人教版高中物理必修二 第七章第7节动能和动能定理学案

第7节 动能和动能定理

核心素养关键词 知识体系

1.物体由于运动而具有的能量叫做动能，表达式为Ek＝12mv2.动能是标量，具有相对性．

2．力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化，这个结论叫动能定理，表达式为W＝Ek2－Ek1.

3．如果物体同时受到几个力的共同作用，则W为合力做的功，它等于各个力做功的代数和．

4．动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功，既适用于直线运动，也适用于曲线运动.

一、动能

1．定义：物体由于运动而具有的能．

2．表达式：Ek＝12mv2．

3．单位：焦耳. 1 J＝1 kg·m2/s2＝1 N·m.

二、动能定理

1．表述：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化量． 2．表达式：W合＝12mv22－12mv21，式中W合是各个外力对物体做功的总和，12mv22－12mv21是做功过程中始末两个状态动能的增量．

一、合作探究找规律

考点一 动能的表达式

1．同步卫星绕地球做匀速圆周运动，在卫星的运动过程中，其速度是否变化？其动能是否变化？

2．在同一高度以相同的速率将手中的小球以上抛、下抛、平抛三种不同方式抛出，落地时速度、动能是否相同？

答：1.速度变化，动能不变．卫星做匀速圆周运动时，其速度方向不断变化，由于速度是矢量，所以速度是变化的；运动时其速度大小不变，所以动能大小不变，由于动能是标量，所以动能是不变的．

2．重力做功相同，动能改变相同，末动能、末速度大小相同，但末速度方向不同．

考点二 动能定理

如图所示，物体(可视为质点)从长为L、倾角为θ的光滑斜面顶端由静止滑下． 1．物体受几个力作用？各做什么功？怎么求合力的功？

2．如何求物体到达斜面底端时的速度吗？能用多种方法求解物体到达斜面底端时的速度吗？哪种方法简单？

答：1.物体受重力、支持力两个力作用．重力做正功，支持力不做功．合力做的功W合＝mgLsinθ.

2．可以用牛顿定律结合运动学公式求解，也可以用动能定理求解．用动能定理更简捷．

二、理解概念做判断

1．做匀速圆周运动的物体的动能保持不变．(√)

2．一个物体的动能与参考系的选取无关．(×)

3．两质量相同的物体，若动能相同，则速度一定相同．(×)

4．合外力做功不等于零，物体的动能一定变化．(√)

5．动能定理中的W为合力的功．(√)

6．物体的动能增加，合外力做正功．(√)

要点1|动能的理解

1．动能的理解

(1)动能是状态量，动能公式中的速度v指瞬时速度．

(2)动能是标量，且动能恒为正值．

(3)动能具有相对性．同一物体相对不同的参考系，速度会有不同值，因而动能也有不同值．计算动能时一般选地面为参考系． 2．动能的变化量

末状态的动能与初状态的动能之差，即

ΔEk＝Ek2－Ek1＝12mv22－12mv21.

(多选)关于对动能的理解，下列说法正确的是( )

A．动能是普遍存在的机械能的一种基本形式，凡是运动的物体都具有动能

B．动能总是正值，但对于不同的参考系，同一物体的动能大小是不同的

C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化

D．动能不变的物体，一定处于平衡状态

【思路点拨】 解答本题时应特别注意以下两点：

(1)动能与速度的关系；

(2)动能是标量．

【解析】 可通过以下表格对各选项逐一分析：

选项 透析过程 结论

A 动能是由于物体的运动而具有的能量 √

B Ek＝12mv2，v与参考系的选取有关 √

C 当速度方向变化时，若大小不变，则动能就不变 √

D 匀速圆周运动的物体动能不变，但并不是处于平衡状态 ×

【答案】 ABC 如图所示，通风机通过墙上的小洞，将一质量为m的小物体水平吹出去，初速度为v，但由于墙外的风力和重力的作用，经过时间t，物体下落了一段距离后，其速度大小仍为v，但方向却与初速度的方向相反，如果以初速度的方向为正方向，那么，下列说法中正确的是( )

A．速度的变化量为0 B．速度的变化率为2vt

C．动能的变化量为mv2 D．合外力做的功为零

解析：速度的变化量Δv＝－v－v＝－2v，A选项错误；速度变化率ΔvΔt＝－2vt，B选项错误；动能变化量ΔEk＝12mv2－12mv2＝0，C选项错误；根据动能定理可知合外力做的功等于动能变化量，故合外力做功为零，D选项正确．

答案：D

动能是标量，前面已学的很多运动学量都是矢量，分析标量时只需关注其数值大小；分析矢量时必须考虑大小、方向两个因素．

名师点易错

某物体动能变化时速度一定发生变化，而速度发生变化时动能可能不变.

要点2|动能定理的理解

1．推导

动能定理实际上是在牛顿第二定律的基础上对空间累积而得．在牛顿第二定律F＝ma两端同乘以合外力方向上的位移x，即可得

W合＝Fx＝max＝12mv22－12mv21.

2．对动能定理的理解

(1)如果物体受到几个力的共同作用，则式中的W合表示各个力做功的代数和，即合外力所做的功．

W合＝W1＋W2＋W3＋…

(2)应用动能定理解题的特点：跟过程的细节无关，即不追究全过程中的运动性质和状态变化细节．

(3)动能定理的研究对象是质点．

(4)动能定理对变力做功情况也适用．动能定理尽管是在恒力作用下利用牛顿第二定律和运动学公式推导的，但对变力做功情况亦适用．动能定理可用于求变力的功、曲线运动中的功以及复杂过程中的功能转换问题．

(5)对合外力的功(总功)的理解

①可以是几个力在同一段位移中的功，也可以是一个力在几段位移中的功，还可以是几个力在几段位移中的功．

②求总功有两种方法：

一种是先求出合外力，然后求总功，表达式为

W＝F合·l·cosα，α为合外力与位移的夹角．

另一种是总功等于各力在各段位移中做功的代数和，即W＝W1＋W2＋W3＋….

典例2 距沙坑高7 m处，以v0＝10 m/s的初速度竖直向上抛出一个重力为5 N的物体，物体落到沙坑并陷入沙坑0.4 m深处停下．不计空气阻力，g＝10 m/s2.求：

(1)物体上升到最高点时离抛出点的高度；

(2)物体在沙坑中受到的平均阻力大小是多少？

【思路点拨】 (1)研究物体从抛出到上升到最高点的过程，运用动能定理列式，即可求解H.

(2)从最高点到最低点的全过程中，由动能定理求解物体在沙坑中受到的平均阻力f.

【解析】 (1)设物体上升到最高点时离抛出点为H，由动能定理得：

－mgH＝0－12mv20 ①

代入数据得：H＝5 m.

(2)设物体在沙坑中受到的平均阻力为f，陷入沙坑深度为d，从最高点到最低点的全过程中：

mg(H＋h＋d)－fd＝0

代入数据得： f＝155 N.

【答案】 (1)5 m (2)155 N

质量m＝2 kg的物块放在粗糙水平面上，在水平拉力的作用下由静止开始运动，物块动能Ek与其发生位移x之间的关系如图所示．已知物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法中正确的是( )

A．x＝1 m时物块的速度大小为2 m/s

B．x＝3 m时物块的加速度大小为2.5 m/s2

C．在前2 m位移的运动过程中物块所经历的时间为2 s

D．在前4 m位移的运动过程中拉力对物块做的功为9 J

解析：分析图象可知，x＝1 m时物块的动能为2 J，12mv2＝2 J，解得v＝2

m/s，A选项错误；研究x＝2 m到x＝4 m过程，根据动能定理得，F1x1－μmgx1＝ΔEk1，解得F1＝6.5 N．根据牛顿第二定律得，a1＝F1－μmgm＝1.25 m/s2，B选项错误；研究前2 m的过程，根据动能定理得，F2x2－μmgx2＝ΔEk2，解得F2＝6 N，物体的加速度a2＝F2－μmgm＝1 m/s2，物块末速度v＝ 2Ekm＝2 m/s，根据v＝at得，t＝2 s，C选项正确；对全过程运用动能定理得，WF－μmgs＝ΔEk，解得WF＝25 J，D选项错误．

答案：C

名师方法总结

应用动能定理解题时，先选好研究对象，明确研究的过程，再分别求功和动能变化，列方程求解．

名师点易错 动能定理中涉及的功和动能均为标量，动能定理为一标量表达式，不能在某一方向上应用动能定理列方程.

要点3|动能定理的应用及优越性

1．牛顿第二定律和动能定理的选用比较

比较 牛顿第二定律 动能定理

作用 合外力与加速度的关系 合外力的功与动能变化的关系

公式 F＝ma W＝Ek2－Ek1

研究力和

运动关系 力的瞬间作用效果 力对空间的积累效果

运动过程中

细节的考虑 考虑 不考虑

作用力 恒力 恒力或变力

2.选用原则：动能定理是根据牛顿第二定律F＝ma和运动学公式v2－v20＝2ax推导出来的，但其应用范围更广泛．

凡涉及力的空间积累，而不涉及时间的求解类问题，利用动能定理优于使用牛顿运动定律．

3．应用动能定理的优越性

(1)物体由初始状态到末状态的过程中，物体的运动性质、运动轨迹、做功的力是变力还是恒力等诸多因素都可以不予考虑，使分析简化．

(2)应用牛顿运动定律和运动学规律时，涉及的有关物理量比较多，对运动过程中的细节也要仔细研究，而应用动能定理只考虑合外力做功和初、末两个状态的动能，并且可以把不同的运动过程合并为一个全过程来处理． (3)一般情况下，由牛顿运动定律和运动学规律能够求解的问题，用动能定理也可以求解，并且更为简捷．

4．应用动能定理解题的步骤

(1)确定研究对象和研究过程．

(2)对研究对象进行受力分析．(研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力)

(3)写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功(注意功的正负)．如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功．

(4)写出物体的初、末动能．(注意动能增量是末动能减初动能)

(5)按照动能定理列式求解．

典例3 如图所示，AB为14圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R.一质量为m的物体，与两个轨道的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A从静止下滑时，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力做功为( )

A．12μmgR B．12mgR

C．mgR D．(1－μ)mgR

【思路点拨】 AB段的摩擦力为变力，故可以由动能定理求解； 而BC段为恒力，可以直接由功的公式求解；BC段摩擦力可以求出，由做功公式求得BC段摩擦力对物体所做的功； 对全程应用动能定理即可求得AB段克服摩擦力所做的功．

【解析】 BC段物体受摩擦力f＝μmg，位移为R，故BC段摩擦力对物体