过椭圆焦点的弦长公式

高中数学中的四大类弦长公式一、平面直角坐标中的全场通用弦长公式1、已知两点坐标：()11,y x A ，()22,y x B ，则()()221221y y x x AB -+-=2、已知直线上两点：若()11,y x A ，()22,y x B 两点在直线b kx y +=（直线的斜率存在并且不为0）上，则ak x x k AB ∆+=-+=221211（∆,,21x x 是02=++c bx ax 的两根和判别式） ak y y k AB ∆+=-+=22121111（∆,,21y y 是02=++c by ay 的两根和判别式）注：以上公式适用于直线与曲线相交，将直线与曲线联立但不易求出交点坐标 时，采用设而不求思想的解决弦长问题，以上公式的证明会用到韦达定理）二、平面直角坐标中特殊曲线（例如：圆，抛物线，椭圆）中的弦长公式1、直线0:=++C By Ax l 与圆()()222:r b y a x M =-+-相交于B A ,，则222d r AB -=（其中22BA C Bb Aa d +++=为圆心),(b a M 到直线l 的距离）注：此公式证明需用垂径定理2、抛物线中的焦点弦弦长公式，过抛物线交点F 直线l 与抛物线相交的弦长,BF AF AB += ①α221sin 2p x x p AB =++=（其中抛物线开口向右，方程为px y 22=） ②)(21x x p AB +-=（其中抛物线开口向左，方程为px y 22-=） ③21y y p AB ++=（其中抛物线开口向上，方程为py x 22=） ④)(21y y p AB +-=（其中抛物线开口向下，方程为py x 22-=） 注：此公式的证明需用到抛物线的定义和焦半径公式.3、椭圆中的焦点弦的弦长公式,BF AF AB +=①过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点)0,(1c F -的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB ++=.②过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点)0,(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB +-=.③过椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 的左焦点)0(1c F -，的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB ++=.④过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点),0(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB +-=.注：此公式的证明需用到椭圆的第二定义和焦半径公式.三、直线标准参数方程下的弦长公式过定点),(00y x P ，倾斜角为α的直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数). 参数t 的几何意义为： t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；即：直线l 上的动点()()ααsin ,cos ,00t y t x M y x M ++=到点),(00y x P 的距离等于t .设点B A 、对应的参数分别为,,21t t 则有： ①2121,,t t AB t PB t PA -===②AB 中点M 对应的参数为221t t +，则.221t t PM += 证明：∵A 对应的参数分别为1t ∴()ααsin ,cos 1010t y t x A ++,∴ ()()()()1212120102010sin cos sin cos t t t y t y x t x PA =+=-++-+=αααα同理2t PB =,21t t AB -=还有一些可能会用到的公式,他们都可通过以上两个结论+绝对值的运算而得： 例如：③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA ;⎩⎨⎧<+>-=-=-0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA④ 若AB 的中点为P ,则021=+t t .（∵AB 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0）过定点),(00y x P 的直线l 的参数方程也可表示为:⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 (b a ,是常数,t 为参数).设点N M 、对应的参数分别为21,t t ,即()()20201010,,,bt y at x N bt y at x M ++++则有：①122t b a PM +=，222t b a PN +=，()2122t t b a PN PM +=⋅②Aba t tb a MN ∆+=-+=222122（其中21,t t 是方程02=++C Bt At 的两根） ③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121t t t t t t t t t t PN PM ; ⎪⎩⎪⎨⎧<++>-+=-+=-0,0,2121222121222122t t t t b a t t t t b a t t b a PN PM④ 若MN 的中点为P ,则021=+t t .（∵MN 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0）四、极坐标系中的弦长公式：()()2211,,,θρθρB A①若21θθ=，则21ρρ-=AB②若21θθ≠，则()21212221cos 2θθρρρρ--+=AB ，()2121sin 21θθρρ-=∆OAB S。

椭圆的弦长公式椭圆是常见的几何图形，它与圆相似，但形状略有不同。

在本文中，我们将探讨椭圆的弦长公式及其推导过程。

椭圆的定义椭圆是在平面上定义的几何图形，它是固定点F（称为焦点）和固定直线L （称为直角边）到平面上点P的距离之和与一定的常数2a成比例的点的集合，即PF1 + PF2 = 2a其中F1和F2是一个椭圆的两个焦点，a是一个椭圆的半长轴。

椭圆的弦长弦是在椭圆内部连接两个不相邻的点的线段。

图中AB和CD是椭圆的两条弦，其长度为l。

我们的目标是推导出椭圆弦长的公式。

椭圆的标准方程为了推导椭圆的弦长公式，我们需要引入椭圆的标准方程。

标准方程是将椭圆放在坐标系中并将椭圆的中心与坐标系的原点重合时的方程。

一个椭圆的标准方程为：x²/a² + y²/b² = 1其中a和b是椭圆的半长轴和半短轴。

椭圆的弦长公式的推导现在我们来推导椭圆的弦长公式。

假设椭圆的标准方程是x²/a² + y²/b² = 1弦AB的两个端点的坐标可以表示为：A（-x1, y1）和B（x2, y2）根据标准方程，我们可以得到：y1²/b² = 1 - x1²/a² (1)y2²/b² = 1 - x2²/a² (2)将式(1)和式(2)相加：y1²/b² + y2²/b² = 2 - x1²/a² - x2²/a²将x1和x2相加，得到：x1 + x2 = -（a²/b²）（y1 + y2）/（x1 - x2）我们假设椭圆的中心为（0, 0），则坐标系中任意一点P的坐标为（x, y）。

以y1作为y坐标，可以得到：x = a²x1/（a² - b²），y = b²y1/（a² - b²）同样地，以y2作为y坐标，可以得到：x = a²x2/（a² - b²），y = b²y2/（a² - b²）令l为弦AB的长度，则：l² = （x2 - x1）² + （y2 - y1）²将x1和x2代入上式，得到：l² = （a²x2/（a² - b²）- a²x1/（a² - b²））² + （b²y2/（a² - b²）- b²y1/（a² - b²））²整理后得到：l² = a²(x2 - x1)²/（a² - b²）² + b²(y2 - y1)²/（a² - b²）²将x1 + x2 = -（a²/b²）（y1 + y2）/（x1 - x2）代入上式，得到：l² = 4a²b²（x1 - x2）²/（a² - b²）⁴ + 4a²b²（y1 + y2）²/（a² - b²）⁴将x1 + x2代入上式中的（x1 - x2）²，得到：l² = 4a²b²（x1 + x2）²/（a² - b²）⁴ + 4a²b²（y1 + y2）²/（a² - b²）⁴ - 8a²b²x1x2/（a² - b²）⁴由于x1 + x2 = -（a²/b²）（y1 + y2）/（x1 - x2），所以8a²b²x1x2/（a ² - b²）⁴可以改写为4（a² - b²）（y1 + y2）²。

弦长公式椭圆与直线
弦长公式是指计算椭圆上任意两点间弦的长度的公式。

椭圆是一个几何图形，由一组点构成，这些点到两个焦点的距离之和是一个定值。

直线是一个几何图形，由无穷多个点构成，这些点在同一条直线上。

本文将介绍弦长公式在椭圆和直线中的应用。

椭圆上任意两点间弦的长度可以用弦长公式进行计算，公式为：
s = 2a ×sin(θ/2)
其中，s表示弦的长度，a表示椭圆的半长轴，θ表示弦与椭圆中心连线的夹角。

这个公式可以用来计算任意两点间的弦长。

当弦与直线相交时，可以使用弦长公式计算弦长。

具体地，将直线延长到椭圆外，并交于点P，那么椭圆上的任意一点Q与直线的交点为T。

连接PT，QT两线段，那么QT就是弦，且θ=∠QPT。

因此，可以使用弦长公式计算QT的长度。

除此之外，还可以利用椭圆的对称性来计算弦长。

具体方法是，找到椭圆中心O，并将直线过O，与椭圆相交于点P和Q。

将OP和OQ分别连接到椭圆上的两点，这时可以证明，PQ的中点即为弦的中点。

因此，可以计算出OP和OQ的长度，然后用勾股定理计算PQ的长度。

综上所述，弦长公式可以用来计算椭圆上任意两点间弦的长度，在弦与直线相交时也可以使用该公式进行计算。

在计算弦长时，还可以利用椭圆的对称性来简化计算过程。

椭圆双曲线弦长公式
椭圆和双曲线是常见的数学曲线，它们在物理学、工程学和其他领域中具有广泛的应用。

在研究椭圆和双曲线时，弦长是一个重要的概念。

弦是连接椭圆或双曲线上两个点的线段。

在椭圆上，弦始于一个焦点，结束于另一个焦点，通过椭圆的内部。

在双曲线上，弦同样连接两个点，但它通过双曲线的外部。

我们可以通过弦的长度来描述椭圆或双曲线的形状。

弦长公式是一个用于计算椭圆或双曲线弦长的公式。

下面我们将分别介绍椭圆和双曲线的弦长公式。

1. 椭圆弦长公式：
对于一个椭圆，其长轴长度为2a，短轴长度为2b。

如果我们选择椭圆上两个点，它们的坐标分别为(x, y)和(x, y)，那么它们之间的弦长可以通过以下公式计算：
S = 2a * sin(θ/2)
其中，θ是两个点所在的角度。

注意，这里的角度是弧度制。

2. 双曲线弦长公式：
对于一个双曲线，其长轴长度为2a，短轴长度为2b。

同样地，我们
选择双曲线上两个点，它们的坐标为(x, y)和(x, y)。

双曲线上这两个点之间的弦长可以通过以下公式计算：
S = 2a * sinh(d/2)
其中，d是两个点之间的距离，sinh表示双曲正弦函数。

椭圆和双曲线的弦长公式可以帮助我们计算曲线上两个点之间的距离，从而更好地理解和分析这些曲线的性质。

它们在计算机图形学、天体力学、电磁学等领域中有重要的应用。

椭圆弦长公式带△的公式推导椭圆是数学中常见的图形，它具有许多特殊的性质和公式。

其中一个重要的公式是椭圆上的弦长公式，它描述了椭圆上两点之间的弦长与椭圆参数之间的关系。

本文将详细推导带有△的椭圆弦长公式。

1. 弦长的定义在推导椭圆弦长公式之前，首先要明确弦长的定义。

在椭圆上，如果有两点A和B，那么从A点到B点的曲线段称为弦。

弦的长度即为弦长。

2. 椭圆的参数椭圆可以由其两个焦点F1和F2以及其长轴的长度2a定义。

椭圆的长轴是连接两个焦点并且通过椭圆中心的线段。

椭圆的焦距定义为常数c，其中c满足c^2 = a^2 - b^2，其中b是椭圆的短轴的长度的一半。

椭圆的离心率e定义为e = c/a。

3. 弦长公式的推导假设A点的坐标为(x1, y1)和B点的坐标为(x2, y2)。

为了推导带有△的椭圆弦长公式，我们可以使用解析几何的基本原理。

首先，我们需要计算AB线段的斜率k。

斜率k可以通过以下公式计算：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)接下来，我们可以编写AB线段的方程。

假设AB线段的方程为y = mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距。

根据A点和B点的坐标，我们可以使用点斜式计算出方程的参数m和b：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)b = y1 - mx1由此得到AB线段的方程为：y = (y2 - y1) / (x2 - x1) * x + y1 - (y2 - y1) / (x2 - x1) * x1接下来，我们将该直线方程代入椭圆的方程中，即将y替换为椭圆方程中的y，得到：(x/a)^2 + ([(y2 - y1) / (x2 - x1) * x + y1 - (y2 - y1) / (x2 - x1) * x1]/b)^2 = 1将上述等式两边平方，消去分母并整理得到：b^2 * x^2 + a^2 * [(y2 - y1) * x + (y1 - y2) * x1]^2 - a^2 * b^2 * [(y2 - y1) * (x2 - x1)]^2 = 0利用二次方程的一般解公式，我们可以求得x的值。

焦点弦公式二级结论
椭圆：
(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a±2ex。

(2)设直线：与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）。

双曲线：
(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=-2a±2ex。

(2)设直线：与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}。

注意：
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。

焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。

而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示(圆锥曲线第二定义)。

因此，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。

这是一个很好的性质。

焦点弦长就是这两个焦半径长之和。

此外，由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。

(注意斜率不存在的情况！即垂直于x轴！)。

椭圆交点弦长公式椭圆交点弦长公式是数学中关于椭圆的一个重要公式，用于计算椭圆上两点之间的弦长。

椭圆是一种特殊的曲线，具有许多独特的性质和特点。

掌握椭圆交点弦长公式，可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质和应用。

椭圆交点弦长公式的推导基于椭圆的定义和性质。

首先，我们需要了解椭圆的定义。

椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点（焦点）的距离之和始终是一个常数。

这两个焦点与椭圆的长轴平行。

在椭圆上任取两个点A和B，这两个点分别到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a（a为椭圆的半长轴），即AF1 + AF2 = 2a。

现在我们要计算点A和点B之间的弦长AB。

我们可以通过椭圆的定义得到AF1和AF2的关系式，即AF1 + AF2 = 2a。

根据这个关系式，我们可以得到AF1 = 2a - AF2。

接下来，我们可以使用勾股定理计算弦长AB。

利用勾股定理，我们可以得到弦长AB的平方等于AF1的平方加上AF2的平方减去两倍的AF1和AF2的乘积，即AB² = (2a - AF2)² + AF2² - 2(2a - AF2)(AF2)。

将上式展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4a(AF2) + (AF2)² + (AF2)² - 4a(AF2) + 4(AF2)²。

简化后，得到AB² = 4a² - 4a(AF2)+ 4(AF2)²。

由于椭圆的性质，我们可以将AF2表示为AE - EF2，其中AE为椭圆的半长轴，EF2为焦点F2到点E的距离。

代入上式，可以得到AB² = 4a² - 4a(AE - EF2) + 4(AE - EF2)²。

进一步展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4aAE + 4aEF2 + 4AE² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。

圆锥曲线专题03焦点弦问题焦点弦是经过椭圆，双曲线或者抛物线焦点的弦，这里我们以椭圆为例，如下图。

组成焦点弦的因素有3个：线段MN 的长度，直线MN 的倾斜角以及点F 分线段MN 的比例关系，所以在研究焦点弦问题当中我们重点从以上三个因素进行考虑。

一、焦点弦长的求法法一：利用弦长公式|AB |==若要使用弦长公式，我们需要设出AB 所在直线的方程，然后联立椭圆，利用韦达定理求出,A B 两点之间横坐标或纵坐标的和与积的关系即可，这也是我们在圆锥曲线中求弦长最常用的方法。

法二：利用直线的参数方程在参数方程中我们也学过求弦长的方法，此法和弦长公式差不多，但是在解决选做题参数方程的题目中经常用到，该发在参数方程专题中将重点讲解。

设A 点参数为1t ，B 点参数为2t ，则12|AB |||t t =-方法三：焦点弦长公式已知圆锥曲线C 的离心率为e，焦点为F，焦准距（焦点到准线的距离）为p，过点F 的弦MN 与曲线C的焦点所在的轴的夹角为,(0,90]θθ︒∈，则有222|MN ||1e cos |ep θ=-，在抛物线内22|MN |sin pθ=证明过程如下：设11(x ,y )N ，根据第二定义可知211'()a NF eNN e x a ex c==-=-在RT DNF ∆中，1cos x OD OF DF c NF θ==-=-，代入上式得：(cos )NF a e c NF θ=--，解得cos 1ec aNF e θ-=-同理可得2222222||cos 1cos ab ep MF a c e θθ==--例1：已知椭圆22221x y a b+=的右焦点为F，经过F 且倾斜角为60︒的直线与椭圆相交于不同的两点A,B ，已知2AF FB = .（1）求离心率；（2）若15|AB |=4，求椭圆方程.【解析】（1）求离心率套公式即可1cos 1e λθλ-=+，代入求得23e =套用公式22215|AB |||1cos 4ep e θ==-解得252a p c c =-=又因为23e =，故可解出3,a b ==，椭圆方程为22195x y +=例2：已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则|AB ||DE |+的最小值为________.例3：过抛物线2:4C y x =的焦点的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l 为C的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_________.二、在焦点弦中,,e θλ三要素之间的关系上面求得焦点弦长公式与离心率e 有关，因此下面我们探究一下求离心率，倾斜角以及点分线段的比例之间的关系。

高中数学中的四大类弦长公式一、平面直角坐标中的全场通用弦长公式1、已知两点坐标：()11,y x A ，()22,y x B ，则()()221221y y x x AB -+-=2、已知直线上两点：若()11,y x A ，()22,y x B 两点在直线b kx y +=（直线的斜率存在并且不为0）上，则ak x x k AB ∆+=-+=221211（∆,,21x x 是02=++c bx ax 的两根和判别式） ak y y k AB ∆+=-+=22121111（∆,,21y y 是02=++c by ay 的两根和判别式）注：以上公式适用于直线与曲线相交，将直线与曲线联立但不易求出交点坐标 时，采用设而不求思想的解决弦长问题，以上公式的证明会用到韦达定理）二、平面直角坐标中特殊曲线（例如：圆，抛物线，椭圆）中的弦长公式1、直线0:=++C By Ax l 与圆()()222:r b y a x M =-+-相交于B A ,，则222d r AB -=（其中22BA C Bb Aa d +++=为圆心),(b a M 到直线l 的距离）注：此公式证明需用垂径定理2、抛物线中的焦点弦弦长公式，过抛物线交点F 直线l 与抛物线相交的弦长,BF AF AB += ①α221sin 2px x p AB =++=（其中抛物线开口向右，方程为px y 22=）②)(21x x p AB +-=（其中抛物线开口向左，方程为px y 22-=） ③21y y p AB ++=（其中抛物线开口向上，方程为py x 22=） ④)(21y y p AB +-=（其中抛物线开口向下，方程为py x 22-=） 注：此公式的证明需用到抛物线的定义和焦半径公式.3、椭圆中的焦点弦的弦长公式,BF AF AB +=①过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点)0,(1c F -的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB ++=.②过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点)0,(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB +-=.③过椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 的左焦点)0(1c F -，的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB ++=.④过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点),0(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB +-=.注：此公式的证明需用到椭圆的第二定义和焦半径公式.三、直线标准参数方程下的弦长公式过定点),(00y x P ，倾斜角为α的直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数). 参数t 的几何意义为： t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；即：直线l 上的动点()()ααsin ,cos ,00t y t x M y x M ++=到点),(00y x P 的距离等于t .设点B A 、对应的参数分别为,,21t t 则有： ①2121,,t t AB t PB t PA -=== ②AB 中点M 对应的参数为221t t +，则.221t t PM +=证明：∵A 对应的参数分别为1t ∴()ααsin ,cos 1010t y t x A ++, ∴ ()()()()1212120102010sin cos sin cos t t t y t y x t x PA =+=-++-+=αααα同理2t PB =,21t t AB -=还有一些可能会用到的公式,他们都可通过以上两个结论+绝对值的运算而得：例如：③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA ;⎩⎨⎧<+>-=-=-0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA④ 若AB 的中点为P ,则021=+t t .（∵AB 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0）过定点),(00y x P 的直线l 的参数方程也可表示为:⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(b a ,是常数,t 为参数).设点N M 、对应的参数分别为21,t t ,即()()20201010,,,bt y at x N bt y at x M ++++则有：①122t b a PM +=，222t b a PN +=，()2122t t b a PN PM +=⋅②Aba t tb a MN ∆+=-+=222122（其中21,t t 是方程02=++C Bt At 的两根）③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121tt t t t t t t t t PN PM ; ⎪⎩⎪⎨⎧<++>-+=-+=-0,0,2121222121222122t t t t b a t t t t b a t t b a PN PM④ 若MN 的中点为P ,则021=+t t .（∵MN 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0）四、极坐标系中的弦长公式：()()2211,,,θρθρB A①若21θθ=，则21ρρ-=AB②若21θθ≠，则()21212221cos 2θθρρρρ--+=AB ，()2121sin 21θθρρ-=∆OAB S。

椭圆弦长公式根号△比a
椭圆的弦长公式可以表示为2a\sqrt{e^2 1}，其中a为椭圆的
半长轴长度，e为椭圆的离心率。

这个公式可以从椭圆的参数方程
推导出来，也可以通过椭圆的焦点、离心率和弦长之间的关系得到。

椭圆是一个重要的几何图形，具有许多特性和应用，包括在天文学、工程学和物理学等领域的应用。

弦长公式是描述椭圆形状和特性的
重要公式之一，它能够帮助我们理解椭圆的几何性质和在实际问题
中的应用。

通过掌握这个公式，我们可以更深入地理解椭圆的性质
和特点，为相关问题的解决提供重要的数学工具。

在数学和物理学
领域，椭圆的研究有着广泛的应用，因此弦长公式作为椭圆性质的
重要表达式，具有重要的理论和实际意义。

希望这个回答能够满足
你的要求。