．2i +【答案】B【解析】由题意首先分析复数z 的实部和虚部的关系，然后考查所给的选项即可确定z 的值. 【详解】不妨设(),z a bi a b R =+∈，则()()()()()2222i z i a bi a b b a i -=-+=++-，结合题意可知：20,20a b b a +<->，逐一考查所给的选项： 对于选项A ：24,22a b b a +=-=-，不合题意； 对于选项B ：22,21a b b a +=--=，符合题意； 对于选项C ：21,22a b b a +=-=，不合题意； 对于选项D ：25,20a b b a +=-=，不合题意； 故选：B . 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．已知圆22:20C x xy ，则圆心C 到直线3x =的距离等于A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】化圆为标准方程，得圆心坐标即可求解 【详解】由题()22x 1y 1++=,则圆心（-1,0），则圆心C 到直线x 3=的距离等3-（-1）=4 故选：D 【点睛】本题考查圆的方程，点到线的距离公式，熟记一般方程与标准方程的互化是关键，是基础题 3．设E 为ABC 的边AC 的中点，+BE mAB nAC =，则,m n 的值分别为A ．11,2- B ．1,12- C ．1,12-D ．11,2【答案】A【解析】将向量BE 用向量AB 和AC 表示出来即可找到m 和n 的值，得到答案． 【详解】 ∵1BE 2=（BA BC +）BA BA AC 2++==-1AB AC 2+ ∴m 1,=-n 12= 故选：A ． 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，将向量BE 用向量AB 和AC 表示出来是解题的关键，属基础题．4．正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．平行四边形D ．梯形【答案】A【解析】首先确定几何体的空间结构特征，然后确定截面的形状即可. 【详解】如图所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体， 很明显三棱锥的两条侧棱相等，故截面是等腰三角形. 故选：A .【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的问题，截面问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．若,x y满足0,10,26,x yyy x+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则xy-的最大值为A．0B．1C．2D．4【答案】D【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解目标函数的最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：22x yz x y-=-=其中z取得最大值时，其几何意义表示可行域内的点到直线0x y-=2倍最大，据此可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：026x y y x +=⎧⎨=-⎩，可得点的坐标为：()2,2A -，据此可知目标函数的最大值为：()max 224z =--=. 故选：D . 【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． 6．南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为12,S S ，则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题“12S ,S 总相等”一定能推出“12V ,V 相等”，反之举反例即可 【详解】由祖暅原理知：“12S ,S 总相等”一定能推出“12V ,V 相等”，反之：若两个同样的圆锥，一个倒放，一个正放，则体积相同，截面面积不一定相同 故选：B 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，立体几何综合，理解祖暅原理是关键，是基础题 7．某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票. 这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88% ,70% ,46% ，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为A ．68%B ．88%C ．96%D ．98%【答案】C【解析】设投1票的有x,2票的y,3票的z,由题列出x,y,z 的关系，推理即可 【详解】设投1票的有x,2票的y,3票的z ，则23204100,,x y z x y z x y z N ++=⎧⎪++=⎨⎪∈⎩,则z-x=4,即z=x+4,由题投票有效率越高z 越小，则x=0时，z=4,故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为96% 故选：C 【点睛】本题考查推理的应用，考查推理与转化能力，明确有效率与无效票之间的关系是解题关键,是中档题二、填空题8．在等差数列n a 中，262a a +=，则4a =___________. 【答案】1【解析】根据题意，由等差数列的性质可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{a n }中，26a a +＝2， 则41a 2=⨯（26a a +）＝1； 故答案为1 【点睛】本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的性质，准确计算是关键，属于基础题．9．抛物线C :22y px =上一点0(1,)y 到其焦点的距离为3，则抛物线C 的方程为_______. 【答案】28y x =【解析】利用抛物线的定义，求出p ，即可求C 的方程； 【详解】抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的准线方程为x p2=-， 由抛物线的定义可知1p2+=3，解得p ＝4， ∴C 的方程为y 2＝8x ； 故答案为2y 8x = 【点睛】本题考查抛物线的定义与方程，熟记定义是关键，属于基础题． 10．在ABC ∆中，若cos sin 0b C c B +=，则C ∠=___________. 【答案】34π 【解析】由题意结合正弦定理和特殊角的三角函数值可得∠C 的大小. 【详解】由题意结合正弦定理可得：sin cos sin sin 0B C C B +=， 由于sin 0B ≠，故cos sin 0C C +=，则sin 3tan 1,cos 4C C C C π==-=. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．已知函数()2sin()4f x x π=+，若对于闭区间[]a b ，中的任意两个不同的数12x x ，，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，写出一个满足条件的闭区间__________.【答案】π544π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （答案不唯一）【解析】由题()πf x 2sin x 4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在闭区间[]a b ，单调递减，则求()πf x 2sin x 4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个单调减区间即可【详解】由题因为任意两个不同的数12x x ，，都有()()1212f x f x 0x x -<-，则知()πf x 2sin x 4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在闭区间[]a b ，单调递减，ππ3π2k πx 2k π,k Z,242+≤+≤+∈即π52k πx 2k ππ44+≤≤+,,k Z,∈当k=0时，π5πx 44⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故答案为π5π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【点睛】本题考查三角函数的单调性，函数单调性定义，熟记三角函数性质，准确计算是关键，是基础题12．设函数2,,()1,.x e x x a f x ax x a ⎧-<=⎨-≥⎩ 若1a =，则()f x 的最小值为__________； 若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是_______．【答案】0 [)0,+∞【解析】(1)将a=1代入函数，分析每段函数的最小值，则()f x 的最小值可求；(2)讨论a<0,a=0和a>0时函数的单调性和最小值即可求解 【详解】 (1)当a=1,()x e 2,1,f x 1,1.x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩,()f x =x e 2x,x 1,f -<'(x )=x e 2,f -'(x )>0,1>x>ln2;f '(x )<0,x<ln2;故()()min f x f ln222ln2;==-当()f x =x 1,x 1-≥（），()f x 单调递增，故()()min f x f 10==，又22ln20,->所以()f x 的最小值为0(2) ①当a<0时，由(1)知()f x =xe 2x,x a -<单调递减，故()()()f x f a f x ax 1>=-；（x a ≥）单调递减，故()()f x f a ,≤故()f x 无最小值，舍去； ②当a=0时，f(x)最小值为-1，成立③当a>0时，()f x ax 1=-（x a ≥）单调递增，故()()f x f a ≥； 对()f x =xe 2x,x a -<，当0<a ≤ln2,由(1)知()()f x f a >,此时()x e 2,,f x 1,.x x a ax x a ⎧-<=⎨-≥⎩最小值在x=a 处取得，成立当a>ln2, 由(1)知()()f x f ln2≥,此时()x e 2,,f x 1,.x x a ax x a ⎧-<=⎨-≥⎩最小值为()(){}min f ln2,f a ,即()f x 有最小值，综上a 0≥故答案为0 ； [)0,∞+ 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性最值，分类讨论思想，分段函数，准确分类讨论是关键，是中档题13．设A B ，是R 的两个子集，对任意x R ∈，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，，，，01.x B n x B ，，，∉⎧=⎨∈⎩①若A B ⊆，则对任意x R ∈，(1)m n -= _____； ②若对任意x R ∈，1m n +=，则A B ，的关系为__________. 【答案】0 RA B =【解析】由题意分类讨论x ∉A 和x ∈A 两种情况即可求得(1)m n -的值，结合题中的定义和m ,n 的关系即可确定A ,B 之间的关系. 【详解】①∵A ⊆B .则x ∉A 时,m =0,m (1−n )=0. x ∈A 时,必有x ∈B ,∴m =n =1,m (1−n )=0. 综上可得：m (1−n )=0.②对任意x ∈R ，m +n =1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1， 即x ∈A 时，必有x ∉B ，或x ∈B 时，必有x ∉A ， ∴A ,B 的关系为RA B =.【点睛】本题主要考查新定义知识的应用，集合之间的基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题 14．已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小正周期，并画出在区间上的图象.【答案】（Ⅰ）-1；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）将x=代入解析式求解即可；（Ⅱ）化简得f（x），可得f（x）的最小正周期为π，根据五点作图法，列表描点即可画出函数在[0，π]上的图象．【详解】（I）.（Ⅱ）.所以的最小正周期.因为，所以.列表如下：【点睛】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，五点作图法做正弦函数的图象，属于基本知识的考查．15．已知等比数列n a 的首项为2，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且126a a +=，1342b a b +=，323S a =.（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n a c b =，求数列{}n c 的前n 项和.【答案】（Ⅰ）2n n a =，32n b n =-；（Ⅱ）6226n n T n =⨯--.【解析】（Ⅰ）{}n b 的公差为d ，由题意,利用等差数列的通项公式得q,求得n a ，再列1b d ，的方程，利用等差数列即可得出．（II ）利用分组求和法求和公式即可【详解】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，数列{}n b 的公差为d . 由12a a 6+=，得11a a q 6+=.因为1a 2=，所以q 2=.所以n 1n 1n n 1a a q 222--==⋅=.由134322b a b ,S 3a +=⎧⎨=⎩，得1112b 8b 3,3b 312d d ，+=+⎧⎨+=⎩解得1b 1,3.d =⎧⎨=⎩ 所以()n 1b b n 1d 3n 2=+-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知nn a 2=，n b =3n 2-.所以n nn a c b 322==⨯-.从而数列{}n c 的前n 项和()123n n T 322222n =⨯++++- ()n21232n 12⨯-=⨯--n 622n 6.=⨯--【点睛】本题考查等差，等比数列通项公式，求和公式，分组求和，熟记通项公式，准确求和是关键，是中档题16．改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）25；（Ⅱ）CF BC ⊥；（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．【解析】（Ⅰ）由图利用古典概型求值即可；（Ⅱ）求出任选两年的基本事件总数，列举满足条件的基本事件，即可求概率（Ⅲ）由题分析即可求解【详解】（Ⅰ）设A 表示事件“从2007年至2016年这十年中随机选出一年，该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上”．根据题意，()42P A 105==． （Ⅱ）从2007年至2011年这五年中有两年体育产业年增长率超过25%，设这两年为A ，B ，其它三年设为C ，D ，E ，从五年中随机选出两年，共有10种情况： AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，其中至少有一年体育产业年增长率超过25%有７种情况，所以所求概率为710. （Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大． 从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．【点睛】本题考查条形图和折线图，古典概型，方差，准确识图是关键，是中档题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，3PA =， //AB CD ，AB AD ⊥，1AD DC ==，2AB =，E 为侧棱PA 上一点.（Ⅰ）若13PE PA =，求证：PC //平面EBD ； （Ⅱ）求证：平面EBC ⊥平面PAC ；（Ⅲ）在侧棱PD 上是否存在点F ，使得AF ⊥平面PCD ？若存在，求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）存在，线段PF 长32. 【解析】（Ⅰ）设AC BD G ⋂=，连结EG ，由AB//CD ，得AG AB 2GC DC==，进而AE AG EP GC ，=证明EG //PC ，即可证明；（Ⅱ）由勾股定理推导BC AC ⊥，进而证明BC ⊥平面PAC ，即可求解；（Ⅲ）在平面PAD 内作AF PD ⊥于点F ，证明AF ⊥平面PCD ，进而在直角三角形PAD 中求PF 长度【详解】（Ⅰ）设AC BD G ⋂=，连结EG ，由已知AB//CD ，DC 1=，AB 2=,得 AG AB 2GC DC ==. 由1PE PA 3=,得AE 2EP=. 在ΔPAC 中，由AE AG EP GC=，得EG //PC . 因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以PC //平面EBD .（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PA ⊥.由已知得AC 2=，BC 2=，AB 2=，所以222AC BC AB +=.所以BC AC ⊥.又PA AC A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面EBC ，所以平面EBC ⊥平面PAC .（Ⅲ）在平面PAD 内作AF PD ⊥于点F ，由DC PA ⊥，DC AD ⊥，PA AD A ⋂=，得DC ⊥平面PAD .因为AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD .由PA =AD 1=，PA AD ⊥， 得3PF 2=. 【点睛】本题考查线面平行证明，面面垂直证明，利用垂直求长度问题，熟记判断定理，准确推理是关键，是中档题18．已知3(2,0),(1,)2A P -为椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：上两点，过点P 且斜率为,(0)k k k ->的两条直线与椭圆M 的交点分别为,B C .（Ⅰ）求椭圆M 的方程及离心率；（Ⅱ）若四边形PABC 为平行四边形，求k 的值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=，离心率12；（Ⅱ）32k . 【解析】（Ⅰ）由题列a,b 方程组，即可求解椭圆方程，再由a,b,c 关系，求解离心率；（Ⅱ）设直线PB 的方程为y kx m(k 0)=+>，与椭圆联立消去y,得x 的方程，求点B 坐标，同理求点C 坐标，进而得BC 1k 2=，再由PA BC =，得k 方程求解即可 【详解】 （I ）由题意得222,19 1.a 4b a =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆M 的方程为22x y 143+=.又c 1==，所以离心率c 1e a 2==. （II ）设直线PB 的方程为y kx m(k 0)=+>，由22,x y 143y kx m =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()22234k x 8kmx 4m 120+++-=. 当Δ0>时，设()()1122B x ,y ,C x ,y ， 则2124m 121x 34k -⋅=+，即2124m 12x 34k -=+. 将3P 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y kx m =+，整理得3m k 2=-，所以2124k 12k 3x 34k--=+. 所以()211212k 12k 9y kx m 234k --+=+=+.所以()22224k 12k 312k 12k 9B ,34k 234k ⎛⎫----+ ⎪ ⎪++⎝⎭. 同理()22224k 12k 312k 12k 9C ,34k 234k ⎛⎫+--++ ⎪ ⎪++⎝⎭. 所以直线BC 的斜率21BC 21y y 1k x x 2-==-. 又直线PA 的斜率()PA BC 3012k k 122-===--，所以PA //BC . 因为四边形PABC 为平行四边形，所以PA BC =. 所以()22224k 12k 34k 12k 31234k 34k +----=--++，解得3k 2=或12. 1k 2=时，()B 2,0-与A 重合，不符合题意，舍去. 所以四边形PABC 为平行四边形时，3k 2=. 【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，韦达定理，设而要求的思想，准确求得B,C 坐标且推得PA BC k k =是本题关键，是中档题19．已知函数()()22ln f x ax a x x =+--. （1）若函数()f x 在1x =时取得极值，求实数a 的值；（2）当01a <<时，求()f x 零点的个数.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）两个.【解析】（Ⅰ）()()()2x 1ax 1f'x x +-=，由()f'10=，解得a 1=，检验x 1=时取得极小值即可；（II ）令()()()2x 1ax 1f'x 0x +-==，由0a 1<<，得1x 1a=>，讨论单调性得()f x 在1x a =时取得极小值，并证明极小值为1f 0a ⎛⎫< ⎪⎝⎭.再由零点存在定理说明函数()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭和1,a ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上各有一个零点，即可解得 【详解】 （I ）()f x 定义域为()0,∞+.()()()()()22ax a 2x 12x 1ax 11f'x 2ax a 2x x x+--+-=+--==. 由已知，得()f'10=，解得a 1=.当a 1=时，()()()2x 1x 1f'x x+-=. 所以()()f'x 00x 1,f'x 0x 1<⇔⇔.所以()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,∞+.所以函数()f x 在x 1=时取得极小值，其极小值为()f 10=，符合题意所以a 1=.（II ）令()()()2x 1ax 1f'x 0x +-==，由0a 1<<，得1x 1a=>. 所以()()11f'x 00x ,f'x 0x a a<⇔⇔. 所以()f x 减区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以函数()f x 在1x a =时取得极小值，其极小值为11f lna 1a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 因为0a 1<<，所以1lna 0,1a.所以110a -<.所以11f lna 10a a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭. 因为()()()2a 2a 2a 2e 1a f 11e e e e e---+⎛⎫=++>+= ⎪⎝⎭， 又因为0a 1<<，所以a 2e 0-+>. 所以1f 0e ⎛⎫> ⎪⎝⎭. 根据零点存在定理，函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点.因为x lnx >，()()()()22f x ax a 2x lnx ax a 2x x x ax a 3=+-->+--=+-. 令ax a 30+->，得3a x a->. 又因为0a 1<<，所以3a 1a a->. 所以当3a x a ->时，()f x 0>. 根据零点存在定理，函数()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点. 所以，当0a 1<<时，()f x 有两个零点.【点睛】本题考查导数与函数综合，导数与函数的单调性，函数零点问题，分类讨论思想，熟练运用零点存在定理是关键，是中档题。
