高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.2 导数的概念课时规范训练 新人教A版高二选修1-1数学试题
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导数的概念
基础练习
1．一物体的运动方程是s＝12at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( )
A．at0 B．－at0
C．12at0 D．2at0
【答案】A
2．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝32处的瞬时变化率是( )
A．3 B．－3
C．2 D．－2
【答案】B
3．若limΔt→0fx0＋Δx－fx0Δx＝k，则limΔt→0fx0＋2Δx－fx0Δx等于( )
A．2k B．k
C．12k D．以上都不对
【答案】A
4．若函数f(x)在x＝a处有导数，则limh→afh－fah－a为( )
A．f(a) B．f′(a)
C．f′(h) D．f(h)
【答案】B
5．已知f(x)＝2x2＋3x－2，则limΔt→0f1＋2Δx－f1Δx＝________.
【答案】14
6．一物体的运动方程为s＝3t2－2，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
【答案】16
【解析】根据瞬时速度的定义，知v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→03t＋Δt2－2－3t2＋2Δt＝6t，所以当v＝1时，t＝16. word
- 2 - / 3 7．已知函数f(x)在x＝a处的导数为b，求limΔt→0fa＋4Δx－fa＋5ΔxΔx的值．
解：∵limΔt→0fa＋Δx－faΔx＝b，
∴limΔt→0fa＋4Δx－fa＋5ΔxΔx
＝limΔt→0fa＋4Δx－fa＋fa－fa＋5ΔxΔx
＝4limΔt→0fa＋4Δx－fa4Δx＋5limΔx→0fa－fa＋5Δx5Δx
＝4limΔt→0fa＋4Δx－fa4Δx－5limΔt→0fa＋5Δx－fa5Δx
＝4b－5b＝－b.
8．求函数y＝1x在点2，12处的导数．
解：因为limΔt→0f2＋Δx－f2Δx＝limΔt→012＋Δx－12Δx＝
limΔt→0－122＋Δx＝－14，所以y′|x＝2＝－14.
能力提升
9．已知函数f(x)＝ax＋4，若limΔt→0f1＋Δx－f1Δx＝2，则实数a的值为( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
【答案】A
【解析】根据题意，知limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝
limΔt→0a1＋Δx＋4－a＋4Δx＝a＝2.故选A．
10. 若可导函数f(x)的图象过原点，且满足limΔt→0fΔxΔx＝－1，则f′(0)等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【答案】B
【解析】∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0.∴f′(0)＝limΔt→0f0＋Δx－f0Δx＝limΔt→0fΔxΔx＝－1.故选B． word
- 3 - / 3 11．若函数f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)－5，则f′(0)＝________.
【答案】24
【解析】由导数的定义得f′(0)＝
limΔt→0f0＋Δx－f0Δx＝limΔt→0fΔx－f0Δx＝
limΔt→0ΔxΔx＋1Δx＋2Δx＋3Δx＋4－5＋5Δx＝limΔt→0 (Δx＋1)(Δx＋2)(Δx＋3)(Δx＋4)＝1×2×3×4＝24.
12．某质点A从时刻t＝0开始沿某方向运动的位移为s(t)＝ t3－6t2＋9t0≤t＜4，t2－10t＋28t≥4.
比较质点A在时刻t＝3与t＝5的瞬时速度的大小．
解：当0≤t＜4时，质点A的瞬时速度v(t)＝limΔt→0ΔsΔt＝
limΔt→0st＋Δt－stΔt＝3t2－12t＋9.
∴质点A在时刻t＝3的瞬时速度大小v(3)＝3×32－12×3＋9＝0.
当t≥4时，质点A的瞬时速度v(t)＝limΔt→0ΔsΔt＝
limΔt→0st＋Δt－stΔt＝2t－10.
∴质点A在时刻t＝5的瞬时速度大小v(5)＝2×5－10＝0.
∴质点A在时刻t＝3与t＝5的瞬时速度大小相等．
