“先学后导 互动展评 当堂训练”教学设计
北京师范大学新余附属学校
课题：21.2.2公式法 科目：初三数学
授课班级： 授课教师： 授课时间: 2017年 8 月 28 日
教学目标：
1. 掌握根的判别式，会用根的判别式判断根的情况；
2、理解一元二次方程求根公式的推导过程，掌握求根公式；
3、会熟练应用公式法解一元二次方程。
教学时间： 1 课时
第 1 课时
（一）学习目标
学习目标要具体、简要、可行、可测：
1．掌握根的判别式，会用根的判别式判断根的情况；会利用根的判别式求待定字母系数的取值问题；会利用根的判别式证明根的情况；
2. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，掌握求根公式；
3．掌握公式法解一元二次方程的步骤，会熟练应用公式法解一元二次方程。 二次备课
（二）自学指导
明确自学的内容与范围，明确自学的方法，明确自学的要求，明确自学的时间：
范围：阅读教材9—12页 时间：10分钟
自学课本，弄清下面的问题，有疑问的做好标记。
1.利用配方法解一元二次方程20(0)axbxca.
2.一元二次方程的根的判别式： ，
根的判别式与一元二次方程根的情况有什么关系：
①当24bac> 0时，方程有 的实数根；
②当24bac =0时，方程有 的实数根；
③当24bac<0时，方程 实数根.
3.当b2-4ac≥0时，求根公式： 。
4. 这种解一元二次方程20(0)axbxca的方法是什么？利用这种方法解一元二次方程的关键是什么？
‘
（三）自学自测
学生看书、看例题、做测试题，教师巡视。（教师出示问答题或测试题让学生检测自学情况）
测试题：
1、一元二次方程20(0)axbxca的根的情况可由24bac的符号来判定： ①当24bac______0时，方程有两个不相等的实数根；
21．2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当__b2－4ac≥0___时，x＝－b±b2－4ac2a，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__求根公式___．
2．式子__b2－4ac___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__有两个不等的实数根___；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__两个相等的实数根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__没有实数根___．
知识点1：根的判别式
1．下列关于x的方程有实数根的是( C )
A．x2－x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋1＝0
2．(2014·兰州)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是( B )
A．b2－4ac＝0 B．b2－4ac＞0
C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≥0
3．一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是( D )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
4．利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1)9x2－6x＋1＝0；
解：∵a＝9，b＝－6，c＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，∴此方程有两个相等的实数根
(2)8x2＋4x＝－3；
解：化为一般形式为8x2＋4x＋3＝0，∵a＝8，b＝4，c＝3，∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此方程没有实数根
(3)2(x2－1)＋5x＝0.
解：化为一般形式为2x2＋5x－2＝0，∵a＝2，b＝5，c＝－2，∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0，∴此方程有两个不相等的实数根
知识点2：用公式法解一元二次方程
5．方程5x＝2x2－3中，a＝__2___，b＝__－5___，c＝__－3___，b2－4ac＝__49___．
21.2.2 公式法
【知识与技能】
1.理解并掌握求根公式的推导过程；
2.能利用公式法求一元二次方程的解.
【过程与方法】
经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.
【情感态度】
用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.
【教学重点】
用公式法解一元二次方程.
【教学难点】
推导一元二次方程求根公式的过程.
一、情境导入，初步认识
我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？
【教学说明】让学生回顾用配方法解一元二次方程的一般过程，从而尝试着求ax2+bx+c=0（a≠0）的方程的解，导入新课，教学时，应给予足够的思考时间，让学生自主探究.
二、思考探究，获取新知
通过问题情境思考后，师生共同探讨方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.
由ax2+bx+c=0(a≠0),移项，ax2+bx=-c.二次项系数化为1，得x2+bax=-ca.配方，得x2+bax+2()2ba =-ca+2()2ba，即2224(42)baaabxc.
至此，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：
（1）两边能直接开平方吗？为什么？
（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.
【教学说明】设置停顿并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为，引导学生正确认识代数式b2-4ac的取值与此方程的解之间的关系，加深认知.教学时，应让学生积极主动思考，畅所欲言，在相互交流中促进理解.
师生共同完善认知：
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ=b2-4ac.从而有：
①当Δ=b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；当Δ=b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数解；
21.2.2 公式法2
判别一元二次方程根的情况
教学目标
掌握b2－4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2－4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2－4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．通过复习用配方法解一元二次方程的b2－4ac>0、b2－4ac=0、b2－4ac<0各一题，•分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．
重难点关键
1．重点：b2－4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；b2－4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b2－4ac<0一元二次方程没有实根．
2．难点与关键
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2－4ac的情况与根的情况的关系．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）用公式法解下列方程．
（1）2x2－3x=0 （2）3x2－23x+1=0 （3）4x2+x+1=0
老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b2－4ac=9>0，•有两个不相等的实根；（2）b2－4ac=12－12=0，有两个相等的实根；（3）b2－4ac=│－4×4×1│=<0，•方程没有实根
二、探索新知
从前面的具体问题，我们已经知道b2－4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：
求根公式：x=242bbaca，当b2－4ac>0时，根据平方根的意义，24bac等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=242bbaca≠x1=242bbaca，即有两个不相等的实根．当b2－4ac=0时，•根据平方根的意义24bac=0，所以x1=x2=2ba，即有两个相等的实根；当b2－4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．
